应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论
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第二章岩体内的应力波解读
P A* (S) k
k CP CV
❖
A
*
(S)
0
Rexp
S -
C
S0
V
（2－21）
多方气体的状态方程也可以表示为方程（2－
21）形式，在等熵过程中，熵是常数。A*(S)=A*=常
数，多方气体状态方程变为：
P A或* k
P A*V k （2－22）
这里A*是常数，k是等熵指数。
声波的传播速度为：
Cz
（P2 S－ 2A3*k） k-1
若 CZ0与 分0 别表示压力为时介质的声速与密度，由
（2－22）、（2－23）得：
A*
C
2 z0
k
k -1 0
（2P－0 2C42z）0k 0
❖ 利用上述关系，理想气体的内能表示为：
（2－25） E
CVT
C V PV 0R
CV CP - CV
－16）得到：
dS
CV
dT 0R dV TV
CV
(ln2T－ 0R1l8n V)
S - S0 CVlnT0 RlnV(2l－n T1C9V V) R0
(2－20) S - S0
ln
PV 0R
CV
V
0
R
ln
P 0R
CV
V CP
❖ 多方气体的熵是两个变量：温度和体积或压力和体 积的函数。解（2－20）得：
T V
CV
dQ dV V
E T V
压力恒定时的比热为：
CP
dQ dT P
CV是在体积恒定情况下，当单位质量的物质温度升高一
个单位时的内能增量;
CP是在压力恒定情况下，当单位质量的物质温度升高一
2 一维应力波理论 21-
在空间坐标系中有:
d c d t t x W x t
d (2-3-8) dt t v x
在物质坐标系中有：
d C t t X d W X t
Ψ = F (X ,t ) = f (ｘ,t )
(2-2-3)
18
2.2 物质坐标和空间坐标
描述同一物理量Ψ ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标 来进行描述，二者还可以进行转换。 （1）物质坐标系中描述的物理量 物理量 由（2-2-2）、（2-2-3）式， 空间坐标系中描述的
f (ｘ,t ) = F [X（ｘ,t）, t ]
描述的是某一个质点的运动
dx x v t X dt
物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的
描述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的， 除非波阵面前方介质是静止且无变形的。
24
2.3 时间微商与波速
随波微商：
随着波阵面来观察物理量Ψ 对时间t的变化率。根据坐标系的不 同，有两种表达式，即
空间波速（Euler波速）： 在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传 播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则 空间波速（Euler波速）可表示为： dx (2-3-7) c (t) dt W
23
2.3 时间微商与波速
物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度
x 上式中， t 是质点X 的空间位置对时间的物质微商，也就是 X
质点X的运动速度，即有：
dx x v t X dt d
dt t v x
(2-3-3)
应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论(转)
17
思考：2.5章 思考：2.5章：空间坐标描述的控制方程
m( x ) v ( x )
m( x ) v 2 ( x )
x
m( x + dx)v( x + dx)
m( x + dx)v 2 ( x + dx)
p( x)
p ( x + dx)
dx
x
空间坐标
ρ0 A0 1+ ε
假定：等截面
M = ρ Adx = ρ 0 A0 dX
质量守恒： 动量守恒：
x x + dx 均质 细长杆
dx = (1 + ε )dX
引入线密度：m = ρ A =
空间坐标 描述的控 制方程
18Leabharlann 特征线法一阶P.D.E : au x + bu y = c 方程中a,b,c仅是x,y,u的特征函数。上述 P.D.E为拟线性P.D.E。方程的解为：u=u(x,y).
dX C= 物质波速 dt
dψ dt dψ dt
=
W
∂ψ ∂t
+c
x
∂ψ ∂x ∂ψ ∂X
（2.8）
t
（2.6）
物质坐标中的随波微商：
W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
=
W
dx （2.7） c= 空间波速 当 ψ = x( X , t ) dt W
∂ψ ∂t
+C
X
（2.9）
t
c = v + (1 + ε )C
（2.18）
P.D.E也可写成另一种形式：
(u , u
x
即：
y
,−1)• ( a, b, c) = 0
思考：2.5章 思考：2.5章：空间坐标描述的控制方程
m( x ) v ( x )
m( x ) v 2 ( x )
x
m( x + dx)v( x + dx)
m( x + dx)v 2 ( x + dx)
p( x)
p ( x + dx)
dx
x
空间坐标
ρ0 A0 1+ ε
假定：等截面
M = ρ Adx = ρ 0 A0 dX
质量守恒： 动量守恒：
x x + dx 均质 细长杆
dx = (1 + ε )dX
引入线密度：m = ρ A =
空间坐标 描述的控 制方程
18Leabharlann 特征线法一阶P.D.E : au x + bu y = c 方程中a,b,c仅是x,y,u的特征函数。上述 P.D.E为拟线性P.D.E。方程的解为：u=u(x,y).
dX C= 物质波速 dt
dψ dt dψ dt
=
W
∂ψ ∂t
+c
x
∂ψ ∂x ∂ψ ∂X
（2.8）
t
（2.6）
物质坐标中的随波微商：
W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
=
W
dx （2.7） c= 空间波速 当 ψ = x( X , t ) dt W
∂ψ ∂t
+C
X
（2.9）
t
c = v + (1 + ε )C
（2.18）
P.D.E也可写成另一种形式：
(u , u
x
即：
y
,−1)• ( a, b, c) = 0
应力波基础
第一章绪论物体在爆炸/冲击载荷下的力学响应往往与静载荷下的有显著不同。
例如，飞石打击在窗玻璃上时往往首先在玻璃的背面造成碎裂崩落.碎甲弹对坦克装甲的破坏正类似于此.又如，对一金属杆端部施加轴向静载荷时，变形基本上是沿杆均匀分布的，但当施加轴向冲击载荷时（如打钎，打桩……),则变形分布极不均匀，残余变形集中于杆瑞。
子弹着靶时，变形呈蘑菇状也正类似于此。
固体力学的动力学理论的发展正是与解决这类力学问题的需要分不开的。
为什么在爆炸/冲击载荷下会发生诸如此类的特有现象呢？为什么这些现象不能用静力学理论来给以说明呢？固体力学的动力学理论与静力学理论的主要区别是什么呢？首先，固体力学的静力学理论研究处于静力平衡状态下的固体介质,以忽略介质微元体的惯性作用为前提。
这只是在载荷强度随时间不发生显著变化的时候，才是允许和正确。
而爆炸/冲击裁荷以载荷作用的短历时为其特征，在以毫秒（ms)、微秒（μs)甚至毫微秒纳秒（ns）计的短暂时间尺度上发生了运动参量的显著变化。
例如核爆炸中心压力可以在几μs内突然升高到107 ～108 大气压(103~104GPa）量级；炸药在固体表面接触爆炸时的压力也可在几微秒内突然升高到105大气压(10 GPa)量级;子弹以102～103 m/s的速度射击到靶板上时，载荷总历时约几十μs，接触面上压力可高达104～105大气压（1~10 GPa）量级。
在这样的动载荷条件，介质的微元体处于随时间迅速变化着的动态过程中，这是一个动力学问题.对此必须计及介质微元体的惯性，从而就导致了对应力波传播的研究。
事实上,当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时,一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点离开了初始平衡位置.由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形),当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力)，但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。
应力波理论基础共34页文档
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
应力波理论基础
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗ຫໍສະໝຸດ 造出来的。 ——马 克罗维 乌斯•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
应力波理论基础课件
法等，并选取典型案例进行讲解。
应用实例
03
通过分析实际工程案例，让学生了解应力波理论在结构健康监
测、材料性能研究和地震工程等领域的应用情况
REPORTING
材料的弹性性质
弹性性质的定义 材料在外部力作用下会发生形变，当外力撤去后，材料能 够恢复到原来的形状和尺寸，这种性质称为材料的弹性。
球面波的反射与折射
球面波的反射
当球面波遇到界面时，一部分波会反射 回原来的介质，另一部分波会继续传播。 反射波的方向与入射波的方向相同或相 反，取决于界面的性质和入射角的大小。
VS
球面波的折射
当球面波从一种介质传播到另一种介质时， 波速和波长都会发生变化，这种现象称为 折射。折射角的大小取决于两种介质的折 射率和入射角的大小。
有限差分法
将连续的物理量离散化为有限个离散值，然后在时空中建立差分方程组，通过迭代求解。 这种方法适用于具有复杂边界条件和初始条件的问题。
有限元法
将物体划分为有限个小的单元，每个单元上假定存在一定的位移和应力分布，然后根据变 分原理建立总能量泛函，通过求解泛函的极值得到问题的解。这种方法适用于具有复杂形 状和材料性质的问题。
波的散射与衍射
波的散射
当波遇到比波长还小的障碍物时，会产生散射现象。散射波的方向是随机的，散 射强度与障碍物的形状和大小有关。
波的衍射
当波遇到比波长还大的障碍物时，会产生衍射现象。衍射波的形状和大小取决于 障碍物的形状和大小。
2023
PART 06
应力波的应用
REPORTING
地震波的传播与探测
弹性模量的测量方法
通过实验测量材料的弹性模量，常用的方法有拉伸试验、压缩试验、弯曲试验等。这些实验中，通过测量材料在 弹性范围内的应力-应变曲线，可以计算得到材料的弹性模量。
应力波理论简述课件
利用地震波的传播特性，探测地下地质构造、矿产资源分布等。
地球物理勘测
通过应力波理论，研究地层中的波速、反射、折射等特征，推断 地下岩层的性质和结构。
地质灾害预警
对地质构造和地层中的应力波传播特性进行研究，预测可能发生 的地质灾害。
结构健康检测中的应用
结构损伤识别
利用应力波理论，检测结构内部的损伤、裂缝等，评估结构的健康 状况。
材料动态性能研究
通过对材料进行应力波激励，研究材料的动态响应特性，为工程应 用提供依据。
冲击防护与控制中的应用
冲击减震
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的减震技术 ，降低结构受到的冲击 影响。
冲击防护
通过对关键部位进行应 力波监测，采取防护措 施，避免冲击对结构造 成的损害。
冲击控制
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的控制技术 ，优化结构的动态性能 。
波动方程
边界条件和初始条件
应力波的传播还需考虑边界条件和初 始条件，如介质边界的约束、冲击源 的位置和外力的大小等。
应力波的传播满足波动方程，描述了 应力波在时间和空间上的变化规律。
02 应力波的产生与传播
应力波的产生机制
冲击载荷
物体受到冲击载荷时，应 力波会以波的形式从冲击 点传播出去。
物体形变
实验和数值模拟技术是应力波理论研 究的重要手段，不断得到改进和创新 。
随着计算机技术和数值计算方法的发 展，数值模拟的精度和效率也不断提 高，为应力波理论的研究提供了更为 有力的工具。
新型实验设备和技术的发展，使得实 验观测的精度和范围得到了极大的提 升。
在数值模拟方面，有限元分析、有限 差分分析、边界元分析等计算方法不 断得到发展和完善，为解决复杂的应 力波问题提供了有效途径。
地球物理勘测
通过应力波理论，研究地层中的波速、反射、折射等特征，推断 地下岩层的性质和结构。
地质灾害预警
对地质构造和地层中的应力波传播特性进行研究，预测可能发生 的地质灾害。
结构健康检测中的应用
结构损伤识别
利用应力波理论，检测结构内部的损伤、裂缝等，评估结构的健康 状况。
材料动态性能研究
通过对材料进行应力波激励，研究材料的动态响应特性，为工程应 用提供依据。
冲击防护与控制中的应用
冲击减震
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的减震技术 ，降低结构受到的冲击 影响。
冲击防护
通过对关键部位进行应 力波监测，采取防护措 施，避免冲击对结构造 成的损害。
冲击控制
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的控制技术 ，优化结构的动态性能 。
波动方程
边界条件和初始条件
应力波的传播还需考虑边界条件和初 始条件，如介质边界的约束、冲击源 的位置和外力的大小等。
应力波的传播满足波动方程，描述了 应力波在时间和空间上的变化规律。
02 应力波的产生与传播
应力波的产生机制
冲击载荷
物体受到冲击载荷时，应 力波会以波的形式从冲击 点传播出去。
物体形变
实验和数值模拟技术是应力波理论研 究的重要手段，不断得到改进和创新 。
随着计算机技术和数值计算方法的发 展，数值模拟的精度和效率也不断提 高，为应力波理论的研究提供了更为 有力的工具。
新型实验设备和技术的发展，使得实 验观测的精度和范围得到了极大的提 升。
在数值模拟方面，有限元分析、有限 差分分析、边界元分析等计算方法不 断得到发展和完善，为解决复杂的应 力波问题提供了有效途径。
第二章 一维杆中的应力波
线性组合
dv d u
2
t
2
dt ( dt dX )
2
u
2
X t
2
u
2
X
2
dX 0
与波动方程(2-9)对比:
1 dt 0
C0
2
u X
2
2
u t
2
dt dX
(1)
C0
dX
(2)
由(1)得:
dX dt
dX dt
X
u tt
X
ut v
也可写成
vt 或
X
v t
(2-1)
(2) 连续方程 应变 和质点的速度v 分别是位移对X,t 的一阶导数,由位移 u的单值连续条件即可得到联系 和v 的相容性方程,即连续 方程
u X v u t
负向特征线: d X C 0 d t d v C 0 d d C 0 d v
t
物理平面(X，t) 速度平面 ( v , )
dX C 0dt
dX C 0dt
( , v )
X
11
第二章 一维杆中的应力波-特征线
特征线的另一种求解方法:不定线法 概念：沿(X,t)平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏微 分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线.
第二章 一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播
• 2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）
一 特征线和相容关系
u （1）式 的通解为：( X , t ) ( X
C0
2
dv d u
2
t
2
dt ( dt dX )
2
u
2
X t
2
u
2
X
2
dX 0
与波动方程(2-9)对比:
1 dt 0
C0
2
u X
2
2
u t
2
dt dX
(1)
C0
dX
(2)
由(1)得:
dX dt
dX dt
X
u tt
X
ut v
也可写成
vt 或
X
v t
(2-1)
(2) 连续方程 应变 和质点的速度v 分别是位移对X,t 的一阶导数,由位移 u的单值连续条件即可得到联系 和v 的相容性方程,即连续 方程
u X v u t
负向特征线: d X C 0 d t d v C 0 d d C 0 d v
t
物理平面(X，t) 速度平面 ( v , )
dX C 0dt
dX C 0dt
( , v )
X
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第二章 一维杆中的应力波-特征线
特征线的另一种求解方法:不定线法 概念：沿(X,t)平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏微 分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线.
第二章 一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播
• 2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）
一 特征线和相容关系
u （1）式 的通解为：( X , t ) ( X
C0
2
应力波理论简述
v1
v0
1 0 1C1
v2
v0
2 0 2C2
反射波：
v2
v1
2 1 1C1
(20)-(21)，并考虑(19):
(19) (20) (21)
跨越入射波阵面 动量守恒
跨越透射波阵面 动量守恒
跨越反射波阵面 动量守恒
1 0 1C1
v1 v0
2 0 2C2
2 1 1C1
(22)
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
(18) a (18) b
应力波基础
5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从低阻抗介质向高阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从高阻抗介质向低阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
入射波： 透射波：
0
由于：E > E1，显然：
Ce Cp De Dp
当将之由自然静止状态
突然加至 *( Y )
的应力撞击：
双波结构：弹性前 驱波。
应力波基础 3 弹塑性波
对于一维应变： 如：板与板的面撞击
应力波基础 3 弹塑性波
体应变： 偏应变：
一维应变
x y z
x
x'
x
3
2 3
x
一维应变
静水压力： K K x
3 弹塑性波
如果材料是双线性弹 塑性材料
弹性模量 塑性模量
E d d
E1
d d
应力波基础
应力波基础 3 弹塑性波
① 对撞击应力小于弹性屈服限Y的撞击，则D，C都为常数， 都等于：
应力波理论简述
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
由(22)得到应力反射系数：
2 1 k 1 F T 1 1 0 k 1
由(22)得到质速反射系数：
(25)
v2 v1 1 k Fv Tv 1 v1 v0 1 k 2 C2 其中： k 1C1
2C2 k 1 1C1
应力波从高阻抗介质向低阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
入射波： 透射波： 反射波：
1 0 v1 v0 1C1 2 0 v2 v0 2C2 2 1 v2 v1 1C1
(19)
v2 v1 v1 v0 （对质速而言，反射波是入射波的正像） 2 1 1 0 （对应力而言，反射波是入射波的倒像）
(5)
D称为Lagrange波速 X(t)称为Lagrange波阵面迹线
应力波基础
1 一维应力波连续条件
计变量f跨越冲击波阵面时的突跃量(jump)为 f
f f f
(6)
应力波基础
1 一维应力波连续条件
将(4)应用于冲击波的紧前方和紧后方，并相减：
df* f f D dt t X
自由面反射---当第二种介质为自由面时
2 0，2C2 0，k 0
此时： 即：
Tv 2，T 0
v2 v0 2v1 v0
（从透射波性质看）
（自由面质速加倍定律）
2 0 0
， 此时： Fv 1 F 1
即：
（自由面边界条件） （从反射波性质看）
0 0 0' 0
v0 0
v0 ' v*
一维应力波理论
量为 (X，,t)设波阵面之前和之后的ψ值分别表示为 和 ，
则波阵面前后参量的变化值表示为：
[ ]
(2-8-1)
如果ψ在波阵面上连续，有 [ ] 0，有间断则 [ ] 0 ，
用 [ ]表示物理量在波阵面前后的差值，即突跃值。
考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：
D
2
X t
D2
2
X
2
MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
如果波阵面上运动学相容条件的通式中的ψ用位移u来代
替，根据位移连续条件，显然有 [u] 0
t
D
X
对于冲击波（一阶奇异面）波阵面，ψ用位移u来代替，
和二阶导数发生间断情况下波阵面上运动学相容条件的通式。
以此类推，还可得到更高阶奇异面上的运动学相容条件。如
果是对于左行波，相应的关系式只需用-D替代D即可。
d dt
[
]
t
D
X
t
D
X
2
t 2
dt
t
D
X
此即著名的Maxwell定理。
(2-8-4)
强间断：如果位移函数u的一阶导数间断 弱间断：如果函数u及其一阶导数皆连续，但其二阶导数等发生间断
MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
对于二阶奇异面，用ψ的一阶偏导数 和 代替
一维应力波理论
d D
dt t X
对 和 分别取随波微商并相减，可得
d dt
[
]
t
D
X
(2-8-2) (2-8-3)
MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
对于一阶奇异面（强间断），ψ连续而一阶导数发生间
断，有 d [ ] 0 ，(2-8-3)式变为：
285t???x???222dddttttx??????????????????????????????222dddtxtxx??????????????????????????????0ddtt??????????0ddtx??????????222222ddtxtx???????????????????????????????dddttx?????????????????????28波阵面上的守恒条件mse228833228855式分别对应于本身的一阶导数和二阶导数发生间断情况下波阵面上运动学相容条件的通式
MSE
2.9 横向惯性引起的弥散效应
2-9 横向惯性引起的弥散效应 前面几节讨论了一维应力纵波的初等理论，这一理论忽
略了杆中质点的横向运动惯性作用，即忽略了横向惯性（包 括收缩和膨胀）对动能的影响，显然这是一种粗糙的近似理 论。
下面在弹性波范围内考察横向惯性的影响，以此来考察 初等理论的局限性，以及初等理论在何种条件下才适用。
dt
t
D
X
此即著名的Maxwell定理。
(2-8-4)
强间断：如果位移函数u的一阶导数间断 弱间断：如果函数u及其一阶导数皆连续，但其二阶导数等发生间断
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应力波基础
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
（随体法或跟踪法）
空间坐标法 Euler法：
对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质点运动随时间的 变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 …
t=0
…
研究 t=T
?
研究 ?
…
t=0 t=T
4
Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
一般 (是)连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
9
物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
理量对时间的变化率理量随时间的变化率
p X(t) p X
x
物质微商
p (x(t), t) (x(t), t) X
d ( x, t) x (x, t) v
F
F
(
X
,
t
)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
dt X
x t t X
t
x
x t
随质点X观察物
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)： + 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物
理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量：
(x, t)
( x, t) （2.5）
t x
t
x
10
t0时刻
P X dX , t P( X , t) P( X , t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
X 物质坐标
14
控制方程
P(X)
假定：等截面
本构方程
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
应变率无关假定:
( ) （2.13）
欧拉坐标法
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
F F(x,t)
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量发生变化： x,U,v,a,σ,ε
随波微商
C
L氏
X
t时刻
v
X
X +C C C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观察物理量 随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关
设t时刻波阵面传到质点X处:
物质波速
C dX （2.6） dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速
c dx （2.7） dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷的某一应变率范围 内具有平均意义下的唯一的动态应力应变关系. σ(ε)
12
控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
13
控制方程
P(X)
假定：等截面
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A:
X
质点A的运动轨迹：
x x( X , t) X U ( X , t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）：
F F(X ,t)
身份证号码
若运动单值连续，则x x( X , t)存在逆变换:
X X (x, t) x U (x, t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：
F F(x,t)
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
x x( X , t) X U ( X , t)运动的L氏描述 X X (x, t)运动的E氏描述
物质坐标法
空间坐标法
F ( X , t) F ( X (x, t), t)
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X , t), t) f (x, t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选择，则根据研究问 题的方便
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法
F F(X ,t)
dt W t x
x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W
t X
X t
当 x( X ,t) c v (1 )C （2.10）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0
A0
P(X)
P(X+dX)
dX
X X+dX
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截面只有均匀分布的 轴向应力（只受纵向拉或压作用）。u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)
2
子弹 气枪
测速仪
入射杆 应变片
光学应 变测量
试样
εi, εr
透射杆 应变片
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应变仪
示波器
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
计算机
3
描述介质运动的两种方法
物质坐标法Lagran对ge象法为质点，描述每个质点自始至终的运动过程，研究质点的运动轨 迹
教材：王礼立《应力波基础》第二版。国防工业出版社，2005.
1
第二章：一维杆中应力波初等理论
•§2.1物质坐标描述的一维杆中纵波控制方程 •§2.2波动方程求解法：特征线法 •§2.3半无限长杆中波传播问题：解析；图示 •§2.4空间坐标描述的控制方程 •§2.5强间断和弱间断，冲击波和连续波 •§2.6 波阵面上的守恒条件
（随体法或跟踪法）
空间坐标法 Euler法：
对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质点运动随时间的 变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法）
研究 研究 …
t=0
…
研究 t=T
?
研究 ?
…
t=0 t=T
4
Lagrange法（物质坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
一般 (是)连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
物理问题
数学问题
位移
速度
应力
应变
9
物质微商和空间微商
物质微商：质点的物理量在运动中随时间的变化率，即跟
理量对时间的变化率理量随时间的变化率
p X(t) p X
x
物质微商
p (x(t), t) (x(t), t) X
d ( x, t) x (x, t) v
F
F
(
X
,
t
)
对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法）
A
x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形
t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
dt X
x t t X
t
x
x t
随质点X观察物
（2.4）
物质微商 （绝对微商）= 空间微商 (局部微商)： + 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物
理量变化
空间微商（Euler微商）
对任一物理量：
(x, t)
( x, t) （2.5）
t x
t
x
10
t0时刻
P X dX , t P( X , t) P( X , t) dX
X
P / A0
0vt X
（2.12）
X 物质坐标
14
控制方程
P(X)
假定：等截面
本构方程
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
应变率无关假定:
( ) （2.13）
欧拉坐标法
分别描述各质点自始至终的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数
反映参数在各物质点上的分布
反映参数的空间分布
适合描述质点的运动变形特性
适合描述某流体元的运动变形特性
在固体力学中常用
流体力学最常用的解析方法
F F(x,t)
8
t V=4m/s
坐标
加速度
80us
运动过程中各物理量发生变化： x,U,v,a,σ,ε
随波微商
C
L氏
X
t时刻
v
X
X +C C C
（E氏）
随波微商：随着波阵面观察物理量 随时间的变化率
c
波速的描述也与坐标选择有关
设t时刻波阵面传到质点X处:
物质波速
C dX （2.6） dt W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
空间波速
c dx （2.7） dt W
x
空间坐标中的随波微商：
d c （2.8）
（2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷的某一应变率范围 内具有平均意义下的唯一的动态应力应变关系. σ(ε)
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控制方程
P(X)
假定：等截面
连续条件
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
X 物质坐标
U单值连续，导数互换顺序
2u 2u X t tX
（2.11a）
u v t
（2.11b）
u
X
（2.11c）
v
X t
v 记作： X
t （2.11）
13
控制方程
P(X)
假定：等截面
P(X+dX)
dX
X X+dX
均质 细长杆
动力学条件：运动方程或动量守恒方程
取微元dX考察，由牛二定律：
(0 A0dX )vt P X dX ,t P X ,t
拉格朗日坐标（物质坐标）：质点在参考构形（初始构形）中的空间位置坐标。
对于不同的质点，其物质坐标的值不同，所以物质坐标可以用来标记某一质点。
质点A:
X
质点A的运动轨迹：
x x( X , t) X U ( X , t) 运动的L氏描述
拉格朗日坐标法（物质坐标法）：
F F(X ,t)
身份证号码
若运动单值连续，则x x( X , t)存在逆变换:
X X (x, t) x U (x, t) 运动的E氏描述
欧拉坐标法（空间坐标法）：
F F(x,t)
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物质坐标法和空间坐标法的互换
x x( X , t) X U ( X , t)运动的L氏描述 X X (x, t)运动的E氏描述
物质坐标法
空间坐标法
F ( X , t) F ( X (x, t), t)
f (x,t)
F(X ,t)
f (x( X , t), t) f (x, t)
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选择，则根据研究问 题的方便
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
拉格朗日坐标法
F F(X ,t)
dt W t x
x t
物质坐标中的随波微商：
d C （2.9）
dt W
t X
X t
当 x( X ,t) c v (1 )C （2.10）
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物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0
A0
P(X)
P(X+dX)
dX
X X+dX
X 物质坐标
两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截面只有均匀分布的 轴向应力（只受纵向拉或压作用）。u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t)
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子弹 气枪
测速仪
入射杆 应变片
光学应 变测量
试样
εi, εr
透射杆 应变片
εt
吸收杆 吸收装置
超动态应变仪
示波器
应变片：固定物质点处的应变 测速仪：有物质经过某固定空间位置处记录时间 光学应变测量系统：记录固定空间区域介质的变形
计算机
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描述介质运动的两种方法
物质坐标法Lagran对ge象法为质点，描述每个质点自始至终的运动过程，研究质点的运动轨 迹