高中数学复习专题讲座 函数值域
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。
（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
高中数学《函数定义域值域》专题复习
求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。
⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
高中数学必修一函数专题：二次函数值域
高一数学必修一函数专题：二次函数值域第一部分：计算二次函数的值域题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在定义域R x ∈上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向上。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值。
最大值为∞+。
第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向下。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值。
最小值为∞-。
例题一：已知：二次函数121)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12121=⇒⨯--=x x 。
第二步：二次函数121)(2+-=x x x f 图像开口向上。
2111121)1()(2min =+-⨯==f x f 。
+∞=max )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),21[)(+∞∈x f 。
例题二：已知：二次函数2)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：二次函数2)(2+--=x x x f 图像开口向下。
49221412)21()21()21()(2max =++-=+----=-=f x f 。
-∞=min )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]49,()(-∞∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
【高中数学】高中数学知识点：指数函数的解析式及定义(定义域值域)
【高中数学】高中数学知识点：指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：y=ax（a＞0，且a≠1）理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于在实数范围内函数值不存在．如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．③像等函数都不是指数函数，要注意区分。
相关高中数学知识点：指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）n次方根的定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。
分数指数幂的意义：（1）；（2）；（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
n次方根的性质：（1）0的n次方根是0，即＝0（n＞1，n∈N*）；（2）=a（n∈N*）；（3）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，＝|a|。
幂的运算性质：（1）；（2）；（3）；注意：一般地，无理数指数幂（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
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高中数学复习专题-函数值域的求法
学习必备 欢迎下载专题四、函数及其性质（二）函数值域的求法1.求函数值域的数学思想：（ 1）利用函数单调性求函数值域：（ 2）利用函数图像求函数值域；注意： 求函数值域时要先关注函数定义域，时刻体现“定义域优先” 原则。
2.求函数值域的方法： 观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。
（ 1）观察法：适合于常见的基本函数。
例 1.已知函数 f (x)e x1，g( x)x 24x3 ，若 a 、bR ，且存在有f (a)g(b) ，则b 的取值范围为（）A. [22, 22]B. (22, 22)C.[1,3]D.(1,3)kx bdx 2exf的分式函数， 适用条件须函（ 2）判别式法：适合于形如y或 yax2bx cax 2 bx c数的定义域应为 R ，即 ax 2bx c0 ，所以b 2 4ac0 。
例 2. 求函数 y2x 2 x3x 2的值域。
x 1（ 3）双勾函数法：适合于高中阶段所有的分式函数，比判别式法具有更广泛的应用。
2例 3. 求函数 y2x11x7(0 x 1) 的值域。
x 3（ 4）换元法：适合于含有根式的函数。
例 4.求函数 y2x 4 1 x 的值域。
（ 5）平方法：适合于平方变形后具有简化效果的函数。
例 5.求函数 yx 3 5 x 的值域。
学习必备欢迎下载（ 6）数形结合法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域。
例 6.（2014 湖北 ）已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 1(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)，若对于任意 x ∈ R ， f( x －1)≤ f(x)恒成立，2则实数 a 的取值范围为（ ） A. －1，1 B.－ 6， 6 C. －1，1 D.－3， 36 6 6 6 3 3 3 3（ 7）单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高中数学：函数的值域
①若 b [a,b],则 f ( b ) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
2a
2a
再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 b [a,b],则[a ,b]是在 f (x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b) 的大小 2a
即可决定函数的最大（小）值.
5、分式函数（分离常数法）
例 5 求函数 y＝xx＋＋12的值域. 【解析】 y＝xx＋ ＋12＝x＋x＋2－2 1＝1－x＋1 2. 因为x∈R且x≠－2，所以y≠1. 所以值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
思考题 求函数 y＝25x－＋x5的值域.
【解析】
y＝－（2（x＋x＋52）52）＋125＝－12＋4x＋1510，
y x2 2x 3 x
例 7 求函数 y＝|x＋3|＋|x－5|的值域. 【答案】 [8，＋∞)
探究 7 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于 几何方法求出函数的值域.
思考题 7 求函数 y＝|x－2|－|x＋1|的值域. 【答案】 [－3，3]
4 x 的值域是 { y| y
2} 新疆 王新敞
奎屯
④ y x2 4x 1, x [0,5]
（分离常数法）
解：③ y x x 11 1 1
x 1 x 1
x 1
∵ 1 0 x 1
∴y 1
2、反比例函数值域问题（关注函数定义域和图像）
f (x) 1 1)x(1,2)
2) x (2, 1)
x 3)x(3,) 4)x(,0) (0,1)
3、二次函数值域问题（关注函数定义域和图像）
例 3． 求下列函数的最大值、最小值与值域：
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题08：函数值域的常见求法(讲解版)
专题08：函数值域的常见求法精讲温故知新一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知函数11,1()2,1x f x xx a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上满足：对任意12x x ≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】C 【分析】根据题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，进而可求出结果.【详解】由题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，因此只需112a -≤-+，解得2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例2 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 2.二次函数在区间上的值域(最值)：例3 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3. 单调性法例4 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
【高中数学讲义】函数求值域的十种方法
前言：总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。
知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。
三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。
数学思想举例：数形结合的思想等。
数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体：教、学、练。
老师教什么：数学思想和数学方法。
熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。
如何做练习：01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只会告诉你多做题。
多做题没用，多做类型才有用。
典型习题，做一顶百。
02，做题：一题多解。
对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。
03，总结：针对错题。
大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。
通过总结，避免两次踏入同一条水沟。
由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出？有思路才怪！言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”（高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。
高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题）方法一：配方法用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
y=ax2+bx+c（a≠0）经过配方得到 y=a（x-m）2 +n 的形式，可直接观察出值域。
方法二：函数性质法高中阶段函数六性：奇偶性，单调性，周期性，对称性，凸凹性，有界性（前三为重点）。
高中数学必修一-函数的值域与表示
函数的值域与表示知识集结知识元常见的求函数值域类型知识讲解一、定义函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．二、求函数值域的常用方法（1）公式法：适用于一次函数、二次函数、反比例函数及以后要学的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.（2）图象法：适用于能画出图象的函数，如，.（3）不等式性质法（包含观察法、配方法、分离常数法、有界法）：适用于解析式中只出现“一个”或通过变形化成只能出现“一个”函数，如：，等.（4）换元法：适用于无理式中含有自变量的函数，如等.（5）判别式：适用于形如（，不全为零且分式不可约）的函数.（6）方程思想（包括判别式法、反解法）：适用于可解出的解析式函数，如等.例题精讲常见的求函数值域类型例1.函数f（x）＝x＋1，x∈{﹣1，1，2}的值域是（）A．0，2，3B．0≤y≤3C．{0，2，3}D．[0，3]例2.函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（）A．（﹣∞，0）∪（，2]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）∪[2，＋∞）D．（0，＋∞）例3.函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，＋∞）B．（﹣∞，0）∪（0，＋∞）C．（﹣∞，）∪（，＋∞）D．（﹣∞，）∪（，＋∞）例4.函数的值域是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的值域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函的值域是（）A．R B．[-1，1]C．{-1，1}D．{-1，0，1}例2.函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）例3.函数的值域为（）A．[-1，+∞）B．[0，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例4.已知，则函数f（x）=log2x的值域是（）A．[-3，-2]B．[-2，3]C．[-3，3]D．[-2，2]例5.函数y=2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．例6.已知函数f（x）=-，则函数f（x）的值域为（）A．[-3，0]B．[0，3]C．[-3，3]D．[3，12]例7.下列哪个函数的定义域与函数f（x）=（）x的值域相同（）A．y=|x|B．y=C．y=x+D．y=lnx例8.定义函数f（x）={x∙{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2，当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n=（）A．n B．C．D．图象法知识讲解1.图象法在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．2.函数图象的作法步骤①列表；②.描点；③.连线．注意：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）例题精讲图象法例1.若a＋b＝0，则直线y＝ax＋b的图象可能是（）A．B．C．D．例2.若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（）A．B．C．D．例3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点例4.已知函数f（x）＝x2﹣2x，则下列各点中不在函数图象上的是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，3）C．（2，0）D．（﹣2，6）例5.可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．图象的平移变换知识讲解一、变换作图法设，.例题精讲图象的平移变换例1.已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，如图所示，则满足等式f（a﹣1）＝f（5）的实数a的值为．例2.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x＋k2的图象大致为（）A．B．C．D．例3.若函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（）A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|C．y＝f（﹣|x|）D．y＝﹣f（|x|）例4.函数y＝f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为．例5.将y＝f（x）的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（）A．y＝3f（3x）B．C．D．函数的解析式知识讲解一、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．注意：函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象．二、求函数解析式的常用方法1.配凑法：原函数的表达式为，t是关于x的式子，要求的解析式，这是要把通过变形、整理，使其变为只含t与常数的式子，然后将t换成x，即可以得到的解析式，这种方法叫做配凑法.2.换元法：解题时，把某个式子看做整体，用一个新的变量取代替它，从而使问题简化，这种方法叫做配凑法.3.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型先设出函数解析式，再将对应值代入，利用恒等式原理求出待定系数即可.4.解方程组法（或消元法）：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法（或消元法）.5.赋值法：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当赋值，从而使问题简单化、具体化.例题精讲函数的解析式例1.若函数，，则f（x）＋g（x）＝．例2.已知a，b为常数，若f（x）＝x2＋4x＋3，f（ax＋b）＝x2＋10x＋24，则5a﹣b ＝．例3.已知f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）等于（）A．2x＋1B．2x﹣1C．2x﹣3D．2x＋7例4.已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（）A．15B．1C．3D．30例5.已知f（x＋1）＝2x2＋1，则f（x﹣1）＝．构造函数知识讲解例题精讲分段函数知识讲解1.定义分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．1.学习分段函数的注意事项（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一范围，然后选取相应的对应关系.要注意写解析式是各自端点的开闭，做到不重复、不遗漏.（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上值域的并集；分段函数的最大（小）值则是分别在没端上求出最大（小）值，然后取各个最大（小）值中的最大（小）值.例题精讲分段函数例1.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13例2.函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定A＝{y|y ＝f（x），x∈P}，B＝{y|y＝f（x），x∈M}，给出下列三个判断：①若P∩M＝Φ，则A∩B＝Φ；②若P∪M＝R，则A∪B＝R；③若P∪M≠R，则A∪B≠R．其中错误的判断是（只需填写序号）．例3.已知函数f（x）＝则f（f（5））＝（）A．0B．-2C．-1D．1例4.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．例5.设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f （x2）＝f（x3），则x1＋x2＋x3的取值范围是（）A．（]B．（）C．（]D．（）列表法知识讲解1.列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．例题精讲列表法例1.设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与f[g（1）]相同的是（）A．g[f（1）]B．g[f（2）]C．g[f（3）]D．g[f（4）]例2.已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））＝．x123 f（x）213 g（x）321例3.已知函数分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））＝．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的表示方法”的题目补充.例题精讲备选题库例1.直线l1：y=kx+b和直线l2：（k≠0，b≠0）在同一坐标系中，两直线的图形应为（）A．B．C．D．例2.函数f（x）=ln|x|-|x|的图象为（）A．B．C．D．例3.二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．（-∞，-6）∪（-6，+∞）B．（-∞，-2）∪（3，+∞）C．（-2，3）D．（-6，+∞）例4.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______________。
高中数学函数的定义域、值域
海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）海豚教育个性化教案编号：函数的定义域和值域一、知识回顾1、函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域.2、确定函数定义域的常见方法：（1）分式的 ； （2）偶次方根的 ；（3）零指数幂和负数指数幂的 ；（4）对数式的真数 ，底数 ；（5）正切函数 ；（6）实际问题 。
3、求函数值域的常见方法：（1）直接法——利用常见基本初等函数的值域：①)0(≠+=k b kx y 的值域 ②)0(≠=k xk y 的值域 ③c bx ax y ++=2的值域：0>a 时为 ； 0>a 时为 。
④x a y =的值域 ⑤x y a log =的值域⑥x y sin =，x y cos =的值域是 ⑦x y tan =的值域是（2）配方法——转化为二次函数，配成完全平方式.（3）换元法——通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想（4）分离常数法——适用于型如：dcx b ax y ++=的函数 （5）判别式法——适用于型如：p nx mx c bx ax y ++++=222的函数 （6）不等式法：借助于基本不等式ab b a 2≥+（a>0，b>0)求函数的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.（7）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域。
常用到函数)0(>+=k x k x y 的单调性： 增区间为(－∞，－ k ]和[k ,＋∞)，减区间为(－k ,0)和(0，k ).二、例题变式例1、求下列函数的定义域：（1）43--=x x y (2)1lg 4x y x -=- (3)6522+--=x x x y (4) )13lg(132++-=x xx y变式1、求下列函数的定义域：（1）x xy 513-=（2）y = （3）y =（4）y =例2、已知等腰三角形的周长为17，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系式？并指出函数的定义域。
高中数学函数专题(定义域、值域、对称性、奇偶性)讲解
高考复习之函数专题1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义注意：○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．的实数的集合；○2函数定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断(两点必须同时具备)一．常见函数（基本初等函数）：1． 2．y=kx+b(k≠0)23．y=ax+bx+c(a≠0) 4．y=a1 x5．幂函数：y=x(a∈Q)（包括前四个函数）6．指数函数：y=a(a>0且a≠1)7．对数函数：y=logax(a>0且a≠1)8．三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
高考数学 函数的值域
第二章 函数——第9课时：函数的值域一．课题：高考数学 函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-； （4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x-=-． 解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26．∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =． 又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y 的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，第二章 函数——第9课时：函数的值域∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[,]44πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-， ∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----， ∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即x =12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞． （9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==）， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．第二章 函数——第9课时：函数的值域 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数， ∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． （2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++， 当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)． 2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a=2．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。
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高中数学复习专题讲座
求函数值域的常用方法及值域的应用
高考要求
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌
握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、
换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力
典型题例示范讲解
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的
上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［4
3,
32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知
识解决实际问题的能力
知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识
错解分析 证明S (λ)在区间［4
3,
32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转
化为函数的最值问题来解决
技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决
解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2
, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,
将x =
λ
10
22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+
λ
5
),
5cm
5cm 8cm
8cm
当8λ=
λ
5
,即λ=8
5
(85<1)时S 取得最小值
此时高 x =
λ
4840
=88 cm, 宽 λx =
85×88=55 cm
如果λ∈［4
3,32］，可设
3
2≤λ1<λ2≤4
3,
则由S 的表达式得
)
5
8)((1044)
5
85
8(1044)()(2
1212
21
121λλλλλλλλλλ-
-
=-
-+=-S S
又21λλ≥
8
53
2>
,故8－
2
15
λλ>0,
∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［4
3,32］内单调递增
从而对于λ∈［4
3,
32］,当λ=
3
2时，S (λ)取得最小值
答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［4
3,
32］,当
λ=
3
2时，所用纸张面积最小
例2已知函数f (x )=x
a x x
++22
,x ∈［1,+∞)
(1)当a =
2
1时，求函数f (x )的最小值
(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围
命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力
知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与
分类讨论的思想
错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决
技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用
分类讨论思想解得
(1)解 当a =
2
1时，f (x )=x +
x
21+2
∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f
(2)解法一 在区间［1，+∞)上，
f (x )=
x
a
x x ++22
>0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立
设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3
解法二 f (x )=x +
x
a +2,x ∈［1,+∞)
当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3
例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2
+m +
1
1-m )
(1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有
意义，则m ∈M
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值
(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1
(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +
1
1-m ］,
当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +1
1-m >0恒成立，
故f (x )的定义域为R
反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +1
1-m >0,令Δ＜0,
即16m 2－4(4m 2+m +
1
1-m )＜0,解得m >1,故m ∈M
(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +
1
1-m ,
∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小
而u =(x －2m )2
+m +
1
1-m ,
显然，当x =m 时，u 取最小值为m +1
1-m ,
此时f (2m )=log 3(m +
1
1-m )为最小值
(3)证明 当m ∈M 时，m +
1
1-m =(m －1)+
1
1-m +1≥3,
当且仅当m =2时等号成立
∴log 3(m +1
1-m )≥log 33=1。