高数B无穷级数
高数第六章无穷级数
第六章 无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数2n a +ar +ar ++ar +另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如14142234414.1210101010=+++=++对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用“+”号连接起来的表达式123n u u u u +++++ (6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1231nn n u u u u u∞==+++++∑ ，其中，12,,,,n u u u 都称为级数(6-1-1)的项，n u 称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数1n n u ∞=∑是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。
设级数1n n u ∞=∑的前n 项的和为n S ，即12n n S u u u =+++ (6-1-2)或1nk k n u S ==∑.我们称n S 为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和，简称部分和. 显然，级数1n n u ∞=∑的所有前n 项部分和nS 构成一个数列{}n S ，我们称此数列为级数1n n u ∞=∑的部分和数列.定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称级数1n n u ∞=∑收敛，称S 为级数1n n u ∞=∑的和，记作1231n n n S u u u u u ∞==+++++=∑ .而12n n n n r S S u u ++=-=++称为级数1n n u ∞=∑的余项，显然有lim lim()0n n n n r S S →∞→∞=-=.若{}n S 是发散数列，则称级数1n n u ∞=∑发散，此时级数1n n u ∞=∑没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1 设,a q 为非零常数，无穷级数20n nn a aq q qa q a a ∞==+++++∑ (6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数0n n aq ∞=∑的敛散性.解 若1q ≠，则11n n na aq S a aq aqq-=-=+++- 11n aq aq q-=--. 当1q <时，由于0lim nn q →∞=，从而lim 1n n a S q →∞=-，因此这时级数0n n aq ∞=∑收敛，其和为1aq -；当1q >时，由于lim nn q →∞=∞，从而lim n n S →∞=∞，这时级数0n n aq ∞=∑发散；当1q =时，若1q =，这时（）n S na n =→∞→∞，因此级数0n n aq ∞=∑发散；若1q =-，这时级数0n n aq ∞=∑成为a a a a -+-+ ，显然n S 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而n S 的极限不存在，因此级数0n n aq ∞=∑发散.综上所述，对于等比级数0n n aq ∞=∑，当公比q 的绝对值1q <时级数收敛；当1q ≥时级数发散.例2 证明级数1111335(21)(21)n n ++++⋅⋅-⋅+ 收敛，并求其和.解 由于1111(21)(21)22121n n n n n u ⎛⎫=- ⎪-⋅+-+⎝⎭=，因此1111335(21)(21)n S n n ++++⋅⋅-⋅+=1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎝++⎭⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 从而1lim 2n n S →∞=，所以该级数收敛，它的和为12.例3 证明级数13111211n n n∞==+++++∑ 是发散的.证 该级数的部分和为=131112n nS ++++ .显然，部分和数列{}n S 是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列{}n S 无上界即可.事实上=11=12461112 3.222S S S +≥+⨯+⨯；；假设1212k S k ≥+成立，则=111221111122212222k k k kk k k S S +++-+++≥⋅=++ .于是()122111122k k S S k +≥+≥++.由归纳法，对一切正整数n 有212n nS ≥+. 由极限的性质，有lim n n S →∞=∞.故调和级数11n n∞=∑发散.常数项级数的性质性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛于和，S k 为任意常数，则1n n ku ∞=∑也收敛，且其和为kS .证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n ku ∞=∑的部分和分别为n S 与*n S ，显然有*n n S kS =.于是*lim lim lim n n n n n n kS k S k S S →∞→∞→∞===⋅.这表明级数lim n n ku →∞收敛，且和为kS .需要指出，若级数1n n u ∞=∑发散，即{}n S 无极限，且k 为非零常数，那么{*n S }也不可能存在极限，即lim n n ku →∞也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为1lim n n n n ku u ∞→∞==∑（0k ≠为常数），即收敛级数满足分配律.性质2 若级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于12，S S ，则级数1n n n u v ∞=±∑也收敛，且其和为12S S ±. 可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证 只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数121n n n u u u u ∞==++++∑ 的前k 项去掉，得新的级数12k k k n u u k +++++++此级数的前n 项部分和为12n k k k n k n k A u u u S S ++++=+++=- ，其中k n S +是原来级数的前k n +项的和.因为k S 是常数，所以当n →∞时，n A 与k n S +或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为()()()121112111212k k k n n n n n n n uu u u u u u u u --+++++++++++++++++设其前k 项之和为k A ，则有11211n n A u u u S =+++= ，()()2121112212n n n n n u u u A S u u u ++=++++++=+ ，()()()121112111212k k k k n n n n k n n n n A u u u u u u u u S u --+++++++++++=++++=+ ，可见数列{}k A 是数列{}n S 的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列{}k A 必定收敛，且有lim lim k n k n A S →∞→∞=，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注意 若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，（11）（11）-+-+ 收敛于零，但级数111111(1)nn i -==-+-+-∑ 却是发散的. 推论 若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1n n u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即0lim n n u →∞=.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，且（）n S S n →→∞，则 11lim()nn n n n uS S ∞-→∞==-∑10lim lim n n n n S S S S -→∞→∞-==-=.由性质5可知，若n →∞时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数112331471031n n nn n ∞==+++++++∑ 的一般项31n u nn =+当n →∞时，不趋于零，因此该级数是发散的. 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如，在例3中讨论的调和级数11n n∞=∑，虽然它的一般项()10n n n u =→→∞，但它是发散的.*三、 柯西审敛原理因为级数1n n u ∞=∑的敛散性与它的部分和数列{}n S 的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy ）审敛原理］ 级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件为：0ε∀>，总存在自然数N ，使得当n N >时，对于任意的自然数p ，都有12n n n p u u u ε++++++<成立.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，因为12n n n p n p n u u u S S +++++++=- ，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4 利用柯西审敛原理证明级数1cos 22nn n ∞=∑收敛.证 对任意自然数p ，都有1212cos 2cos 2cos 2222n n n p n n n n p pn S S +++++++-++=+ 12111222n n n p++++++≤111122112n p +⎛⎫- ⎪=⎝⎭- 1111222n p n ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-.于是，对()100εε>∀<<，2log 1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∃，当n N >时，对任意的自然数p 都有12n p n n S S ε+-<<，从而该级数收敛.例5 证明级数n ∞=. 证 对任意自然数p ，都有n p n S S ++-=>.特别地取p n =，得2n n S S -n ∞=发散.第二节 正项级数敛散性判别法本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数12n u u u ++++ (6-2-1) 是一个正项级数（0n u ≥），它的部分和为n S ，显然，数列{S n }满足：12n S S S ≤≤≤≤ ，即{}n S 是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.定理1 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界.以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.定理2（比较审敛法） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N 和正常数k ，当n N ≥时，有n n u kv ≤，则有：（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2） 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证 根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n 都有()123,,,n n u kv n ≤= .设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为n A 与n B ，由上面的不等式有1212n n n n A u u u kv kv kv kB =+++≤+++= .（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，根据定理1的必要性，数列{}n B 有上界，由不等式n n A kB ≤知，数列{}n A 也有上界，于是1n n u ∞=∑收敛.（2） 采用反证法.若1n n v ∞=∑收敛，则由（1）知1n n u ∞=∑收敛，与已知矛盾，因此1n n v ∞=∑发散.推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且(),im00l n nn nk v u v k →∞=≤≤+∞≠，则有：（1） 若0k <<+∞，则级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2） 若0k =，则当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛；（3） 若k =+∞，则当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.证 （1）由极限定义，对2εk=，存在自然数N ，当n N >时有不等式 22n n u k k k v k <<+-，即322n n n u k v k v <<. 再根据比较审敛法，即得所要证的结论. （2）当0k =时，对1ε=，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有10nnu v ≤<，从而n n u v <.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛.（3）当k =+∞时，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有1nnu v >，从而n n u v >.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.例1 讨论p 级数11111123p p p n pu n∞==+++++∑ (6-2-2) 的敛散性，其中0p >为常数.解 先考虑1p >的情形，因为当1n x n -≤≤时，有11pp n x≤，所以 d d 2,3,11111111111())(1n n p p p p p n n x x p n n n n x n ----⎡⎤=≤=-⎢⎥-=-⎣⎦⎰⎰ . 考虑级数11211(1)p p n n n ∞--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦∑. (6-2-3) 级数(6-2-3)的部分和为11111111111223(1)p p p p p n n n S -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎝=⎭⎭111(1)p n --+=. 因为11lim lim 11(1)n p n n S n -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦，故级数(6-2-3)收敛，根据定理2，原级数收敛. 当10p <≤时，有11p n n ≥，而11n n∞=∑发散，根据定理2，原级数发散. 例2 判别下列正项级数的敛散性：（1） 11sin n n n =∑； （2） 211ln 1nn n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑. 解 （1） 因为1sin lim11n n n →∞=，而11n n∞=∑发散，根据推论1，该级数发散； （2） 考察221ln 1lim 1n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，用实变量x 代替n ，并应用洛必达法则，有 0ln(1)1lim lim 11n x x xx →∞→+==+. 因此221ln(1)lim 1n n n→∞+，而211n n∞=∑收敛，故该级数收敛.定理3［比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法］ 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1limn n nu ρu +→∞=，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时级数可能收敛，也可能发散.证 （1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1ρεγ+=<，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时有1n nu u ρεr +<+=. 由此，并利用归纳法，容易证明1,2,k N k Nu r u k +≤= .而1r <时，等比级数1kN k r u ∞=∑是收敛的. 所以1N k k u ∞+=∑也收敛.由于级数1n n u ∞=∑只比1N k k u ∞+=∑多前N 项，因此级数1n n u ∞=∑也收敛.（2） 当1ρ>时，取一个适当小的正数ε，使得1ρε->，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时，有不等式＞11n nu u ρε+->，也就是1n n u u +>，所以当n N >时，级数的一般项n u 是逐渐增大的，从而0lim n n u →∞≠，根据级数收敛的必要条件可知级数1n n u ∞=∑发散.类似地，可以证明当1limn n nu u +→∞=+∞时，级数1n n u ∞=∑发散. （3） 当1ρ=时，级数可能收敛也可能发散. 例如，p 级数11p n n ∞=∑，不论p 为何值都有 11(1)lim lim 11p n n n npu n u n +→∞→∞+==. 但我们知道，当1p >时级数收敛，当1p ≤时，级数发散.例3 判断下列正项级数的敛散性.（1）112n n n ∞-=∑； （2）1!n n n n∞=∑；（3）616nn n∞=∑.解 （1）111112lim lim lim 1222n n n n n nn n u n u n n +→∞→∞→∞-++===<，故级数收敛.（2）e 11(1)!(1)1lim lim lim 1!1nn n n n n nn n u n n u n n n ++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭，故级数收敛. （3）166166(1)lim lim lim 66116n n n n n n nu n n u n n++→∞→∞→∞+⎛⎫===> ⎪+⎝⎭ ，故级数发散. 定理4（根值判别法，柯西判别法） 若对正项级数1n n u ∞=∑有：n ρ∞==，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或n ∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.证 （1） 1ρ<时，我们总可取到适当小的正数ε，使1ρε+<.根据极限定义，对于该正数ε1ρr ε<+=<，即nn u r <，由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，由比较审敛法知级数1n n u ∞=∑收敛.（2） 1ρ>时，我们总可取到正数ε，使1ρε->.根据极限定义，对于该正数ε，存在自然数N ，当n N ≥时，有1ρε>->，即1n u >，于是lim 0n n u →∞≠，故级数1n n u ∞=∑发散.（3）1ρ=时，仍可用p 级数作为例子说明. 例4 判断下列正项级数的敛散性： （1）1321nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； （2）()21ln nn n ∞=∑； （3）ln 153nnn ∞=∑. 解（1）33lim1212n n n n →∞=>+，故级数发散；（2）1lim01ln n n n→∞=<，故级数收敛； （3）ln 5lim 513n n n n→∞=>，故级数发散. *定理5（积分判别法） 设()f x 为定义在［1，）+∞上的非负单调递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分d 1()f x x +∞⎰具有相同的敛散性.证 由于（）f x 为［1，）+∞上的非负单调减函数，故对任何正数A ，（）f x 在［1，］A 上可积，且有()d （）1,2,3,1()kk f x x f k f k k -≤≤-=⎰.依次相加，可得d 11221()()(1)()nn n nk k k f k f x x f k f k -===≤≤-=∑∑∑⎰. (6-2-4)若反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛，则由(6-2-4)式知：对任何自然数n ，有d d 111()(1)()(1)()nnn k S f k f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰.根据定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛.反之，若1()n f n ∞=∑为收敛级数，则由(6-2-4)式知：对任一自然数()1n n >有d 111()()nn k f x x S f k S ∞-=≤≤=∑⎰. (6-2-5)因为（）f x 为非负单调减函数，故对任何正数［,1］A n n ∈+，都有d 110(),An f x x S n n S A ≤≤≤≤≤+⎰.根据无穷点极限存在判别法，可知反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛.例5 讨论级数（1）21(ln )pn n n ∞=∑；（2）31ln (lnln )pn n n n ∞=∑的敛散性.解（1）考虑反常积分d 2(ln )pxx x +∞⎰，由于d(ln )d d 22ln 2(ln )(ln )p p p x xu x x x u +∞+∞+∞==⎰⎰⎰.上式右端的反常积分当1p >时收敛；当1p ≤时发散.根据积分判别法知，级数当1p >时收敛；1p ≤时发散.（2） 考察反常积分31ln (ln ln )px x x +∞⎰，类似可推出1p >时收敛，当1p ≤时发散. 第三节 任意项级数敛散性判别法上一节，我们讨论了正项级数的敛散性判别问题.对于任意项级数的敛散性判别要比正项级数复杂，这里先讨论一种特殊的非正项级数的收敛性问题.一、 交错级数收敛性判别法定义1 如果级数的各项是正、负交错的，即112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+∑ (6-3-1)或112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+-∑ ， (6-3-2)其中()1,2,0n u n ≥= ，则称此级数为交错级数.定理1[莱布尼茨（Leibniz ）判别法] 如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）()1231,,,n n u n u +=≥ ；（2）lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u ≤+.证 先证明级数前2n 项的和2n S 的极限存在.为此把2n S 写成两种形式：()()()21234212n n n S u u u u u u -=-+-++-及()()()21234522212n n n n S u u u u u u u u --=-------- .根据条件（1）知道所有括弧中的差都是非负的，由第一种形式可见数列{}2n S 是单调增加的.由第二种形式可见21n S u ≤.于是由“单调有界数列必有极限”的准则知2lim n n S →∞存在，记为S ，则有12lim n n S S u →∞=≤.下面证明级数的前21n +项的和21n S +的极限也是S .事实上，我们有21221n n n S S u ++=+.由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，因此21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=.由数列{}2n S 与{}21n S +趋于同一极限S ，不难证明级数11(1)n n n u ∞-=-∑的部分和数列{}n S 收敛，且其极限为S ，因此级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛于和S ，并且有1S u ≤.最后，由于12n n n r u u ++=-+ 或 12n n n r u u ++=-+- ，从而12n n n r u u ++=-+ .这也是一个满足定理条件的交错级数，根据上面所证，有1n n r u +≤.例1 判别下列交错级数的收敛性.（1）111(1)n n n ∞-=-∑；（2）11(1)10n nn n∞-=-∑. 解（1） 因()1,2,111n n n =>+ ，1lim 0n n →∞= ，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和1S ≤. （2） 易证111010n n n n ++>（利用110n n ⋅>+），且im 100l n n n →∞=，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和S 110≤.绝对收敛与条件收敛现在讨论任意项级数1n n u ∞=∑的敛散性.定义2 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.定理2 如果级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1n n u ∞=∑必定收敛.证 设级数1nn u∞=∑收敛，令()()1,2,3,12n nn v u u n =+= .显然0nv≥，且n n v u ≤()1,2,3,n = .由比较审敛法知级数1nn v∞=∑收敛，从而级数12n n v ∞=∑也收敛，而2n n n u v u =-，由收敛级数的性质可知1112nn n n n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑收敛，定理证毕.注意 上述定理的逆定理不成立.定理2说明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，若用正项级数的审敛法判定出级数1n n u ∞=∑收敛，则1nn u ∞=∑亦收敛，这就使得一大类级数的收敛性判别问题可以转化为正项级数的收敛性判别问题.一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散. 但是，如果级数1n n u ∞=∑的一般项数列{}n u 不收敛于0，即()0n u n →→∞/，则我们必定可以得到()0n u n →→∞/.由级数收敛的必要条件，则一定可以断定级数1n n u ∞=∑发散.例2 判别级数21cos n nxn ∞=∑的收敛性. 解 因为22cos 1nx n n ≤，而级数211n n ∞=∑收敛.所以级数21cos n nx n ∞=∑也收敛，由定理2知，级数21cos n nxn∞=∑绝对收敛. 例3 判别级数12111()(1)2nn nn n ∞=-⋅+∑的收敛性.解 由211(1)2n n nu n =+，则有 11(1)2n n+e >1111lim 122nn n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故由正项级数的根值审敛法知级数211112n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散，所以原级数发散. 绝对收敛级数有一些很好的性质，这是条件收敛级数所不具备的. *定理3 绝对收敛级数经任意交换项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.证 先证定理对于收敛的正项级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑为收敛的正项级数，其部分和为n S ，和为S .并设级数1*n n u ∞=∑为1n n u ∞=∑任意交换项的位置后构成的级数，其部分和为*n S .对于任何正整数n ，我们总可取m 足够大，使12,,,***n u u u 各项都出现在12m m S u u u =+++ 中.于是得*n m S S S ≤≤，所以，单调增加的数列{}*n S 有上界，根据极限存在的准则可知*lim n n S →∞存在，即级数1*n n u ∞=∑收敛，且**lim n n S S S →∞=≤.另一方面，原来的级数1n n u ∞=∑也可看成是级数1*n n u ∞=∑交换项的位置后所成的级数，故应用上面的结论，又有*S S ≤.注意到上面已有*S S ≤，因此必定有*S S =. 下面证明定理对一般的绝对收敛级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑收敛，()12n n n v u u =+.在定理2的证明中已知1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，故有()111122nn n n n n n n n uv u v u ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑.设级数1n n u ∞=∑任意交换项的位置后的级数为1*n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑相应地改变为1*n n v ∞=∑，1n n u ∞=∑相应地改变为1*n n u ∞=∑，由上面证得的结论可知*1*111,nn n nn n n n vv uu ∞∞∞∞======∑∑∑∑，所以11***12n n nn n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑1112n n n n n n v u u ∞∞∞===-==∑∑∑.在给出绝对收敛级数的另一性质之前，我们先来讨论级数的乘法运算.设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，仿照有限项之和相乘的规则，写出从这两个级数中各取一项所有可能的乘积的(),1,2,3,i k u v i k = 如下：11111,,,,，23n u v u v u v u v ； 1,,,,，222232n u v u v u v u v ；1,,,,，332333n u v u v u v u v ；1,,,,，23n n n n n u v u v u v u v ；这些乘积可以用很多的方式将它们排成一个数列.例如，可以按“对角线法”或按“正方形法”将它们排成下面形状的数列.对角线法11121314212223243132333441424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v正方形法 11121314232122243431323341424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v对角线法排列为： 111221132231；，；，，；u v u v u v u v u v u v 正方形法排列为： 111222211323333231；，，；，，，，；u v u v u v u v u v u v u v u v u v 把上面排列好的数列用加号相连，就得到无穷级数.我们称按“对角线法”排列所组成的级数()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++ 为两级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑的柯西乘积.*定理4（绝对收敛级数的乘法） 设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为u 和v ，则它们的柯西乘积()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++也是绝对收敛的，且其和为uv .证明从略.由定理4，我们利用收敛级数可以构造出另外一些非常有用的收敛级数.如当1r <时，几何级数11n n r ∞-=∑是绝对收敛的，且2111n r r rr =+++++- . 将()1211n n r r ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭<∑按对角线的顺序排列.则得到2221（）（）211()(1)n n n n r r r r r r r r r +=+++++++++++- 2123（1）n r r n r =++++++ ()111n n r r n ∞-==<∑ .即()111n n r nr ∞-=<∑也是绝对收敛的，其和为21(1)r -.第四节 函数项级数本节中我们进一步研究级数的各项都是某一个变量的函数的情况，即函数项级数.一、 函数项级数的概念定义1 设()()()()()123,,,,,{}:n n u x u x u x u x u x 为定义在数集I 上的一个函数序列，则由此函数列构成的表达式：()()()()123+++++1()n nn u x u ux x u x u x ∞==∑ (6-4-1)称为定义在数集I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数(6-4-1)成为常数项级数()()()()()1231nnn x u x u x x u u x u ∞=+++++=∑ (6-4-2)若级数(6-4-2)收敛，则称点0x 是函数项级数(6-4-1)的收敛点；若级数(6-4-2)发散，则称点0x 为函数项级数(6-4-1)的发散点.函数项级数(6-4-1)的收敛点的全体构成的集称为其收敛域，发散点的全体构成的集称为发散域.对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，记为()S x .于是，在收敛域上，函数项级数的和()S x 是x 的函数，通常称()S x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域是级数的收敛域，在收敛域内有()()()()()1231()n n n S x u x u x u x u u x x ∞==+++++=∑ .把函数项级数(6-4-1)的前n 项的部分和记作()n S x ，(){}n S x 称为函数项级数的部分和函数列.在函数项级数的收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=.我们仍把()()()n n r x S x S x =-称为函数项级数的余项（当然，只有x 在收敛域上()n r x 才有意义）.显然有lim (0)n n r x →∞=.与常数项级数一样，函数项级数的敛散性就是指它的部分和函数列的敛散性. 例1 判断下列级数的收敛性，并求其收敛域与和函数. (1)11n n x∞-=∑；(2)()110nn x x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭≠∑.解 (1) 此级数为几何级数(即等比级数)，由第一节例1知1x <时，级数收敛，1x ≥时级数发散.故其收敛域为(-1，1)，和函数为11()lim ()lim n n n n n S x S x x ∞-→∞→∞===∑1111li 1(m)1n n x x x x →∞--=<-<=- . (2) 此级数也为几何级数，公比为1x ，由(1)知11x <时，级数收敛. 11x≥时级数发散，其收敛域为，11，()()-∞-+∞ ，和函数为()()111111xx x S x x =⎛⎫-- ⎪⎝⎭=> .二、 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而应用广泛的一类级数就是各项都是幂函数的级数，称为幂级数.它的形式为21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-3)或212000000()()()()n n n nn a a x x a x x a ax x x x ∞==+-+--++-+∑ ， (6-4-4)其中,1,2,(0)n a n = 是常数，称为幂级数的系数，0x 为常数. 对于第二种形式的幂级数，只需作代换0t x x =-，就可以化为第一种形式的幂级数.因此我们主要讨论第一种形式的幂级数.显然，0x =时幂级数0nn n a x ∞=∑收敛于0a ，即幂级数0n n n a x ∞=∑至少有一个收敛点0x =.除0x =以外，幂级数在数轴上其他的点的收敛性如何呢？ 先看下面的例子:考虑幂级数210n n n x x x x ∞==+++++∑ ，由本节例1可知，该级数的收敛域是开区间1,1()-，发散域是，1］［1，()-∞-+∞ . 从这个例子可以看到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理1［阿贝尔(Abel)定理］ 若幂级数0n n n a x ∞=∑在()000x x x =≠处收敛，则对满足＜0x x 的一切x ，该级数绝对收敛，反之，若级数0n n n a x ∞=∑在0x x =时发散，则对满足0x x >的一切x ，该级数也发散.证 先证第一部分.即要证明若幂级数在00x x =≠收敛，则对满足＜0x x 的每一个固定的x 都有0nn n a x ∞=∑收敛.因为nnnn n x a xa x x =⋅，且＜10x x ，故0nx x 可看作一收敛的几何级数的通项，而由00n n n a x ∞=∑收敛可知0lim 0nn n a x →∞=.根据极限的性质，存在＞0M ，使得,1,2,0(0)nn M n a x ≤= .因此，对,1,2,0n = 有 0··nnnn n n xx a xa M x x x ≤=.因为00nn x x ∞=∑是收敛的等比级数(公比为＜10x x )，根据比较审敛法知0n nn a x ∞=∑收敛，也就是nn n a x∞=∑绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数在0x x =发散，而有一点1x 使1＞0x x 且幂级数在1x 处收敛，则根据本定理的第一部分，级数在0x x =应收敛，这与所设矛盾，定理得证.定理1告诉我们，若幂级数在()000x x x =≠处收敛，则对于开区间(),00x x -内的任何x ，幂级数都收敛，若级数在1x x =处发散，则对于区间()()11，，x x -∞-+∞ 上的任何x ，幂级数都发散.我们知道，幂函数在整个数轴上有定义，对于给定的幂级数0n n n a x ∞=∑而言，数轴上所有的点都可归为其收敛点和发散点这两类中的一类，而且仅属于其中一类.因此，幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间，该区间包含所有的收敛点.在前面的讨论中，我们假设幂级数在1x x =处发散，故1x 不属于收敛域.因而，收敛域包含在区间()11,x x -内，故幂级数如果既有非零的收敛点，又有发散点，则其收敛域是以原点为中心的由P '与P 所确定的有界区间，如图6-1所示.图6-1从上面的几何说明可得以下推论.推论 若幂级数0nn n a x ∞=∑在，()-∞+∞内既有异于零的收敛点，也有发散点，则必有一个确定的正数R 存在，使得当＜x R 时，幂级数在x 处绝对收敛； 当x R >时，幂级数在x 处发散；当x R =时，幂级数在x 处可能收敛也可能发散.我们称上述的正数R 为幂级数的收敛半径，称，()R R -为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛区间加上它的收敛端点，就是幂级数的收敛域. 若幂级数仅在0x =收敛，为方便计，规定这时收敛半径0R =，并说收敛区间只有一点0x =；若幂级数对一切，()x ∈-∞+∞都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛区间为，()-∞+∞.关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理.定理2 若1lim n n na ρa +→∞=，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径：1,0,,0,0,.ρρR ρρ⎧≠⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩证 考察0n n n a x ∞=∑的各项取绝对值所成的级数2120n n a a x a x a x +++++ . (6-4-5)该级数相邻两项之比为111n n n nn n a x a x a a x +++=⋅. (1) 若 ()1lim0n n na ρa ρ+→∞=≠存在，根据正项级数的比值审敛法，当＜1ρx ，即1x ρ<时，级数(6-4-5)收敛，从而0nn n a x ∞=∑绝对收敛；当1ρx >，即1x ρ>时，级数(6-4-5)发散，故0nn n a x ∞=∑也发散. 这是因为当n →∞时，n n a x 不收敛于0，从而n n a x 亦不收敛于0.(2) 若0ρ=，则对任何0x ≠，有() 110n n nn a x a x n ++→→∞，所以级数(6-4-5)收敛，从而级数0n n n a x ∞=∑绝对收敛，于是R =+∞.(3) 若ρ=+∞，则除掉0x =外，对任意0x ≠都有＞1111lim limn n n nn n nn a x a x a a x +++→∞→∞⋅=+∞=，即对一切0x ≠，级数0n n n a x ∞=∑都发散，于是0R =.例2 求幂级数12310(1)(1)123n nnn n x x x x x n n ∞+-=-=-+++-++∑ 的收敛区间与收敛域.解 因为111lim lim 11n n n na n ρa n+→∞→∞+===， 所以收敛半径为11R ρ==，于是收敛区间为(-1，1).对于端点1x =，级数成为交错级数111(1)n n n ∞-=-∑，它是收敛的；对于端点1x =-，级数成为1111n n n n∞∞==-=-∑∑，它是发散的.因此原幂级数的收敛域为(1，1-⎤⎦.例3 求幂级数0!n n n x ∞=∑的收敛半径（这里!10=）.解 因为1(1)!limlim !n n n n a n ρa n +→∞→∞+===+∞， 所以收敛半径0R =，即级数仅在0x =收敛.例4 求幂级数21112!n x x x n+++++ 的收敛区间以及收敛域.解 因为11(1)!1lim lim lim 011!n n n n na n ρa n n +→∞→∞→∞+====+， 所以收敛半径R =+∞，从而收敛区间为，()-∞+∞，收敛域也是，()-∞+∞.例5 求幂级数20(1)2nnn n x ∞=-∑的收敛区间以及收敛域.解 级数缺少奇次幂的项，定理2不能直接应用，我们根据比值审敛法求收敛半径.因为2212212(1)2lim lim 22(1)2n n n n n n n nx x x x +++→∞→∞-==-， 所以当＜122x 时，级数收敛；＞122x时，级数发散.即xx.收敛半径为R =x =时，级数均为0(1)n n ∞=-∑，发散，所以原幂级数收敛区间与收敛域均为(.例5 求幂级数1(1)2nn n x n∞=+⋅∑的收敛区间以及收敛域.解 令1t x =+，上述级数成为12nn n t n∞=⋅∑.因为1121lim lim 22(1)n n n n n na n ρa n ++→∞→∞===+ ， 所以收敛半径为2R =.当2t =时，级数为11n n ∞=∑，发散；当2t =-时，级数为1(1)nn n ∞=-∑，收敛. 因此收敛区间为2＜＜2t -，即2＜1＜2x -+，亦即3＜＜1x -，所以原级数的收敛区间为(-3，1)，收敛域为)3,1-⎡⎣.三、 幂级数的和函数的性质我们看到，幂级数在其收敛区间内任一点都是绝对收敛的，因而前面第一节中常数项级数的运算性质在收敛点都是行得通的.在收敛区间上定义的和函数有下面的性质.定理3 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为I ，则其和函数()S x 在区间I 上连续.由函数在区间上连续的定义，我们知道如果收敛域I 包含左（右）端点，则和函数()S x 在区间I 的左（右）端点必右（左）连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，我们先说明这样一个事实，即幂级数(6-4-3)在收敛区间,()R R -内逐项求导与逐项求积之后所得到的幂级数112n n a +2a x ++na x +- (6-4-6)与211021n n a a a x x x n ++++++ (6-4-7) 的收敛区间也是,()R R -.事实上，设0x 是幂级数(6-4-3)的收敛区间,()R R -内的任意非零点，则必存在1,()x R R ∈-,满足01x x R <<.由于级数10n n n a x ∞=∑收敛，有1lim 0n n n a x →∞=，即{}1n n a x 为有界数列.而0001111n nnnn n n n x x a x a x a x x x ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，因此，存在正数M （可取为数列{}1n n a x 的上界）及1r < （可取10||||x r x =）,使得对一切正整数n ，有0n n n a x M r ≤，而10000n n n n n n M na x a x nr x x -=⋅≤， 由级数的比值审敛法知1n n nr ∞=∑收敛，故0x 也是级数(6-4-5)的绝对收敛点. 因此幂级数(6-4-6)与(6-4-3)有相同的收敛区间.同理也可以得到幂级数(6-4-7)与(6-4-3)有相同的收敛区间.定理4 设幂级数0nn n a x ∞=∑在收敛区间,()R R -上和函数为()S x ，若x 为,()R R -内任意一点，则(1) ()S x 在x 处可导，且()11n n n na x S x ∞-='=∑；(2) ()S x 在0与x 构成的区间上可积，且d 10()1xn n n a S t t x n ∞+==+∑⎰.定理4指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.例6 在区间(-1，1)内求幂级数111n n x n ∞-=+∑的和函数.解 由于12lim 111n n n →∞+=+，所以此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1).设和函数为()S x ，则()()111120,n n S x S x n ∞-=+==∑.对()2111n n x n x S x ∞+==+∑逐项求导得()21＜＜1111)11(n n n n x x x n x x S x x ∞∞-=='⎛⎫== ⎪+-'⎡⎤=-⎣⎭⎦⎝∑∑ . 对上式从0到x 积分得()d 20ln(1)1x xx x x xx S x ==----⎰.于是当0x ≠时，有()2ln(1)S x x x x +-=-. 从而2ln(1),01;()1,0.2x x x x S x x +-⎧-≤≤⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，这个和函数()S x 在0x =处是连续的.事实上，我们有20ln(1)1lim ()lim(0)2x x x x S x S x →→---===.四、 幂级数的运算设幂级数21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-8)及21200n n nn n b b x b xb x b x ∞==+++++∑ (6-4-9)分别在区间11,()R R -及22,()R R -内收敛.令12min ,{}R R R =，则根据收敛级数的性质，我们在区间,()R R -上对幂级数(6-4-8)和(6-4-9)可进行下面的加法、减法和乘法运算.1. 加法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====+∈+-∑∑∑.2. 减法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====-∈--∑∑∑.3. 乘法,0()n nnnnn n n n a x b xR c x x R ∞∞∞===∈⋅-=∑∑∑，其中0k n nk n k a b c -==∑.4. 除法00nnn n n nn n n a xc x b x∞∞=∞===∑∑∑，这里假设00b ≠.为了决定系数12,,,,,0n c c c c ，可以将级数0nn n b x ∞=∑与0n n n c x ∞=∑相乘（柯西乘积），并令乘积中各项的系数分别等于级数0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，即得000a b c =，11100a b c b c =+，2211200a b c b c b c =++， 由这些方程就可以顺次地求出12,,,,,0n c c c c . 值得注意的是，幂级数(6-4-8)与(6-4-9)相除后所得的幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.第五节 函数展开成幂级数。
高数 无穷级数习题课
幂级数发散; 当 x > R 时,幂级数发散 幂级数发散
当 x = R与x = − R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 幂级数可能收敛也可能发散.
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
∞ n= =1
n=1
n
n
∞
n→∞
n
∞
n
∑(u
n=1
∞
性质 3 设两收敛级数 s =
n
∑u ,σ = ∑v ,则级数
n=1 n n=1 n
∞
n= =1
收敛, ± vn )收敛,其和为 s ± σ.
一个级数加上或减少有限项， 性质 4 一个级数加上或减少有限项，不改变级数的 敛散性，但在级数收敛时 级数的和要改变. 敛散性，但在级数收敛时，级数的和要改变.
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
无穷级数习题课
∞
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算
设 ∑ a n x n 和 ∑ bn x n的收敛半径各为 R1和 R2 ,
∞
R = min{R1 , R2 }
①加减法
∞ ∞ n
n= 0
n= 0
an x ± ∑ bn x = ∑ cn x n . x ∈ (− R, R ) ∑
a n +1 设 lim = ρ (或 lim n a n = ρ ) 或 n→ ∞ n→ ∞ a n
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中，无穷级数是一个重要的概念和工具。
无穷级数可以理解为由无限多个数相加得到的结果。
在无穷级数的研究中，主要考虑级数的收敛性、发散性以及求和的方法等问题。
在这篇文章中，我将总结无穷级数的定义、收敛性和发散性以及几种常见的求和方法。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
一个无穷级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列中的元素，n为数列中的项数。
当n趋向无穷大时，无穷级数的求和结果就是S。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性和发散性。
一个无穷级数可能是收敛的，也可能是发散的。
如果一个无穷级数的部分和逐渐趋于一个有限的数S，那么我们说这个无穷级数是收敛的，并且收敛于S。
如果一个无穷级数的部分和没有趋于一个有限的数，那么我们说这个无穷级数是发散的。
收敛的无穷级数是非常重要的，因为它们在实际应用中经常出现。
我们可以通过几种方法来判断一个无穷级数的收敛性。
其中，比较判别法、比值判别法和积分判别法是最常用的三种判别法。
比较判别法是通过将无穷级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较来判断收敛性。
比值判别法是通过计算无穷级数的相邻项比值的极限来判断收敛性。
积分判别法是通过将无穷级数中的项与函数进行比较来判断收敛性。
除了收敛性判别外，我们还有几种常见的方法来求解收敛的无穷级数的和。
其中，部分和法、数学归纳法、特殊级数和特殊函数是常用的求和方法。
部分和法是通过计算无穷级数的前n 项和来逼近无穷级数的和。
数学归纳法是通过递归地将级数的前n项和与第n+1项进行比较来求和。
特殊级数是一类特殊形式的无穷级数，常见的有几何级数、调和级数和幂级数等。
特殊函数是一类与无穷级数有密切关系的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数等。
在实际应用中，无穷级数有着广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种常见的无穷级数，它可以将一个函数表示为无穷项多项式的形式，从而在计算和研究函数时提供了便利。
大一高数无穷级数知识点
大一高数无穷级数知识点在大一高等数学课程中，无穷级数是一个重要的内容，具有广泛的应用。
了解无穷级数的概念、性质和收敛条件等知识点对于学好这门课程是至关重要的。
本文将介绍大一高数无穷级数的基本知识点，并对其应用进行简要探讨。
一、无穷级数的概念无穷级数是由一系列数的和构成的数列。
设a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯是一列实数，将它们相加所得的数列称为无穷级数，表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ + ⋯二、无穷级数的收敛和发散1. 收敛的定义：若一个无穷级数的部分和数列{Sₙ}收敛于某个实数S，即lim(n→∞)Sₙ = S，则称该无穷级数收敛，否则称为发散。
2. 收敛的必要条件：无穷级数收敛的必要条件是它的通项数列趋于零，即lim(n→∞)aₙ = 0。
3. 通项数列趋于零的充分条件：若无穷级数的通项数列满足aₙ≤aₙ₊₁（n≥N，N为某个自然数），则该无穷级数收敛。
三、常见的无穷级数1. 等差数列的无穷级数：若等差数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公差不为零，即aₙ₊₁ - aₙ = d ≠ 0，则其部分和数列为等差数列，即Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
若d>0并且|a₁|/(|a₁ + d| < 1，则该无穷级数收敛，反之发散。
2. 等比数列的无穷级数：若等比数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公比不为零，即aₙ₊₁/aₙ = q ≠ 0，则其部分和数列为等比数列，即Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。
当|q|<1时，该无穷级数收敛，否则发散。
四、收敛级数的运算性质1. 收敛级数的有界性：收敛级数的部分和数列有界。
2. 收敛级数的加法性：有限个收敛级数的和仍然是收敛级数。
3. 收敛级数的乘法性：若级数{aₙ}收敛，级数{bₙ}绝对收敛，则乘积级数{aₙbₙ}收敛。
五、收敛级数的应用无穷级数在数学和实际问题中有广泛的应用，以下介绍两个常见的应用：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数展开式，用于将函数表示成无穷级数的形式。
高数课件28无穷级数
条件收敛性：无穷级数条件收敛，当且仅当其通项的极限不为0，但存在某 个常数使得其绝对值小于该常数 发散性：无穷级数发散，当且仅当其通项的极限不为0，且不存在某个常数 使得其绝对值小于该常数
收敛性：无穷级数是否收敛，取决于其通项的极限是否为0 绝对收敛性：无穷级数是否绝对收敛，取决于其通项的绝对值的极限是否为0 条件收敛性：无穷级数是否条件收敛，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0 发散性：无穷级数是否发散，取决于其通项的极限是否为0，且其绝对值的极限不为0
洛朗级数：将函数展开为 无穷级数形式
幂级数：将函数展开为无 穷级数形式
拉格朗日级数：将函数展 开为无穷级数形式
敛性
收敛域的求法： 利用比值审敛 法、根式审敛 法等方法求解
收敛域的应用： 在数学分析、 函数论、微积 分等领域有广
泛应用
收敛域的性质： 收敛域是闭集， 且具有连续性、 单调性等性质
泰勒级数：将函数展开为 无穷级数形式
傅里叶级数：将周期函数 展开为无穷级数形式
拉普拉斯变换：将函数展 开为无穷级数形式
无穷级数的和是一个函数，其 值域为全体实数
级数表示：将无穷级数表示为a_1 + a_2 + a_3 + ...的形式 通项表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)的形式，其中f(n)是n的函数 收敛半径表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)/r^n的形式，其中r是收敛半径 幂级数表示：将无穷级数表示为a_n = f(n)x^n的形式，其中x是幂级数的变量
信号处理：用于滤波器设计、信号分析等 控制系统：用于控制系统的设计和优化 电子工程：用于电路分析、电磁场分析等 机械工程：用于机械系统的动力学分析、振动分析等
高数无穷级数 数项级数敛散性判别法
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
高数b大一知识点总结人教版
高数b大一知识点总结人教版高数B大一知识点总结（人教版）高等数学B是大学高等数学课程中的重要组成部分，是对高数A的延伸和深化。
本文将对高数B在大一学期所学的知识点进行总结。
1. 导数和微分导数是函数在某一点处的变化率，代表了函数在该点的斜率。
微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点的局部线性逼近。
1.1 函数的导数定义与求导法则- 利用极限的定义，可以求得函数在某一点的导数；- 导数的求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导规则。
1.2 常见函数的导数- 基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；- 利用链式法则，可以求得复合函数的导数；- 利用隐函数求导法则，可以求得隐函数的导数。
2. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，是求函数的原函数。
不定积分则是求解某个函数的所有原函数。
2.1 原函数与不定积分- 原函数是指给定函数的导数，不定积分则是求解该函数的所有原函数；- 不定积分的基本性质包括线性性质、分部积分法则和换元积分法则。
2.2 定积分和定积分的计算- 定积分表示函数在某一区间上的累积变化量，可以看作是函数在该区间上的面积；- 定积分的计算可以利用定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式以及换元积分法等。
3. 一元函数的级数级数是一列数的和，通常用一元函数的项级数表示。
3.1 数项级数的概念和性质- 数项级数是指由一列数构成的无穷级数；- 数项级数的性质包括部分和与求和、收敛性、发散性以及正项级数的比较判别法。
3.2 幂级数与泰勒展开- 幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，可以用来表示一元函数；- 泰勒级数是一种特殊的幂级数，可以将函数在某一点展开成幂级数。
4. 多元函数与偏导数多元函数是指有多个自变量的函数，偏导数表示在某一点处对某个自变量的变化率。
4.1 多元函数的概念和性质- 多元函数是指自变量有两个或者更多的函数；- 多元函数的性质包括定义域、值域、极值以及最值等。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
高数大一知识点无穷级数
高数大一知识点无穷级数高数大一知识点：无穷级数无穷级数是数学分析中一个重要的概念，指的是一个由无穷多个数相加或相乘而得到的数列或数列的和。
在大一的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点，本文将介绍无穷级数的定义、性质以及一些常见的无穷级数。
1. 无穷级数的定义在数学中，无穷级数的定义如下：设给定一个数列{an}，则称S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...为该数列的无穷级数。
其中，ai为无穷级数的通项。
2. 无穷级数的性质无穷级数具有以下几个性质：2.1 收敛性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}存在有限极限s，即lim(n→∞)Sn = s，则称该无穷级数收敛，s为该无穷级数的和。
2.2 敛散性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n→∞)Sn不存在或为无穷大，则称该无穷级数发散。
2.3 绝对收敛性：如果无穷级数的绝对值级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛。
2.4 条件收敛性：如果无穷级数收敛但绝对值级数发散，则称该无穷级数条件收敛。
3. 常见的无穷级数3.1 等差数列的无穷级数等差数列的无穷级数是一类常见的无穷级数。
它的通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差。
等差数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：Sn = n(a + a + (n-1)d)/23.2 等比数列的无穷级数等比数列的无穷级数也是常见的无穷级数类型。
它的通项可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比（不等于0）。
等比数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：S = a/(1-r)，当|r|<1时3.3 调和级数调和级数是一类极其重要的无穷级数，它的通项可以表示为an = 1/n。
调和级数的部分和数列可以用以下公式表示：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n4. 无穷级数的应用无穷级数在数学及其他领域中有广泛的应用。
高数b版教材大一知识点归纳
高数b版教材大一知识点归纳高等数学（b版）是大一学生的必修课程，它是数学学科的重要基础课之一。
在大一的学习生涯中，高等数学的知识点涉及面很广，而且有很多抽象的概念。
因此，对于大一学生来说，理解和掌握高数b版教材中的知识点是十分重要的。
本文将对高数b 版教材大一的知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地理解和掌握这门课程。
微分与导数是高等数学中的重要概念之一。
在微分中，我们学习了函数的极限、连续性和可导性等概念。
导数是函数变化率的一种度量，它可以用来描述函数在某一点的斜率。
在高数b版教材中，我们学习了函数的导数和常见函数的导数求法。
通过对导数的学习，我们可以研究函数的变化趋势，并在实际问题中应用导数来解决一些实际问题，例如求一条曲线的切线方程和求函数的最大值和最小值等。
积分是微分的逆运算，它是研究函数面积问题的数学工具。
在高数b版教材中，我们学习了不定积分和定积分的概念，以及常见函数的积分法。
通过对积分的学习，我们可以计算函数所围成图形的面积，求解定积分和不定积分，以及应用积分来解决实际问题，例如求解曲线的弧长和计算质量中心等。
微分方程是高等数学中的重要内容之一。
它是用来研究一些变化过程中的规律的数学工具。
在高数b版教材中，我们学习了常微分方程的基本概念、解法和应用。
通过对微分方程的学习，我们可以求解一些实际问题中的数学模型，例如弹簧振子、生物种群的增长和电路中的RLC振荡等。
级数是高等数学中的一个重要分支，它是研究无穷数列和无穷级数的数学工具。
在高数b版教材中，我们学习了数列的极限、级数的概念和判别法等。
通过对级数的学习，我们可以判断级数的敛散性，求解级数的和，以及应用级数来研究一些实际问题，例如数列的收敛性和泰勒级数展开等。
多元函数是高等数学中的另一个重要内容。
在高数b版教材中，我们学习了多元函数的极限、连续性和偏导数等概念。
通过对多元函数的学习，我们可以研究多元函数的性质和变化规律，并应用多元函数来解决一些实际问题，例如求解多元函数的最大值和最小值等。
大一高数下册知识点笔记无穷级数
大一高数下册知识点笔记无穷级数大一高数下册知识点笔记：无穷级数在大一高数下册中，无穷级数是一个非常重要的概念。
无穷级数是由无限多个数相加或相乘而得到的数列。
在学习无穷级数前，我们首先需要了解数列的概念。
一、数列数列是按照一定规律排列的一串数字的集合。
数列可以分为等差数列和等比数列两类。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差是一个常数。
比如1，3，5，7，9，……就是一个等差数列，其中公差为2。
等比数列的特点是每一项与前一项之间的比是一个常数。
比如1，2，4，8，16，……就是一个等比数列，其中公比为2。
通过数列的概念，我们可以引出下面要讲述的无穷级数。
二、无穷级数的概念无穷级数是由无限多个数相加或相乘而得到的数列。
无穷级数的一般形式可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等为数列的各项。
在无穷级数中，数列的各项可以是整数、有理数、无理数等。
三、收敛与发散对于一个无穷级数，我们可以找出它的部分和数列。
部分和数列是由无穷级数的前n项相加而得到的数列。
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an通过研究部分和数列的性质，我们可以判断无穷级数的收敛性。
如果一个无穷级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该无穷级数为收敛的。
极限值也被称为无穷级数的和，用S表示。
如果一个无穷级数的部分和数列Sn的极限不存在，则称该无穷级数为发散的。
判断一个无穷级数的收敛性有很多方法，其中常用的方法有比较判别法、比值判别法和积分判别法。
四、比较判别法比较判别法是通过比较一个无穷级数和另一个已知的无穷级数的大小关系，来判断其收敛性。
当我们有一个无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和一个已知的无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...，满足以下两个条件时，可以使用比较判别法：1. 当n趋于无穷大时，an/bn的极限存在且不为零；2. 已知的无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...是收敛的。
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中的无穷级数是一项非常重要且有趣的概念。
在学习高等数学的过程中，我们不可避免地要接触无穷级数的各种性质和计算方法。
今天我将通过总结无穷级数的相关概念和性质，为大家提供一个关于高数无穷级数的综合知识点总结。
首先，我们来回顾无穷级数的定义。
无穷级数是由一列实数或复数按照一定规则排列形成的数列。
一般地，如果数列的部分和存在有限极限L，那么我们称这个无穷级数收敛到L。
反之，如果数列的部分和不存在有限极限，那么我们称这个无穷级数发散。
接下来，我们来看一些常见的收敛判定定理。
首先是比较判别法，其基本思想是通过比较给定级数的部分和与一些已知性质的级数的部分和大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法包括了比较判别法、极限判别法和积分判别法。
通过这些判别法，我们可以轻松地判断一些无穷级数的收敛性。
另一个重要的概念是级数的绝对收敛和条件收敛。
如果一个级数收敛，同时其所有项的绝对值组成的级数也收敛，那么我们称这个级数绝对收敛；如果一个级数收敛，但其所有项的绝对值组成的级数发散，那么我们称这个级数条件收敛。
可以证明，绝对收敛的级数一定是收敛的，而条件收敛的级数则不一定收敛。
无穷级数的运算也是我们需要掌握的一个重要内容。
对于收敛的无穷级数，我们可以进行四则运算，并且结果仍然是一个收敛的无穷级数。
此外，我们还可以通过级数的逐项求导、求积分以及其他形式的操作来得到一个新的级数。
在实际应用中，无穷级数在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，泰勒级数是一种特殊的无穷级数，可以将一个函数表示为无穷级数的形式。
这种表达方式在数值计算和近似计算中起着重要的作用。
此外，在概率论中，无穷级数可以用来表示随机变量的分布函数，从而提供了一种分析概率分布的方法。
最后，我想提醒大家在学习无穷级数的过程中要注意一些常见的陷阱和注意事项。
首先是级数的收敛半径问题，即一个幂级数在哪些点上收敛。
此外，无穷级数在进行运算时要注意收敛性的保持，避免出现无意义的结果。
高等数学abcd难度等级分类
⾼等数学abcd难度等级分类⼀般情况下的难易程度⽐较:⾼数A>⾼数B>⾼数C>⾼数D。
⾼等数学A是理科(⾮数学)本科个专业学⽣的⼀门必修的重要基础理论课；⾼等数学B是⼯科本科各专业学⽣的⼀门必修的重要基础理论课；⾼等数学C是⼯科本科对数学要求较低的专业(如建筑、城规专业)及⼯科专科各专业学⽣的⼀门必修的基础理论课；⾼等数学D是对数学要求较低的专业(如⽂科各专业)学⽣的⼀门必修的基础理论课。
⾼等数学要分ABC等级⾼数之所以分ABC主要是看专业⽅向。
因为要学⾼数的专业实在太多了。
A类主要偏向于理⼯科，难度和⼴度都⽐较⼤。
B类主要偏向于经济类，难度⽅向都有所不同。
C类主要是⾯向⽂史类，难度当然最低，个⼈感觉主要是对思维的⼀种训练。
语⾔类法学类⼤部分学校不学⾼数，也有⼀部分学校会学。
具体细节：其中A要求B不要求部分1.掌握基本初等函数的性质和图形2.掌握极限存在的⼆个准则，并会利⽤它们求极限3.会⽤导数描述⼀些简单的物理量4.了解曲率，曲率半径的概念，并会计算5.了解求⽅程近似解的⼆分法和切线法6.了解曲线的切线和法平⾯及曲⾯的切平⾯和法线的的概念，会求它们的⽅程7.三重积分8.曲线曲⾯积分9.向量代数与空间解析⼏何A和B共同要求部分1.函数、极限、连续2.⼀元函数微积分3.多元函数微积分4.级数5.常微分⽅程C类的话不⽤多说了，混⼀混还是可以过的啦。
当然，数学专业的学的⾼数和我们学的不⼀样，⽐我们的还要难。
各等级⾼数学习内容不同⾼等数学A：函数与极限；⼀元函数微积分学；向量代数与空间解析⼏何；多元函数微积分学；⽆穷级数(包括傅⽴叶级数)；微分⽅程等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学B：函数与极限；⼀元函数微积分学；向量代数和空间解析⼏何；多元函数微积分学；⽆穷级数(包括傅⽴叶级数)；常微分⽅程等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学C：函数与极限；⼀元函数微积分学；常微分⽅程；向量代数和空间解析⼏何；多元函数微积分学等⽅⾯的基本概念、基本理论和基本运算技能；⾼等数学D：函数与极限;⼀元函数微积分学;常微分⽅程等。
高数(一)——无穷级数、常微分方程
无穷级数1.定理：设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且0)(lim =∞→x R n n ,10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ；则在),(0δx U 内nn n x x n x f x f )!)()(000)(-=∑∞=称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。
或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。
２.几个常用的标准展开式①nn x x ∑∞==-011②nn n x x )1(110-=+∑∞=③!0n x e nn x∑∞==④)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n x x n nn ⑤)!2()1(cos 20n x x nnn -=∑∞=⑥n x x nnn )1()1ln(0-=+∑∞=⑦nx x n n ∑-∞==-0)1ln(常微分方程1.一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(=或)()(y g x f y ='；则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程．2.可分离变量微分方程的解方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。
其中:⎰=dy y g y G )()(，⎰=dx x f x F )()(.即两边取积分。
3.一阶线性微分方程定义方程)()(x Q y x P y =+'称为一阶线性微分方程.（1）非齐次方程——0)(≠x Q ;（2）齐次方程——0)(=+'y x P y .4.求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解:⎰=-dxx P Ce y )(,其中C 为任意常数。
（2）将齐次通解的C 换成)(x u 。
即⎰=-dxx P e x u y )()(（3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+'，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x P dxx P )()()(可降阶的二阶微分方程1.)(x f y =''型的微分方程例：求方程x e y xsin 212-=''的通解.分析:12cos 41C x e dx y y x++=''='⎰；212sin 81C x C x e dx y y x +++='=⎰．2.),(y x f y '=''型的微分方程解法:（1）令y p '=,方程化为),(p x f p =';（2）解此方程得通解),(1C x p ϕ=；（3）再解方程),(1C x y ϕ='得原方程的通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ.3.),(y y f y '=''型的微分方程解法：（1）令y p '=,并视p 为y 的函数，那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',（2）代入原方程，得),(p y f dy dpp =（3）解此方程得通解),(1C y p ϕ=;（4）再解方程),(1C y y ϕ='得原方程的通解21),(C x C y dy+=⎰ϕ.例:求方程02='-''y y y 的通解．解:（1）令y p '=,并视p 为y 的函数，那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',（2）代入原方程，得02=-p dydp yp 或ydy p dp =（3）解以上方程，得C y p ln ||ln ||ln +=⇒y C p 1=,(C C ±=1)．（4）再解方程yC y 1='⇒1C yy ='⇒21||ln C x C y '+=．（5）于是原方程的通解为xC e C y 12=，(22Ce C '±=)常系数线性微分方程1.二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。
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收敛, 求常数 a, b .
(冲刺)若 an 0
且 问
1 ln an lim 1 n ln n
a
n 1
n
是否收敛
（练习）考察级数敛散性 （1）
n 1
1 n 0
x dx 1 x
（2）
sin(
n 1
n 1)
2
(精选)考察级数的敛散性
(1)
n2
证明: (1)级数 an an1 绝对收敛;
(2)数列 an 收敛.
n 1
例: 证明:
x nx 1 0
3
对任意正整数 n , 存在 唯一正实根 xn , 并证明: 当 1 时, 级数 x 收敛.
n 1 n
(例)设级数 an 收敛且其和为 A
的收敛域，及其和函数。
(考研2013)设数列{an } 满足条件:
a0 3, a1 1, an2 n(n 1)an 0 (n 2)
S ( x) 是幂级数
a x
n 0 n
n
的和函数.
(1)证明: S "( x) S ( x) 0
(2)求 S ( x) 的表达式.
为 f ( x) 的以 2 为周期的 傅里叶级数，求： an
n 1
(精选)设 f ( x) arcsin(sin x) ,
求 f ( x) 的以 2 为周期的傅
里叶级数，并写出它的收敛和。
1 (考研2013)设 f ( x) x 2 ,
bn 2 f ( x)sin n xdx (n 1, 2, )
无穷级数
问题一：数列、部分和与级数
问题二：级数收敛的必要条件（常见级数） 问题三：正项级数的特征、审敛法（原理） 问题四：一般项级数的绝对收敛与条件收敛 问题五：交错级数及其审敛法
问题一：幂级数的常见形式与阿贝尔定理
问题二：收敛半径与幂级数收敛域的判定 问题三： 泰勒级数与函数的幂级数展开 问题四：幂级数的求和 问题五：傅里叶级数
xn1 f ( xn )(n 1,2, ) . 证明：
(1)级数 ( xn1 xn ) 绝对收敛；
n 1
(2) lim xn 存在, 且0 lim xn 2
n
n
例: 设 (1) 2 an 收敛,
n n n 1
证明 an 绝对收敛
n 1
例: 若
(a
n 1
n
n
an1 ) 收敛,
且
b
n 1
(bn 0) 也收敛,
考察 anbn 的敛散性.
n 1
例:
Байду номын сангаас
1 ln n n 1 2
n n 1 n 1 ( n 1)
.
例:
n 1
例:
n 1
1 1 x dx
3
n
3
0
(冲刺)讨论级数的敛散性
( k 为常数)为
【
】
A : 绝对收敛; B : 条件收敛;
C : 发散;
D : 敛散性与k 有关.
(考研2017)设级数
1 1 [sin k ln(1 )] n n n 1
收敛, 则 k
1
(考研2014)设数列 an , bn 满足
0 an
2
, 0 bn
x cos n ; 2
1 x (2)和函数 S ( x) n tan n . 2 1 2
(考研2016)求幂级数
x n 0 (n 1)(2n 1)
的收敛域和和函数.
2n2
（复赛2015）求幂级数
n 2 n ( x 1) n 0 ( n 1)!
3
a1 2a2 bn n
n 1
nan
bn 0 证明: (1) lim n
a1 2a2 nan (2)级数 n(n 1) n 1
收敛，且和为 A
(精选)考察反常积分的敛散性：
cos t (1) dt 2 1 t sin t (2) dt 1 t
的范围
(精选)证明：
1 e
并证明：
1
1
1
1
e
x2
dx 1 e
2
2(1) 2 (1 e ) (1 e ) n 0 n !(2n 1)
1 n
例: 求幂级数
n n x 2 n2 n 1
的收敛域及和函数.
例: 设级数
x x x ,( x ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8
4 6 8
的和函数为 S ( x) , 求
(1) S ( x) 所满足的一阶微分方程; (2) S ( x) 的表达式.
例: 对比:
n 1 1 n 1 n !
1 e 1 n 1 n !
, ,
n 1 2e 1 n 1 n !
.
例: 求和:
n (1) n 1 n !
an1 试证明级数 收敛， n 1 an an 2
并求其和。
例: 将函数 f ( x) x ( x [0, ])
展开成正弦级数,
指出等式成立的范围,
并求级数
(1) k 1 2k 1
k 1
的和.
x 1 0 x , (精选)设 f ( x) 0 x 0 a0 S ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1
的敛散性, 并证明: 1 1 1 1 2 3 n lim 1 n ln n
.
（练习）设 a, b, c 0 讨论
(2 a b c )
n n n n 1
的收敛性
(练习)设级数
[ln n a ln(n 1) b ln(n 3)]
n 1
(1)
n n
n (1)
n
(2)
n2
(1) n n (1)
例:
vn u n 收敛, (1) lim 1 , 且 n 1 n u n
问
v
n 1
n
收敛?
n
un (2) un 收敛, 问 (1) 收敛? n n 1 n 1
(3)
n ( 1) un n 1
(1)
(n
n 1
1 n2 1
1)
1 n p (2) [e (1 ) ] n n 1
(练习)考察级数敛散性:
(1)
n[arctan(n 1) arctan n]
n 1
(2)
n[arctan
n 1
n 1 arctan n]
2
1 n 1 ) 例: 考察 ( ln n n 1 n
1 1 (精选)设 an 1 , 2 n an un (n 1, 2, ) (n 1)(n 2)
(1)求 an x 的收敛域及和函数
n n 1
(2)证明 un 收敛，并求其和。
n 1
1 n a x (精选)设 f ( x) n 2 1 x x n 0
an an1 d
证明级数:
a a
n 1
1 anm
n n 1
收敛.
(精选)考察无穷级数
1 arctan 2 n n 1 n 1
敛散性。若收敛，求其和。
(精选)设正整数 m 1,
an
是 (1 x)
m n
中 x 的系数，
n
1 求： a n 0 n
nun 1 例:设数列{un }满足 lim n
例:
x 求 3n n 0
n2
的收敛域 .
1 1 n (精选)幂级数 ( n sin n ) x 2 n 1 2
的收敛半径为
2 (1) sin n n x (精选)幂级数 n n 1
n
的收敛域为
例：在 x 0 处展开下列函数:
(1) 1 x ln 1 x (2)
sin x
2
(3)
arctan x
(冲刺)将
f ( x) x arctan x ln 1 x
展开成麦克劳林级数
2
例：将 f ( x) ln(3x x )
2
在 x 1 处展开为
幂级数
(精选)将函数 f ( x) ln x
x 1 的正整幂展开成 按 x 1
无穷级数，并写出等式成立
(3)
1
sin t dt t
(考研2015)下列级数发散的是[
n A : 8n n 1
]
B:
n
n 1
1 1 ln(1 ) n n
C:
(1) 1 ln n n2
n! D: n n 1 n
1 1 sin(n k ) (考研2016)级数 n n 1 n 1
2
( n 1) (2) n! n 1
2
例: a1 a2 1 , 且
an2 an1 an (n 1, 2, )