信号与系统1.5信号的分解

t0 T t0
fA2(t) dt
（二）偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f
(t)
fe (t)
fo (t)
fe (t) fo (t)
: 偶分量 : 奇分量
fe t fe t e: even
fo t fo t
o: odd
fe (t)
1 2
f
(t)
f
(t)
fo (t)
1
2
f
(t)
f
(t)
t1 t1
[f f (0)u(t)
t1 t1
(t1
)
f (t1 t1
t1
)]u(t
t1
)t1
取 t1 0 的极限：
f (t)
f (0)u(t)
0
df (t1 dt1
)u
(t
t1
)dt1
说明：将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 在第二章将由此引出卷积积分的概念，并进一步研 究它的应用。
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
（三）脉冲分量分解
1．矩形窄脉冲分量 f t
t1
f t1
O
t1 脉宽： ,
t
当t t1, 脉高：f t1 , 存在区间：u(t t1) u(t t1 t1 )
此窄脉冲可表示为 f t1u(t t1) u(t t1 t1)
从t1 到, f (t)可表示为许多窄脉冲的叠加
借助于复信号来研究实信号的问题，可以简化计算或
建立有益的概念。
（五）正交函数分量
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成 信号的各分量就是相互正交的。
把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与 系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主 要课题。
我们第三章开始学习。
（六）利用分形理论描述信号
fD
(t
)
1 T
t0 T f (t) d t
t0
fD t：信号的直流分量，即平均值。
f (t)
f A (t)
fD (t)
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
P 1 T
t0T f 2 (t) d t 1
t0
T
t0 T t0
fD(t)
fA (t)
2
dtຫໍສະໝຸດ Baidu
f D2 (t )
1 T
分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始 人为B.B.Mandelbrot;分形是“其部分与整体有形似 性的体系”；
应用分形技术的实例：图像数据压缩、语音合成、 地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检 测、通信网业务流量描述等。
这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性， 借助分形理论可提取信号特征，并利用一定的数学 迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具 有自相似特征的信号。
§1.5 信号的分解
信号的分解：将信号分解为一些简单(基本)的信号 之和。分解的角度不同，可以分解为不同的分量。
（一）直流分量与交流分量 （二）偶分量与奇分量 （三）脉冲分量 （四）实部分量与虚部分量 （五）正交函数分量 （六）利用分形理论描述信号
（一）直流分量与交流分量
f (t) fA (t) fD (t)
f (t) f (t1)u(t t1) u(t t1 t1）
t1
令t1 0
t1
f (t1)
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
t1
t1 d t1,
t1
t1
u(t
t1
)
u(t t1
t1
t1）
(t
t1
)
出现在不同时
刻的，不同强
所以 f (t)
f (t1) (t t1) d t1
下图示出Sierpinski（希尔宾斯基）三角形集合的几 何图形，容易看出图中依次演变的规律，图形中的局部 与整体具有明显的相似性。
Sierpinski三角形集合
Koch（克赫）曲 线
度的冲激函数 的和。
2．阶跃信号分量的叠加
f t
f
t1
f t1
t1
f 0
t1
O
t1
t
第一个阶跃是： f0 (t) f (0)u(t)
任意 t1 时刻分解的阶跃信号为： [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
于是：
f (t) f (0)u(t) [ f (t1) f (t1 t1)]u(t t1)
（四）实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实、虚部两个部分之和。
f (t) fr (t) jfi (t)
共轭复函数 f *(t) fr (t) jfi (t)
fr (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
jfi (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
实际产生的信号都是实信号，但是在信号分析中可以