应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论
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（随体法或跟踪法）
空间坐标法 Euler法：
对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质点运动随时间的 变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 …
t=0
…
研究 t=T
?
研究 ?
…
t=0 t=T
4
Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
一般 (是)连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
13
控制方程
P(X)
假定：等截面
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
物质坐标法
空间坐标法
F ( X , t) F ( X (x, t), t)
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X , t), t) f (x, t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选择，则根据研究问 题的方便
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法
F F(X ,t)
应力波基础
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷的某一应变率范围 内具有平均意义下的唯一的动态应力应变关系. σ(ε)
Leabharlann Baidu
12
控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
dt X
x t t X
t
x
x t
随质点X观察物
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)： + 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物
理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量：
(x, t)
( x, t) （2.5）
t x
t
x
10
t0时刻
欧拉坐标法
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
F F(x,t)
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量发生变化： x,U,v,a,σ,ε
随波微商
C
L氏
X
t时刻
v
X
X +C C C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观察物理量 随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关
设t时刻波阵面传到质点X处:
物质波速
C dX （2.6） dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速
c dx （2.7） dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
2
子弹 气枪
测速仪
入射杆 应变片
光学应 变测量
试样
εi, εr
透射杆 应变片
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应变仪
示波器
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
计算机
3
描述介质运动的两种方法
物质坐标法Lagran对ge象法为质点，描述每个质点自始至终的运动过程，研究质点的运动轨 迹
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A:
X
质点A的运动轨迹：
x x( X , t) X U ( X , t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）：
F F(X ,t)
身份证号码
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
9
物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
理量对时间的变化率。随体微商
空间微商：在固定的空间位置x上物理量随时间的变化率
p X(t) p X
x
物质微商
p (x(t), t) (x(t), t) X
d ( x, t) x (x, t) v
F
F
(
X
,
t
)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
P X dX , t P( X , t) P( X , t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
X 物质坐标
14
控制方程
P(X)
假定：等截面
本构方程
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
应变率无关假定:
( ) （2.13）
若运动单值连续，则x x( X , t)存在逆变换:
X X (x, t) x U (x, t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：
F F(x,t)
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
x x( X , t) X U ( X , t)运动的L氏描述 X X (x, t)运动的E氏描述
dt W t x
x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W
t X
X t
当 x( X ,t) c v (1 )C （2.10）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0
A0
P(X)
P(X+dX)
dX
X X+dX
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截面只有均匀分布的 轴向应力（只受纵向拉或压作用）。u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)
空间坐标法 Euler法：
对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质点运动随时间的 变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 …
t=0
…
研究 t=T
?
研究 ?
…
t=0 t=T
4
Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
一般 (是)连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
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控制方程
P(X)
假定：等截面
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
物质坐标法
空间坐标法
F ( X , t) F ( X (x, t), t)
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X , t), t) f (x, t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选择，则根据研究问 题的方便
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法
F F(X ,t)
应力波基础
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷的某一应变率范围 内具有平均意义下的唯一的动态应力应变关系. σ(ε)
Leabharlann Baidu
12
控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
dt X
x t t X
t
x
x t
随质点X观察物
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)： + 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物
理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量：
(x, t)
( x, t) （2.5）
t x
t
x
10
t0时刻
欧拉坐标法
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
F F(x,t)
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量发生变化： x,U,v,a,σ,ε
随波微商
C
L氏
X
t时刻
v
X
X +C C C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观察物理量 随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关
设t时刻波阵面传到质点X处:
物质波速
C dX （2.6） dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速
c dx （2.7） dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
2
子弹 气枪
测速仪
入射杆 应变片
光学应 变测量
试样
εi, εr
透射杆 应变片
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应变仪
示波器
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
计算机
3
描述介质运动的两种方法
物质坐标法Lagran对ge象法为质点，描述每个质点自始至终的运动过程，研究质点的运动轨 迹
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A:
X
质点A的运动轨迹：
x x( X , t) X U ( X , t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）：
F F(X ,t)
身份证号码
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
9
物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
理量对时间的变化率。随体微商
空间微商：在固定的空间位置x上物理量随时间的变化率
p X(t) p X
x
物质微商
p (x(t), t) (x(t), t) X
d ( x, t) x (x, t) v
F
F
(
X
,
t
)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
P X dX , t P( X , t) P( X , t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
X 物质坐标
14
控制方程
P(X)
假定：等截面
本构方程
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
应变率无关假定:
( ) （2.13）
若运动单值连续，则x x( X , t)存在逆变换:
X X (x, t) x U (x, t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：
F F(x,t)
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
x x( X , t) X U ( X , t)运动的L氏描述 X X (x, t)运动的E氏描述
dt W t x
x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W
t X
X t
当 x( X ,t) c v (1 )C （2.10）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0
A0
P(X)
P(X+dX)
dX
X X+dX
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截面只有均匀分布的 轴向应力（只受纵向拉或压作用）。u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)