最新数学高考复习小题标准练(十九)

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高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设，所以, 得,所以，所以直线方程为:,联立，得由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以，所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:，当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，，联立方程组，整理可得：，则有，由条件可知：直线所在直线方程为：，因为直线与直线相交于所以，同理可得：，则，若为锐角，则有，所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或，所以或或，故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：，联立方程组：，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有，因为：，所以，，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得：，而此时： . 令，所以直线，令得，由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离，所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以，得，即令，求导得，当，单调递增；当，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值）（2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得代入，有，则，解得，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设，，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，消元得，，，又，，化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中；由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程，所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得：由韦达定理得则，；所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由，解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得由，得，所以，设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为：联立方程组可解得的坐标为，在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设，所以， ∴，同理可得， ∴四边形ADBC 的面积， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得，满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得，所以，∴，，又，∴，同理可得， ∴，所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得，所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.，又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，，则，，直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，，易得在点处切线为，在点处切线为，由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得，所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

2021高考数学复习测试大题规范练6套

ax2－1
(1)解：函数 f(x)的定义域为(－∞ ，0)∪(0，＋∞ )，f′(x)＝
.
bx2
ax2－1
当 a≤0 时，f′(x)＝
<0，f(x)在(－∞ ，0)，(0，＋∞ )上分别递减．
bx2
1
1
( )( ) a x－
ax2－1
当 a>0 时，f′(x)＝
＝
bx2
a x＋ bx2
a ，
令 f′(x)>0，得 x<－
障维护费两种，对生产线设定维护周期为 20 天，即从开工运行到第 20 天(k∈N*)进行正常
维护，正常维护费为 2 千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收
费一次，第一个需保障维护的周期收费为 1 千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，
(1)证明：A1D⊥平面 ABC； (2)求二面角 B1-A1B-C1 的余弦值． (1)证明：连接 BD，易知△ ABC 是等边三角形，且 D 为 AC 的中点，则 BD⊥AC，因为侧面 ACC1A1⊥底面 ABC，侧面 ACC1A1∩ 底面 ABC＝AC，BD⊂底面 ABC，
所以 BD⊥侧面 ACC1A1，因为 A1D⊂侧面 ACC1A1，所以 BD⊥A1D，因为 A1B＝ 6，BD＝ 3，所以 A1D＝ A1B2－BD2＝ 3，因为 AD＝1，AA1＝2，所以 A1D2＋AD2＝AA21，所以 A1D⊥AC，因为 AC∩ BD＝D，所以 A1D⊥底面 ABC. (2)解：由(1)可知，A1D，AD，BD 两两垂直，所以以 D 为原点，以 BD，AD，A1D 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，

高中数学经典50题(附答案)

高中数学题库1. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。

作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十理新人教版

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={x|lg(x+1)≤0}，集合B={x|2x≤1}，则A∩B=( )A.{x|-1<x≤1}B.{x|x≤0}C.{x|-1<x≤0}D.{x|x≤1}【解析】选C.集合A={x|lg(x+1)≤0}=(-1，0]，集合B={x|2x≤1}=(-∞，0]，则A∩B=(-1，0].2.若i为虚数单位，复数z=1+2i，则=( )A.-+iB.-iC.1+ID.1-i【解析】选A.因为z=1+2i，所以z2=(1+2i)2=-3+4i，|z|=，所以==-+i.3.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1，+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.结合图象可知函数f(x)=|x-a|在[a，+∞)上单调递增，易知当a≤-2时，函数f(x)=|x-a|在[-1，+∞)上单调递增，但反之不一定成立.4.已知抛物线C的顶点是椭圆+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则=( )A. B. C. D.2【解析】选B.由椭圆的方程可得a2=4，b2=3，所以c==1，故椭圆的右焦点F2为，即抛物线C的焦点为，所以=1，p=2，2p=4.所以抛物线C的方程为y2=4x，联立得所以或因为P为第一象限的点，所以P，所以=，所以=4-=.5.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.则f(20)等于( )A.761B.762C.841D.842【解析】选A.因为f(n)=[1+3+…+(2n-1)]+[1+3+…+(2n-3)]=2··(n-1)+(2n-1)=2n2-2n+1(n>1)所以f(20)=2·202-39=761.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示，为了得到g(x)=sinωx的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选B.根据函数图象先确定参数值，由图象知函数周期为π，故ω=2，图象经过，则+φ=2kπ+π，k∈Z，因为|φ|<，故φ=.根据图象平移的规律，可知f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)的图象.7.如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是255，则判断框中的整数N的值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.若输出结果是255，则该程序框图共运行7次，此时S=1+2+22+…+27=28-1=255，则7≤N成立，8≤N不成立，所以7≤N<8，判断框内的整数N的值为7.8.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V为( )A. B. C. D.40【解析】选 B.观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为××4×4=.9.在△ABC中，·=0，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则·=( )A. B. C. D.【解析】选B.由·=0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以与垂直，所以△ABC为直角三角形.以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，由E，F为BC的三等分点知E，F，所以=，=，所以·=×+×=.10.已知函数f(x)=lnx-ax2+ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为( )A.(-∞，0)B.(0，+∞)C.(0，1)∪(1，+∞)D.(-∞，0)∪{1}【解析】选C.函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由题知方程lnx-ax2+ax=0，即方程=a(x-1)恰有两解，设g(x)=，则g′(x)=，当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e)上是增函数，在(e，+∞)上是减函数，且g(1)=0，当x>e时，g(x)>0，g′(1)=1.作出函数y=g(x)与函数y=a(x-1)的图象如图所示，由图可知，函数y=g(x)的图象与函数y=a(x-1)的图象恰有2个交点的充要条件为0<a<1或a>1.11.已知x，y满足约束条件则下列目标函数中，在点(3，1)处取得最小值的是( )A.z=2x-yB.z=-2x+yC.z=-x-yD.z=2x+y【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域如图所示.A，由z=2x-y得y=2x-z，平移直线可得当直线经过点A(3，1)时，截距最小，此时z最大；B，由z=-2x+y得y=2x+z，平移直线可得当直线经过点A(3，1)时，截距最小，此时z最小，符合题意；C，由z=-x-y得y=-x-z，平移直线可得当直线经过点B时，截距最大，此时z最小；D，由z=2x+y得y=-2x-z，平移直线可得当直线经过点A(3，1)时，截距最大，此时z最大，不符合题意.12.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.【解析】选B.设直线AB的方程为x=ny+m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为·=2，所以x1x2+y1y2=2.又=x1，=x2，所以y1y2=-2.联立得y2-ny-m=0，所以y1y2=-m=-2，所以m=2，即点M(2，0).又S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2，S△AFO=|OF|·|y1|=y1，所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1+≥2=3，当且仅当y1=时，等号成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设a=2xdx，则的展开式中常数项为________.【解析】因为a=2xdx=x2=3，故二项式展开式的通项公式为T r+1=(3x)6-r(-1)r x-r=36-r(-1)r x6-2r，令6-2r=0，解得r=3，故所求常数项为·33·(-1)3=-540. 答案：-54014.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1·a n=2n(n∈N*)，则S xx=________.【解析】由a n+1·a n=2n可知，a n+2·a n+1=2n+1，得=2，因此a1，a3，a5…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，因此a2，a4，a6…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列，从而S xx=(a1+a3+…+a xx)+(a2+a4+…+a xx)=+2×=3(21008-1).答案：3(21008-1)15.若△ΑΒC的内角Α，Β满足=2cos，则当Β取最大值时，角C的大小为________. 【解析】由=2cos(A+B)可得sinB=-2sinAcosC，3sinAcosC=-cosAsinC，得tanC=-3tanA，所以tanB=-tan(A+C)=-=≤=.当且仅当tanA=，即tanC=-时取等号，因此当B取最大值时，角C=.答案：16.已知函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关于直线x=3对称，则函数f(x)的值域为________.【解析】由题知f(-1)=0，f(1)=0，因为函数f(x)的图象关于直线x=3对称，所以f(7)=f(-1)=0且f(5)=f(1)=0，即解得a=-12，b=35，所以f(x)=(x2-1)(x2-12x+35)=(x+1)(x-1)(x-5)(x-7)=(x2-6x+5)(x2-6x-7)，设t=x2-6x-1(t≥-10)，则f(t)=(t+6)(t-6)(t≥-10)=t2-36≥-36，故函数的值域为[-36，+∞).答案：。

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十三理新人教版

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十三理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x0∈(0，+∞)，lnx0=x0-1”的否定是( )A.∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1B.∀x∉(0，+∞)，lnx=x-1C.∃x0∈(0，+∞)，lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0，+∞)，lnx0=x0-1【解析】选A.改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x-1.2.在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=30°，CD是边AB上的高，则·=( )A.-B.C.D.-【解析】选B.依题意得CD=ACsin30°=，在方向上的投影等于，因此·=×=.3.如果复数a(a-1)+i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A.-2B.0C.1D.2【解析】选C.由已知得a(a-1)=0，且a≠0，解得a=1.4.实数m为[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.若方程x2-mx+4=0有实数根，则Δ=m2-16≥0，解得m≤-4或m≥4，故所求概率P==.5.设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )A. B.2 C. D.【解析】选C.设P点在双曲线右支上，由题意得故|PF1|=4a，|PF2|=2a.由条件得∠PF1F2=30°，由=，得sin∠PF2F1=1，所以∠PF2F1=90°，在Rt△PF2F1中，2c==2a，所以e==.6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0，1]时，f(x)=x，则方程f(x)=log3|x|的零点个数是( )A.2个B.3个C.4个D.多于4个【解析】选C.函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据[0，1]上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制[-1，0]上的图象，根据周期性，可以绘制[1，2]，[2，3]，[3，4]上的图象，而y=log3|x|是偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象在y轴右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点.7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈)( )A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【解析】选D.连接OA，OB，OD，设☉Ο的半径为R，则(R-1)2+52=R2，所以R=13，sin∠AOD==.所以∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.所以S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB=-×10×12≈6.33平方寸.所以该木材镶嵌在墙中的体积为V=S弓形ACB×100≈633立方寸.8.已知函数f=Αsin(ωx+φ)(Α>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，则f的递增区间为( )A.，k∈ΖB.，k∈ΖC.，k∈ΖD.，k∈Ζ【解析】选B.由图象可知A=2，T=-=，所以T=π，故ω=2.由f=-2，得φ=2kπ-(k∈Z).因为=，所以φ=-，所以f(x)=2sin.由2x-∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z).或：T=-=，所以T=π，-=-=-，+=+=，所以f(x)的递增区间是(k∈Z).9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.6B.8C.10D.15【解析】选C.该程序框图运行3次，各次S的值依次是3，6，10，所以输出的结果是10.10.已知展开式中常数项为1120，其中a是常数，则展开式中各项系数的和是( )A.28B.38C.1或38D.1或28【解析】选C.由题意知·(-a)4=1120，解得a=±2，令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1-a)8=1或38.11.如图所示，网格纸中每个小网格代表边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意知该几何体是一个组合体，左侧是一个放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，右侧是一个半径为1的四分之一球，则该几何体的体积为π×12×2+××13=.12.已知函数f=2x-x3(x>0)，以点(n，f)为切点作该函数图象的切线l n(n∈N*)，直线x=与函数y=f的图象及切线l n分别相交于点P n，Q n，记a n=，则a n的最大值为( )A.1B.2C.D.【解析】选D.对f=2x-x3(x>0)求导，得f′=2-3x2，所以切线l n的斜率为f′=2-3n2，则切线l n的方程为y-=，即y=x+2n3，易知P n，Q n，即y n=-，u n=，故a n==1-n2.因为n∈N*，所以当n=1时，a n有最大值，a n的最大值为1-=.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项的和为S n，则的值为________.【解析】因为S4=，a3=a1q2，所以=.答案：14.设函数f(x)=xsinx在x=x0处取极值，则(1+)·cos2x0=____________.【解析】因为f′(x)=sinx+xcosx，又函数f(x)=xsinx在x=x0处取极值，所以f′(x0)=sinx0+x0cosx0=0⇒sinx0=-x0cosx0⇒x0=-，从而(1+)·cos2x0=·cos2x0=·cos2x0=1.答案：115.已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.【解析】要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图象知点P(1，3)到圆心的距离最大，则|OP|=，圆的半径为，所以|AB|min=2=4.答案：416.已知点P为双曲线C：-=1(n>0)右支上的一点，其右焦点为F2，M为线段PF2的中点，若+的最小值为3(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________.【解析】设双曲线C的左焦点为F1，连接PF1，因为M为线段PF2的中点，O是线段F1F2的中点，故=，=，由已知得a=2，由于点P在双曲线右支上，根据双曲线定义得-=2a，所以+=(+)=(2a+2)=2+≥2+(c-a)=c，即+的最小值为c，所以c=3，故双曲线C的离心率为e==. 答案：。

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新高三数学起始考复习练习题1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________新高三数学起始考复习练习题1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知36a =-，728S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.3．等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，12n n a a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}2nn a +的前n 项和nS.4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PC 的中点，且3PD =，2AD =，4AB =. （1）求证：PA 平面BDE ；（2）若点F 为线段PC 上一点，且AF BD ⊥，求四棱锥F ABCD -的体积.5．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M N 、分别为AB PC 、的中点，,2,PA AD AB AD ===.（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：面MPC ⊥平面PCD ；（3）求点B 到平面MNC 的距离.6．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，APD 90︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1,2,,AB AD E F ==分别为,PC BD的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求三棱锥E ABD -的体积．7．已知函数2()cos 2cos f x x x x =+. （I ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8．已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+++，0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的图像经过点3π⎛⎝且相邻两条对称轴间的距离为π. （1）求函数()f x 的解析式和单调减区间；（2）若将()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得到函数()h x 的图像，求函数()h x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)设函数2()sin cos 222x x xf x =，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状．10．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A b c -=+. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，b c +=ABC ∆的面积.11．在ABC ∆中，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=. （1）求角C 的余弦值；（2）若BC =，AB 边上的中线CD =，求ABC ∆的面积.12．已知函数()222cos 1f x x x =--，x ∈R（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =()0f C =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点()2,0A 在椭圆C 上，过F 点的直线l 与椭圆C 交于不同两点M 、N . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 斜率为1，求线段MN 的长；（3）设线段MN 的垂直平分线交y 轴于点()00,p y ，求0y 的取值范围.14．已知椭圆C 的焦点为1F (-和2F ，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点．求：（1）椭圆C 的标准方程；（2）弦AB 的中点坐标及弦长．15．已知椭圆22221(0)x y E a b a b =+=>>CH 在椭圆上．（1）求椭圆E 的方程；（2）①直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于两点,A B ．求AB 的弦长；②若直线l 与椭圆E 交于两点,A B ．且线段AB 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AOB∆的面积的最大值．（O 为原点）16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为12，直线l ：()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，A 为椭圆C 的左顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AMN ∆的面积为7时，求l 的方程．一、解答题1．在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）22n a n =+（2）22nn +【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质可求出1,a d ，进而可求出{}n a 的通项公式；（2）()1121n n b na n n ==+11121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，由裂项相消求和法可求出n S . 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=.因为37248,a a a a =⎧⎨=+⎩所以11112863a d a d a d a d +=⎧⎨+=+++⎩，解得14a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为22n a n =+. （2）由题意知()1121n n b na n n ==+11121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以111111122231n S n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+⎝⎭1112122n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用裂项相消求数列的前n 项和，属于基础题.2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知36a =-，728S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）212n a n =-；（2）2212111( 5.5)4n S n n n =-=--，30-. 【解析】【分析】（1）先求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由（1）可得前n 项和n S ，由二次函数性质可得最小值（只要注意n 取正整数）．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得126a d +=-，17(3)28a d +=-，解得110a =-，2d =.所以{}n a 的通项公式为212n a n =-. （2）由（1）得22(10212)12111( 5.5)24n n n S n n n -+-==-=--因为*n N ∈所以当5n =或6n =时，n S 取得最小值，最小值为-30. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，方法叫基本量法． 3．等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，12n n a a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}2nn a +的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-；（2）2122n n S n +=+-.【解析】【分析】（1）由12n n a a +-=得出等差数列{}n a 的公差为2，再利用1239a a a ++=，得出1a 的值，再利用等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}2nn a +的通项公式，再利用分组求和法求出nS.s【详解】（1）12n n a a +-=Q ，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-；（2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()()123123252212nn S n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦L()()123135212222nn =++++-+++++⎡⎤⎣⎦L L()()2121212122212nn n n n+-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-.【点睛】本题考查等差数列的通项与分组求和法，对于等差数列通项，一般利用首项和公差建立方程组求解，对于等差与等比相加所构成的新数列，一般利用分组求和法进行求和，考查计算能力，属于基础题。

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十一理新人教版

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十一理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U=R，集合A=，B=，则()∩A=( )A.[4，6)B.(4，9]C.[1，2]D.[-2，1] 【解析】选D.由7-6x-x2≥0⇒(x-1)(x+7)≤0⇒-7≤x≤1，即A=，又由(x+2)(x-4)>0⇒x<-2或x>4，即B={x|x<-2或x>4}，从而=，故()∩A=.2.欧拉公式e ix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.e2i=cos2+isin2，对应点为(cos2，sin2)，由于<2<π，因此cos2<0，sin2>0，点(cos2，sin2)在第二象限.3.已知函数y=f是定义在R上的偶函数，当x∈时，f为减函数，若a=f，b=f，c=f，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b【解析】选B.由已知，f(x)在上为增函数，b=f(-2)=f(2)，而1<20.3<2<log25，故c>b>a.4.已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy有( )A.最小值eB.最小值C.最大值eD.最大值【解析】选A.依题意得lnx·lny=(lnx>0，lny>0)，lnx+lny≥2=1，即ln(xy)≥1，xy≥e，当且仅当x=y=时取等号，因此xy有最小值e.5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a<0)及直线l：x-y+3=0，若直线l被圆C截得的弦长为2，则a的值为( )A.--1B.-C.--1D.-【解析】选A.由于圆C的半径为2，弦长为2，因此，弦心距为d==1，即圆心到直线的距离为=1，解得a=-1±，又因为a<0，所以a=--1.6.已知sin2β=，则sin2=( )A. B. C. D.【解析】选D.sin2====.7.函数f(x)=ln-的零点一定位于区间( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)【解析】选 A.由函数零点存在定理，函数的零点在某区间，应满足区间端点函数值异号，据此加以检验知，ln<1，f(1)=ln-2<0，ln3>1，f(2)=ln3-1>0，所以，函数f(x)=ln-的零点一定位于区间(1，2).8.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填入( )A.k>7？B.k>6？C.k>5？D.k>4？【解析】选D.由程序框图可知，程序在运行过程中各变量值变化如下表：k S 是否满足条件循环前 1 1 否第一次循环 2 4 否第二次循环 3 11 否第三次循环 4 26 否第四次循环 5 57 是所以退出循环的条件应为k>4.9.设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域Ω1及直线3x-4y-9=0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(1，1)到直线3x-4y-9=0的距离最近，该距离等于=2，因此|AB|的最小值等于2×2=4.10.已知四棱锥V-ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为( )A.4πB.9πC.12πD.4π【解析】选D.依题意，底面矩形ABCD的对角线长为=2，因此矩形ABCD的中心到该四棱锥的各个顶点的距离均为，题中的球的半径是，其体积为×()3=4π.11.P为双曲线-=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为( )A.8B.9C.10D.7【解析】选B.易知两圆圆心分别为双曲线的左，右焦点F1(-5，0)，F2(5，0)，点P是双曲线右支上一点，由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=6，|PM|-|PN|≤(|PF1|+r1)-(|PF2|-r2)=6+r1+r2=6+2+1=9，即|PM|-|PN|的最大值为9.12.已知函数f(x)=且方程f2(x)-af(x)+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，-2)∪(2，+∞)B.(2，3)C.(2，3)D.(2，4)【解析】选B.画出函数f(x)的图象如图所示，若方程f2(x)-af(x)+2=0有四个不同的实数根，令f(x)=t，只需t2-at+2=0，t∈(1，2]有两个不同实根.则解得2<a<3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知平面向量a，b满足：a=(1，-2)，|b|=2，a·b=-10，则向量b的坐标是___________. 【解析】设向量a，b的夹角为θ，依题意得a·b=|a||b|·cosθ=10cosθ=-10，cosθ=-1，θ=π，又|b|=2|a|，因此b=-2a=(-2，4).答案：(-2，4)14.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为________.【解析】依题意可得三棱柱的底面是边长为4的正三角形.又由体积为12，可得三棱柱的高为3.所以侧(左)视图的面积为6.答案：615.若双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=________. 【解析】依题意，设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m-2a，|BF2|=m-2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|，因此(m-2a)+(m-2a)=m，4a2=.在Rt△AF1F2中，4c2=|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=m2.因此e2==5-2.答案：5-216.下列说法中正确的有：__________.①已知直线m，n与平面α，β，若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n；②用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n+1)(n∈N*)，从n=k到n=k+1时，等式左边需增乘的代数式是(2k+1)(2k+2)；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y与x是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50.其中拟合效果最好的是模型1.【解析】由题意可知，①中m的位置不确定，因此①错误；②用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n+1)(n∈N*)，从n=k到n=k+1时，等式左边需增乘的代数式应为2(2k+1)，因此②错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确；答案：③④。

新高考19题数学试卷

新高考19题数学试卷新高考数学模拟题（数列部分）一、题目（第20题）已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n + 1=2a_n+1（n∈ N^*）。

(1) 证明数列{a_n+ 1}是等比数列；(2) 求数列{a_n}的通项公式。

二、答案。

(1)1. 由a_n + 1=2a_n+1可得：- a_n + 1+1 = 2a_n+1 + 1=2(a_n+1)。

2. 然后，当n = 1时，a_1+1=1 + 1=2。

3. 所以，数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。

(2)1. 因为数列{a_n+1}是等比数列，其通项公式为a_n+1 = 2×2^n - 1=2^n。

2. 那么a_n=2^n-1。

三、解析。

(1)1. 证明思路。

- 要证明一个数列是等比数列，需要证明从数列的第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数（公比）。

- 对于数列{a_n+1}，我们通过对已知条件a_n + 1=2a_n+1进行变形，得到a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。

这就表明了frac{a_n + 1+1}{a_n+1}=2，满足等比数列的定义。

- 同时，我们求出了首项a_1+1 = 2，这样就完整地证明了数列{a_n+1}是等比数列。

2. 详细步骤。

- 对a_n + 1=2a_n+1进行移项变形，得到a_n + 1+1 = 2a_n+2 = 2(a_n+1)。

- 当n = 1时，a_1=1，所以a_1+1 = 2，这就是数列{a_n+1}的首项。

- 由于frac{a_n + 1+1}{a_n+1}=2（n∈ N^*），所以数列{a_n+1}是等比数列。

(2)1. 求解思路。

- 因为已经证明了{a_n+1}是等比数列，且首项a_1+1 = 2，公比q = 2，根据等比数列的通项公式a_m=a_1q^m - 1，这里m=n，a_1=2，q = 2，所以a_n+1 = 2×2^n - 1=2^n。

人教版二年级数学上册《练习十九》课件PPT(最新)

在( )里填上合适的时间单位。小孩大约每天睡9( 时 )；系红领巾大约需
要20( 秒 )；做熟饭大约需要25( 分 )。
巩固练习 1时＝60分
1分＝60秒
表内乘法（二）
回想时、分、秒之间的进率？
举例
比较大小。 9分＝540秒 9分○> 90秒 60＋15＝75秒 1分15秒 ○> 65秒
巩固练习
答：今年的实际产量是去年的165%。
课堂小结
表内乘法（二）
这节课你们都学会了哪些知识？
“求比一个数多(少)百分之几的数是多少”的解题方法一般有两种：
一种是先求出比单位“1” 另一种是先求出这个数是单
多(少)的数，再用单位位“1”的百分之几，再用单
“1”的量加(减);
位“1”的量乘百分之几。
课堂小结
巩固练习
表内乘法（二）
（2）你还能提出其他用乘法解决的问题并解答吗？
6元一盒的水彩笔买7盒需要多少钱？
7×6=42（元）口答：一共要42元钱。
答案不唯一哦！
巩固练习
表内乘法（二）
8×4+4=36（元）口答：我们全家一共要36元钱。
巩固练习
表内乘法（二）
8辆小汽车和1辆货车一共收费多少元？
比大小。
○ 30分 < 3时 ○ 40秒 < 1分 ○ 60分 = 1时
练习
表内乘法（二）
○ 80分 > 1时 ○ 120分 = 2时 ○ 90分 < 3时
巩固练习
表内乘法（二）
结束时刻－开始时刻＝经过时间
结束时刻＝开始时刻＋经过时间
开始时刻＝结束时刻－经过时间
巩固练习
表内乘法（二）

2019江苏高考数学小题强化训练50练(提升版)(含详细解答)

高考数学小题强化训练50篇(提升版)8个填空题+4个解答题 (含详细参考答案)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.给出以下结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”．则其中错误的是________．(填序号)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx 2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f (f (33))＝________．3.连续抛掷两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则函数f (x )＝ax 2－bx 在x ＝1处取得最值的概率是________．4.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若a 4·a 8＝2a 10，则S 3的最小值为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是____________．(第6题)6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．7.已知a >0，b >0，则a 2a ＋b ＋2b2b ＋a的最大值为________.8.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一的零点，则a ＝________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN 与AA 1所成角的大小为90°，且MA 1＝MC .求证：(1)平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2)MN ∥平面ABC .10.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n .(1)求cos2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β的值．11.(本小题满分16分)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，求证：∠OMA ＝∠OMB .12.(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第________象限．2.设集合A ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∪B ＝____________．3.若θ∈(0，π4)，且sin2θ＝14，则sin(θ－π4)＝________．4.已知一个正方体的外接球体积为V 1，其内切球体积为V 2，则V 1V 2的值为________.5.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________．6.在▱ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是CD 上一点，且AE →＝12AB →＋BC →，|AB →|＝λ|AD →|.若AC →·EB →＝12AD → 2，则λ＝________．7.设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ，若对任意x 2＞x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1恒成立，则实数m 的取值范围是__________．8.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则1（x －y ）2＋1（x ＋y ）2的最小值为________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB 的值；(2)若DC ＝22，求BC 的值．10.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(点E与点A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.11.(本小题满分16分)如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rcm.圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为2a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域；(2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？12.(本小题满分16分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n＋1，S n，a成等差数列(n∈N*)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14≤2x ≤64，x ∈N ，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 的子集的个数是________．2.设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的__________条件． 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距为________．4.已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n .若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________．5.已知在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．(第7题)6.已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．7.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若函数f (x )有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．10.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：4x ＋3y －20＝0.A (45，35)为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O作MN 的垂线交l 于点P .(1)若MN ∥l ，求△PMN 的面积；(2)判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．11.(本小题满分16分)某农场有一块农田，如图，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ. (1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝{x |3<x <4}，则实数a ＝________．2.已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋sin x －8，且f (－2)＝10，那么f (2)＝________．3.已知sin θ－cos θ＝43，θ∈(3π4，π)，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝________．4.记函数f (x )＝3－2x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．5.在三棱锥ABCD 中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF ＝FD .若三棱锥ABEF 的体积为2，则四棱锥BECDF 的体积为________．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边三角形P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为________．7.设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________．8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0＜x ≤1，|ln （x －1）|，x ＞1.若方程f (x )＝kx －2有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求A 的值；(2)求边AC 上的高．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．11.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2.12.(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，求证：T n <2.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练五一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.欧拉公式e xi ＝cos x ＋i sin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e －3i 表示的复数在复平面中位于第________象限．2.某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．3.在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足P A →·PB →≥0的概率是________． 4.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值与最小值的和为________．(第5题)5.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是______________．6.若抛物线x 2＝4y 的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为________．7.已知数列{a n }满足a 1＝0，数列{b n }为等差数列，且a n ＋1＝a n ＋b n ，b 15＋b 16＝15，则a 31＝________．8.已知函数f (x )＝x (a －1ex )，曲线y ＝f (x )上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a的取值范围是__________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．10.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证： (1)B 1C 1∥平面A 1DE ；(2)平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.11.(本小题满分16分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30，0<x ≤30，2x ＋1 800x －90，30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练六一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若A ＝{x ||x |＜3}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩B ＝________．2.电视台组织的中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“立德树人”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国优秀传统文化”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．3.将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为____________．4.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x的取值范围是________．(第5题)5.如图，从热气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时热气球的高度是60m ，则河流的宽度BC ＝________．6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a的取值范围是________．7.已知O 为矩形P 1P 2P 3P 4内的一点，满足OP 1＝4，OP 3＝5，P 1P 3＝7，则OP 2→·OP 4→＝________．8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x <2，f （x －2），x ≥2.若对于正数k n (n ∈N *)，直线y ＝k n x 与函数y ＝f (x )的图象恰有(2n ＋1)个不同的交点，则数列{k 2n }的前n 项和为________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证： (1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .10.(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )． (1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值．11.(本小题满分16分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x (百套)的销售额(单位：万元)P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0<x ≤5，14.7－9x －3，x >5.(1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． (注：利润＝销售额－成本，其中成本＝设计费＋生产成本)12.(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练七一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝____________．2.已知复数z ＝(1＋i )(1＋2i )，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤1，11－x，x ＞1，则f (f (－2))＝________．4.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn＝________．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思如下：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________．6.已知sin α＝3sin(α＋π6)，则tan(α＋π12)＝________．7.已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于________.8.已知函数f (x )＝log 2(ax 2＋2x ＋3)，若对于任意实数k ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝k 成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝EC ＝12AA 1.求证：(1)AC 1∥平面BDE ； (2)A 1E ⊥平面BDE .10.(本小题满分14分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 2＝3，且a 3，a 5，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n cos a n π2，求数列{b n }的前2018项和．11.(本小题满分16分) 为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG (图中阴影部分)．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy (如图)．景观湖的边界曲线符合函数y ＝x ＋1x (x >0)模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝43百米．(1)若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； (2)若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且椭圆经过点A (2，0)和点(1，3e )，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM ＝MA .若MF 1⊥BF 2，求直线l 的斜率．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练八一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，则|a －2b|＝________．2.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈[0，2π))的图象和直线y ＝12的交点的个数是________.3.由命题“存在x 0∈R ，使得e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．4.已知圆柱M 的底面圆半径为2，高为6，圆锥N 的底面圆直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．6.设定义在R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．7.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________．8.已知直线y ＝kx ＋2－2k 与曲线y ＝2x －3x －2交于A ，B 两点，平面上的动点P 满足|P A →＋PB →|≤2，则|PO →|的最大值为________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在正四棱锥VABCD 中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．求证： (1)EF ∥平面ABCD ； (2)平面VBD ⊥平面BEF .10.(本小题满分14分) 如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200m ，斜边AB ＝400m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离ym 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：x 2＋y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ→＝2MQ →.(1)求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； (2)过点T (－2，t )(t ∈R )作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B . ①求证：直线AB 过定点(与t 无关)；②设直线AB 与(1)中的椭圆交于C ，D 两点，求证：ABCD≤ 2.12.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋t ，x ＜0，x ＋ln x ，x ＞0，其中t 是实数．设A ，B 为该函数图象上的两点，横坐标分别为x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 2<0，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，求x 1－x 2的最大值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练九一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．3.如图，在△ABC 中，已知AN →＝12AC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．(第2题)(第3题)(第4题)4.如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1DEF 的体积为________．5.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y的取值范围是________．6.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．7.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （2n －1）（2n ＋1－1）的前k 项的和不小于2 0182 019，则k 的最小值为________．8.在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin(B －π3)＝35，求sin A 的值．10.(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b . (1)当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．11.(本小题满分16分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)求证：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.求证：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．12.(本小题满分16分)设等差数列{a n }是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数．(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝S na n－1，n ∈N *.①若a 2＝5，S 5＝40，求b 2的值； ②若数列{b n }为等差数列，求b n .(2)求证：数列{a n }中存在三项(按原来的顺序)成等比数列．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若复数(a －i )(1－i )(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a ＝________．2.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．3.执行下面的流程图，输出的T ＝________．4.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 2＝a 4，则S 4a 2＋a 5＝________．5.已知点P (1，22)在角θ的终边上，则sin(2θ＋π2)＋sin(2θ＋2π)＝________．6.从x 2m －y2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．7.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：x ＋2y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为________．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤0，e x －1，x ＞0，若函数y ＝f (x )－2x ＋t 有两个零点，则实数t 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．10.(本小题满分14分)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20km 和50km .某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km /s .(1)设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)． (1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．12.(本小题满分16分) 已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a ＝1，求证：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求实数a 的值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x －12＜0}，B ＝{x |x <sin5π}，则A ∩B 中元素的个数为________．2.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．i ←1Whilei <6 i ←i ＋2 S ←2i ＋3 EndWhile PrintS3.已知首项为负数的等差数列{a n }中，a 5a 4<－1，若S n 取到最小正数，则此时的n ＝________．4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________．5.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ＋3≥0，x ≤a表示的可行域为D ，其中a >1，点(x 0，y 0)∈D ，点(m ，n )∈D .若3x 0－y 0与n ＋1m的最小值相等，则实数a ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线l 恰好是曲线y ＝x 3－3x 2＋22x 在原点处的切线，左顶点到一条渐近线的距离为263，则双曲线的标准方程为__________．7.将函数y ＝3sin(π4x )的图象向左平移3个单位长度，得函数y ＝3sin(π4x ＋φ)(|φ|<π)的图象(如图)，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点．设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．8.已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18. (1)求BC 的长； (2)求tan2B 的值．10.(本小题满分14分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．11.(本小题满分16分)曲线f (x )＝x 2－a 2ln x 在点(12，f (12))处的切线斜率为0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m 的取值范围．12.(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD ，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AA 1＝AD ，设∠DAO ＝θ. (1)求梯形ABCD 的面积；(2)当sin θ取何值时，四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 的体积最大？并求出最大值．(注：木材的长度足够长)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x ∈R |log 12(x －2)≥－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1，则A ∩B ＝________． 2.设向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－1)，若b ⊥(a ＋2b )，则实数m ＝________．3.已知正五边形ABCDE 的边长为23，则AC →·AE →的值为________．4.正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为π4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.5.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．6.已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13，则tan(α＋2β)＝________．7.已知a >0，函数f (x )＝x (x －a )2和g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 存在相同的极值点，则a ＝________.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x <a ，－2x ，x ≥a ，若关于x 的不等式f (x )>4a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是____________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C 的值；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD,AC 交BD 于点O ，锐角三角形P AD 所在平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证： (1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .11.(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且FB ·AB ＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ PQ ＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．12.(本小题满分16分)如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路CDEF ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎨⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1)用t 表示线段EF 的长；(2)求修建该参观线路的最低费用．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．(第3题)1.已知复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为________．2.若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________．3.执行如图所示的程序框图，若a ＝2018，则输出的S ＝________．4.设等边三角形ABC 的边长为1，t 为任意的实数，则|AB →＋tAC →|的最小值为________．5.已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为________．6.已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在x ∈[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．7.已知x ＞y ＞0，且x ＋y ≤2，则4x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．8.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与PB ，PC 交于点E ，F .求证： (1)平面PBC ⊥平面PCD ； (2)AD ∥EF .10.(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点(－3，12)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．11.(本小题满分16分)如图，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O的直径，点B ，C ，G 在圆O 上，BC ∥AD ，点E ，F 在AD 上，且OE ＝OF ＝12BC ，EG ＝FG .(1)设∠AOB ＝θ，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； (2)求多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13恒成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________．2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各八名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)，规定85分以上(含85分)为优秀，现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的数学成绩，则两人成绩都为优秀的概率是________．错误!(第2题) (第3题) (第5题)3.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为14，则阴影部分的面积为________．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．5.如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．若AB ＝2，∠BAD ＝60°，则当四棱锥P ABCD 的体积等于23时，PC ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，2b )．若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．7.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－(2x －1)(e 2x －1－e 1－2x )，则满足f (x )>0的实数x 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．。

2020年高考数学(理)复习【双曲线的定义、标准方程及性质】小题精练卷附答案解析

2020年高考数学（理）复习【双曲线的定义、标准方程及性质】小题精练卷刷题增分练○33 一、选择题1．[2019·绵阳诊断]已知圆O 1和圆O 2的半径分别为2和4，且|O 1O 2|＝8，若动圆M 与圆O 1内切，与圆O 2外切，则动圆圆心M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案：C解析：设动圆M 的半径为R ，由题意得|MO 1|＝R －2，|MO 2|＝R ＋4，所以|MO 2|－|MO 1|＝6(常数)，且6<8＝|O 1O 2|，所以动圆圆心M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支．2．[2019·昆明模拟]“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：先证充分性，由mn <0，知m ，n 异号，可得1m ，1n 异号，所以方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则m ≠0，n ≠0，方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，由双曲线方程的形式可知1m ，1n 异号，所以mn <0.综上，“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：B解析：由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|.解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.4．[2019·广东广州模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案：C解析：由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 答案：A解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y216＝1.6．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322 D ．2 2答案：D解析：由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D.7．[2019·河南豫南豫北联考]已知直线y ＝x ＋1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D. 5 答案：B解析：由题意得M (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2＝k AB ·k OM ＝2.∴b 2＝2a 2，即c 2－a 2＝2a 2，∴e ＝ 3.故选B. 8．[2019·福州四校联考]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x 答案：A解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以ba＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.二、非选择题9．[2019·辽宁沈阳月考]已知方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：∵mx 2＋(2－m )y 2＝1表示双曲线，∴m (2－m )<0.解得m <0或m >2.10．[2019·广东揭阳普宁市华侨中学模拟]过双曲线x 2－y 22＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________．答案：12解析：由题意，|PF 2|－|PF 1|＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2.∵ |PF 1|＋|QF 1|＝|PQ |＝4，∴|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，∴|PF 2|＋|QF 2|＝8.∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝8＋4＝12.11．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案：x 24－y 2＝1解析：解法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解法二 ∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.12．[2019·郑州模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，直线FM 交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线的渐近线方程为________．答案：y ＝±33x解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，F (c,0)，则|MF |＝b ，由2MF →＝FN →，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理，得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a ，因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a ，在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以b a ＝33，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x .刷题课时增分练○33 一、选择题1．[2019·合肥检测]下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 答案：D解析：对于A ，渐近线方程为y ＝±912 x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x ＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x .故选D.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 225－y 220＝1C.x 220－y 25＝1D.x 220－y 225＝1 答案：A解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝ca＝5，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y220＝1.3．[2019·山东潍坊模拟]曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是( )A ．5 B.5 C.52D. 3 答案：B 解析：由y ＝x 2求导，得y ′＝2x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝2.∵函数y ＝x 2在点P (1,1)处的切线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行，∴b a ＝2，∴e ＝ca ＝1＋b 2a2＝5，故选B.4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.32答案：A解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－⎝⎛⎭⎫b a 2＝－1，可得a ＝b ，，双曲线为等轴双曲线，故e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.5．[2018·全国卷Ⅱ]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x答案：A解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率ca＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2.∴b ＝2a (a ＞0，b ＞0)．∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x . 故选A.6．[2019·河南郑州月考]已知点A 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 是右焦点．若△AOF (O是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e 为( )A. 2B.3 C ．1＋ 2 D ．1＋ 3 答案：D解析：依题意及三角函数定义得点A ⎝⎛⎭⎫c cos π3，c sin π3，即A ⎝⎛⎭⎫12c ，32c .代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，得b 2c 2－3a 2c 2＝4a 2b 2.又由c 2＝a 2＋b 2，得e 2＝4＋23，解得e ＝3＋1.故选D.7．[2019·黑龙江海林月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( )A. 2B.3 C ．2 D ．2 2 答案：C解析：因为过右焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A 在左支上，点B 在右支上．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c,0)．因为AF→＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，所以3x 2－x 1＝2c .因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a,3x 2≥3a ，所以3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，所以ca≥2，即e ≥2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.8．如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则△BF 1F 2的面积为( )A ．8B ．82C ．8 3D ．16 答案：C解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c ＝7a ，由a 2＋b 2＝c 2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3.二、非选择题9．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．答案：x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析：设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 10．[2019·海淀模拟]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.11．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求||AB ；(2)求△AOB 的面积．解析：(1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴||AB ＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫332[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－652－4⎝⎛⎭⎫－275＝165 3 (2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝125 3.。

2024年8月第三届”鱼塘鸽子杯“高考适应性练习数学试题+答案

2024年8月第三届「鱼塘鸽子杯」高考适应性练习.注意事项：1.本参考答案和评分标准选择题部分提供了答案和解析，非选择题部分提供了标准解答和评分标准.2.非选择题部分每一题只给出了一种解答提供阅卷参考，如果出现新的解答，按照本参考答案和评分标准的精神，划定步骤分评分.3.如果考生发现自己的改卷结果和本参考答案和评分标准不一致，可在官方QQ 群中@任意一个管理员进行申诉，申诉时需要提供准考证号和自己的解答拍照.4.本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题主要考察基本知识和基本方法.1.设复数z =1−i ，则z z 的值是A.−1 C.√B.12D.2【答案】D.【解析】z z =|z|2=1+1=2.2.设1,3a,4a 构成等差数列，则a 的值是B.−A.−11 C.21 D.21【答案】C.【解析】因为1+4a =2⋅3a 13.如果A ={x ∈R ∣y =√−x}，所以B =，a =N 2.，则A B =A.∅B.{0}C.ND.R【答案】B.【解析】可以知道A ={x ∈R ∣x ⩽0}，它和自然数集唯一的公共元素是0，所以A B ={0}.4.如果A.−√2P (x,y)是单位圆上一点，则xy 的最小值是B.−11 D.−C.−214【答案】C.2【解析】设x =cos θ,y =sin θ，那么xy =sin θcos θ=1sin 2θ⩾−12.5.在棱长为1的正方体ABCD −EF GH 中，设O 为中心点，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OA ⋅(OC +OF )=B.−A.−11D.C.2012【答案】B.ABCD −A 的中心点，所以不妨以A ⃗⃗⃗⃗⃗原点，AB B 1(1,0,1),则OA =(−1,−1⃗⃗⃗⃗⃗,−【解析】因为O 是棱长为1的正方体1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1B 211C 222OC =(,211D ,−11),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(11,12OB 1为22)，故⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，因此OC +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OA ⋅(OC +OB 1221⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)= (−1)2×1+(−12)×0+(−,−2)×0=−12.6.如果在△ABC 中，sin C <sin (A −B)，则△ABC 的最大内角是A.AB.BC.CD.无法比较【答案】A.【解析】因为在sin sin ，而sin (A −B)sin A B sin B sin C <cos sin ，整理得，故而△ABC sin cos 中，(A +B)<A +B +C =π0<B <π，所以，即，故而C =sin cos sin B >0(π−A −B)=A <A <0(A +B)B +sin ，因此cos cos sin A cos sin ，而B −，又因为A (A −B)π2<A <π，A <00<A <π，所以2B B +C <π2<A ，因此最大角为A.若某正三棱锥的侧面为直角三角形，则该三棱锥的体积与其外接球体积之比是7.√√33√B.36π3C.18π D.√9π3A.72π【答案】D.【解析】解析：记该正三棱锥为P −ABC ，其中|P A|=|P B|=|P C|，因为三个侧面都是直角三角形，所以都是等腰直角三角形，故只能有P A ⟂P B ，P B ⟂P C 1，P C ⟂P A 设|P A|=|P B|=|P C|=a ，则该三棱锥的体积V 1=1⋅(1⋅a ⋅a)⋅a =6a 3..32不妨要研究正三棱锥P −ABC 的外接球，可转化为研究以P A ，P B ，P C 为直角边的长方体的外接球；该长方体的体对角线长度等于该长方体外接球的直径，故外接球半径r =d2=2√a 2+a 2+a 2=√23a ，36a V 213因此外接球体积V 2=4πr 3=√23πa 3，故V 1=√23πa3=√9π3即为所求.8.已知函数f(x)=ln x −e，如果对于任意的x 1∈(0,+∞)2，存在，则x 2∈R ，使得f(x 1)<g(x 2)2x 2，a g(x)=−x 的取值范围是+2ax −2A.(−1,1)√C.(−∞,−1)(1,+∞) D.(−∞,−B.(−2,√√2)2)(√2,+∞)【答案】C.1【解析】分别求出f(x)，g(x)的最大值.f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=x−ex ,当f ′(x)>0时，0<x <√1e ；f ′(x)<0时x >√1e ，因此f(x)在(0,√1e )单调递增，在(√1e ,+∞)单调递减，f(x)的最大值f(x)max =f (√1e)=−1；由二次函数性质可知，g(x)的2−2.1∈(0,+∞)R ，使得f(x 1)<g(x 2，存在)，所以f(x)maxmax x 2∈(1,+∞).二、选择题：本题共3−1<a 2−2,解得最大值g(x)max <g(x)=g(a)=a ，即小题，每小题因为对于任意分，共x 6a ∈(−∞,−1)分18.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.本题主要考察基本知识和基本方法的拓展运用.9.如果随机事件A,B,C 满足A 与B 独立，A 与C 互斥，则A.P (C)⩽P (A) B.P (C)≠P (B)C.A 与B 独立D.B 与C 独立【答案】AC.C =∅，所以CA ，进而P (C)⩽P (A).立性的意义可以知道A 也与B 独立另外根据独A 【解析】因为A ，C 互斥，所以.10.在四面体，，2=|AC|⋅|BD|一个动点，设αABCD 是过点中，且垂直于AB ⟂AC BC BD ⟂CD 的平面，设平面|AD|α与折线BAC ，̂P BC 是线段上的相交于点M ，与折线BDC相交于点N ，则̂P A.∠MP N 是二面角A −BC −D 的平面角B.平面α截四面体ABCD 的截面是三角形C.若∠ABC =∠BCD =60∘，则直线AD 与直线BC 夹角的正弦值为√36D.若∠ABC =∠BCD =60∘，则二面角A −BC −D 的余弦值为√36【答案】AC.【解析】因为P M,P N∠MP N 是二面角A−BC −D 的平面角α⟂BC 在平面，并且.ABC,DBC α，所以中，分别作AG,DH ⟂BC P M,P N ⟂BC ，当，所以P G,H 之间时，αa的截面是四边形.设在|BC|=a ，若∠ABC =∠BCD =60∘，|AB|=|DC|=2，|AC|=|BD|=2√3a ，根据|AD|2=|AC|⋅|BD|得到|AD|=√23a .而且|BG|=|CH|=a ，|CG|=3a ，所以2，2|AE|=√2，所以直|GH|=a ，过点D 作DE//GH ，|DE|=|GH|，则√线AD 与直线BC 夹角的正弦值为sin ∠ADE =AE ⟂ED 36.此时|AG|=|GE|=，|ED|=a4√32a ，|AE|=2a 4√22a ，3所以cos ∠AGC =2≠√36.11.在1717年，法国流行这样一个赌博游戏：连续抛掷一个骰子四次，赌是否会出现至少一个(Chevalier de Méré)发现6点.记“会出现至少一个6点”是事件A .经过试验，赌徒德·梅勒至少出现一个6点比不出现的几率似乎要稍微大一些.他总是赌“会出现”，每次结算下来他总是赢.在这个赌博游戏的一个“加强版”中，赌徒们需要猜测，连续抛掷两个骰子24次，是否会出现至少一对6点.记“会出现至少一对6点”为事件B 1，则A.Chevalier de Méré的试验中，事件A 发生的频率大于2B.可以根据Chevalier de Méré的多次试验估计P (A)比12大C.Chevalier de Méré需要赌“不会出现”才能确保在“加强版”中赢的几率更大D.因为两个骰子都是6点的概率是一个骰子是6点概率的16，而且“加强版”游戏的投掷次数正好是“原版”游戏投掷次数的6倍，所以P (A)=P (B)【答案】ABC.【解析】因为在Chevalier de Méré着事件A 发生的频率大于1，并且可以根据2总是赌“会出现”时，每次结算下来他总是赢，这意味Chevalier de Méré的多次试验，由频率估计概率P (A)比1大.为了判断在“加强版”中Chevalier de Méré2需要采取什么策略，计算得到P (B)=1−(35)24，需要将其与12比较大小，可以比较出前者比后者小（具体讲解参见直播讲解）.36三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.本题主要考察基本知识和基本方法.12.若函数f(x)=sin x 的图像与函数g(x)的图像关于y 轴对称，则g(x)为的一个解析式.【答案】g(x)=−sin x.（答案不唯一）g(x)=−sin x 【解析】注意到sin x 是奇函数，因此.13.若(1+x 2)4=a 8x 8+a 7x 7+⋯+a 0，则a 3+a 5+a 7=.【答案】0.【解析】式中含有x 的项，指数一定是偶数，所以a 3=a 5=a 7=0，所以a 3+a 5+a 7=0.a 2+y 14.已知过椭圆x 2b 22=1上点(x 0,y 0)的切线方程是xx a 2+yy=10b20.l 设1,l 分别是椭圆C ∶x 72+y 32=1的两条垂直切线，切点分别为P (x 1,y 1),Q(x ,y 22).设向量n 2x 711=(,y ),n 231=(x 72,y 32)，则∣n 1|n |12+2|n n ∣=2|2.√【答案】10.l 【解析】1方程为x a 12x +y b 2y 1=1，则l 1v 的一个方向向量为1=(−y 2,x 1a b 12).注意到v 1⋅n 1=0，故n 1与直线l 1垂直.取向量α=(x 1,y 1),有α⋅n 1=1，|n n 1n =[α⋅(|n 1|1|)](n1方向上的分向量，n 1212|1OR .|n 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)易证得1√10|n n 是α在√n |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OR|=7+3=22|√10.同理，设l 1,l 2交点为R ,则|n 2+|n n 22|2，故答案为=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）求数列{a n }的通项公式；n 项和为S n ，且S n =(a 1+a n )2设公差不为0的等差数列{a n }的前.{{（2）如果数列{b n }满足b n =⎧a n −a 1,n 为奇数时,求数列{b n }的前n 项之和T n ⎨a n +a 1,n 为偶数时⎩,.本题主要考察求数列通项公式和前缀和的基本知识和基本方法，考察奇偶数列的综合分析处理能力.【参考答案与评分标准】（1）设等差数列的公差为d ，其中+1=S =(a 1)2−{a +a (a 1+a n )2=(2a 1+a n n+1n })(a n+1−a n )=d(2a d ≠0.+a 则+a 1n n+1a n )，a n n+1−a n+2−S n+1+a +a n+11n+1+21a n+2)−d(2a 1+a n +a n+1)=d(a n+2−a n )，即d =2d 2，解得d =1，所以=d(2a d =2.（4分）2所以a n+1=1(2a 1+a n +a n+1)，整理得a 1=1(a n+1−a n )=d =1，因此a n =a 124+(n−1)d =21n −11+n −1=.（8分）42241⋅(−1)n ，（2）b n =a n +4S n =(a 1=n 2.设数列}的前项和为T n ，则4T n =S n +1⋅(−1)⋅(1−(−1)n )1−(−1).当n T 为奇数时，n =14n 4，当n 1+a n )242−1{b n n 为偶数时，T 1n =n 42.{1n 2−1综上，T n =⎧,n 为奇数时,{1⎨4n 24为偶数时⎩4,n .（13分）16.（15分）在（1）求△ABC ；中，sin (2A −B)=cos A 2C +2.（2）若点D 满足cos ∠DBC =√33，且|BD|=|AC|=2，求△ABD 的面积.本题主要考察解三角形和三角函数的基础知识和综合方法，考察对复杂情形的分类解决能力.【参考答案与评分标准】（1）因为sin ，cos ，，故cos sin sin (2A −B)=−1⩽2C +2(2A −B)⩽1(2A −B)=−1⩽cos 2C +2=12C ⩽1，即1⩽cos cos 2C =−12C +2⩽3，又因为.（分）由于A,B,C ∈(0,π)，故−π<2A −B <2π，0<2C <2π，因此π，2C =π42A −B =；又3π因为在△ABC 中有A +B +C =π，解三元方程得A =π，B =6，C =π2（2.7分）sin |AC|（2）在△ABC 中，由正弦定理得=sin |AB|，故|AB|=4.∠ACB∠ABC （9分）1sin ∠ABD ，故只需求出sin 又因为cos ∠DBC =而△BCD 的面积√S =,∠ABC =⋅|AB|⋅|BD|⋅，所以sin sin 6∠ABD =46∠ABC =2cos ∠ABC =33.2π∠DBC =√3，sin 1，∠ABD .√23故∠DBC >∠ABC .对于有两种情况，其一是，则sin ∠ABD =sin ∠ABC .若∠ABD ∠ABD =∠DBC +∠ABC ∠ABD =∠DBC +∠ABC ∠DBC ，另一是∠ABC +cos ∠ABD =∠DBC −cos ∠DBC6sin ∠ABC =3√2+√3，则面积S =6√2+2√3；若∠ABD =∠DBC−∠ABC ，则sin ∠DBC cos ∠ABC −cos ∠DBC sin 33∠ABC =√2−√3，则面积S =6√2−23√sin .3∠ABD =因此△ABD 的面积为6√2+2√3或63√√62−233.（15分）x 设倾斜角为622交于点|AB|∶|AC|∶|BC|=2∶a上,217.（15分）π的直线l 与椭圆Γ∶√3∶1+y 当=1(a >1)轴平行时,A,B AC 与.x |BC|=异于点A,B 的一点,√2.C 在（1Γ）求且的标准方程Γ;（2）证明:原点O 在△ABC 某条边上.本题主要考察解析几何问题的一般处理方法，考察对复杂几何关系的代数解释能力和基本的运算能力.【参考答案与评分标准】（1）由对称性,不妨C(x 0,y 0).则A(−x 0,y 0),B(x 在第一象限0,y 0A,B 3y 关于),O 故点对称的理由关于点0.O（32y 0=√2.代入回椭圆Γ方程可以得3须给出√AB 根据上面的描述，可以得到,分）对称,进而x 0=√√2Γ的标准方程为2+y 2（5分）（2）由对称性,C .又根据|BC|=x 3,不妨点=1.在l 此时上方.由对称性分两种情况讨论AC ,,得到a =x 轴,根据（1平行于）的分析得到情形一如果点A .在点B 右侧上,（7情形二.,y 1),AB 的中点M ,由几何关系分）,CM 平1A(x 1l ∶x =2B(x √2,y 2)..3y +m 设线段联立l 和Γ6y 2+2√3my +m 得2−3=0.点O 在边点AB 在点B 左侧−y 设行于y 轴,且Δ>0计算判别式得√6（10分）由韦达定理,y 1+y 2=−√3A |CM|=|y |m|<3m |,..y 设y 12m =2−36|y −y ,进而计算得12|=√18−3m 故点2√3m ),A (M (m ,−6m ,−√3m +26√18−3m 2).323,2m 2−4m √6−m 2+4(6−m 2)=12,代入椭圆方程,即有也即6−m (2m −√2√26−m )=0,（14分）此时,|CM|=解得m =√530.2√510,M (−√101030,√10).此时由几何关系,点O 是AC ,中点当且仅当|CM|=2|OM|,成立,故这种情形点O 在直线BC 上.（15分）综上,不论如何,总有点O 在△ABC 某条边上.18.（17分）已知函数f(x)=ax −ln x +b,g(x)=e x−1+(a −1)x +c ，其中a,b,c ∈R 并且a >0x.（2）已知函数（1）当b =c 时，证明f(x),g(x)f(x)⩽g(x)均存在零点；如果f(x)=0是g(x)=0的充要条件，求a ..本题主要考察用导数证明不等式以及讨论有关函数零点的问题的综合方法和综合技巧.【参考答案与评分标准】（1）注意到g(x)−f(x)=e x−1+ln x x −x =e x−1x −ln (x−1e x )−1，令t =x−1e x >0,φ(t)=t −ln t −1，即证φ(t)⩾0.φ′(t)=t −1，故φ(t)在(0,1)递减，在(1,+∞)φ(t)⩾φ(1)=0,等号成立当且仅当t =1t递增，进而.（4分）（2）先证明a =1时，结论成立.b =−2,此时，由f (12)=f(x)=φ(x)+b +1，由（1），f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增.e 12取>0,f (4)=2−22>0,f (1)=−1<0,由零点存在定理，存在ln n ∈(1e 2,1)，m ∈(1,4),e 使得f(m)=f(n)=0.（6分）又g(m)=ef(m)−b−1+c =ef(n)−b−1+c =g(n)，再取c =−e 则满足条件.（8分）再证明a ≠1结论不成立.反证法，假设对于某个a ，结论成立.由题，f(x)至多两个零点.11情形一若f(x),g(x)均有一个零点，设为x 0.则f ′(x)=a −x ，f(x)在(0,a)递减，在11lim lim 1(a ,+∞)递增.假设x 0≠a ，则注意到x→0+f(x)=x→+∞f(x)=+∞，及f (a )<0，由零点1存在定理知f(x)恰有两个零点，矛盾，故x 0=a .同理，x 0也是g(x)极值点，故g ′(x 0)=0，即x 2(x 0−1)ex 0−1+x 10−1=0，也即(x 0−1)(e x 0−1−x 0)=0故x 0=1或x 0−ln x 0−1=φ(x 0)=00，也即x 0=1，从而a =x 10=1，矛盾.情形二若f(x),g(x)均有两个零点.由题意，f(m)=f(n)，即am e m =an ，g(m)=g(n)e n，e n−1即(a −1)(m −n)=−e m−1n m.（13分）当a >1时，由（1），φ(e(a−1)(m−n))⩾0,即有e n−10<−e m−1n m=(a −1)(m −n)⩽e (a−1)(m−n)−1=m e n−m n −1m n e n−1e m−1(−m e m−1)=e −φ(m)(e m−1−e m−1n m)=⩽e n−1−e m−1,mn 进而中间几步均取等号，故(a −1)(m −n)=0，即m =n ，矛盾.19.（17分）（17分）设M 是关于x,y 的多项式组成的集合，定义平面中的元素是使得2−1})xOy 0的点例如：2就代表着单位圆上的点集V (M).对平面上的非M 中所有多项式取值为，满足空点集S ，如果存在.1S 2S =V (M)V ({x ，那么称的真子集，那么称是完美的；如果完美的集合xOy S ，其中1不能分成.是绝对完美的S S =S （1M ,S 2是完美的，且都是V (M)+y ，求S ）如果2S ；M ={x −y,−x {(1,1),(2,2)}+y}是否是绝对完美的，并给出理由；（2）判断集合S （3）考虑平面上的椭圆C 1∶x 42+y ,C 32=1以及抛物线C 2∶y 2=2px .已知C 上所有点与它们的焦点12构成的集合S ，其中4p >0个绝对完美的集合的并集，求都是绝对完美的.证明：S 是完美的.S 只能被拆分为至多进一步地，如果p .本题主要考察对全新定义的理解能力以及针对复杂问题的综合处理能力和判断能力.【参考答案与评分标准】2的交点的集合，联立方程并求解（1）根据题意，V (M)应该是直线y =x 和抛物线y =−x 得到.（3分）不是绝对完美的V (M)={(0,0),(1,1)}得到x =0,1，代入（2）集合{(1,1),(2,2)}y =x （5.分）这是因为可以把这个集合拆分为{(1,1)}{(1,1)}=V ({x−1,y −1}),{(2,2)}={(2,2)}，其中都是完美的，并且都是原来集合的真子集.（7分）V ({x −2,y −2})（3）满足答案的p =2或4.（9分）我们可以得到椭圆和抛物线的三个焦点分别是(1,0),(−1,0)以及(p,0).（11分）根据（2）的论述，单点集合都是绝对完美的，所以可以把S 拆分为C 12C2{(1,0)}{(0,1)}{(p,0)}，这是五个绝对完美集合的并，为了让S 2最多只能拆分为4个绝对完美集合的并，必须让(p,0)包含在某个绝对完美的集合里面，因此要么这个点和椭圆的右焦点重合，此时2p =2或者和椭圆的右端点重合，此时p =4.（14分）这个部分的讲解，为了顺应鱼塘的传统，请期待讲评现场.关于S 是完美的证明，可以证明两个完美的集合的并也是完美的，也可以直接构造出M （，关于17分）。

2019届高考数学二轮复习第19练概率与统计的综合问题[中档大题规范练]课件(59张)(全国通用)

ξ
1
2
3
P
1 9
2 3
2 9
故 ξ 的数学期望 E(ξ)＝1×19＋2×23＋3×29＝199.
解答
6.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3， A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；解记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则 P(M)＝CC51480＝158.
解答
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X).
解答
考点三概率与统计的综合问题
方法技巧对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题，首先要正确处理图表数据，明确随机变量的意义，然后判断随机变量分布的类型，求出分布列.
7.(2018·桂林模拟)甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数) 的分布列如右： (1)求p，q的值；
的数据估计 μ 和 σ(精确到 0.01).
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416
≈0.959 2， 0.008≈0.09.
解答
模板体验
模板答题规范练
典例 (12分)某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

高考数学二轮复习小题标准练十九文新人教A版.doc

高考小题标准练(十九)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|x<2},B={y|y=2x-1},则A∩B= ( )A.(-∞,3)B.[2,3)C.(-∞,2)D.(-1,2)【解析】选D.集合A={x|x<2},由x∈R,2x>0,可得B={y|y=2x-1}={y|y>-1},所以A∩B=(-1,2).2.若复数是纯虚数,则实数a= ( )A.2B.-C.D.-【解析】选A.由==是纯虚数,得a-2=0,1+2a≠0,所以a=2.3.已知圆锥曲线mx2+y2=1的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,则此圆锥曲线的离心率为( )A.2B.C. D.不能确定【解析】选A.抛物线x2=8y的焦点为(0,2),圆锥曲线mx2+y2=1的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,可知圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线,可得双曲线a=1,c=2,所以离心率为2.4.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该著作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题,执行该程序框图,若输出的m的值为0,则输入的a的值为A. B. C. D.【解析】选C.起始:m=2a-3,i=1,第一次循环:m=2(2a-3)-3=4a-9,i=2;第二次循环:m=2(4a-9)-3=8a-21,i=3;第三次循环:m=2(8a-21)-3=16a-45,i=4;接着可得m=2(16a-45)-3=32a-93,此时跳出循环,输出m的值为32a-93.令32a-93=0,解得a=.5.定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【解析】选C.因为f(x)为偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,所以a=f(log0.53)=f(-log23)=-1=2,b=-1=4,c=f(0)=20-1=0,所以c<a<b.6.已知数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于( )A.25B.27C.50D.54【解析】选B.设数列{a n}的首项为a1,公差为d,因为a2=3a4-6,所以a1+d=3(a1+3d)-6,所以a5=3.所以S9=9a5=27.7.如图是某个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选A.几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:其中侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,PA=PB,由三视图可知,AB∥CD,AB=BC=2,CD=1,侧面PAB中P到AB的距离为h=, 所以几何体的体积V=S梯形ABCD·h=××(2+1)×2×=.8.在平面直角坐标系xOy中,已知O(0,0),A,曲线C上任一点M满足|OM|=4|AM|,点P在直线y=(x-1)上,如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2,那么点P的横坐标t的范围是( )A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4【解析】选A.设M(x,y),因为M满足|OM|=4|AM|,所以x2+y2=16,化简得:(x-4)2+y2=1,所以曲线C:(x-4)2+y2=1,设点P(t,(t-1)),只需点P到圆心(4,0)的距离小于2+r即可.所以(t-4)2+2(t-1)2<(2+1)2.解得:1<t<3.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选 A.由已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点和点,易得:A=1,T=4(-)=π,即ω=2,即f(x)=sin(2x+φ),将点代入可得,+φ=+2kπ,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.所以将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)=sin2x的图象.10.抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为准线上一点,M为y轴上一点,∠MNF为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则△M NF的面积为( )A. B. C. D.3【解题指南】根据抛物线的性质和直角三角形的性质可知NE∥x轴,从而可得E点坐标,求出M,N的坐标,计算MN,NF即可求出三角形的面积.【解析】选C.准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),不妨设N在第三象限,因为∠MNF为直角,E是MF的中点,所以NE=MF=EF,所以NE∥x轴,又E为MF的中点,E在抛物线y2=4x上,所以E,所以N(-1,-),M(0,-2),所以NF=,MN=,所以S△MNF=MN·NF=.11.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )世纪金榜导学号46854404 A.π B. C. D.【解析】选B.设圆柱底面半径为r,高为h=1,则r2=12-=,所以,圆柱的体积为V=πr2h=.12.若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,则整数k的最大值是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,所以当x>2时,x(1+lnx)>k(x-2)恒成立,即k<恒成立,令h(x)=,h′(x)=,x>2.令φ(x)=x-4-2lnx,φ′(x)=1->0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,因为φ(8)=4-2ln8<0,φ(9)=5-2l n9>0,方程φ(x)=0在(2,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(8,9).则φ(x0)=x0-4-2lnx0=0,即x0-4=2lnx0.当x∈(2,x0)时,φ(x)<0,h′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0,h′(x)>0.故h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故h(x)的最小值为h(x0)===∈.所以整数k的最大值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88,89,90;乙组:87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________.【解析】甲、乙两组各有三名同学,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,基本事件总数n=3×3=9,这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的对立事件是这两名同学的成绩之差的绝对值超过3,这两名同学的成绩之差的绝对值超过3的基本事件有:(88,92),只有一个,所以这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是P=1-=.答案:14.已知向量|a|=2,b与(b-a)的夹角为30°,则|b|最大值为________.【解析】以a,b为邻边作平行四边形ABCD,设=a,=b,则=b-a,由题意∠ADB=30°,设∠ABD=θ,因为|a|=2,所以在△ABD中,由正弦定理可得,=,所以AD=4sinθ≤4.即|b|的最大值为4.答案:415.设实数x,y满足则z=-的取值范围是________.【解析】令t=,则z=t-.作出不等式组表示的可行域如图阴影所示(含边界),由的几何意义易知t∈,又因为z=t-单调递增,所以z∈.答案:16.已知函数f(x)=当x∈(-∞,m]时,f(x)的取值范围为[-16, +∞),则实数m的取值范围是________.【解析】当x≤0时,f(x)=12x-x3,所以f′(x)=-3(x+2)(x-2),所以x<-2时,函数单调递减,-2<x≤0时,函数单调递增,所以当x=-2时,图象在y轴左侧的函数取到极小值-16,因为当x=8时,y=-2x=-16,所以当x∈(-∞,m]时,f(x)的取值范围为[-16,+∞),则实数m的取值范围是[-2,8].答案:[-2,8]。

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f(x)-f(x-1)<3x- 3 的解集是( )
2
A. ( 1 ,0)
2
C. (1 , )
2
B.(, 1)
2
D.(, 1)
2
【解析】选D.设g(x)=f(x)- 3x2,
2
则g′(x)=f′(x)-3x.
因为当x≥0时,f′(x)>3x,
所以当x≥0时,g′(x)=f′(x)-3x>0,
即g(x)在[0,+∞)上单调递增.
3
【解析】因为cos<a,c>=a c a（2a b） 2a2 a b
a c | 2a b | （2a b）2
又0≤<a,c>≤π,所以<a,c>= .
6
2 cos 3
3，
4 1 4cos 2
3
答案:
6
15.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1,a2,a3构成等差数列,则数列a1,a2,a3的公差的最大值是________.
1, x 0
A.函数y=sgn(x)是奇函数
B.对任意的x>1,sgn(lnx)=1
C.函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,1)
D.对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x)
【解析】选ABD.
A.由函数的图象可知函数y=sgn(x)是奇函数,所以该选项正确; B.因为x>1,所以ln x>0,所以对任意的x>1,sgn(ln x)=1,所以该选项正确; C.当x>0时,sgn(-x)=-1,因为此时ex>1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1);当 x=0时,sgn(-x)=0,因为此时ex=1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为{0};
A. 1 B. 6 C. 8 D. 2
5
25
25
5
【解析】选A.因为阳数为1,3,5,7,9;阴数为2,4,6,8,10,所以从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5×5=25个,满足差的绝对值为5的有 (1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5个,则其差的绝对值为5的概率p= 5 1.
a
m
m
-(m+n),所以e=c
a
=
(m n) n
故2n 必要2，性不成立;故“n>m>0”是“双曲
n
线C的离心率大于 2”的充分不必要条件.
5.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数, 若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为( )
2
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分) 9.在疫情防控阻击战之外,另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人万众一心,众志成城,防控疫情、复工复产,某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调查,调查结果如图所示,则下列说法正确的是( )
A.x=0.384 B.从该企业中任取一名职工,该职工是倾向于在家办公的概率为0.178 C.不到80名职工倾向于继续申请休假 D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
当x<0时,sgn(-x)=1,因为此时0<ex<1,所以y=ex·sgn(-x)的值域为(0,1);所以函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1)∪[0,1),所以该选项错误. D.当x>0时,x·sgn(x)=x·1=x=|x|;当x=0时,x·sgn(x)=0·1=0=|x|;当 x<0时,x·sgn(x)=x·(-1)=-x=|x|,所以对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x),所以该选项正确.
B.点P的轨迹是以A为球心,半径为 2的球面与平面BCC1B1的交线,即点P的轨迹为小圆,设小圆的半径为r,球心A到平面BCC1B1的距离为1,则r=（ 2）2=11,所以小圆周长l=2πr=2π,故B正确;
C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离,即平面BCC1B1内的点P满足 |PB|+|PC|=1=|BC|,即满足条件的点P的轨迹就是线段BC,不是椭圆,故C不正确; D.如图,过P分别作PM⊥BC于点M,PE⊥CC1于点E,则PM⊥平面ABCD,所以PM⊥A 过M 作MN⊥AD,连接PN,PM∩MN=M,所以AD⊥平面PMN,所以PN⊥AD,如图建立平直角坐标系,设P(x,y),PM=y,则PN2=1+y2,PE2=(1-x)2,
【解析】选BD.对于A,x=100-5.1-17.8-42.3=34.8,A错误; 对于B,倾向于在家办公的人员占比为17.8%,故对应概率为0.178,B正确; 对于C,倾向于继续申请休假的人数为1 644×5.1%≈84人,C错误; 对于D,倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为1 644×(17.8%+42.3%)≈988人,D正确.
=-cos Bcos A-sin Bsin A-cos Bcos A+sin Bsin A =-2cos Bcos A>0, 所以cos Bcos A<0,即cos B与cos A异号, 又A,B∈(0,π),所以cos B与cos A一正一负, 所以△ABC为钝角三角形.
8.已知f′(x)是函数f(x)的导数,且f(-x)=f(x),当x≥0时,f′(x)>3x,则不等式
12.在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动,则下列命题中正确的是( )
A.若点P总满足PA⊥BD1,则动点P的轨迹是一条直线 B.若点P到点A的距离为 2 ,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆 C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆 D.若点P到直线AD与直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线
x
x
对于C,由y=lg x为单调递增函数,a>b>0,则lg a>lg b,故C正确;
对于D,由ab>0,a+b=1,则(1 1)(a+b)=1+b a +1≥2+2 b a=4,
ab
ab
ab
当且仅当a=b=1 时取等号,故D正确.
2
1, x 0
11.已知符号函数sgn(x)= 0, x 0 下列说法正确的是( )
因为f(-x)=f(x),所以g(-x)=f(-x)- x32=f(x)- x23=g(x),
2
2
所以g(x)是偶函数.
因为f(x)-f(x-1)<3x- 3,
2
所以f(x)- 3x2<f(x-1)- (x3-1)2,
2
2
即g(x)<g(x-1),所以g(|x|)<g(|x-1|),
则|x|<|x-1|,解得x< 1.
【解析】(1)以AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴,建立如图所示的坐标系,在xAy坐标平面上B(6,0),E(2,0),
设P(x,y),由BP= 3PE得(x-6)2+y2=3[(x-2)2+y2],所以x2+y2=12, 所以若点P在平面ABCD内运动, 则点P所形成的阿氏圆的半径为2 3.
cos 2
A.- 17
B. 7
8
8
C.± 7
D.3
8
【解析】选B.因为角α的终边经过点(1,3),
所以tan α=3,则 2cos2 sin2 2cos2 sin2
cos 2
cos2 sin2
2 tan2 1 tan2
2 32 1 32
7. 8
4.已知双曲线C: x2 y2 =1,则“n>m>0”是“双曲线C的离心率大于 2 ”的
7.在△ABC中,如果cos(2B+C)+cos C>0,那么△ABC的形状为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
【解析】选A.因为A+B+C=π, 所以cos(2B+C)+cos C =cos(B+B+C)+cos[π-(B+A)] =cos[B+(π-A)]+cos[π-(B+A)] =cos[π+(B-A)]+cos[π-(B+A)] =-cos(B-A)-cos(B+A)
25 5
6.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=16 B.(y-2)2+x2=16 C.(x-1)2+y2=4 D.(y-1)2+x2=4 【解析】选C.由y2=4x知,焦点为(1,0),p=2,由圆与准线相切知:圆心为(1,0),半径为r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.
2.已知复数z满足(z+2)(1+i)=2i,则 z =(
A.-1+i
B.-1-i
C.1-i
) D.1+i
【解析】选B.因为(z+2)(1+i)=2i,所以z=
2i 1 i
2
（12ii）（1（1i） i）
2
=i(1-i)-2=
-1+i,故 z =-1-i.
3.已知角α的终边经过点(1,3),则 2cos2 sin2 =( )
【解析】选ABD.A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D1D,BD1⊂平面BB1D1D,所以 AC⊥BD1,同理AB1⊥BD1,AB1∩AC=A,所以BD1⊥平面AB1C,而点P在侧面 BCC1B1所在的平面上运动,且PA⊥BD1,所以点P的轨迹就是直线B1C,故A正确;