高数B无穷级数

的敛散性, 并证明: 1 1 1 1 2 3 n lim 1 n ln n
.
（练习）设 a, b, c 0 讨论
(2 a b c )
n n n n 1

的收敛性
(练习)设级数
[ln n a ln(n 1) b ln(n 3)]
n 1


例:
x 求 3n n 0

n2
的收敛域 .
1 1 n (精选)幂级数 ( n sin n ) x 2 n 1 2

的收敛半径为
2 (1) sin n n x (精选)幂级数 n n 1
n
的收敛域为
例：在 x 0 处展开下列函数:
(1) 1 x ln 1 x (2)

( k 为常数)为
【
】
A : 绝对收敛; B : 条件收敛;
C : 发散;
D : 敛散性与k 有关.
(考研2017)设级数
1 1 [sin k ln(1 )] n n n 1
收敛, 则 k


1
(考研2014)设数列 an , bn 满足
0 an

2
, 0 bn
(1)
n n
n (1)
n
(2)

n2

(1) n n (1)
例:
vn u n 收敛, (1) lim 1 , 且 n 1 n u n

问

v
n 1

n
收敛?
n
un (2) un 收敛, 问 (1) 收敛? n n 1 n 1
(3)
n ( 1) un n 1


x cos n ; 2
1 x (2)和函数 S ( x) n tan n . 2 1 2
(考研2016)求幂级数
x n 0 (n 1)(2n 1)
的收敛域和和函数.

2n2
（复赛2015）求幂级数
n 2 n ( x 1) n 0 ( n 1)!
3

cos an an cos bn ， 2
且 bn 收敛。
n 1

an 0 ； （1）证明： lim n
（2）证明：级数
an n 1 bn

收敛。
(考研2016)已知函数 f ( x) 可导,且
1 f (0) 1, 0 f '( x) ,设数列 2
xn 满足
xn1 f ( xn )(n 1,2, ) . 证明：
(1)级数 ( xn1 xn ) 绝对收敛；
n 1
(2) lim xn 存在, 且0 lim xn 2
n
n
例: 设 (1) 2 an 收敛,
n n n 1

证明 an 绝对收敛
n 1
无穷级数
问题一：数列、部分和与级数
问题二：级数收敛的必要条件（常见级数） 问题三：正项级数的特征、审敛法（原理） 问题四：一般项级数的绝对收敛与条件收敛 问题五：交错级数及其审敛法
问题一：幂级数的常见形式与阿贝尔定理
问题二：收敛半径与幂级数收敛域的判定 问题三： 泰勒级数与函数的幂级数展开 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题四：幂级数的求和 问题五：傅里叶级数
(1)证明:级数 (1)
n 1

n 1
(un un1 )
收敛, 并求出其和; (2)判定级数 (1)
n 1 n 1
(un un1 )
是条件收敛还是绝对收敛?
例: 设 {an } 为单调递增的
有界正数列, 证明级数
an (1 ) 收敛. an 1 n 1

(3)


1
sin t dt t
(考研2015)下列级数发散的是[
n A : 8n n 1

]
B:
n

n 1

1 1 ln(1 ) n n

C:
(1) 1 ln n n2

n! D: n n 1 n
1 1 sin(n k ) (考研2016)级数 n n 1 n 1
(1)
(n
n 1

1 n2 1
1)
1 n p (2) [e (1 ) ] n n 1

(练习)考察级数敛散性:
(1)
n[arctan(n 1) arctan n]
n 1

(2)
n[arctan
n 1
n 1 arctan n]
2
1 n 1 ) 例: 考察 ( ln n n 1 n
证明: (1)级数 an an1 绝对收敛;
(2)数列 an 收敛.
n 1
例: 证明:
x nx 1 0
3
对任意正整数 n , 存在 唯一正实根 xn , 并证明: 当 1 时, 级数 x 收敛.

n 1 n
(例)设级数 an 收敛且其和为 A
例: 设有两族抛物线
1 1 2 ln : y nx , Ln : y (n 1) x (n 1,2, ) n n 1
2
若每两条线 ln 和 Ln
所围的面积为
.
Sn
而它们两交点的距离为
2an (an 0) , 求:
Sn n 1 an

（练习）设 且
d
为大于零的常数
4 6 8
的和函数为 S ( x) , 求
(1) S ( x) 所满足的一阶微分方程; (2) S ( x) 的表达式.
例: 对比:
n 1 1 n 1 n !

1 e 1 n 1 n !
, ,

n 1 2e 1 n 1 n !

.
例: 求和:
n (1) n 1 n !

条件收敛, 问 un 发散?
n 1

(练习)设
an
是圆盘 x y n
2 2
2
上坐标均为整数的点的个数,
( 1) 判断 是否收敛？若收敛， an n 1
n
是绝对收敛还是条件收敛？
例：设 an 1 n 1, 2,
an an 1
,

1 2 2 an 1 an 2 n 3, 4, 4
sin x
2
(3)
arctan x
(冲刺)将
f ( x) x arctan x ln 1 x
展开成麦克劳林级数
2
例：将 f ( x) ln(3x x )
2
在 x 1 处展开为
幂级数
(精选)将函数 f ( x) ln x
x 1 的正整幂展开成 按 x 1
无穷级数，并写出等式成立
为 f ( x) 的以 2 为周期的 傅里叶级数，求： an
n 1
(精选)设 f ( x) arcsin(sin x) ,
求 f ( x) 的以 2 为周期的傅
里叶级数，并写出它的收敛和。
1 (考研2013)设 f ( x) x 2 ,
bn 2 f ( x)sin n xdx (n 1, 2, )
1 1 (精选)设 an 1 , 2 n an un (n 1, 2, ) (n 1)(n 2)
(1)求 an x 的收敛域及和函数
n n 1
(2)证明 un 收敛，并求其和。
n 1

1 n a x (精选)设 f ( x) n 2 1 x x n 0
的收敛域，及其和函数。
(考研2013)设数列{an } 满足条件:
a0 3, a1 1, an2 n(n 1)an 0 (n 2)
S ( x) 是幂级数
a x
n 0 n

n
的和函数.
(1)证明: S "( x) S ( x) 0
(2)求 S ( x) 的表达式.
收敛, 求常数 a, b .
(冲刺)若 an 0
且 问
1 ln an lim 1 n ln n
a
n 1

n
是否收敛
（练习）考察级数敛散性 （1）

n 1

1 n 0
x dx 1 x
（2）
sin(
n 1

n 1)
2
(精选)考察级数的敛散性
(1)

n2

a1 2a2 bn n
n 1

nan
bn 0 证明: (1) lim n

a1 2a2 nan (2)级数 n(n 1) n 1
收敛，且和为 A
(精选)考察反常积分的敛散性：
cos t (1) dt 2 1 t sin t (2) dt 1 t

例: 若

(a
n 1
n

n
an1 ) 收敛,
且
b
n 1

(bn 0) 也收敛,
考察 anbn 的敛散性.
n 1
例:
1 ln n n 1 2
n n 1 n 1 ( n 1)

.

例:

n 1
例:
n 1
1 1 x dx
3

n
3
0
(冲刺)讨论级数的敛散性
2
( n 1) (2) n! n 1

2
例: a1 a2 1 , 且
an2 an1 an (n 1, 2, )
1 证明: 当 x 时, 级数 2
a x 收敛, 并求其和.
n 1 n 1 n

例：设 x (0, ) , 求: 2
x x (1) lim cos cos 2 n 2 2
an an1 d
证明级数:
a a
n 1

1 anm
n n 1
收敛.
(精选)考察无穷级数
1 arctan 2 n n 1 n 1
敛散性。若收敛，求其和。

(精选)设正整数 m 1,
an
是 (1 x)

m n
中 x 的系数，
n
1 求： a n 0 n
nun 1 例:设数列{un }满足 lim n
0
1
令 S ( x) bn sin n x
n 1

9 则 S ( ) 4
的范围
(精选)证明：
1 e
并证明：
1
1


1
1
e
x2
dx 1 e
2
2(1) 2 (1 e ) (1 e ) n 0 n !(2n 1)
1 n
例: 求幂级数
n n x 2 n2 n 1
的收敛域及和函数.

例: 设级数
x x x ,( x ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8
an1 试证明级数 收敛， n 1 an an 2


并求其和。
例: 将函数 f ( x) x ( x [0, ])
展开成正弦级数,
指出等式成立的范围,
并求级数
(1) k 1 2k 1
k 1
的和.
x 1 0 x , (精选)设 f ( x) 0 x 0 a0 S ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1