第二章 方差分析
第二章 方差分析方法(第二节)资料
2.有交互作用的正交试验的方差分析
• （1）原则
• 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显 著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B 的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。
•
例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因
素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互
作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排 结果如表（试验指标要求越小越好）
（2）正交试验结果计算表
试验号因素
A 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
2
7
2
8
2
K1
-5
K2
0
Qi
6.25
Si
3.1
B 1
1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.1
• 因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可 以通过没有安排因素的列直接计算。
（2）计算规格化
在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且 每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误 差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便 于计算，又便于编制计算机程序。
由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化 到每一列上。
三.正交试验的方差分析
1.无交互作用情况（以例1－1为例）
列号 试验号
A温度（℃）1
1
1(80℃)
2
1(80℃)
3
1(80℃)
4
2(85℃)
5
2(85℃)
第二章 试验的方差分析
方差来源
F值
组间(因素影响) 组内(误差) 总和
SSA SSE SST
k-1 n-k n-1
MSA MSA/ MSE MSE
例2.1中：F=25.6152/2.4428=10.486, 取 α＝0.05，查表 F α （k-1,n-k）＝ F 0.05 （3,16）＝3.23887
由于F ＞F α ，故可以认为在显著性水平α ＝0.05或可因度为1- α＝95％情况下，不 同Cr含量对金属硬度有显著影响。
● 为检验因素A的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSA FA ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE
● 为检验因素B的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSB FB ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
例2.2：某商品有五种包装（因素A），在五个不同地 区销售（因素B），每个地区物种包装方式的销售资 料见下表。问包装方式和地区是否对销售量产生影响。
ij
ni
(i 1,2,, k )
例2.1中：
x1 =(26.5+28.7+…+27.2)/5=27.32
2.总平均值
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk
=(26.5+28.7+…+32.8)/25=28.695
n x
i 1 i
和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
方差分析IIppt课件
第2页
§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
第12页
（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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方差分析
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固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
第23页
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方差分析
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多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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第二章方差分析与相关分析
第二章方差分析与相关分析在统计学中，方差分析和相关分析是两种常用的数据分析方法。
方差分析用于比较两个或多个组之间的差异，而相关分析用于探究变量之间的关系。
本章将详细介绍方差分析和相关分析的概念、原理和应用。
1.方差分析方差分析是一种用于比较不同组之间差异的统计方法。
它基于一种基本假设，即不同组之间的差异是由于随机误差造成的。
方差分析以方差作为度量不同组之间差异的指标，通过计算组内方差和组间方差来评估不同组之间的差异程度。
方差分析通常包括三个步骤：建立假设、计算方差和进行显著性检验。
首先，建立假设，即空假设和备择假设。
空假设认为不同组之间的差异是由于随机误差造成的，而备择假设则认为不同组之间存在显著差异。
接下来，计算组内方差和组间方差，通过比较两者的大小来评估不同组之间的差异程度。
最后，进行显著性检验，判断不同组之间的差异是否显著。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
例如，在医学研究中，可以用方差分析比较不同治疗方法的疗效差异；在市场调研中，可以用方差分析比较不同广告策略的效果差异。
2.相关分析相关分析用于探究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来评估它们之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，负值表示负相关，正值表示正相关，而0表示无相关。
相关分析通常包括两个步骤：计算相关系数和进行显著性检验。
首先，计算两个变量之间的相关系数。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量之间的相关性分析。
接下来，进行显著性检验，判断两个变量之间的相关性是否显著。
相关分析广泛应用于各个领域的数据分析中。
例如，在经济学中，可以用相关分析研究两个经济指标之间的相关性；在社会学中，可以用相关分析探究两个社会变量之间的关系。
3.应用案例方差分析和相关分析在实际应用中的案例非常丰富。
以方差分析为例，假设我们研究了三种不同的农药对作物产量的影响。
第二章 方差分析课件
DFAB a 1b 1 6
SSe SST SSt 1170
当 p 3 时，
0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著
yC yA 8 0.05 水平上显著 yD yB 6 0.05 水平上不显著 当 p 4 时， yD yA 9 0.05 水平上显著
3、新复极差法（SSR法） 同 q 法，其中：LSR SSR;df , p SE 例2.4 接例2.1数据
地块A
B1 化学控制
田间管理B
B2 集成虫害管理
合计TA
B3 改良集成虫害管理
平均yi
A1 A2 A3 A4 A5 A6
合计TB 平均y j
71 90 59 75 65 82
442 73.67
73 90 70 80 60 86
459 76.50
77 92 80 82 67 85
483 80.50
T
2 j
.
C
a
MS B
a 1 b 1 SSe SST SSA SSB MSe
ab 1
SST y2 C
F F
MS A MS e MS B MS e
多重比较：
A因素
SE MSe b
B因素
SE MSe a
例2.5 为了研究不同的田间管理方法对草莓产 量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分 成3个小区，随机安排3种田间管理方法，数据 入下表。进行方差分析。
221
73.67
272
90.67
209
69.67
237
79.00
192
64.00
253 84.33
T 1384
解：由题可知 a 6,b 3
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
第2章多因素方差分析
Error
2.685
16
.168
Total
775.984
24
Corrected Total
6 .611 (Adjusted R Squared = .441)
F 3.591 4582.977 .012 .459 4.763 11.346 .311 7.954 .290
例：A、B两药治疗缺铁性贫血24例，试验结果如下：
四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数（1012/L）
疗法 号
一般疗法 一般疗法加A药 一般疗法加B药 一般疗法加A药加B药
红细胞增加数
0.8 0.9 0.7 1.3 1.2 1.1 0.9 1.1 1.0 2.1 2.2 2.0
总体均数记
7
研究目的
27
因子A
对照组
围产期 窒息组
因子B
出生时 出生后20分钟
6.20 5.80 8.25 23.06 21.46 11.43
11.50 13.37 24.10 25.56 30.40 18.19
出生后30分钟
14.53 11.40 12.37 10.52 13.66 18.20
28
用混合效应作方差分析时，离均差平方和与自由度的计算与固定效应相同， 但无效假设与F统计量不同。它们的计算公式为：
Sig. .
.947
.824
.803
a. Cannot compute the error degrees of freedom using Satterthwaite's method.
b. MS(A * B)
c. MS(Error)
26
方差分析的混合效应模型
例题：设某人研究围产期窒息对新生儿中血中次黄 嘌呤浓度是否有影响，同时还了解新生出生一小时 内次黄嘌呤浓度是否有变化。他随机抽取围产期窒 息9名，不窒息的正常新生儿9名（作为对照）对每 组的9名新生儿随机安排三个不同时间，测定血中 次黄嘌呤浓度如下：
第2章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
[理学]第二章-方差分析_OK
![[理学]第二章-方差分析_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/01554ff979563c1ec4da71e7.png)
26
不平衡单因素方差分析SAS程序的输入：
27
不平衡单因素方差分析SAS程序输出结果：
28
2、不平衡二因素方差别分析
假设如下数据作二因素方差分析
因素Ｂ
b1
b2
b3
因 a1 3.3 2.6 1.5 3.6 3.1 1.9 0.8 1.6 3.2 2.6 5.2 4.7
素 Ａ
a2 2.2 1.3 4.2 4.3 5.3 2.8 2.0 2.9 4.4 3.8 4.4 5.1
4
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X
' ij
10( X ij
17)
冲击强力 浓度
A1 A2
序号
12 3 4
-8
-19X
' ij
-110(2Xij
1-72)2
-2 5 1 -11
6
5
6
Ti
X
'2 i
j 1
1 -20 -80 1454 14 7 14 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2
33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因
素A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
20
4、有交互因素的方差分析
例：治疗缺铁性贫血病人12例，分为4组给予不同治疗，一个月 后观察红细胞增加（百万/mm），资料如表。试分析两种药物对 红细胞增加的影响。
单因素方差分析
2. 3.
一、方差分析的内容
4. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水
平的试验
5. 总体
个总体 6. 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取 的样本数据
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比
该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念
1. 因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检 验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
什么时候起最好的影响作用。
方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计 方法，它是通过实验观察某一种或多种因素 的变化对实验结果是否带来显著影响，从而 选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事
物的因素往往很多，每一个因素的改变 都有可能影响产品产量和质量特征。有 的影响大些，有的影响小些。为了使生 产过程稳定，保证优质高产，就有必要 找出对产品质量有显著影响的那些因素 及因素所处等级。方差分析就是处理这
（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差， 则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测 度的
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
方差分析
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
将式（1）进行分解：
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
i 1 j 1 i 1
m
r
m
式（2）
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
fT=mr-1=n-1，fA=m-1，fe=mr-m=n-m
显然 fT= fA+ fe 式（10）
第二节 单因素试验方差分析
fT= fA+ fe 式（10）
式（10）称为偏差平方和自由度分解公式。因为总自 由度fT=n-1是总的数据个数减1，而组间自由度fA=m-1是因 素的水平数减1，都很好计算，所以一般先求出fT和fA，再 利用 fe =fT- fA 式（11） 求出组内自由度fe。
xi.
105.6 110.9 107.9 114.2 85.0 523.6
4
i 1
2 x ij
2820.24 3092.61 2958.13 3276.50 1807.24 13954.72
第二节 单因素试验方差分析
1、计算偏差平方和及自由度 x..=523.6 CT= x..2/n=523.62/20=13707.85
式（8） 式（9）
第二节 单因素试验方差分析
（三）计算自由度和方差
偏差平方和的大小，与参与求和的项数有关，为了比较 SA与Se的大小，应消除求和项数的影响，比较它们的平均值。 从数学上的理论推导知道，SA与Se的平均值，不是把SA与Se 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度， 下面分别为ST 、SA与Se的自由度fT、fA和fe。
课件方差分析
例子2
五个商店以各自的销售方式卖出新型健身器， 连续五天各商店健身器的销售量如下表所示。销 售量服从正态分布，且具有方差齐性，试考察销 售方式对销售量有无显著影响，并对销售量作两 两比较。
双因素方差分析假设
双因素方差分析数据结构表
双因素方差分析表
双因素方差分析SPSS界面
例子１
例子２
西方国家有一种说法，认为精神病与月亮有关，月 圆时，人盯着州亮看，看得太久，就会得精神病。中医 也有一种说法，认为精神病与季节有关，特别是春季， 人最容易得精神病。为了检验这两种说法是否有道理， 对某地平均每日精神病发病人数统计如下：
SSR与MSR
组间差异（组间平方和，简称SSR）： 各组平均值与总平均值离差的平方和， 反映了各水平之间的差异程度或不同 的处理造成的差异。
组间均方: MSR= SSR /(自由度k-l)
SSE与MSE
组内差异（组内平方和、残差平方和， 简称SSE）： 每个样本数据与其组平均值离差的平方和， 反映了随机误差造成差异的大小。
例子２
Байду номын сангаас
单因素练习1
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共 有四种，分别为桔黄色、粉色、绿色和无色透明。随机从 五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量。
问：饮料的颜色是否对销售量产生影响。
超市 1 2 3 4 5
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色 桔黄色 绿色 31.2 27.9 30.8 28.3 25.1 29.6 30.8 28.5 32.4 27.9 24.2 31.7 29.6 26.5 32.8
概述 方差分析的分类
方差分析按所涉及因素的多少可分为： 单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析
第二章 第一节 单因素方差分析
r
r
ni x i - 2 x ni x i ni x 2
其中： i i ( i 1 , 2,, r ) 称为因素的效应。
1 r ni i N i 1
称为总平均值。
检验假设为：
H 0 : 1 2 r 0 H1 : 1 , 2 , , r 不全为零 .
2 方差分析原理 平方和分解式：分析造成 不同的原因。令
X ini ( i 1, 2 , 3 , 4 , 5 ; n i 4 )
H 0 : 1 2 3 4 5
若肯定 H 0 ，催化剂对收率无影响。 若否定 H 0 ，催化剂对收率有显著影响。
因素A有r个水平
A1 , A2 ,, Ar
设 Ai
( i 1, 2,, r)
xi ) ( xi x )]
2
[(xij xi ) 2( xij xi )(xi x ) ( xi x ) ]
2 i 1 j 1 r ni
( xij xi ) 2 ( xi x ) (x ij xi ) ( xi x )
对应的结果为总体
X ij ( j 1, 2,, n i )
X i ，其样本为
试验结果如书中表：即为单因素方差分析问题。 建立以下模型：
Xij i ij
2
i 1,2,, r ; j 1,2,, n r .
ij ~ N ( 0 , ) 其中 i 和 2 均为常数，且
i 1 j 1
r
ni
2
称为总的离差平方和，它反映了全部数据波动大小。
SSE ( xij xi )
2金融风险与收益的均值-方差分析
第二章课件2：金融风险与收益的均值-方差分析风险与收益的协方差分析平均回报率和方差，或者标准差，提供了单只证券或者一个证券组合的回报分布的信息。
然而，这些数值并没有告诉我们不同证券回报之间的相互关联及其关联的方式。
假定在某个给定的月份之中，一个证券产生了高于其平均回报的回报。
假如我们知道发生了这样的结果，那么它对其他某个股票在同一时期产生的回报率的预期会有什么样的影响呢？当一个股票产生了高于其平均回报的回报，其他的股票也有出现同样结果的倾向吗？提供关于这个问题的一些信息的统计指标就是两个股票的协方差。
如果说方差是个绝对性的概念和分析方法的话，那么协方差就是个相对性的概念和分析方法。
因此，这个分析及其结果说明这样的基本思想：对于由不同风险的资产组成的投资组合，既要考虑它们各自的收益与风险之间的比较，又要考虑它们之间的相对收益比较和相对风险比较。
下面要研究的主要结果是，如何使一个投资组合的风险溢价是对应于状态价格密度的收益与投资组合收益之间的协方差。
现在考虑L 种不同的风险资产i Z ，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.2）资产i Z 在投资组合中的数量是i k ，其现值是0i Z （即在日期0t =的价值）。
如果投资到该组合中的总财富是W ，则i k 和0i Z 应该满足 01L ii i k Z W ==∑ （2.2.3）在做金融资产收益和风险的研究中，人们都首先考虑无风险（金融术语是风险中性概率）的收益，然后再对比进行风险资产的研究。
下述字母和符号的含义分别为：ω—随机状态变量；()P ω—概率侧度，且()0P ω>；()Q ω—风险中性概率侧度；()()()Q L P ωωω=—状态价格向量。
因为风险资产的收益是随机变量，所以应该表示为 00()()i i i i i z T z R R z z -≡≡，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.4） 类似地，可以把银行账户的收益定义为00()B T B R B -≡它们与公式 ()()()cov((),())j j j V Z E z q z E z V Z -≡比较，两者对风险资产收益的分析原理是一致的。
spss教程第二章--均值比较检验与方差分析要点
第二章均值比较检验与方差分析在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。
所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。
◆本章主要内容：1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）；2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）；3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）；4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）；5、双因素方差分析（General Linear Model→Univariate）。
◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。
在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。
如图2.1所示。
图2.1 均值的比较菜单选择项§2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。
如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。
例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。
首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元；H1：国有企业职工工资不等于10000元打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤：1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。
图2.2 一个样本的t检验的主对话框2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。
第二章 方差分析
备择假设为： HA：i≠0（至少有1个i）。若 接受H0，则不存在处理效应，每个观察值都是 由平均数加上随机误差所构成。若拒绝H0，则 存在处理效应，每个观察值是由总平均数、处 理效应和误差三部分构成。
方差分析的基本思想，就是将总的变差 分解为构成总变差的各个部分。对单因素实 验，可以将总平方和（total sum of squares）做如下分解：
习惯上用表示在005水平上差异显著用表示在001水平上差异显著常常称为差异极显著highlysignificant三随机效应模型在实验中经常回遇到某个因素有许多可能的水平若参加实验的a个水平是从该因素的水平总体中随机选出的那么这一因素称为随机因素
Analysis of Variance，ANOVA
第一节 单因素方差分析 (one-factor analysis of variance)
例如，我们打算用一对一对地比较的方 法检验 5 个平均数之间的相等性，共需检验 C25＝10对。假设每一对检验接受零假设的概 率都是 1 － α＝0.95，而且这些检验都是独立 的，那么10 对都接受的概率是(0.95)10＝0.60。 α′＝1－0.60＝0.40，犯Ⅰ型错误的概率明显 增加。 用方差分析的方法做检验可以防止上 述问题的出现。方差分析的内容很广泛，上 面讲到的那种情况是方差分析中最简单的情 况，称为单因素方差分析或者称为一种方式 分 组 的 方 差 分 析 ( one-way classification analysis of variance)。
用SST表示总平方和，
SST xij x
a n i 1 j 1 2
(2 4)
用SSA表示（2· 3）等号右边第一项，称为处理平 方和（treatments sum of squares）或称为处 理 间 平 方 和 （ sum of squares between treatments）。
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Σ
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 4 20 F值 F临界值 显著性 **
0.05
2.87
0.01
4.43
A 142639.03 误差 8918.41 总和
35659.76 79.97 445.92
差数三角形表（S检验）
水平 A1 A2 A3 A4 A5 平均值 A5 16.33 6.00 0.75 0.50 15.83 5.50 0.25 与下列位级的平均指标值之差 A4 15.58 5.25 A3 10.33 A2 A1
例2.3 一种火箭使用了四种燃料，三种推进 器做射程试验。每种燃料和每种推进器的组 合各做一次试验，得火箭射程如下表所示。 试问不同燃料、不同的推进器分别对射程有 无显著影响？如若显著差异存在于那些水平 对？
推进器B 燃料A A1 A2 A3 A4 B1 58.2 49.1 60.1 75.8 B2 56.2 54.1 70.9 58.2 B3 65.3 51.6 39.2 48.7
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 87.2250 185.4904 294.7821 F值 F临界值 0.05 0.01 4.42 9.39 14.90 3.49 5.95 3.89 6.93 3.00 4.82 * ** ** 显著性
A 261.6750 B 370.9808 A×B 1768.6925
误差
236.9500
12
23
19.7458
总和 2638.2983
方差分析表
方差 来源 A B 误差 离差 平方和 15759.0 22384.7 73198.0 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 11 5253 11192.4 12199.7 F值 F临界 显著性 值 α=0.05 4.76 5.14 不显著 不显著
0.43 0.92
总和 111341.7
30
50
90.3 95.8 84.2 89.7
84.8 96.2 87.6 75.5
考虑交互作用试验方差分析的数据表
B A A1 A2 · · · Ar
B1
B2
· · · · · · · · ·
· · · · · ·
Bs
y1s1,y1s2,· · · ,y1sl y2s1,y2s2,· · · ,y2sl · · · yrs1,yrs2,· · · ,yrsl
为什么不显著？误差平均离差平方和有多大？ 什么原因？
例2.4 某化工厂为了掌握不同的催化剂用 量，不同的聚合时间和不同的聚合温度对 合成橡胶生产中转化率的影响规律，做了 两批试验，其结果分别如下面两表所示。 （单位：%）
聚合时间/h 聚合温度/℃
0.5
催化剂用量/ml 4 2
1
催化剂用量/ml 4 2
3
A1
9486.76
15901.21
A2 A3
A4
8445.61
14018.56 21697.29
2550.25
5026.81 5358.24 3387.24
10941.16
20764.81 11924.64
2342.56
1536.64 1656.49 2371.69
10000.00
6384.01 8118.01
火箭射程试验数据表(简单计算表)
B A A1 A2 A3 A4
4 2
B1
B2 97.4
B3 65.3 60.8 126.1 79.9 90.1
y y i ..
j 1 k 1 ijk
3
2
58.2 52.6 110.8 56.2 41.2 49.1 42.8 91.9
334.3 296.5 342.4 346.6 T=1319.8
5.99
5.59 5.32 5.12 4.96
5.14
4.74 4.46 4.26 4.10
4.76
4.35 4.07 3.86 3.71
4.53
4.12 3.84 3.63 3.48
4.39
3.97 3.69 3.48 3.33
4.28
3.87 3.58 3.37 3.22
4.21
3.79 3.50 3.29 3.14
183.33 182.83** 182.53** 177.33** 167**
S检验临界值表（D值表）
j
i A1 A2 A3 A5 A4 A3 A2 A1
46.18 46.18 43.32 41.31
A4 A5
57.38 46.18 57.38 48.00 59.63 50.59 62.83
57.38 53.83 51.52 46.18 43.32 57.38 53.83 48.00 59.63
55.72 49.42 57.07 57.77
54.1 50.5 140.6 51.6 48.4 100.0
60.1 58.3 118.4 70.9 73.2 144.1 39.2 40.7 75.8 71.5 147.3 58.2 51.0 109.2 48.7 41.4
ijk
y
i 1 k 1
y111,y112,· · · ,y11l y121,y122,· · · ,y12l y211,y212,· · · ,y21l y221,y222,· · · ,y22l · · · · · · yr11,yr12,· · · ,yr1l yr21,yr22,· · · ,yr2l
方差分析表
方差 离差 来源 平方和 A B A×B SA2 SB2 SA×B2 自由度 平均离差 平方和 F值 F临界值 显著性
n2
1 2
3
4 5
10.1
7.71 6.61
9.55
6.94 5.79
9.286.59 5.源自19.126.39 5.19
9.01
6.26 5.05
8.94
6.16 4.95
8.89
6.09 4.88
8.85
6.04 4.82
8.81
6.00 4.77
8.79
5.96 4.74
3
4 5
6
7 8 9 10
A3
A4 A5
1
30 0
1
8 1
1
10 0
0
10 1
计算表
…….
A1 A2 A3 A4 A5 Σ
……. ……. ……. ……. …….
yi Σ2 （Σ）2/ni 1100 20166.67 210000 183.33 30 180.00 200 6.00 3 2.25 3 0.75 98 1600.67 2164 16.33 2 1.00 2 0.50 1233 203450.59 212369 49.21
fA=r-1 SA2/fA fB=s-1 SB2/fB fA×B=(r-1)(s-1) SA×B2/fA×B
FA FB FA×B
Fα(fA,fe) Fα(fB,fe) Fα(fA×B,fe)
误差
总和
Se2
fe=rs(l-1)
SeA2/feA
例2.5 设在例2.3中，对于燃料和推进器的每一组合，各发射 火箭两枚，得火箭射程如下表所示。试问燃料之间，推进器 之间有无显著差异，燃料与推进器那种搭配较好？
y2·
… yi· … yr· y
yj ·
方差分析表
方差 来源 A 离差 平方和 SA
2
自由度 平均离差 平方和 r-1 SA
2/(r-1)
FA
F值
2 SA /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
F临界 值
显著性
B
误差 总和
SB2
s-1
SB2/(s-1)
FB
2 SB /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
4.15
3.73 3.44 3.23 3.07
4.10
3.68 3.39 3.18 3.02
4.06
3.64 3.35 3.14 2.98
6
7 8 9 10
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 因素 误差 总和 SA
2
平均离差平方和 SA
2/(r-1)
F值
S /( r 1) FA A2 Se /( n r )
ST2
rs-1
数据计算表
B1 B2 B3 A1 A2 A3 A4 ……. ……. ……. ……. Σ Σ Σ2 -110 93572 Σ 51 -198 -44 81 -110 （Σ）2 2601 39204 1936 6561 50302 yij2 ……. ……. ……. ……. Σ2 5441 14318 52590 40001 112350
2
显著性 *或**或 不显著
r-1 n-r n-1
Se2 ST2
Se2/(n-r)
例2.2 从某地五组碳酸盐地层化学分析结果 中，取一种化学成分A进行考察，其数据如下 表，试问这五组碳酸盐地层的化学成分有无 显著差异；如果有显著差异，那么差异又存 在于哪些组对之间。
重复 水平 A1 A2 1 100 10 2 200 5 3 200 5 4 200 5 5 200 5 10 10 6 200
468.4 58.55
455.3 56.91
396.1 49.51
y. j.
y =
54.99
数据计算表
BA
3387.24
2766.76 2410.81 1831.84 12276.64
B1
3458.44 1697.44 2926.81
B2