最新数学高考复习小题标准练(十九)

cos 2
A.- 17
B. 7
8
8
C.± 7
D.3
8
【解析】选B.因为角α的终边经过点(1,3),
所以tan α=3,则 2cos2 sin2 2cos2 sin2
cos 2
cos2 sin2
2 tan2 1 tan2
2 32 1 32
7. 8
4.已知双曲线C: x2 y2 =1,则“n>m>0”是“双曲线C的离心率大于 2 ”的
B.点P的轨迹是以A为球心,半径为 2的球面与平面BCC1B1的交线,即点P的轨迹为 小圆,设小圆的半径为r,球心A到平面BCC1B1的距离为1,则r=（ 2）2=11,所以小 圆周长l=2πr=2π,故B正确;
C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离,即平面BCC1B1内的点P满足 |PB|+|PC|=1=|BC|,即满足条件的点P的轨迹就是线段BC,不是椭圆,故C不正确; D.如图,过P分别作PM⊥BC于点M,PE⊥CC1于点E,则PM⊥平面ABCD,所以PM⊥A 过M 作MN⊥AD,连接PN,PM∩MN=M,所以AD⊥平面PMN,所以PN⊥AD,如图建立平 直角 坐标系,设P(x,y),PM=y,则PN2=1+y2,PE2=(1-x)2,
2
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分) 9.在疫情防控阻击战之外,另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人 万众一心,众志成城,防控疫情、复工复产,某企业对本企业1 644名职工关于复 工的态度进行调查,调查结果如图所示,则下列说法正确的是( )
A.x=0.384 B.从该企业中任取一名职工,该职工是倾向于在家办公的概率为0.178 C.不到80名职工倾向于继续申请休假 D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
【解析】x2+y2-6x=0⇒(x-3)2+y2=9,数列a1,a2,a3的公差取最大值时,a1为最短
弦,a3为最大弦(直径),a1=2 9 （3 1）=2 22,因2 此公差的最大值是 答案:2
=22. 3 2
2
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A,B距离之比为常数 λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆,该圆简称为阿氏圆.根 据以上信息,解决下面的问题:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,点 E在棱AB上,BE=2AE,动点P满足BP= 3 PE.若点P在平面ABCD内运动,则点P所形成 的阿氏圆的半径为________;若点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内部运动,F为棱C1D1的 中点,M为CP的中点,则三棱锥M-B1CF的体积的最小值为________.
mn
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为双曲线C: x2 =y21,若n>m>0,则a2=m,b2=n,c2=a2+b2=m+n,所
mn
e= c m n 2m 2，故充分性成立;若n<m<0,则a2=-n,b2=-m,c2=a2+b2=
7.在△ABC中,如果cos(2B+C)+cos C>0,那么△ABC的形状为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
【解析】选A.因为A+B+C=π, 所以cos(2B+C)+cos C =cos(B+B+C)+cos[π-(B+A)] =cos[B+(π-A)]+cos[π-(B+A)]源自文库=cos[π+(B-A)]+cos[π-(B+A)] =-cos(B-A)-cos(B+A)
高考小题标准练(十九) 满分80分,实战模拟,40分钟拿下 高考客观题满分!
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合M={x|x2-2x<0},N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=( )
A.∅
B.{1}
C.{0,1}
D.{-1,0,1}
【解析】选B.由x2-2x<0,得x∈(0,2), 所以M∩N={1}.
1, x 0
A.函数y=sgn(x)是奇函数
B.对任意的x>1,sgn(lnx)=1
C.函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,1)
D.对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x)
【解析】选ABD.
A.由函数的图象可知函数y=sgn(x)是奇函数,所以该选项正确; B.因为x>1,所以ln x>0,所以对任意的x>1,sgn(ln x)=1,所以该选项正确; C.当x>0时,sgn(-x)=-1,因为此时ex>1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1);当 x=0时,sgn(-x)=0,因为此时ex=1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为{0};
即1+y2=(1-x)2,整理为:(x-1)2-y2=1,则动点P的轨迹是双曲线,故D正确.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(-1)=- 1 ,若
2
f(2x-1)≥- 1 ,则x的取值范围为________.
2
A. 1 B. 6 C. 8 D. 2
5
25
25
5
【解析】选A.因为阳数为1,3,5,7,9;阴数为2,4,6,8,10,所以从阳数和阴数中各 取一数的所有组合共有5×5=25个,满足差的绝对值为5的有 (1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5个,则其差的绝对值为5的概率p= 5 1.
f(x)-f(x-1)<3x- 3 的解集是( )
2
A. ( 1 ,0)
2
C. (1 , )
2
B.(, 1)
2
D.(, 1)
2
【解析】选D.设g(x)=f(x)- 3x2,
2
则g′(x)=f′(x)-3x.
因为当x≥0时,f′(x)>3x,
所以当x≥0时,g′(x)=f′(x)-3x>0,
即g(x)在[0,+∞)上单调递增.
a
m
m
-(m+n),所以e=c
a
=
(m n) n
故2n 必 要2，性不成立;故“n>m>0”是“双曲
n
线C的离心率大于 2”的充分不必要条件.
5.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来 的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化 阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三 与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数, 若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为( )
12.在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1所在的平面 上运动,则下列命题中正确的是( )
A.若点P总满足PA⊥BD1,则动点P的轨迹是一条直线 B.若点P到点A的距离为 2 ,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆 C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆 D.若点P到直线AD与直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线
【解析】选ABD.A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,BB1⊥平面ABCD,所 以BB1⊥AC,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D1D,BD1⊂平面BB1D1D,所以 AC⊥BD1,同理AB1⊥BD1,AB1∩AC=A,所以BD1⊥平面AB1C,而点P在侧面 BCC1B1所在的平面上运动,且PA⊥BD1,所以点P的轨迹就是直线B1C,故A正确;
=-cos Bcos A-sin Bsin A-cos Bcos A+sin Bsin A =-2cos Bcos A>0, 所以cos Bcos A<0,即cos B与cos A异号, 又A,B∈(0,π),所以cos B与cos A一正一负, 所以△ABC为钝角三角形.
8.已知f′(x)是函数f(x)的导数,且f(-x)=f(x),当x≥0时,f′(x)>3x,则不等式
2.已知复数z满足(z+2)(1+i)=2i,则 z =(
A.-1+i
B.-1-i
C.1-i
) D.1+i
【解析】选B.因为(z+2)(1+i)=2i,所以z=
2i 1 i
2
（12ii） （1（1i） i）
2
=i(1-i)-2=
-1+i,故 z =-1-i.
3.已知角α的终边经过点(1,3),则 2cos2 sin2 =( )
【解析】(1)以AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴,建立如图所示的坐标系,在xAy坐标平 面上B(6,0),E(2,0),
设P(x,y),由BP= 3PE得(x-6)2+y2=3[(x-2)2+y2],所以x2+y2=12, 所以若点P在平面ABCD内运动, 则点P所形成的阿氏圆的半径为2 3.
当x<0时,sgn(-x)=1,因为此时0<ex<1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为(0,1);所以 函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1)∪[0,1),所以该选项错误. D.当x>0时,x·sgn(x)=x·1=x=|x|;当x=0时,x·sgn(x)=0·1=0=|x|;当 x<0时,x·sgn(x)=x·(-1)=-x=|x|,所以对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x),所以该 选项正确.
【解析】选BD.对于A,x=100-5.1-17.8-42.3=34.8,A错误; 对于B,倾向于在家办公的人员占比为17.8%,故对应概率为0.178,B正确; 对于C,倾向于继续申请休假的人数为1 644×5.1%≈84人,C错误; 对于D,倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为1 644×(17.8%+42.3%)≈988人,D正确.
x
x
对于C,由y=lg x为单调递增函数,a>b>0,则lg a>lg b,故C正确;
对于D,由ab>0,a+b=1,则(1 1)(a+b)=1+b a +1≥2+2 b a=4,
ab
ab
ab
当且仅当a=b=1 时取等号,故D正确.
2
1, x 0
11.已知符号函数sgn(x)= 0, x 0 下列说法正确的是( )
(2)设点P(x,y,z),由BP= P3E得(x-6)2+y2+z2=3[(x-2)2+y2+z2], 所以x2+y2+z2=12,
因为f(-x)=f(x),所以g(-x)=f(-x)- x32=f(x)- x23=g(x),
2
2
所以g(x)是偶函数.
因为f(x)-f(x-1)<3x- 3,
2
所以f(x)- 3x2<f(x-1)- (x3-1)2,
2
2
即g(x)<g(x-1),所以g(|x|)<g(|x-1|),
则|x|<|x-1|,解得x< 1.
【解析】因为f(x)为偶函数,f(-1)=- ,1
2
所以f(1)=f(-1)=- 1,
2
又f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2x-1)≥- , 1
2
所以-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1.
所以x的取值范围为0≤x≤1.
答案:0≤x≤1
14.已知a,b为单位向量,c=2a-b,且<a,b>= ,则<a,c>=________.
10.下列结论正确的是( )
A.若a2>b2,则 1 1
ab
B.若x>0,则x+ 4 ≥4
x
C.若a>b>0,则lg a>lg b
D.若ab>0,a+b=1,则 1 1 ≥4
ab
【解析】选BCD.对于A,若a2>b2,则|a|>|b|,当a=2,b=-1时,1 1不成立,故A错;
ab
对于B,由x>0,则x+4 ≥2 x 4,当4且仅当x=2时取等号,故B正确;
25 5
6.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=16 B.(y-2)2+x2=16 C.(x-1)2+y2=4 D.(y-1)2+x2=4 【解析】选C.由y2=4x知,焦点为(1,0),p=2,由圆与准线相切知:圆心为(1,0),半径 为r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.
3
【解析】因为cos<a,c>=a c a（2a b） 2a2 a b
a c | 2a b | （2a b）2
又0≤<a,c>≤π,所以<a,c>= .
6
2 cos 3
3，
4 1 4cos 2
3
答案:
6
15.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1,a2,a3构成等差 数列,则数列a1,a2,a3的公差的最大值是________.