离散数学(3)
离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学(刘任任版)第3章答案
6.
设A={1,2},B={x,y,z},C={u,v}
令 (1) x, (2) y, ( x) u, ( y) ( z) v,
则有 是满射和单射 , 但不是满射, 而不是单射 .
4.
(1)设和是满射, 则对任意的z C, 有y B, 使得 ( y) z. 又有x A, 使得 ( x) y 于是, ( x) ( ( x)) ( y) z 故 是满射.
(2)设和是单射, 则对任意的 x1, x2 A, x1 x2, 有 ( x1) ( x2). 设 ( x1) y1 B. ( x2) y 2 B.于是y1 y 2 从而 ( y1) ( y 2).设 ( y1) z1 C, ( y 2) z 2 C, 于是 ( x1) ( ( x1)) ( y1) z1 ( x 2) ( ( x2)) ( y 2) z 2 因此 ( x1) ( ( x2)).故 是单射
(a) b1 , (a) b2 , 从而b1 b2.矛盾.
故A1 A2 ,即是单射.
若是单射, 则不一定是满射 .例如, 令 A {1,2}, B {x, y}, (1) (2) x,
( x) {1,2}, ( y)
于是,是单射, 但不是满射 .
(3)设和是双射, 则由(1)和(2)知, 是双射.
5.
(1)设 是满射.任取z C, 则存在x A 使得z ( x) ( ( x)) ( y) 即存在y B.使得 ( y) z.故是满射
《离散数学》任务3(数理逻辑部分概念与性质)选择题判断题
第三部分数理逻辑选择题判断题注意：选项A B C D顺序会出现变动！根据选项确定答案！1、设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A. B. C. D.2. 设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是(1, 0, 0 )．A. 0, 0, 0B. 0, 0, 1C. 0, 1, 0D. 1, 0, 03. 下列公式中(⌝A∧⌝B ↔⌝(A∨B))为永真式A. ⌝A∧⌝B ↔⌝A∨⌝BB. ⌝A∧⌝B ↔⌝(A∨B)C. ⌝A∧⌝B ↔A∨BD. ⌝A∧⌝B ↔⌝(A∧B)4. 下列公式( (P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) )为重言式A. ⌝P∧⌝Q↔P∨QB. (Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C. (P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q))D. (⌝P∨(P∧Q)) ↔Q5. 下列等价公式成立的为( ⌝P∧P⇔⌝Q∧Q )A. ⌝P∧P⇔⌝Q∧QB. ⌝Q→P⇔P→QC. P∧Q⇔P∨QD. ⌝P∨P⇔Q6. 下列等价公式成立的为( P→(⌝Q→P) ⇔⌝P→(P→Q) )A. ⌝P∧⌝Q⇔P∨QB. P→(⌝Q→P) ⇔⌝P→(P→Q)C. Q→(P∨Q) ⇔⌝Q∧(P∨Q)D. ⌝P∨(P∧Q) ⇔Q7.下列公式成立的为( ⌝P∧(P∨Q)⇒Q)A. ⌝P∧⌝Q ⇔P∨QB. P→⌝Q⇔⌝P→QC. Q→P⇒ PD. ⌝P∧(P∨Q)⇒Q8. 命题公式的析取范式是( )．A. B. C. D.9. 命题公式(P∨Q)→R的析取范式是( (⌝P∧⌝Q)∨R)A. ⌝(P∨Q)∨RB. (P∧Q)∨RC. (P∨Q)∨RD. (⌝P∧⌝Q)∨R10. 命题公式（P∨Q）的合取范式是( （P∨Q）)．A. （P∧Q）B. （P∧Q）∨（P∨Q）C. （P∨Q）D. ⌝（⌝P∧⌝Q）11. 命题公式P→Q的主合取范式是( ⌝P∨Q )．A. (P∨Q)∧(P∨⌝Q)∧(⌝P∨⌝Q）B. ⌝P∧QC. ⌝P∨QD. P∨⌝Q12. 命题公式(P∨Q)→Q为( 可满足式)A. 矛盾式B. 可满足式C. 重言式D. 合取范式13. 在谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中，（x是约束变元，y都是自由变元）A. x，y都是约束变元B. x，y都是自由变元C. x是约束变元，y都是自由变元D. x是自由变元，y都是约束变元14. 表达式中的辖域是(P(x, y)∨Q(z) )．A. P(x, y)B. P(x, y)∨Q(z)C. R(x, y)D. P(x, y)∧R(x, y)15. 设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（(x)(A(x)∧B(x)) ）A. (x)(A(x)∧B(x))B. (∀x)(A(x)∧B(x))C. ⌝(∀x)(A(x)→B(x))D. ⌝(x)(A(x)∧⌝B(x))16. 设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（⌝(∀x)(A(x)→B(x))）．A. (x)(A(x)∧B(x))B. ⌝(x)(A(x)∧B(x))C. ⌝(∀x)(A(x)→B(x))D. ⌝(x)(A(x)∧⌝B(x))17、设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为()．A. B.C. D.18. 设个体域D={a, b, c}，那么谓词公式消去量词后的等值式为（(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(b))）A. (A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(b))B. (A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(b))C. (A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(b))D. (A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(b))19. 谓词公式是（不可满足的）A.不可满足的B. 可满足的C. 有效的D. 蕴含式20、前提条件的有效结论是( ⌝Q)．A. PB. ⌝PC. QD. ⌝Q21.设A（x）：x 是人，B（x）：x 是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（(ョx)(A(x)∧B(x)) ）．A. ¬(ョx)(A(x)∧¬B(x))B.(∀x)(A(x)∧B(x))C. ¬(∀x)(A(x)→B(x))D.(ョx)(A(x)∧B(x))22. 设个体域D是整数集合，则命题∀xョy (x•y = y)的真值是（T ）．A. TB.FC.不确定D.以上说法都不是23. 设个体域为整数集，则公式∀xョy(x+y)=0 的解释可为(对任一整数x存在整数y满足x+y=0 )．A. 对任一整数x存在整数y满足x+y=0B. 存在一整数x有整数y满足x+y=0C. 存在一整数x对任意整数y满足x+y=0D. 任一整数x对任意整数y满足x+y=024. 设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（⌝(∀x)(A(x)→B(x)) ）．A. (x)(A(x)∧B(x))B. ⌝(x)(A(x)∧B(x))C. ⌝(∀x)(A(x)→B(x))D. ⌝(x)(A(x)∧⌝B(x))二、判断题1. 命题公式┐P∧(P∨Q) ⇒Q成立( 对)2. 设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( 错)3. 设P：昨天下雨，Q：今天下雨．那么命题“昨天下雨，今天仍然下雨”符号化的结果为P∧Q．( 对)4. 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)( 对) 5. 命题公式┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式. ( 对)6. 设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，那么命题“有人去上课．”为(∃x)(P(x)→Q(x))．( 错)7. 下面的推理是否正确．(1) (∀x)A(x)→B(x) 前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) ( 错)8. 设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( 对)9. 设个体域D＝{a, b},那么谓词公式(∃x)A(x)∨(∀y)B(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( 错)10. 设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( 错)11. 谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为x．( 对)12. 设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( 对)13. 谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为x．( 错)14. 设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，那么命题“所有的人都学习努力．”为(∀x)(P(x)∧Q(x))．( 错)15. 命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q ( 错)16. 设P：小王来学校，Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→Q．( 对)17. 谓词公式┐(∀x)P(x) (∃x)┐P(x)成立．( 对)18. 命题公式┐P∧P的真值是T ( 错)19. 设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q)→┐R．( 错) 20. 命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( 对)。
离散数学第三章 集合
别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。
定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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表示一个特定集合，基本上有两种方法：
一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之 间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一 个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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离散数学课后习题答案（第三章）（doc）
a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且 ＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真 吗？
证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S， 因此有＜ x，y ＞∈S○S， 即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自 反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是 自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}
离散数学第3章答案
习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) {aa , ab , ba , bb }(3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29}(5) {1,2,3, (79)(6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合.① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) ;A ∈∅(2) ;A ⊆∅ (3) };{A A ∈ (4) ;A A ⊆ (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
离散数学(屈婉玲版)第三章部分答案
3.6从1到300的整数中（1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。
（2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。
（3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。
（4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。
（5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。
供选择的答案A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。
解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。
文氏图如下图：在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即∣A∩B∩C∣=⎣300/105⎦=2，同样可得∣A∩B∣=⎣300/15⎦=20，∣A∩C∣=⎣300/21⎦=14，∣B∩C∣=⎣300/35⎦=8.然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域.再计算∣A∣=⎣300/3⎦=100，∣B∣=⎣300/5⎦=60，∣C∣=⎣300/7⎦=42.所以∣A∪B∪C∣=162.所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124.3.10列元素法表示下列集合。
（1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}.（2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}.（3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}.（4）A={<x,y> |x,y∈N∧x+y≤4}.解：(1) A={0，1，2}.(2) A={1,2,3,4,5}.(3) A={-1}.(4) A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<4,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>,<2,2>}.3.11求使得以下集合等式成立时，a,b,c,d应满足的条件。
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
离散数学(第3讲)
2018/11/12
计算机学院
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（6）若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所 规定的命题变元P ，则可用公式： （～Ｐ∨Ｐ）∧Q=Q 将命题变元 P 补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的短语，此时得到的短语将是标准的极小项； （7）若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所 规定的命题变元P ，则可用公式： （～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q 将命题变元 P 补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项。 （8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，同时 利用交换律进行顺序调整，由此可转换成标准的主析 取范式和主合取范式。
2018/11/12 计算机学院 8
求一个命题公式的与之等价的析取范式和合取 范式，其步骤如下： （1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式 中的→、用联结词～ 、∧、∨来取代； （ 2 ）利用德 摩根定律将否定号┐移到各个命 题变元的前端； （3）利用结合律、分配律、吸收律、幂等律、 交换律等将公式化成其等价的析取范式和合取范 式。
demorgan定律可知对公式的否定可以直接作用到原子本身并且把公式中的变成把变成即得201521计算机学院结合律分配律该式正好是b左端的对偶式由a及对偶原理得证该式正好是右端的对偶式201521计算机学院一个命题公式可有无穷多个和它等价的命题公式用真值表或等价变换证明它们是否等价往往比较困难甚至连计算机也不能解决
2018/11/12
计算机学院
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主（特异、正则）合取范式
定义1-4.4 在n个变元的基本和（子句）中，若每一个变 元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅出现一 次，则这种基本和称为极大项。 由有限个极大项组成的合取式称为 主合取范式。 以下是由两个原子构成的极大项的真值表 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∨Q 1 1 1 0 P∨～Q 1 1 0 1
离散数学试题带答案(三)
离散数学试题带答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2•R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
《离散数学》第三章集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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4 2020/2/14
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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2 2020/2/14
第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
Hale Waihona Puke 返回本章首页返回本章首页
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离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
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二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
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序偶与笛卡尔积
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笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
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序偶与笛卡尔积
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消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
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序偶与笛卡尔积
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消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
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序偶与笛卡尔积
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笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
离散数学第三章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律：A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪～A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理
离散数学 第三章 一阶逻辑
在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
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例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
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在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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《离散数学》第3章 集合
P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容： 内容：集合的运算，文氏图，运算律。 重点： 重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B， 交集 A ∩ B，相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述： 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ， 、 有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？ 解：两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ， 则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}， 则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。
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命题演算：形式系统PC
PC的公理（A,B,C表示任意公式）
A1:A→(B→A) A2:(A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) A3:(¬A→¬B)→(式）
A,A→B/B（分离规则）
命题演算：形式系统PC
PC的合理性(soundness)
如果公式A是系统PC的定理，则A是重言式（如果 ┠PCA，则╞A） 如果A是公式集合Γ的演绎结果，那么A是Γ的逻辑结 果（如果Γ┠PCA，则Γ╞A）
下次我们讲……
谓词演算
个体、谓词和量词 谓词公式 永真式
一阶谓词演算形式系统FC 自然推理系统ND
关于课程教材
[O158/75]计算机科学中的离散结构
王元元, 张桂芸编著，机械工业出版社 2004
[O158/60]离散数学导论
王元元, 张桂芸编著，科学出版社 2002 ,
[O158/36]离散数学
命题演算：定理判定问题
MIU的一种同构
通过分析数的构造规则，我们发现集合中的 数都不可能被3整除
31不能被3整除 规则1～4都不能从不能被3整除的数生成能被3 整除的数
30可以被3整除，所以30不属于这个集合 结论：MU不是MIU系统中的定理
命题演算：定理判定问题
形式系统PC定理判定问题
一个符合PC符号体系定义的命题公式，是否是PC 中的定理？ 同样，用PC系统中公理和分离规则不能保证能在有 限步骤判定一个命题公式是否定理 但是，PC有一个非常重要的同构：真值函数运算系 统 只需要用真值表判定命题公式对应的真值函数是否 重言式，即可判定是否PC中的定理，真值表的运算 是有限步骤可以完成的。（注意：真值表并不是PC 中的成分）
王元元,李尚奋编著，科学出版社 1994
END
特殊符号表
∴,∵,╞═╡,╞═,∈,≠,∑,↓,∪,∩,╞,┠PC αΑ,βΒ,γΓ,δ∆,εΕ,ζΖ,ηΗ,θΘ,ιΙ,κΚ,λΛ,µΜ,νΝ,ξ Ξ,οΟ,πΠ,ρΡ,ς ,σΣ,τΤ,υΥ,φΦ,χΧ,ψΨ,ωΩ {¬,∧,∨,→,↔} ≦≧≠≤ø ∀∃
命题演算：形式系统PC
命题演算形式系统PC(Proposition Calculus) PC的符号系统
命题变元：p,q,r,s,p1,q1,r1,s1,… 命题常元：t,f 联结词：¬,→（注意是完备集） 括号：(,) 命题公式
命题变元和命题常元是公式 如果A,B是公式，则(¬A)，(A→B)均为公式（结合优先级 和括号省略约定同前） 只有有限次使用上面两条规则得到的符号串才是命题公式
规则3：如果串中出现连续3个I，则可以用U 代替III得到新串
如果xIIIy是定理，那么xUy也是定理
规则4：如果串中出现UU，则可以将UU删 去得到新串
如果xUUy是定理，那么xy也是定理
判定问题：MU是否系统中的串？
MU是否定理？
命题演算：定理判定问题
一个简单的形式系统MIU
由公理和推理规则，我们容易构造定理树
PC的完备性(completeness)
如果公式A是重言式，则A一定是PC中的定理（如 果╞A，则┠PCA） 如果公式A是公式集合Γ的逻辑结果，则A一定是Γ的 演绎结果（如果Γ╞A，则Γ┠PCA） 证明很难，略。
命题演算：形式系统PC
证明定理：┠PCA→A
1](A→((A→A)→A))→((A→(A→A))→(A→A) )：公理A2 2] A→((A→A)→A)：公理A1 3] (A→(A→A))→(A→A)：对1,2使用分离规 则 4] A→(A→A)：公理A1 5] A→A：对3,4使用分离规则
命题演算：证明与演绎
证明(proof)
公式序列A1,A2,…,Am称作Am的一个证明， 如果Ai(1≤i≤m)或者是公理，或者由 Aj1,…,Ajk(j1,…,jk<i)用推理规则推得。 当这样的证明存在时，称Am为系统的定理 (theorem)，记作┠*Am（*是形式系统的名 称），或者简记为┠Am
命题演算：形式系统PC
证明：┠¬¬A→A
¬¬A→(¬A→¬¬A)：公理A1，由演绎定理证 明了：{¬¬A,¬A}┠¬¬A ¬A→(¬¬A→¬A)：公理A1，由演绎定理证明 了：{¬A,¬¬A}┠¬A，也就是{¬¬A, ¬A}┠¬A 上面两个前提，用归谬定理得到{¬¬A}┠A 再用演绎定理，有┠¬¬A→A
离散数学(3)
陈斌 gischen@ 2010.09.23
目录
数理逻辑 集合论 图论 抽象代数
数理逻辑
命题演算
命题与联结词 重言式 范式 命题演算形式系统
谓词演算
个体、谓词和量词 谓词演算永真式 谓词公式的前束范式 一阶谓词演算形式系统
上次我们讲到……
几种命题公式
重言式、矛盾式、可满足式
命题演算：证明与演绎
演绎(deduction)
设Γ为一公式集合。公式序列A1,A2,…,Am称作Am的 以Γ为前提的演绎，如果Ai(1≤i≤m)或者是Γ中的公 式，或者是公理，或者由Aj1,…,Ajk(j1,…,jk<i)用推理 规则推得。 当有这样的演绎时， Am称作Γ的演绎结果，记作 Γ┠*Am（*是形式系统的名称），或者简记为Γ┠Am 称Γ和Γ的成员为Am的前提(hypothesis) 证明是演绎在Γ为空集时的特例
如PC中的分离规则
命题演算：定理判定问题
形式系统中的定理本质上就是在集合中的符号 串
定理的证明过程就是符号串的构造过程 这个过程需要在有限步内结束
定理判定问题
给定一个符号串，判定是否形式系统中的定理 能否单靠形式系统本身的公理和推理规则在有限步 骤内判定定理和非定理？
命题演算：定理判定问题
例子：一个简单的形式系统MIU
命题演算：形式系统PC
演绎定理
对任意公式集合Γ和公式A,B，Γ┠A→B当且仅当 Γ∪{A}┠B 当Γ=ø时，┠A→B当且仅当{A}┠B，或A┠B
归谬定理
对任何公式集合Γ和公式A,B，若Γ∪{¬A}┠B， Γ∪{¬A}┠¬B，那么Γ┠A
穷举定理
对任何公式集合Γ和公式A,B，若Γ∪{¬A}┠B， Γ∪{A}┠B，那么Γ┠B
命题演算：定理判定问题
MIU的一种同构
M对应3，I对应1，U对应0 自然数31在集合中 规则1：如果集合中有数以1结尾，则添一个0也是 集合中的数 规则2：如果集合中有数以3开始，则把3后面的数 再重复一次添在末尾也是集合中的数 规则3：如果集合中有数包含111，则把111替换成0 也是集合中的数 规则4：如果集合中有数包含00，则去掉00的数也 是集合中的数 问：30是不是集合中的数？
一个形式系统本质上说是一个符号串的集合
形式系统的定义就是符号串集合的构造性定义 符号体系规定了符号串可能包含的字符（或字符的 合法组合模式，词）
如PC中的命题变元、常元和公式的定义
公理规定了几个集合中的符号串（或者这种符号串 的模式）
如PC中的公理，实质是公理模式
推理规则规定了从集合中已知符号串转换生成集合 中其它符号串的方法
真值计算、以代入原理、替换原理进行推演难 以反应人类思维推理过程，需要建立严密的符 号推理体系
命题演算：形式系统
形式系统是一个符号体系
系统中的概念由符号表示 推理过程即符号变换的过程
以若干最基本的重言式作为基础，称作公理 （axioms） 系统内符号变换的依据是若干确保由重言式导 出重言式的规则，称作推理规则（rules of inference） 公理和推理规则确保系统内由正确的前提总能 得到正确的推理结果
命题演算：形式系统PC
证明：{A,B→(A→C)}┠B→C
1] A：前提 2] B→(A→C)：前提 3] A→(B→A)：公理A1 4] B→A：对1,3用分离规则 5] (B→(A→C))→((B→A)→(B→C))：公理A2 6] (B→A)→(B→C)：对2,5用分离规则 7] B→C：对4,6用分离规则
MI 1 MIU 1 2 MIUIU 2 MIUIUIUIU MIIU 2 1 MIIUIIU MIIIIU 2 MII 2 MIIII 2 MIIIIIIII 3 MUI ? ? ? MU ? 3 MIU ? ?
命题演算：定理判定问题
一个简单的形式系统MIU
用构造系统中所有定理的方法并不能保证在 有限的步骤内能够判定定理 到底MU是不是定理？ 我们需要利用同构机制求助于系统之外的自 然数运算定律
PC合理性的证明
PC中的公理A1,A2,A3都是重言式； PC的分离规则是“保真”的，就是如果A真，A→B 真，总有B真。 这样，由公理和规则导出的所有定理都是重言式 由Γ、公理和规则导出的公式，在Γ中的公式都为真 时也为真
命题演算：形式系统PC
PC的一致性(consistency)
没有公式A，使得┠PCA和┠PC¬A同时成立 由PC的合理性容易证明
符号系统：M, I, U组成的串 初始串：MI
公理：MI
规则1：如果串的最后一个符号是I，则可以加上一 个U
如果xI是定理，那么xIU也是定理
规则2：如果串符合Mx，则可以再加上x而生成Mxx， x代表任何一个由M,I,U组成的串
如果Mx是定理，那么Mxx也是定理
命题演算：定理判定问题
一个简单的形式系统MIU
命题演算：形式系统PC
证明： ┠(A→C)→(((B→C)→((¬A→B)→C))
根据演绎定理，只需要证明 {A→C,B→C,¬A→B}┠C 因为{A→C,B→C,¬A→B,A}┠C是显然的 {A→C,B→C,¬A→B,¬A}┠C是易证的 根据穷举定理{A→C,B→C,¬A→B}┠C得证
命题演算：定理判定问题
逻辑等价、逻辑蕴含 重言式的代入原理 命题公式的替换原理 析（合）取范式、主析（合）取范式 联结词的（极小）功能完备集
命题演算：形式系统