力学量算符和量子力学公式的
第二讲 力学量算符
（2-20）
ˆ,a ˆ 1 ˆ 是方向的动量算符， a ˆ 与a ˆ 满足的对易关系 a 其中 p ˆ n ＝a ˆ n n 1 ＝ na ˆ n 1 ˆ a ˆ n ＝a N
＝ n n n ＝n n
（2-21）
ˆ 的本征值为粒子数 n 0,1, 2.... ，故称 N ˆ ＝a ˆ a ˆ 为粒子数算符， n 为 n 粒子态 即N
（5）证明:论据同（4） ：
2 2 [ p, pf p] p f p pf p p( pf f p) p
h pf p i
5
石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之二 力学量算符
主讲教师
吴海滨
（6）证明:论据同（4） ：
2 2 2 2 2 h [ p, f p ] pf p f p ( pf f p) p f p i
qpfp pfpq hipf qpfp pqfp hipf ( qp pq ) fp hipf hi ( fp pf )
（3）证明:同前一题论据：
[ q, fp 2 ] qfpp fppq fqpp fppq fqpp fp ( qp hi ) fqpp fpqp hifp
f ( qp pq ) p hifp 2hifp
（4）证明:根据题给对易式外，另外应用对易式
[ p , f ( q )]
h f i
( f )
df dq
2 2 2 2 [ p, p f] p f p f p p ( pf f p)
2 h 2 p [ p, f ] p f i
h 2 p f i h pf p i h f p2 i
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学力学量用算符表达
,
y
i
x,
lˆx
,
z
i
y,
lˆy , z i x,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε i x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
整理课件
9
还可以证明:
lˆ , pˆ ε i pˆ ,
第3章
力学量用算符表达
整理课件
1
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 整理c课1A件ˆ1 c2 Aˆ 2
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
整理课件
5
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x i ,
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y i ,
zpˆ z pˆ z z i ,
xpˆ z pˆ z x 0
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x i δ
n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
量子力学_3.1力学量用算符表达
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足
或
ˆA 0 A
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学 公式
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学习题解答-第3章
2. 广义统计诠释
设力学量 具有分离谱的正交归一本征函数系 本征值为 ，即
或
这个本征函数系是完备的，即 （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开
*习题证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数 都有 ，那么，对于所有的 和 就有 （即，两种对于厄密算符的定义—等式和—是等价的）。提示：首先设 ，然后令 。
证明：
若对于Hilbert空间中任意函数 ，都有
，
设
，其中 是一任意常数（复数）
我们有
上式对任意常数 都成立， 分别取 ，有
两式相加得到所要结果
证明:假设 和 （即： 是 和 的共同本征方程），并且函数集 是完备的，因此任意（Hilbert空间中的）函数 都能表示成 线性叠加 ，那么有
因为上式对任意的 都成立，所以得到 ，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。
习题求式所给方程
的解。注意 和 都是实常数。
解:
习题在下面的具体例子中应用公式 ：（a） =1；（b） ；（c） ；（d） 。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式，，和能量守恒（式后的评注）。
（c）在这个基中，求出算符 里的9个矩阵元，并写出矩阵 。它是厄密矩阵么
解：（a） ;
（b）
（c）
显然它不是厄密矩阵。
习题一个两-能级体系的哈密顿为：
，
这里 ， 是正交归一基， 是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢（用 和 的线性迭加）。相应于这个基表示 的矩阵 是什么
算符与量子力学中的力学量
量子力学研究的对象是微观粒子 ， 而微 观 粒 子 的最 重 要 的 特 性 是具 有 波 粒 二 象 性 ， 是 与 宏 观 粒子 根 本 这
不 同的特性 。 因此 ， 微 观 粒 子 的 描 述 方 式 、 究 方 法 及 观 察 、 结 出 的规 律 都 与 经 典 力 学 有 着 很 大 的差 别 。 对 研 总 在 量 子 力 学 中 ， 观 粒 子 的状 态 是用 一个 波 函数 Ｉ ，）来 描 述 的 。 微 ｊ ｔ ， （ 波恩 对 波 函数 的统 计解 释 为 ： 函 数 波 的模 的 平 方 ｌ （ ，） 。 出 了 微 观 粒 子 在 某 处 出 现 的 几 率 密 度 。 而 使 用 波 函 数 来 描 述 微 观 粒 子兼 顾 了微 ‘ ｒ ｔ ｌ给 ； Ｉ 从
与研究 。
维普资讯
・２ ・ ０
新 疆师 范大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
＝
Ａｉ
一
∑ Ａｉ ｉ Ｐ
。
ｉ ，２ … 一１ ， Ｎ
式 中 Ｐ ： ｉ ９ ｔ ｔ 是 Ａｔ ｉ ｎ ３ Ｎ ｌｇ， ｔ 的几 率
类 比求 力 学 量 Ａ 的平 均 值 的运 算 ， 子力 学 中求 微 观 粒 子 位 置 的 平 均 值 的运 算 应 为 量
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
维普资讯
第） 自然 科 学 版 ） 新 （
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎｉｎ ｒ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＸｉ ｊ ｇ Ｎｏ ｍ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ ａ
（ ａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｓ Ｅｄ ｔｏ ） Ｎ ｔ ｒ ｜Ｓ ｉ ｎ ｅ ｉｉ ｎ
Ｖ ０１ ．２１． ｏ． Ｎ ３
２０ ０ ２年 ９月
Ｓ ｂ． ０ ２ ｕ ２ ０
量子力学教程-周世勋-第三章算符
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
量子力学第四章：力学量用算符表示
第四章：力学量用算符表示(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。
以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。
(3)注意 与x 没有共同坐标。
(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故)()(2222z y x x z y l l p p l l A +-+=zz x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=})(){(x x p l l p hi*-*=(3) l为粒子角动量。
F 为另一力学量，证明： )(],[pF p r F r hi F l ∂∂*+∂∂*-=(6)证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式： 前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证(A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕτψτϕτψd P A d P F n nˆ)ˆ(∑•≡•⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰•∑=>ττϕψd PA n nn n ˆ0⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ()ˆ(1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PP A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd P P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32 τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰•=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
量子力学中的力学量
注意 ①以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言； 对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 ˆ i 换成坐中的坐标变量 F (r P) r 换成坐标算符 r P ˆ ˆ , P) F (i , P) F (r 即 F (r , P) P
ˆy y
ˆz z
在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:
2 2 ˆ H U (r ) 2
(4)力学量用算符表示的一般规则
哈密顿算符的构造:
将哈密顿函数
2 P H U (r ) 2
ˆ i PP
2 2 ˆ H U (r ) 2
③归一化系数的确定 两种情形归一化常数的求法 具有分立谱的本征函数的归一化常数： 2 * n (r ) d n (r ) n (r )d 1
具有连续谱的本征函数的归一化常数： 2 * p (r ) d p (r ) p (r )d ( p p)
由此可得：
ˆ d (O ˆ ) * d * O
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O
~ ˆ * d * O
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
（3）算符之和
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg
b2
(t
)
F21
F22
L
L L L L
bk (t) Fk1 Fk 2 L
L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
L L L
Fkk L ak (t)
L O L
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
p
ih
2
0 0
L
2 0
3 L
0
3
0
L
L L L O
1/ 2 0 0 0 L
0
3/2
0
0
L
H h 0 0 5 / 2 0 L
0
0
0
7/2
L
L L L L O
二、量子力学公式的矩阵表示
以下内容都是在 表G象下进行的。
1．算符方程
(x,t) Fˆ (x,t)
b1(t) F11 F12 L
L O L
式中 H mn
* m
(x)。Hˆ上n (式x)d简x 写为
ih dam
dt
n
H mnan
4．平均值公式
F(t)
*(x,t)Fˆ (x,t)dx
am* (t)an (t)
m*
(
x)
Fˆn
(
x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t)
mn
a1*(t) a2*(t) L
1
2
h
eipx / h
p (x)dx
ih
p
* p
(
x)
p
(
x)dx
ih ( p p)
p
或
xpp
* p
(
p)
ih
p
p
(
p)dp
(
p
p)
ih
p
(
p
p)dp
ih ( p p)
p
例3．动量表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fpp
* p
(
p)Fˆ
p, ih
p
p (
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的Fˆ矩阵元 一F定mn 是 一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符 的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。
算符 满Fˆ足
F11 F12 L
F21
F22
L
L L L
Fk1 Fk 2 L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
a1(t)
a2
(t
)
L L L L
Fkk L ak (t) L O L
ak (t) L
F11 F12 L
F21
F22 L
Fm*n m (x)[Fˆn (x)]*dx n*(x)Fˆm (x)dx Fnm
即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者
Fmn Fn*m Fmn
它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。
特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。
Gmn
m*
(
x)Gˆn
(
x)dx
一、力学量算符的矩阵表示
力学量 满Gˆ足的本征方程 力学量算符 满Fˆ 足
Gˆn (x) gnn (x) (x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{n (x)}
(x,t) an (t)n (x)
n
(x,t) bn (t)n (x)
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
gn
m*
(
x)n
(
x)dx
gnmn
g1 0 L 0 0
0
g2
0
L
0
Gˆ 0 L L L 0
0 0 0 gn 0
L L L L O
算符在自身表象下是一个对角矩阵，并且本征值就是对角元
素。它的阵迹就是全部本征值之和。
说明：
（1）欲求力学量 在Fˆ 表G象下的矩阵表示，必须知道力学量 Gˆ 的本征解，才能计算 Fˆ的矩阵元；
L
LL
Fk1 L
Fk 2 L LL
F1k F2k L
Fkk
L
L a1(t)
L
a2
(t
)
L L 0
L
ak (t)
O L
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把 求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
(t
)
g*gdx dg
ag
(t
)
* g
Fˆ
g
dx
dg
bg (t) (g g)dg ag (t)Fgg dg
bg (t) Fggag (t)dg
其中，算符 Fˆ的矩阵元
Fgg
* g
(
x)
Fˆg
(
x)dx
例1．坐标表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fxx
* x
( x) Fˆ
x,
ih
x
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
一、力学量算符的矩阵表示 二、量子力学公式的矩阵表示
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一节 讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现力 学量算符与量子力学公式的矩阵表示。
在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意 力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上，上 述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们 是等价的。
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m*，L得dx
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
n
n
bm(t) an (t) m* Fˆndx
n
令 Fmn m* (x)Fˆn (x)dx
0 0
2 0
0 3 L
3
0
L
L L L L O
n
0 1 2 3 ...
m 0 0 1/ 2 0
1 1/ 2 0 1
0 ... 0 ...
2 0 1 0 3 / 2 ... 3 0 0 3 / 2 0 ...
... ... ... ... ... ...
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
(x)dx
(
x
x)Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)dx
Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)
其中，x为变数，x、 为x本征值。
例2．动量表象中 的xˆ矩阵元为
xpp
* p
(
x)
x
p (x)dx
1
2 h
eipx / h x p (x)dx
1
2 h
ih
p
eipx
/
h
p
(
x)dx
ih
p
xmn
* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
pmn
* m
ih
d dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enmn
n
1 2
h
mn
所以，它们的矩阵表示分别是
1
xmn
n 2
m,n1
n
2
1
m,n
1
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
1
2
p)dp
(
p
p)Fˆ
p, ih
p
(
p
p)dp
Fˆ
p,
ih
p
(
p
p)
例4．求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能量 表象中的矩阵表示。
解：
x
n
(x)
1
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
d
dx
n
(
x)
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为
0
a1 a2
把波函数归一化
/2