浅谈求极限的方法与技巧

目录

中文摘要 (2)

外文摘要 (3)

引言 (4)

1.求极限的相关技巧与方法 (4)

1.1 利用极限的四则运算法则求极限 (4)

1.2 利用函数的连续性求极限 (5)

1.3 利用无穷小的性质求极限 (6)

1.4 利用等价无穷小的代换求极限 (6)

1.5 利用两个重要极限求极限 (7)

1.6 利用两个极限存在准则求极限 (9)

1.7 利用L'Hospital法则求极限 (10)

1.8 利用泰勒展式求极限 (11)

1.9 利用积分求极限 (13)

1.10 利用Lagrange中值定理求极限 (14)

1.11 利用微分中值定理来求极限 (15)

1.12 用Stolz法求极限 (16)

1.13 用代数函数方法求极限 (17)

2.多种极限方法的综合运用 (19)

参考文献 (22)

致谢 (23)

浅谈求极限的方法与技巧

陶习满

指导老师：胡玲

（黄山学院数学系，黄山，安徽 245041）

摘要：极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究分析方法的重要理论基础，但极限定义并未直接提供如何去求极限。然而求极限的方法很多，本文总结几种常用的求极限的方法。

关键词：极限；技巧；方法。

Of Getting The Methods And Techniques

Limit

Tao Ximan

Director : Hu Ling

(The mathematics department of huangshan university,

Huangshan,Anhui,245041)

Abstract：The concept of limit of higher mathematics is the most important and one of the most basic concepts,the definition does not tell us how to seek limits.There are a lot of methods to get limits, This paper summarizes several common ways to limit demand for reference.

Key Words: Limit; skills; method.

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。 掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。然而求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

1.求极限的相关技巧与方法 1.1 利用极限的四则运算法则求极限

定理：若 A x f x x =→)(lim 0

B x g x x =→)(lim 0

(1)[]=±→)()(lim 0

x g x f x x )(lim 0

x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0

(2)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0

(3)若 0≠B ,则B

A

x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )

(lim )()(lim 0

00

（4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0

（c 为常数）

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则

求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之;不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换、分子分母有理化等等。

例1 求2lim →x 3

5

2-+x x

解 2lim →x 352

-+x x =73

2323lim lim 5lim lim 22

22

2

2-=-+=-+→→→→x x x x x x

例2 求)13(lim 22x x x x x +-++∞

→

解

)13(lim 22x x x x x +-++∞

→=x

x x x x x +++++∞

→2

2

1312lim

=x

x x x

x 1113112lim

2++++

+

∞

→=2

1.2 利用函数的连续性求极限

)

()](lim [))((lim )()(lim )]([)()

()(lim )()(0

00a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ则处连续，在且是复合函数，又若处连续，则在若

因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0x x =是)(x f 的定义区间内的点,则).()(lim 0x f x f o

x n =→

例1 求6

1

2arcsin

lim 1

+→x x 解 因为复合函数6

1

2arcsin

+x 是初等函数，而1是其定义区间内的点，极限值就等于该点处的函数值。因此

6

π

21arcsin 6112arcsin 612arcsin

==+⨯=+x 例2 求下列函数的极限

)1ln(15cos lim )1(20x x x e x x -+++→ x

x x )

1ln(lim

)2(0+→