数字信号处理——离散余弦变换

叶变换
n 0 N 1
很容易证明：
V k ) W k / 2S (k ) or S k ) W2Nk / 2V (k )，0 k N 1 （ （ 2N
k / 2 N 1 nk V k ) 2 W2 N x(n)W2 N ， （ n 0
0 k N 1
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N 1
N 1
能量积聚特性 正交变换保存了信号的能量，或 N 维空间中的 矢量 x 的长度。所有正交变换都是矢量 x在 N 维空间中的旋转。大多数正交变换取向将能量 的大部分转移到相对较少的变换系数分量上。 例7.5.1 已知离散时间正弦信号
x(n) cos(2 k0 n / N ), 0 n N 1
1 + 2N
2 N 1 k N N

S k )W2 nk （ N
1 nk （ S k )W2 N + 2 N k 0
N 1
S N m)W2 ( 2 N m ) n （2 N
m 1 * S（k )W2kn N k 1
9
1 1 S ) （0 2N 2N
1 nk （ S k )W2 N + 2 N k 1
7.6
小结
• 主要介绍DFT及它的性质与应用,另外,通过对序 列的谱做取样导出了IDFT。 • 对离散时间信号谱做频域取样是相当重要的。 DFT具有特殊意义。已经证明, DFT在频域可唯 一表示有限时宽序列。 • 对DFT, 存在有效算法使得在频域用数字计算方 法处理信号远快于在时域所进行的处理。 • 特别适宜DFT的处理方法包括线性滤波和频谱 分析。 • DCT。
N
用DFT表示一个N点序列x(n)，其形式是复指数的 线性组合，所以即使x(n)是实数，DFT系数也通常是 复数。
找一个N N 的正交变换，以余弦序列线 性组合的形式来表示一个实序列 x (n)。 如果x(n)是实偶序列，即 x( N n) x(n) 1 n N 1 那么X(K)本身也是实偶数。
V k ) 是实数，而 S k )是复数。 （ （
因为是序列s(n)满足s(2N-1-n)=s(n),而不是s(2Nn)=s(n)，所以S(k)是复数。
7
计算x(n)的DCT方法：
1、根据 S k ) （Fra bibliotek2 N 1
n 0
s (n)W2nk , N
0 k 2N 1
k /2 V k) W （ S (k ) 计算s(n)的2N点DFT，并根据 2N
将结果与 W k / 2 相乘。
k / 2 N 1 nk （ 2、利用 V k ) 2 W2 N x ( n)W2 N n 0
先对补N个0后的原始序列x(n)进行2N点DFT，然后再乘
2N
k / 2 ，最后再取实部的两倍。 以W 2N
2 IDCT
从偶延拓序列s (n) 的逆DFT推导出IDCT
例题7.5.2 利用斜升信号 x(n) n, 0 n N 1 ， 比较DFT和DCT的能量积聚特性。
（a）画出了N=32时的x(n),图(d)和(f)分别画出了DFT 系数的绝对值和DCT系数值，DCT系数展示出了比DFT系 数更好的能量“积聚特性”，这意味着我们可以用更少 数目的DCT系数来表示序列 x(n) 。
5
s ( n) 的2N点DFT为
S k) （
2 N 1

n 0
s (n)W2nk , N
nk 2N
0 k 2N 1
2 N 1 n N
s (n)W
n 0
N 1


s (2 N n 1)W2nk N
mk 将第二个球和变量换成 n 2 N 1 m, W22N 1
7.5 离散余弦变换
Discrete Cosine Transform
离散余弦变换（DCT for Discrete Cosine Transform）是 与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换 （DFT for Discrete Fourier Transform），但是只使用实数。 离散余弦变换相当于一个长度大概是它自身长度两倍的离散 傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的 （因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数）。
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3 DCT是正交变换
序列 x(n), 0 n N 1的DCT和IDCT定义为：
(2n 1)k C (k ) (k ) x( n) cos , 0 k N 1 2N n 0 N 1 (2n 1)k x(n) ( k )C ( k ) cos , 0 n N 1 2N k 0
N -1
1 S 0) N 1 （ nk s ( n) S k )W2 N , 0 k 2 N 1 （ N 2 k 1 利用：S k ) W2 k / 2V (k )，0 k N 1 （ N 0 n N 1 x(n), s ( n) x(2 N n 1), N n 2 N 1
N 1
(0) 1 / N , (k ) 2 / N ,
1 k N 1
矩阵形式表示：
C
N
1 / N , k 0, 0 k N 1 ckn (2n 1)k 2 , 1 k N 1, 0 n N 1 N cos 2N
2、两组实序列x1(n)=[1 3 5 3 6 8 3 9]，x2(n)=[2 4 3 6 7 9 0 2]， 计算x1(n)和x2(n)的圆周卷积y(n)，计算x1(n)和x2(n)的傅里
X1() 和 X2() ，Y( )=X1( )X2( ) 求 Y( ) 的反傅里叶变换y2(n)，比较y1(n)和y2(n)。.
T T
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x N x(0), x(1), , x( N 1)
c N C (0), C (1), , C ( N 1)
矩阵形式表示：
cN C N xN
T xN C N cN
T C N1 C N C N 是实数正交矩阵，满足：
T cN (k )来表示 C N 的列，则逆DCT就可写成：
IDCT：
1 V ) N 1 （0 1 x ( n) V k ) cos (n )k ，0 n N 1 （ N 2 2 N k 1
给定 V (k ) ，先计算S k ) ，再进行 2N 点逆DFT变换，由 （ 逆DFT变换的实部得到 s ( n)，求得 x ( n)。
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实验任务
1、已知x(n)={1，2，3，4},完成下列要求： (1)、计算其DTFT，并画出 , ] 区间的波形； [(2)、计算4点DFT，并把结果显示在(1)中所画的图形中； (3)、对x(n)补零，计算32点DFT，并显示结果； (4)、根据实验结果，分析是否可以由DFT计算DTFT，如果可以， 如何实现。
DFT : X (k ) x(n)WNkn
n 0
N 1
k 0, 1, , N 1
1 N 1 IDFT: x( n) X (k )WN kn n 0, 1, , N 1 N n 0 DFT WN e j 2 / N x(n) X (k )
S k ) W2 k / 2 x ( n)[W2nkW2kN/ 2 W2 nkW2 k / 2 ] （ N N N N
n 0
N 1
W2 k / 2 2 x( n) cos ( n 1 ) k ， 0 k 2 N 1 N 2 N
n 0
N 1
k / 2 N 1 k /2 nk S k ) W2 N 2 W2 N x ( n)W2 N ， 0 k 2 N 1 （ n 0
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如果定义DCT为：
V k ) 2 x(n) cos (n 1 )k ， 0 k N 1 （ 2 N
•
1 S k ) 的逆DFT为 s(n) （ 2N
N 1 k 0
2 N 1 k 0
S k )W2 nk （ N
* 有（ S s ( n) 实数， S 2 N - k ) S (k ). 另外，（N ) 0.
1 s ( n) 2N 1 2N
（ S k )W
N 1
nk 2N
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离散余弦变换，经常在信号处理和图像处理中 使用，用于对信号和图像（包括静止图像和运动 图像）进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变 换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号 （包括声音和图像）的能量都集中在离散余弦变 换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫 过程（Markov processes）的统计特性时，离散余 弦变换的去相关性接近于K-L变换（KarhunenLoève变换——它具有最优的去相关性）的性能。
x N = C ( k )c N ( k )
k 0
N 1
信号表示为DCT余弦基序列的线性组合。系 数 C (k ) 的值度量了信号与第 k 个基矢量的相 似度。 利用正交特性，可证明：
C ( k ) c c x C C N x N x x N x ( n) Ex
2 k 0 T N N T N T N T N 2 n 0
图7.5.2画出了 k0 5, N 32时的序列 x ( n)，N 点DFT变 换 X (k ) 系数的绝对值，以及 N点DCT系数。与DFT相比， DCT虽然在出游一个明显的峰值，但是它在其他频率处 也呈现了大量的波纹。由于这个原因，DCT对信号与系 统的频率分析并没有什么用途。
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3
通过对序列 x (n)作偶延拓，再计算 2N 点DFT， 可推导出适用任何N点实序列的离散余弦变 换（DCT）。 • 1. FDCT • 2. IDCT • 3. DCT是正交变换