线性系统的能控性和能观测性
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rank(i I A, B) n,i 1,2, n
或：rank(sI A, B) n,i 1, 2,L n,s
或:(sI-A)和B为左互质。
证明：必要性：反设存在A的一个特征值λ0使得 hT (0 I A, B) 0
hT [B, AB,L , An1B] hT [B, 0B,L , 0n1B] 0
w eA B 2d
wT eAt B 0(0 t t1)矛盾
定理5.2、秩判据 线性定常系统(5.2)为完全能控
其中n为矩阵A的维数.
rank B AB
An1B n
能控性判别阵 : Qc B AB An1B
证明：充分性：已知rankQc=n，欲证系统为完全能控
反证法：假设系统不完全能控，则由Gram矩阵判据知
x(t1) 0 eAt1 x
t1 e A(t1 ) Bu( )d
0
两边同乘w eAt1得0 w x w t1 eA Bu( )d 0
t1 w e A Bu( )d 0 0
又Q w N (wc ) ， wcw （0 核）
即：w wcw
t1 w eA BB eAT wd
0
t1 0
rank[B, AB,L , An1B] n 矛盾！
充分性(不讲):反证不完全能控， 则：rank[B, AB,L , An1B] n
h Rn (h 0) 使得：hT [B, AB,L , An1B] 0
h Ak (k 0,1, 2,L , n 1) 均是B的左零空间的元,则 存在一个最小的整数 k （0 k n 1）
例5.3 考虑如下系统
x
2 1
12x 11u Ax bu
y (0 1)x
Q
e At
et
1
/
2
et
e3t e3t
et e3t
et
e3t
x(t) eAt x0
t e A(t )bu( )d
0
e At x0
t 0
e
(t
)
11u(
)d
若 x1(0)= x2(0)=h，则
x(t) [et h
则有z RLeabharlann Baidu，使wc (0,t1)z x成立
取u(t) B eAt z (0 t t1)
则：x(t1) eAt1 x
t1 e A(t1 ) Bu ( )d
0
e At1 x t1 e A(t1 ) B(Be A )zd 0
e At1 x e At1 t1 e A B(Be A )zd 0
控的，则称系统(5.1)在t0时刻是完全能控的。
定义5.3、对于系统(5.1)，取定初始时刻 t0∈J，若状态空间中存在一个或
一些非零状态在t0时刻是不能控的,则称系统(5.1)在t0时刻是不完全能控的。 注：1、转移时状态轨迹不限制 2、允许控制表示输入的所有分量在J上是平方可积的无约束是 指对输入的所有分量的幅值不限制，可以取无穷大值。 3、能控是由非0状态转移到0状态 ；能达是由0状态转移到非0状态
t1 0，均有wc (0,t1)为奇异的，即 0 Rn，使
wc (0,t1 ) 0
t1 ( eAt B)( eAt B) dt
0
eAt B 0,t [0,t1]
对t求导且取t=0得
B 0, AB 0, , An1B 0
B AB An1B Qc 0
t 0
e
(t
)
u(
)d
]11
即x1(t)= x2(t)，存在u(t)和T, 使x(T)=0.
显然当x1(0)≠x2(0)，令h= x2(0)-x1(0)≠0，则
x(t) [et x1(0)
t 0
e
(t
)u(
)]11
1/
2h
et e t
e 3t e 3t
不存在u(t)，使x(T)=0，即 u(t),T 0, x(T ) 0
t1
0有
A（i t）i B i!
0,t [0,t1],i 0,1, 2,L
e At B 0, t [0, t1]
wc (0,t1)
t1 ( eAt B)( eAt B) dt 0
0
wc (0, t1)奇异
定理5.3、（PBH秩判据）
线性定常系统(5.2)为完全能控 对A的所有特征值i (i 1, 2L , n)
∴在该二维状态空间中，只有子空间 {x: x1=x2}中状态才是能控的，把 {x: x1=x2}称为能控状态的空间. 二、定义
考虑线性时变系统： x A(t)x B(t)u,t J
(5.1)
其中：x(t) Rn , u(t) R p J为时间定义区间，
A(t)，B(t)为适当维数的元为t的连续函数的矩阵（或绝对可积）
定义5.1、对于系统(5.1)，若取定初始时刻 t0 J 的一个非零初始状态x0
存在一个时刻 t1 J ,t1 t0 和一个无约束的允许控制 u(t), t [t0 , t1 ]
使状态由 x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。
定义5.2、对于系统(5.1)，若状态空间中所有非0状态都是在t0时刻( t0∈J)为能
使得h , h A, h A2 ,L , h Ak行线性无关
e At1 x e At1 x 0”)
x 必要性： 设存在一个控制u(t)，将状态
推向于0（在t1时刻）
用反证法: 假设x R[wc (0, t1)]
则状态x不正交于N (wc (0, t1)（) 核）
wcT wc 存在向量w N (wc )使wT x 0
Q x能控的，存在（ u t）及t1使
∴Qc为线性相关 ∴rankQc<n
必要性：已知系统完全能控 ，要证rankQc=n 反证法：设Qc不是行满秩矩阵（rankQc<n），则Qc为行线性相关 ：
0 Rn ,使 Qc 0 B AB L An1B
由Hamilton.Keylay定理易证 Ai B 0, i 0,1, 2,L , n 1，L
三、能控性判别准则 定理5.1、（Gram判据）线性定常系统(理论分析用)
x Ax Bu,t 0
(5.2)
的状态x能控 t1 T使x属于（象）空间R[wc (0,t1)]
其中：wc (0,t1)
t1 e At BBT e A t dt
0
系统完全能控 wc (0,t1)为非奇异矩阵
证明：充分性： 设x R[wc (0, t1)]
或：rank(sI A, B) n,i 1, 2,L n,s
或:(sI-A)和B为左互质。
证明：必要性：反设存在A的一个特征值λ0使得 hT (0 I A, B) 0
hT [B, AB,L , An1B] hT [B, 0B,L , 0n1B] 0
w eA B 2d
wT eAt B 0(0 t t1)矛盾
定理5.2、秩判据 线性定常系统(5.2)为完全能控
其中n为矩阵A的维数.
rank B AB
An1B n
能控性判别阵 : Qc B AB An1B
证明：充分性：已知rankQc=n，欲证系统为完全能控
反证法：假设系统不完全能控，则由Gram矩阵判据知
x(t1) 0 eAt1 x
t1 e A(t1 ) Bu( )d
0
两边同乘w eAt1得0 w x w t1 eA Bu( )d 0
t1 w e A Bu( )d 0 0
又Q w N (wc ) ， wcw （0 核）
即：w wcw
t1 w eA BB eAT wd
0
t1 0
rank[B, AB,L , An1B] n 矛盾！
充分性(不讲):反证不完全能控， 则：rank[B, AB,L , An1B] n
h Rn (h 0) 使得：hT [B, AB,L , An1B] 0
h Ak (k 0,1, 2,L , n 1) 均是B的左零空间的元,则 存在一个最小的整数 k （0 k n 1）
例5.3 考虑如下系统
x
2 1
12x 11u Ax bu
y (0 1)x
Q
e At
et
1
/
2
et
e3t e3t
et e3t
et
e3t
x(t) eAt x0
t e A(t )bu( )d
0
e At x0
t 0
e
(t
)
11u(
)d
若 x1(0)= x2(0)=h，则
x(t) [et h
则有z RLeabharlann Baidu，使wc (0,t1)z x成立
取u(t) B eAt z (0 t t1)
则：x(t1) eAt1 x
t1 e A(t1 ) Bu ( )d
0
e At1 x t1 e A(t1 ) B(Be A )zd 0
e At1 x e At1 t1 e A B(Be A )zd 0
控的，则称系统(5.1)在t0时刻是完全能控的。
定义5.3、对于系统(5.1)，取定初始时刻 t0∈J，若状态空间中存在一个或
一些非零状态在t0时刻是不能控的,则称系统(5.1)在t0时刻是不完全能控的。 注：1、转移时状态轨迹不限制 2、允许控制表示输入的所有分量在J上是平方可积的无约束是 指对输入的所有分量的幅值不限制，可以取无穷大值。 3、能控是由非0状态转移到0状态 ；能达是由0状态转移到非0状态
t1 0，均有wc (0,t1)为奇异的，即 0 Rn，使
wc (0,t1 ) 0
t1 ( eAt B)( eAt B) dt
0
eAt B 0,t [0,t1]
对t求导且取t=0得
B 0, AB 0, , An1B 0
B AB An1B Qc 0
t 0
e
(t
)
u(
)d
]11
即x1(t)= x2(t)，存在u(t)和T, 使x(T)=0.
显然当x1(0)≠x2(0)，令h= x2(0)-x1(0)≠0，则
x(t) [et x1(0)
t 0
e
(t
)u(
)]11
1/
2h
et e t
e 3t e 3t
不存在u(t)，使x(T)=0，即 u(t),T 0, x(T ) 0
t1
0有
A（i t）i B i!
0,t [0,t1],i 0,1, 2,L
e At B 0, t [0, t1]
wc (0,t1)
t1 ( eAt B)( eAt B) dt 0
0
wc (0, t1)奇异
定理5.3、（PBH秩判据）
线性定常系统(5.2)为完全能控 对A的所有特征值i (i 1, 2L , n)
∴在该二维状态空间中，只有子空间 {x: x1=x2}中状态才是能控的，把 {x: x1=x2}称为能控状态的空间. 二、定义
考虑线性时变系统： x A(t)x B(t)u,t J
(5.1)
其中：x(t) Rn , u(t) R p J为时间定义区间，
A(t)，B(t)为适当维数的元为t的连续函数的矩阵（或绝对可积）
定义5.1、对于系统(5.1)，若取定初始时刻 t0 J 的一个非零初始状态x0
存在一个时刻 t1 J ,t1 t0 和一个无约束的允许控制 u(t), t [t0 , t1 ]
使状态由 x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。
定义5.2、对于系统(5.1)，若状态空间中所有非0状态都是在t0时刻( t0∈J)为能
使得h , h A, h A2 ,L , h Ak行线性无关
e At1 x e At1 x 0”)
x 必要性： 设存在一个控制u(t)，将状态
推向于0（在t1时刻）
用反证法: 假设x R[wc (0, t1)]
则状态x不正交于N (wc (0, t1)（) 核）
wcT wc 存在向量w N (wc )使wT x 0
Q x能控的，存在（ u t）及t1使
∴Qc为线性相关 ∴rankQc<n
必要性：已知系统完全能控 ，要证rankQc=n 反证法：设Qc不是行满秩矩阵（rankQc<n），则Qc为行线性相关 ：
0 Rn ,使 Qc 0 B AB L An1B
由Hamilton.Keylay定理易证 Ai B 0, i 0,1, 2,L , n 1，L
三、能控性判别准则 定理5.1、（Gram判据）线性定常系统(理论分析用)
x Ax Bu,t 0
(5.2)
的状态x能控 t1 T使x属于（象）空间R[wc (0,t1)]
其中：wc (0,t1)
t1 e At BBT e A t dt
0
系统完全能控 wc (0,t1)为非奇异矩阵
证明：充分性： 设x R[wc (0, t1)]