等差数列前n项求和
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等差数列前N项和的公式
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 即
Sn=n(a1+an)/2
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) n(n 1) 公式2 Sn na1 d nan d 2 2
熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题．
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当
知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例4 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
n(n 1)10 由题意，得 :100 n (n 2)180 2 解得 n=8 或 n=9（舍）
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝ 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k ====++∑∑∑ （分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N 项和的七种方法点拨:1.公式法等差数列前n 项和：n(a 1+a n ) y 亠 n(n +1) _, Si — — na q 十 d2 ' 2特别的，当前n 项的个数为奇数时，S 2k 岀=（2k +1）_a k 41，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1 时，q H 1, s n = a1 " q），特别要注意对公比的讨论。
其他公式:用常用公式）1 1迂R _ 1丄 1一丄—2n21、S nn=Z k kd ：3、S n [例1]弓（卄）2、 n =送k 3 k=12 计+1)] 2 1S n=!： k =-n(n+1)(2n+1)6—1 2 3 已知 log 3 X = - 7，求 X + X + X +…+log 23 x n +…的前n 项和.解：由log 3—1 =log 3 X = —log s 2 = log 2 3 1 x =— 2 由等比数列求和公式得S n = X + X 2 +（利_ x(1 -x n) —1-x［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)= S n(n + 32)S n屮 的最大值.解: 由等差数列求和公式得 1 1S n = — n(n +1) , S n* = -(n +1)(n + 2)2 2 （利用常用公式）f(n)= S n(n + 32)盼 2n 2 + 3 4n+64□ +34+^ (屛--)2+5O 50 •••当亦=2，即 n = 8 时，f(n)max\l n 50 2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例 3］求和：S n =1+3x+ 5x 2+7x 3 + ”””+(2n - 1)x n " 解：由题可知，｛ （2 n- 1）x n 』｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的 通项之积设 xS n =1x+3x 2+5x 3+7x 4 + …+(2门_〔以 ①一②得(1-x)S n =1+2X +2X 2+2x 3+2x 4 + …+2x n 」一(2 门_ 1)x n（错位相减）nJ1 — x n再利用等比数列的求和公式得： （1 -x ）S n =1+2x ・ -（2 n -1）x n1-x G (2n - 1)x n +—(2n + 1)x n +(1 +x)Sn =(1-x)2［例4］求数列贪…前n项的和.解：由题可知，｛2n2n ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛右｝的通项之积 设S =2+土 十-6+ …+空以6--2小32n（错位相减）练习：求：S n =1+5x+9x 2+ ....... +(4n-3)x n "1解：Si=1+5x+9)(+ ........ +(4n-3)x n-1①两边同乘以X ，得23X S n =x+5 X +9x + ...... +(4 n-3)x①-②得,(1-x ) S=1+4(X+ X 2+X 3+当 x=1 时，S=1+5+9+ ......... + (4n-3)3.反序相加法求和再把它与原数列相加，就可以得到n 个（印+ a n ）•［例 5］求sin 21 +sin 22 + sin 23 + …+sin 288 +sin 289 的值20 20 2 0 2 0 2解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + …+sin 88 +sin 89将①式右边反序得S =si n 289 +si n 2 88 +…+sin3 +sin2 +si n 1（反序）2 2又因为 sinx=cos(90 -x),sin x + cosx=1 ①（反序相加）2S=(sin 21 +cos 21)+(sin 2 2 + cos 22 ) + …+ (sin 289 +cos 289 ) = 89S= 44.5担=；2（设制错位）十243 十2642n+(^1)Sn2+&p.,2_2n 22=2S n =41-产 n +2-尹2n 2n + =2n-n nx ) - (4n-3) x当X 工1时，S= I4x(1-x n)1-x(4n-3)这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开, 可分为几个组求和）将其每一项拆开再重新组合得（分组）=2(13 +23+…+n 3) +3(12 +22+ …+门2)+(1 + 2+…+n)2 2n 2(n +1)2 十 n(n +1)(2n +1)十 n(n + 1)（分组求和）n(n +1)2( n +2)等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可［例6］求数列的前n 项和：1+1, 1+4, ［ +7，…,n-2 ,-a a a 解: 1 1 1设 S n = (1 +1) +(- +4) +(p +7) + …”+(—+3n -2)a a a将其每一项拆开再重新组合得S n = (1 + 1a+…+1n」)+(1 +4 + 7+…+3n -2) a（分组）当a= 1时, S n=n+(3n—1)n(3n+ 1)n（分当a H 1时,-7 十(3n —1)n2a -a 1』+ (3n -1)n a —1［例7］求数列｛n （n+1）（2n+1）｝的前n 项和.解：设 a k =k(k +1)(2k +1) =2k 3+ 3k 2+kS n =2 k(k+1)(2k+1)=k 吕nZ (2k 3+3k 2+k)kTS nn2Z k3k 3 n+32：［例10］在数列｛a n ｝中，a n =n +1 n +1 乙+…，又b n =—2一，求数列｛b n ｝的前an r a n +n +11 1 1 1练习：求数列12，24,38^**（^2^）^*啲前n 项和。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
求数列前n项和的七种办法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111nn a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S n k n2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤ ∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1①①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123n n nn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和） ＝2)2()1(2++n n n 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
等差数列前n项和的公式
21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an？ 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]
=9-6n,
a1=4不符合此式.
故an=
4(n 1) 9 6n(n 2)
.
n
1 11 1从 而a1=，3或a1=-1.
na1 2 d 35
(A)33
(B)34
(C)35
(D)36
3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7
(B)3或5 (C)7或-1
(D)3或-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等差数列的前n项求和公式
2
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n 颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1 将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
6
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设数列的前n项和为54，即Sn=54
根据等差数列的前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0 解得 n1=9, n2=－3(舍去) 因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
a1>0, d<0 有 无
10
n a1<0, d>0,极小值
若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:
极大值
a1<0,d>0 无
极小值 版权所有，反印必究
有
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求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。
3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。
5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。
6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。
7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。
以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
5[1].等差数列前n项求和
![5[1].等差数列前n项求和](https://img.taocdn.com/s3/m/9afb1ff119e8b8f67c1cb99d.png)
它们组成一个等差数列 ，因此它们的和是：
33 2 98 1650。 2
返回
3.一个等差数列前 4项的和是24，前5项的和 与前2项的和的差是 27，求这个等差数列的 通项公式。
分析： 由S4 24，S5 S2 27，得：
例
题
例2: 等差数列－10，－6，－2， 2， · · · · · · · 前多少项和是54 ？
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. n（n 1) 设 Sn= 54, Sn na1 d 2
解 析
n( n 1) 10n ·4 54 2 得
解： a1 + a 2 + a 3
+ a 8 + a 9 + a10
= 3(a1 + a10 ) =12 + 75 = 87, ∴ a1 + a10 = 29 (a1 + a10 )10 S10 = =145. 2
例3.等差数列{a n }中公差d= - 2, a1 +a 2 +a 3 =12,求S12 .
解： a1 + a 2 + a 3
= 3a1 + 3d =12,
d = -2, ∴ a1 = 6, 12 (12 -1) S12 = a1 12 + d = -60. 2
例4.等差数列{a n }中a1 =7,公差d= - 2, Sn =15, 求n,a n .
a1,d,n,a n ,Sn 是等差数列的 五个基本要素，可以“知三求二” .
首项与末项的和： 1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，
等差数列求和公式大全
等差数列求和公式大全等差数列是数学中比较基础的一类数列，其特点是每一项与之前的项之差都相等。
求和公式是指通过已知的数列前n项，来计算数列前n项的和的公式。
下面将展示几种常见的等差数列求和公式。
1. 等差数列求和公式：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
则等差数列前n项和Sn为：Sn = (n/2)(a1 + an)可以看出，等差数列前n项和等于首项和末项的平均值乘以项数。
2. 等差数列求和公式的推导：假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d。
等差数列的前n项和为：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + an将等差数列反过来写：Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + a1两个等式相加，得到：2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)= n(a1 + an)所以：Sn = (n/2)(a1 + an)这就是等差数列求和公式。
3. 等差数列求和公式的应用：(1) 利用等差数列求和公式可以方便地计算出等差数列的前n项和，从而快速求解等差数列相关问题，例如计算一段连续整数的和、计算一段等差数列的和等等。
(2) 等差数列求和公式也可以用来证明数学中的一些等式，例如利用等差数列求和公式可以证明平方和公式：1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6。
4. 等差数列求和公式的推广：以上介绍的等差数列求和公式适用于[首项，末项]的等差数列。
对于不包含首项或末项的等差数列，可以通过差分的方式将其转化为包含首项和末项的等差数列，再应用等差数列求和公式计算。
5. 例题：已知等差数列的首项a1为3，公差d为2，求该等差数列前8项的和Sn。
根据等差数列求和公式，代入a1=3, d=2, n=8，可得：Sn = (8/2)(3 + 3 + (8-1)2)= (4)(6 + 14)= 80所以等差数列前8项的和为80。
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教学目标：
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
教学难点：
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学过程：
∴ ＝ ＝ .
分析二：利用Sn＝ 解题.
解法二：由解法一知：
S1＝ ，S2＝
∵a1＋a2n+1＝a2＋a2n∴ ＝
［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.
分析一：利用性质m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq解题.
解法一：设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn.
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？
高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，
第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，
……
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101× ＝5050.
∴S16＝ ＝8×18＝144.
（2）∵a1＋a11＝a6
∴S11＝ ＝11a6＝11×20＝220.
［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
分析一：利用Sn＝na1＋ d解题.
解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a1＋2d，…其和为S1，共n＋1项；偶数项为a1＋d，a1＋3d，a1＋5d，…，其和为S2，共n项.
Ⅰ.复习回顾
经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.
（2）若a，A，b为等差数列，则A＝ .
（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.
例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得
2Sn＝ ＝n(a1＋an)
即：Sn＝ .
由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝ .
解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.
则：S120＝ ＝7260
答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.
下面我们再来看一例题：
等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.
（2）已知a6＝20，求S11.
分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.
（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.
解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18
则：a11＝ ，b11＝ ,
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
Ⅲ.课堂练习
课本P42练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:
Sn＝ ＝na1＋ d及其获取思路.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题1，2，3
解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54
由等差数列前n项求和公式可得：
－10n＋ ×4＝54
解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)
答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.
［例1］在等差数列{an}中，
（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝ ＝5050.
又∵an＝a1+(n－1)d,
∴Sn＝ ＝ ＝na1＋ d
∴Sn＝ 或Sn＝na1＋ d
有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？
分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an①
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1②
①＋② 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)
又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1
∴2Sn＝n(a1＋an)
即：Sn＝
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.