数学：均值不等式定理的实际应用必修

均值不等式定理的实际应用１．用一段长为lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。

问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多少？【解】依题意设矩形的两边长分别为,(2)xm l x m -，（其中2l x <）则矩形的面积为2(2)x l x m -，由均值不等式定理可知：222(2)1(2)(2)[]2228x l x x l x l x l x -+--=≤= 当且仅当22x l x =-即4l x =时，矩形面积取得最大值28l 。

２．已知直角三角形的周长为l （定值），求它的面积的最大值。

【解】设直角三角形的两直角边为,a b，则l a b =++，即22≤=，当且仅当a b =时等号成立。

21324S ab -∴=≤ 此时该三角形为等腰直角三角形。

故当a b =时，2max 34S -=３．一批救灾物资随２6辆汽车从某市以/vkm h 的速度直达灾区，已知两地公路长为４00km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2()20v km ，那么这批物资全部运到灾区，至少需要多少时间？并指出此时汽车的速度。

【解】设两车之间的间距为2(())20v d d ≤其中，最后一辆车到达灾区所用时间为t ，则225()40025400400201016v d v t vv v ++=≥=+≥= 当且仅当40080/16v v km h v ==即时，min 10t h = ４．南海中学为了解决教师住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2am 的宿舍楼。

已知土地的征用费为２３88元2/m ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的２．５倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，费用为４５５元2/m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加３0元2/m 。

试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求其最少总费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）【解】设楼高为n 层，总费用为y ，则每层面积为2a m n ，征地面积为22.5a m n ， 征地费用为2.559702388a a n n⨯=元， 建筑费用为30{445445(44530)[44530(2)]}(15400)a n n a n n +++++-⋅=++元 从而5970306000(15400)(15400)y a n a n a n n n=+++=++400)1000a a ≥= 等号当且仅当60001520n n n==即时成立，从而可知总费用的最小值为１000a 元。

５．某单位决定投资３２00元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每１m 长造价４0元，两侧墙砌砖，每１m 长造价４５元，顶部每１2m 造价２0元。

计算：（１）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（２）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解】设铁栅长为xm ，一堵砖墙长为ym ，则有S xy =，依题意，可得：320040245202020x y xy xy S =+⨯+≥=160,10)0S ∴+≤≤160,100,100S S +>≤≤从而因此S 的最大允许值是１002m ，取得此最大值的条件是4090,100,x y xy ==而由此求得15x =，即铁栅的长应是１５m6．某农场有毁坏的猪圈一座，留有旧墙一面长１２m ，现准备在该地重建猪圈，平面图形为矩形，面积为１１２2m ，工程条件是：（１）修１m 旧墙的费用是造１m 新墙费用的25%；（２）拆去１m 旧墙用所得材料建１m 新墙的费用是造１m 新墙费用的50%，问施工人员如何利用旧墙最节省？【解】设旧墙保留xm ，则拆去旧墙为(12)x m -，还应另造新墙为112[2(12)]x x m x +⨯-- 设每米新墙造价为１个单位价格，则重新建猪圈的总造价为11225%(12)50%[2(12)]1y x x x x x =⋅+-⋅++⨯--⋅＝722464x x +-66≥=，当722411.34x x m x==≈即时，最节省。

7．某种汽车，购买时费用为１0万元；每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元；汽车的维修费平均为第一年２千元，第二年４千元，第三年6千元，依次成等差数列递增。

问这种汽车使用多少年报废最合算（及使用多少年的年平均费用最少）？【解】设汽车使用年限为n 年，()f n 为使用该类汽车的年平均费用，则：110.2(1)()[100.9(0.20.40.2)][100.9]2n n f n n n n n n +=+++++=++ 10121310n n ≥++≥+=，当且仅当1010n n =即n ＝１0时等号成立 即使用，其年平均费用最少，为３万元。

8．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为２米 的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流 出.设箱体长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A ，B 孔的面积忽略不计）（98（２２）１２分）【解法一】设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝错误!，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小.根据题意有 ４b ＋２ab ＋２a ＝60（a ＞0，b ＞0） ４'即 b ＝错误! （0＜a ＜３0） １A Ba b2于是y＝错误!＝……＝错误!8'当a＋２＝错误!时取等号，y达到最小值.这时a＝6，a＝—１0（舍去）将a＝6代入１式得b＝３.故当a为6米，b为３米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. １２' 【解法二】依题意，即所求的a，b值使ab最大.由题设知４b＋２ab＋２a＝60（a＞0，b＞0）４'即a＋２b＋ab＝３0（a＞0，b＞0）∵a＋２b≥２错误!∴２错误!ab＋ab≤３0当且仅当a＝２b时上式取等号. 7'由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤１8即当a＝２b时，ab取最大值，其最大值为１8．１0'∴２b２＝１8，解得b＝３，a＝6故当a为6米，b为３米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. １２' 9．（本题满分１２分）据市场分析,粤西某海鲜加工公司,当月产量在１0吨至２５吨时,月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数.当月产量为１0吨时,月总成本为２0万元;当月产量为１５吨时,月总成本最低为１7．５万元.（Ⅰ）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系;（Ⅱ）已知该产品销售价为每吨１．6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润;（Ⅲ）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？解：（Ⅰ）()5.17152+-=x a y （0,≠∈a R a ） 将x=１0，y=２0代入上式得，２0=２５a+１7．５，解得101=a ()5.17151012+-=∴x y （ 2510≤≤x ） （Ⅱ）设最大利润为()x Q 则()⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=4031016.16.12x x x y x x Q ()9.12231012+--=x ()2510≤≤x 因为[]25,1023∈=x ，所以月产量为２３吨时，可获最大利润１２．9万元. （Ⅲ）13401023401014031012=-⋅≥-+=+-=xx x x x x x x y 当且仅当xx 4010=，即[]25,1020∈=x 时上式“=”成立. 故当月产量为２0吨时，每吨平均成本最低，最低成本为１万元.１0．（本小题满分１２分）某厂为适应市场需求,投入98万元引进世界先进设备,并马上投入生产，第一年需各种费用１２万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加４万元.而每年因引入该设备可获得年利润为５0万元.请你根据以上数据,解决以下问题：（１）引进该设备多少年后,开始盈利？（２）引进该设备若干年后.有两面种处理方案:第一种:年平均利润达到最大值时，以２6万元的价格卖出.第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算？【解】（１）设引进该设备x 年后开始盈利.盈利额为y 万元.则()984024211298502-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=x x x x x x y ,令y>0,得173,,51105110≤≤∴∈+<<-+x N x x即引进该设备三年后开始盈利 6分（２）第一种:年平均盈利为x y ,1240982240982=+⋅-≤+--=x x x x x y , 当且仅当xx 982=,即7=x 时,年平均利润最大,共盈利11026712=+⨯万元. 第二种:盈利总额()1021022+--=x y ，当10=x 时,取得最大值１0２,即经过盈利总额最大,共计盈利1108102=+万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算. １２分１１．一辆出租车的营运总利润．．．y （单位：万元）与营运年数x )(*∈N x 的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为（ ）时，该客车的年平均．．．利润最大（A ） ３ （B ） ４ √ （C ） ５ （D ） 6１２．（本小题满分１２分）某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量x （件）)1000,(≤<∈x N x 之间的关系如下表：已知生产一件正品盈利a 元，生产一件次品损失3元.（I ）试将该厂的日盈利额y （元）表示为日生产量x （件）的函数；（II ）为获取最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 【解】由已知可得，次品率.1081xp -= （I ）a x x x a x p a x p y ])108(34[3)1(--=⋅⋅-⋅⋅-=…………………………………４分 定义域为N x x ∈≤<,1000…………………………………………………………6分（II ）设.,1088,108N t t x t ∈<≤-=则,3185)144(31109]3)108(4108[a a t t a a t t t y ≤+-=---= 当且仅当9612108,12,144==-==x x t tt 即此时时即时上式取等号，所以，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为96件.１３．（本小题满分１２分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列，求（１）△ABC 的面积S 的最大值； （２）BA BC 的取值范围。

【解】 设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b ２=ac ，由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=,故有03B π<≤，又6,22a cb b +-=≤=从而02b <≤（1） 所以22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅=，即max S =（2） 所以22222()2cos 22a cb ac ac b BA BC ac B +-+--=== 222(6)3(3)272b b b --==-++ 02,218b BA BC <≤∴≤<１４．（本小题满分１２分）在∆ABC 中，C B A ∠∠∠、、所对的边分别是a 、b 、c ，AB C ∆面积为S ，且（tan 2C +cot 2C ）S=１8 , （１）求ab 的值; （２）若c=３2，试确定C ∠的取值范围。