2014年高考杭二中5月压轴理科数学试卷(含详细解答)

绝密★考试结束前

2014年普通高等学校招生适应性考试

数 学（理科）

姓名 准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

S =4πR 2

V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

V =3

4πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径

V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，

V =31Sh h 表示台体的高

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则=（ ）

． C ﹣ D ． ﹣

2．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜﹣1”的（）

3．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

4．（5分）一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）

5．（5分）已知（3﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（）

6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（）

7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）

．C D．

8．（5分）已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）

9．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）

．C．

10．（5分）已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）

二、填空题（共6小题，满分25分）

．

根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为_________．

12．（5分）已知α∈[，]，点A在角α的终边上，且|OA|=4cosα，则点A的纵坐标y的取值范围是_________．

13．（5分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为_________．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为_________．（结果中不含字母a，b，c）

15．（5分）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为_________．

16．（选做题）在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ﹣）=，则点M（1，）到直线l的距离为_________．

三、解答题（共6小题，满分75分）

17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．

（Ⅰ）若cos（B+C）=﹣，求cosC的值；

（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面积．

18．（12分在等差数列{a n}中，满足3a5=5a8，S n是数列{a n}的前n项和．

（Ⅰ）若a1＞0，当S n取得最大值时，求n的值；

（Ⅱ）若a1=﹣46，记b n=，求b n的最小值．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

20．（12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图

20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

21．（13分）如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足•=0，||≠0．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；

（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）

22．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．

（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；

（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；

（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．