信号与系统1.5信号的分解
沈阳工业大学807信号与系统2019年沈阳工业大学考研专业课初试大纲
2019年沈阳工业大学考研专业课初试大纲
硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：信号与系统
考试大纲援引教材：
《信号与系统》郑君里高等教育出版社
第一章绪论
1.1 信号与系统
1.2 信号的描述、分类和典型示例
1.3 信号的运算
1.4 阶跃信号与冲激信号
1.5 信号的分解
1.6 系统模型及其分类
1.7 线性时不变系统、
1.8 系统分析方法
第二章连续时间系统的时域分析
2.1 微分方程式的建立与求解
2.2 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
2.3 零输入响应和零状态响应
2.4 冲激响应与阶跃响应
2.5 卷积
2.6 卷积的性质
2.7 用算子符号表示微分方程
第三章傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数分析
3.2 典型周期信号的傅里叶级数
3.3 傅里叶变换
3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
3.6 傅里叶变换的基本性质
3.7 卷积特性(卷积定理)
3.8 周期信号的傅里叶变换
3.9 抽样信号的傅里叶变换
3.10 抽样定理
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域
4.2 拉氏变换的基本性质
4.3 拉普拉斯逆变换
4.4 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模
4.5 系统函数(网络函数)H(s)
4.6 由系统函数零、极点分布决定时域特性
精都考研网（专业课精编资料、一对一辅导、视频网课）。
信号与系统第一章(重点)
－1
图 1.2-1 连续时间信号
离散时间信号：亦称序列， 其自变量n是离散的， 通常为整数。 若是时间信号 （可为非时间信号）， 它只在某些不连续的、 规定的瞬时给出确定的函数值， 其它 时间没有定义， 其幅值可以是连续的也可以是离散的， 如图1.2-2所示。
x1(n) 2
1
只能取－1,0,1,2
0
t
－1
6. 单位冲激偶函数δ′(t)
单位冲激函数的导数。
(t)
1 lim
0
u(t
)
2
u(t
2)
(t)
d(t)
dt
1 lim
0
(t
)
2
(t
2)
(1.3-30) (1.3-31)
式（1.3-31）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数，
0
t
－k
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt 复指数信号可分解为实部与虚部。 实部为振幅随时间变化的余弦函数， 虚部为振幅随时间变化的正弦函数。
第1章 信号与系统
1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解 1.6 系统及其响应 1.7 系统的分类 1.8 LTI系统分析方法
1.1 信号与系统概述
人们每天都与载有信息的信号密切接触:
听广播、看电视是接收带有信息的消息； 发短信、打电话是传送带有信息的消息。
信号与系统郑君里ppt课件
2．正弦信号
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
第
26 页
振幅：K 周期： T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
X
第
欧拉(Euler)公式
X
第
三．几种典型确定性信号
24 页
1.指数信号
信号的表示
2.正弦信号
函数表达式 波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义)
3. 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
第
1．指数信号
25 页
f (t) K e t
l 0 直流(常数),
0
f t
a 1 压缩,保持信号的时间缩短
f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
X
第
4．一般情况
38
页
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位
27
页
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
ej t cost jsint
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦 信号。
X
第
3．复指数信号
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
信号与系统chapter 1
3
x( K )
1
2 2
t
-2 -1
0 1 2
k
连续时间信号
离散时间信号
§周期性信号与非周期性信号
连续时间周期信号定义： t R, 存在非零T，使得 x(t)=x(t+kT),k为整数 成立，则x(t)为周期信号。 离散时间周期信号定义: n I , 存在非零N，使得 x(n)=x(n+kN), n为整数，N为正整数 成立，则x [n] 为周期信号。 满足上述条件的最小的T或N值称为周期信号的周期。若令 周期信号的周期T（或）N趋于无限大，则成为非周期信号。
3 -4
(2) 利用筛选特性，有
x2 (t ) =蝌 e d (t - 6)dt = e -4
3 - 2t - 12
d (t - 6)dt = 0
(3) 利用展缩和筛选特性，有
x3 (t ) = 1 -2
¥
td (t - 1) =
1 2
d (t - 1)
(4) 利用抽样特性，有
x4 (t ) =ò- ? d (t 1 4 ) sin(p t )dt = sin(p t ) t = 1 = sin
0
0
ï î0,
t < t0
x(t t0 )
单 位 斜 变 信 号
x(t)
1
1
1
O
t
O
t0
t0 1
延 迟 斜 变 信 号
§单位阶跃信号
单位阶跃信号表达式为：
ì ï 1, u (t ) = í ï î 0,
t >0 t <0
在跳变点 t = 0 处，函数值未定义 单位斜变信号与单位阶跃信号互为积分和微分的关系。即
第一章 信号与系统概论(3)
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面
信号与系统_1.5-1.8
1 ∆τ
∆τ
t
t
山东农业大学 信息学院
9
信号与系统 Signals & Systems
x(t) ≈ ∑ x(k∆τ )[u(t − k∆τ ) − u(t −k∆τ −∆τ )]
k =−∞ ∞
∞
x (t )
[u(t −k∆τ) −u(t −k∆τ −∆τ)] = ∑ x(k∆τ) ⋅∆τ ∆τ k=−∞
1 f D = ∫ f (t )dt T −T
2 T 2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量： 信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
f A (t ) = f (t ) − f D
山东农业大学 信息学院
2
信号与系统 Signals & Systems
若此时间函数为电流信号，则在时间间隔 内流 若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流 过单位电阻所产生的平均功率等于： 过单位电阻所产生的平均功率等于： 1 T2 2 P = ∫ T f (t )dt T −2
山东农业大学 信息学院
13
信号与系统 Signals & Systems
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的c 是组合系数，它与函数x和分量g (t)有关 有关： 式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
x (t ) g i* (t ) dt ∫
t1 t2
∞
= ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ = x(t) ∗δ (t)
−∞
∞
山东农业大学 信息学院
10
信号与系统 Signals & Systems
以上积分式称为卷积积分。式子说明： 以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有 用此式作为单位冲激信号的定义。 用此式作为单位冲激信号的定义。 ∞
信号与系统基础知识
第1章 信号与系统的基本概念1.1引言系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。
我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。
我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。
更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。
我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。
例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。
系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。
很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。
隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。
信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。
在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。
系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。
这些区别导致分析方法的重要差别。
本课程的容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。
例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。
为了充分地和规地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。
信号与系统全套课件
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号
信号与系统知识整理
《信号与系统》知识整理16040003 李田焰第一章绪论1.1信号与系统人类信号媒介的发展过程，信号的处理过程系统：由若干相互作用和相互依赖的食物组合而成的具有特定功能的整体。
1.2信号的描述，分类和典型示例信号的分类：确定信号与随机信号，周期信号与非周期信号，连续时间信号与离散时间信号，一维信号与多维信号常遇见的信号：（1）指数信号：（2）正弦信号：（3）复指数信号：（4）Sa(t)信号（抽样信号）：（5）高斯信号：1.3信号的运算1.移位，反褶与尺度（1）移位：f(t)变成f(t+t0);（2）反褶：f(t)——f(-t)（3）尺度：f(t)——f(at)（a为一个常数）2.微分与积分（1）微分运算：（2）积分运算：3.两信号相加或相乘1.4阶跃信号与冲激信号1. 单位斜变信号：2. 单位跃阶信号：3. 单位冲激信号：4. 冲激信号的性质;性质一：性质二：t1.5 信号的分解1. 直流分量与交流分量：2. 偶分量与奇分量：偶分量：奇分量：3. 实部分量与虚部分量：1.6 系统模型及其分类系统模型：系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
对于复杂的系统，其数学模型可能是一个高阶数学微分方程。
如：R,L,C串联回路元件的理想特性与KVL可以建立如下的微分方程：当知道系统的数学模型，起始状态以及输入激励信号，就可以运用数学方法求解其响应。
还可以借用如下的方框图来组成一个完整的系统：三种基本单元方框图也可以采用这种表示方法：d系统的分类：连续时间系统与离散时间系统；即时系统与动态系统；集总参数系统与分布参数系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统；可逆系统与非可逆系统1.7 线性时不变系统讨论的系统：集总参数线性时不变系统（LTI ）包括时间系统与离散系统。
其基本特性如下：1. 叠加性与均匀性2. 时不变特性：对于响应和激励：e(t)——r(t); 则当激励变为e(t-t0)时，响应变为：r(t-t0),波形延迟t0，波形不变 3. 微分特性：在系统中有：相应的：4. 因果性：因果系统：(r 非因果系统：(1.8 系统分析方法数学描述方法：1. 输入-输出描述法：着眼于系统激励与响应之间的关系，不关心系统内部的情况。
信号与系统电子教案
信号与系统教案（10信工）安徽财经大学管理科学与工程学院内容标题第1章绪论1。
1信号与系统1。
2 信号的描述、分类及典型信号示例1。
3 信号的运算课时2课时教学目的及要求教学目的：讲授信号与系统的基本概念及基本运算，并对本课程中经常遇到的典型信号有一个初步的认识.教学要求:⑴掌握信号、系统的概念；⑵熟悉常用信号并了解其基本特征；⑶熟练掌握信号运算的基本方法。
重点难点及其处理重点：典型信号的基本特征及函数表达式。
难点：信号的平移、反褶和尺度变换的运算。
处理：理论讲解配以实例和有课堂练习。
学方法以课堂讲授为主，辅以课堂练习. 参考文献1.郑君里，《信号与系统》（第二版），高等教育版社，2005年5月2.管致中,《信号与线性系统》（第四版），高等教育版社，2004年1月课外作业及要求课后习题：1－10后记教案专用页内容标题第1章绪论1.4阶跃信号与冲激信号1.5 信号的分解课时2课时课外作业及要求课后习题：1－14，1－18(a)，(b)后记教案专用页内容标题第1章绪论1.6系统模型及分类1.7 线性时不变系统＊习题讲解课时2课时教学目的及教学目的:讲授系统模型及分类,线性时不变系统的定义、条件，建立系统模型及数学分析方法。
教学要求:⑴掌握系统模型及利用系统分析的方法；外作业及要求课后习题:1－19后记教案专用页内容标题第2章连续时间系统的分析2。
2微分方程的建立与求解2.3 起始点的跳变课时2课时教学目的及要求教学目的：讲授微分方程的建立与求解，起始点跳变量的分析计算教学要求：⑴掌握微分方程的建立与求解方法；⑵掌握起始点跳变量的分析计算方法;后记教案专用页内容标题第2章连续时间系统的分析2.4零输入响应与零状态响应2.5冲激响应与阶跃响应课时2课时教学目的及要求教学目的:讲授零输入响应与零状态响应的分析计算，冲激响应与阶跃响应之间的关系。
教学要求:⑴掌握零输入响应与零状态响应的分析计算；⑵掌握冲激响应与阶跃响应之间的关系；重点难点及重点：零输入响应与零状态响应的分析计算,冲激响应与阶跃响应之间的关系。
信号与系统教案-网络工程-徐沁
安徽大学本科教学课程教案课程代码：ZX36096
课程名称：信号与系统
授课专业：网络工程
授课教师：徐沁
职称/学位：讲师/博士
开课时间：二○一六至二○一七学年第二学期
第1次课程教学方案
第10次教学活动设计
第11次课程教学方案
第11次教学活动设计
第12次课程教学方案
第12次教学活动设计
第13次课程教学方案
第13次教学活动设计
第14次课程教学方案
第14次教学活动设计
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 第15次课程教学方案
第15次教学活动设计
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 第16次课程教学方案
第16次教学活动设计
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 第17次课程教学方案
第17次教学活动设计
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 课程教案审核情况。
信号与系统概论第一章
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
1.1信号与系统绪论
信号例子：
1、声音信号：
汉语“用户”一词的时域波形
2、图像信号： 灰度和彩色图像
系统
系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的 事物组合而成的，具有特定功能的整体。如太阳 系、控制系统、电力系统、经济系统、计算机系 统等。
系统一般由物理器件构成，它在接收一个输入信 号时会产生一个或者多个输出。输入叫激励，输 出叫响应。
信号处理
信号处理：对信号进行某种加工或变换。 目的：
消除信号中的多余内容； 滤除混杂的噪声和干扰； 将信号变换成容易分析与识别的形式，便于
估计和选择它的特征参量。 信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。
信号处理例子：
滤波以前干扰严重 滤波以后干扰祛除
生物医学信号处理应用举例
系统 信号处理
信号
消息（Message）：
运动或状态变化的直接反映，待传输与处
理的原始对象的含意。如语言、文字、图像 和数据中包含的内容。
信号（Signal）：带有信息的物理量。信号是消 息的表现形式，消息则是信号的具体内容。
例如电信号传送声音、图像、文字等。
信息（Information）：传送、交换、存储和提 取的抽象内容，能消除某些知识的不肯定性， 使受信者的知识状态改变，从不肯定到肯定， 从无知到有知。
电系统具有特殊的重要地位，某个电路 的输入、输出是完成某种功能，如微分、 积分、放大，也可以称系统。
在电子技术领域中，“系统”、“电 路”、“网络”三个名词在一般情况下 可以通用。
系统例子：
信源
发送 设备
信道
接收 设备
收信者
发送端
消息
通信系统：为传送消息而装设的全套技术设备
第1章 绪论
信号与系统 第一章_绪论(青岛大学)小白发布
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
信号与系统1.5信号的分解
从t1 到, f (t)可表示为许多窄脉冲的叠加
f (t) f (t1)u(t t1) u(t t1 t1）
t1
令t1 0
t1
f (t1)
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
t1
t1 d t1,
t1
t1
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
(t
t1
)
出现在不同时
刻的，不同强
一直流分量与交流分量二偶分量与奇分量三脉冲分量四实部分量与虚部分量五正交函数分量六利用分形理论描述信号信号的平均功率信号的直流功率交流功率对任何实信号而言
§1.5 信号的分解
信号的分解：将信号分解为一些简单(基本)的信号 之和。分解的角度不同，可以分解为不同的分量。
（一）直流分量与交流分量 （二）偶分量与奇分量 （三）脉冲分量 （四）实部分量与虚部分量 （五）正交函数分量 （六）利用分形理论描述信号
所以 f (t)
f (t1) (t t1) d t1
度的冲激函数 的和。
2．阶跃信号分量的叠加
f t
பைடு நூலகம்
f
t1
f t1
t1
f 0
t1
O
t1
t
第一个阶跃是： f0 (t) f (0)u(t)
任意 t1 时刻分解的阶跃信号为： [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
于是：
下图示出Sierpinski（希尔宾斯基）三角形集合的几 何图形，容易看出图中依次演变的规律，图形中的局部 与整体具有明显的相似性。
Sierpinski三角形集合
Koch（克赫）曲 线
§1.5 连续信号的分解 信号分析最重要的方法之一,是将一个复杂信号分解
t 上式中的 vC (t0 ) 或 vC (0 − ) 是电流 ic (t ) 在时刻 t = t0 、 = 0 −
以前的作用，是系统在该时刻的储能，称作系统的初 始状态或初始条件。 由电容与电感的对偶关系，不难得到
diL (t ) v L (t ) = L dt
1 t 1 t iL (t ) = ∫ v L (τ )dτ = iL (t0 ) + ∫ v L (τ )dτ L −∞ L t0
→ 响应。为简便也常表示为 f (t ) → y (t ) ，其中“ ” 表示
系统的作用。
2、初始状态 、 在讨论系统响应前，我们先讨论系统的初始状态。“初始” 实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路 的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，为讨论问题方便， 习惯将“0” 记为“初始”时刻。 下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态 的概念。
以及
1 t 1 t iL (t ) = ∫ v L (τ )dτ = iL (0 − ) + ∫ v L (τ )dτ L −∞ L 0−
与电容情况相同，表明电感也为动态、储能元件。iL (t0 )
t iL (0− ) 是电压在 t = t0 、 = 0 − 时刻以前作用的结果，是系
统在该时刻的储能，称作系统的初始状态或初始条件。 只有已知 t > t0 、（ t ≥ 0 ）时的 vL (t ) 以及系统的初始 状态 iL (t0 ) （ iL (0− ) ），才能求解 t > t0（ t ≥ 0 ）系统 的响应 iL (t ) 。
2∆t
k∆t
(k + 1)∆t
t
令窄脉冲宽度 ∆t →0，并对其取极限，得到
f (t ) = lim
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t1 t1
[f f (0)u(t)
t1 t1
(t1
)
f (t1 t1
t1
)]u(t
t1
)t1
取 t1 0 的极限：
f (t)
f (0)u(t)
0
df (t1 dt1
)u
(t
t1
)dt1
说明：将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 在第二章将由此引出卷积积分的概念，并进一步研 究它的应用。
t0 T t0
fA2(t) dt
（二）偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f
(t)
fe (t)
fo (t)
fe (t) fo (t)
: 偶分量 : 奇分量
fe t fe t e: even
fo t fo t
o: odd
fe (t)
1 2
f
(t)
f
(t)
fo (t)
1
2
f
(t)
f
(t)
（四）实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实、虚部两个部分之和。
f (t) fr (t) jfi (t)
共轭复函数 f *(t) fr (t) jfi (t)
fr (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
jfi (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
实际产生的信号都是实信号，但是在信号分析中可以
f (t) f (t1)u(t t1) u(t t1 t1）
t1
令t1 0
t1
f (t1)
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
t1
t1 d t1,
t1
t1
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
(t
t1
)
出现在不同时
刻的，不同强
所以 f (t)
f (t1) (t t1) d t1
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
（三）脉冲分量分解
1．矩形窄脉冲分量 f t
t1
f t1
O
t1 脉宽： ,
t
当t t1, 脉高：f t1 , 存在区间：u(t t1) u(t t1 t1 )
此窄脉冲可表示为 f t1u(t t1) u(t t1 t1)
从t1 到, f (t)可表示为许多窄脉冲的叠加
借助于复信号来研究实信号的问题，可以简化计算或
建立有益的概念。
（五）正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成 信号的各分量就是相互正交的。
把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与 系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主 要课题。
我们第三章开始学习。
（六）利用分形理论描述信号
下图示出Sierpinski（希尔宾斯基）三角形集合的几 何图形，容易看出图中依次演变的规律，图形中的局部 与整体具有明显的相似性。
Sierpinski三角形集合
Koch（克赫）曲 线
度的冲激函数 的和。
2．阶跃信号分量的叠加
f t
f
t1
f t1
t1
f 0
t1
O
t1
t
第一个阶跃是： f0 (t) f (0)u(t)
任意 t1 时刻分解的阶跃信号为： [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
于是：
f (t) f (0)u(t) [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
fD
(t
)
1 T
t0 T f (t) d t
t0
fD t：信号的直流分量，即平均值。
f (t)
f A (t)
fD (t)
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
P 1 T
t0T f 2 (t) d t 1
t0
T
t0 T t0
fD(t)
fA (t)
2
dt
f D2 (t )
1 T
§1.5 信号的分解
信号的分解：将信号分解为一些简单(基本)的信号 之和。分解的角度不同，可以分解为不同的分量。
（一）直流分量与交流分量 （二）偶分量与奇分量 （三）脉冲分量 （四）实部分量与虚部分量 （五）正交函数分量 （六）利用分形理论描述信号
（一）直流分量与交流分量
f (t) fA (t) fD (t)
分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始 人为B.B.Mandelbrot;分形是“其部分与整体有形似 性的体系”；
应用分形技术的实例：图像数据压缩、语音合成、 地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检 测、通信网业务流量描述等。
这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性， 借助分形理论可提取信号特征，并利用一定的数学 迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具 有自相似特征的信号。