第二章 方差分析

误差
236.9500
12
23
19.7458
总和 2638.2983
30
50
90.3 95.8 84.2 89.7
84.8 96.2 87.6 75.5
考虑交互作用试验方差分析的数据表
B A A1 A2 · · · Ar
B1
B2
· · · · · · · · ·
· · · · · ·
Bs
y1s1,y1s2,· · · ,y1sl y2s1,y2s2,· · · ,y2sl · · · yrs1,yrs2,· · · ,yrsl
55.72 49.42 57.07 57.77
54.1 50.5 140.6 51.6 48.4 100.0
60.1 58.3 118.4 70.9 73.2 144.1 39.2 40.7 75.8 71.5 147.3 58.2 51.0 109.2 48.7 41.4
ijk
y
i 1 k 1
A3
A4 A5
1
30 0
1
8 1
1
10 0
0
10 1
计算表
…….
A1 A2 A3 A4 A5 Σ
……. ……. ……. ……. …….
yi Σ2 （Σ）2/ni 1100 20166.67 210000 183.33 30 180.00 200 6.00 3 2.25 3 0.75 98 1600.67 2164 16.33 2 1.00 2 0.50 1233 203450.59 212369 49.21
fA=r-1 SA2/fA fB=s-1 SB2/fB fA×B=(r-1)(s-1) SA×B2/fA×B
FA FB FA×B
Fα(fA,fe) Fα(fB,fe) Fα(fA×B,fe)
误差
总和
Se2
fe=rs(l-1)
SeA2/feA
例2.5 设在例2.3中，Βιβλιοθήκη Baidu于燃料和推进器的每一组合，各发射 火箭两枚，得火箭射程如下表所示。试问燃料之间，推进器 之间有无显著差异，燃料与推进器那种搭配较好？
ST2
rs-1
数据计算表
B1 B2 B3 A1 A2 A3 A4 ……. ……. ……. ……. Σ Σ Σ2 -110 93572 Σ 51 -198 -44 81 -110 （Σ）2 2601 39204 1936 6561 50302 yij2 ……. ……. ……. ……. Σ2 5441 14318 52590 40001 112350
为什么不显著？误差平均离差平方和有多大？ 什么原因？
例2.4 某化工厂为了掌握不同的催化剂用 量，不同的聚合时间和不同的聚合温度对 合成橡胶生产中转化率的影响规律，做了 两批试验，其结果分别如下面两表所示。 （单位：%）
聚合时间/h 聚合温度/℃
0.5
催化剂用量/ml 4 2
1
催化剂用量/ml 4 2
F分布临界值表（显著水平α=0.01,0.05,0.10）
α=0.05
F分布临界值表（教材P236附表4）
（α=0.05）
n1 n2 1 2 1 161 18.5 2 200 19.0 3 216 19.2 4 225 19.2 5 230 19.3 6 234 19.3 7 237 19.4 8 239 19.4 9 241 19.4 10 242 19.4 n1
183.33 182.83** 182.53** 177.33** 167**
S检验临界值表（D值表）
j
i A1 A2 A3 A5 A4 A3 A2 A1
46.18 46.18 43.32 41.31
A4 A5
57.38 46.18 57.38 48.00 59.63 50.59 62.83
57.38 53.83 51.52 46.18 43.32 57.38 53.83 48.00 59.63
例2.1 考察生产某化工产品时反应温度A（℃） 对收率y（%）的影响。为此，比较两个反应 温度A1=30℃，A2=40℃。这是一个单因素 二水平的实验。实验结果如下表。
（单位：%）
试验号 水平
1
2
3
4
5 平均值 71.4 80
A1（30℃） 75 78 60 61 83 A2（40℃） 89 62 93 71 85
468.4 58.55
455.3 56.91
396.1 49.51
y. j.
y =
54.99
数据计算表
BA
3387.24
2766.76 2410.81 1831.84 12276.64
B1
3458.44 1697.44 2926.81
B2
4246.09 3696.64 2662.56
B3

j 1
试验数据表
B
A A1 B1 y11 B2 y12 … … Bj y1j … … Bs y1s
y i·
y1·
A2
… Ai … Ar
y21
… yi1 … yr1 y· 1
y22
… yi2 … yr2 y· 2
…
… … … … …
y2j
… yij … yrj y· j
…
… … … … …
y2s
… yis … yrs y· s
例2.3 一种火箭使用了四种燃料，三种推进 器做射程试验。每种燃料和每种推进器的组 合各做一次试验，得火箭射程如下表所示。 试问不同燃料、不同的推进器分别对射程有 无显著影响？如若显著差异存在于那些水平 对？
推进器B 燃料A A1 A2 A3 A4 B1 58.2 49.1 60.1 75.8 B2 56.2 54.1 70.9 58.2 B3 65.3 51.6 39.2 48.7
方差分析表
方差 来源 A B 误差 离差 平方和 15759.0 22384.7 73198.0 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 11 5253 11192.4 12199.7 F值 F临界 显著性 值 α=0.05 4.76 5.14 不显著 不显著
0.43 0.92
总和 111341.7
3612.01
3398.89 5745.64 5112.26
2 ijk
2601.00
26706.23
1713.96
20244.63
y
i 1 k 1
4
2
28265.44
75216.30

i 1
4
2 yijk k 1
2
56438.10
53117.37
40403.23 149958.70
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 3 2 6 87.2250 185.4904 294.7821 F值 F临界值 0.05 0.01 4.42 9.39 14.90 3.49 5.95 3.89 6.93 3.00 4.82 * ** ** 显著性
A 261.6750 B 370.9808 A×B 1768.6925
y111,y112,· · · ,y11l y121,y122,· · · ,y12l y211,y212,· · · ,y21l y221,y222,· · · ,y22l · · · · · · yr11,yr12,· · · ,yr1l yr21,yr22,· · · ,yr2l
方差分析表
方差 离差 来源 平方和 A B A×B SA2 SB2 SA×B2 自由度 平均离差 平方和 F值 F临界值 显著性
火箭射程试验数据表(简单计算表)
B A A1 A2 A3 A4
4 2
B1
B2 97.4
B3 65.3 60.8 126.1 79.9 90.1
y y i ..
j 1 k 1 ijk
3
2
58.2 52.6 110.8 56.2 41.2 49.1 42.8 91.9
334.3 296.5 342.4 346.6 T=1319.8
Σ
方差分析表
方差 来源 离差 平方和 自由度 平均离差 平方和 4 20 F值 F临界值 显著性 **
0.05
2.87
0.01
4.43
A 142639.03 误差 8918.41 总和
35659.76 79.97 445.92
差数三角形表（S检验）
水平 A1 A2 A3 A4 A5 平均值 A5 16.33 6.00 0.75 0.50 15.83 5.50 0.25 与下列位级的平均指标值之差 A4 15.58 5.25 A3 10.33 A2 A1
3
A1
9486.76
15901.21
A2 A3
A4
8445.61
14018.56 21697.29
2550.25
5026.81 5358.24 3387.24
10941.16
20764.81 11924.64
2342.56
1536.64 1656.49 2371.69
10000.00
6384.01 8118.01
2
显著性 *或**或 不显著
r-1 n-r n-1
Se2 ST2
Se2/(n-r)
例2.2 从某地五组碳酸盐地层化学分析结果 中，取一种化学成分A进行考察，其数据如下 表，试问这五组碳酸盐地层的化学成分有无 显著差异；如果有显著差异，那么差异又存 在于哪些组对之间。
重复 水平 A1 A2 1 100 10 2 200 5 3 200 5 4 200 5 5 200 5 10 10 6 200
y2·
… yi· … yr· y
yj ·
方差分析表
方差 来源 A 离差 平方和 SA
2
自由度 平均离差 平方和 r-1 SA
2/(r-1)
FA
F值
2 SA /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
F临界 值
显著性
B
误差 总和
SB2
s-1
SB2/(s-1)
FB
2 SB /( r 1) 2 Se /( r 1)( s 1)
5.99
5.59 5.32 5.12 4.96
5.14
4.74 4.46 4.26 4.10
4.76
4.35 4.07 3.86 3.71
4.53
4.12 3.84 3.63 3.48
4.39
3.97 3.69 3.48 3.33
4.28
3.87 3.58 3.37 3.22
4.21
3.79 3.50 3.29 3.14
n2
1 2
3
4 5
10.1
7.71 6.61
9.55
6.94 5.79
9.28
6.59 5.41
9.12
6.39 5.19
9.01
6.26 5.05
8.94
6.16 4.95
8.89
6.09 4.88
8.85
6.04 4.82
8.81
6.00 4.77
8.79
5.96 4.74
3
4 5
6
7 8 9 10
4.15
3.73 3.44 3.23 3.07
4.10
3.68 3.39 3.18 3.02
4.06
3.64 3.35 3.14 2.98
6
7 8 9 10
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 因素 误差 总和 SA
2
平均离差平方和 SA
2/(r-1)
F值
S /( r 1) FA A2 Se /( n r )