10 第2课时 二次函数与最大利润问题
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
下一页 6
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
北师大版数学九年级下册《利用二次函数解决最大利润问题》课件
解:(1)设 y=kx+b(k≠0),把 x=20,y=360 和 x=30,y=60 代入,得
+ = ,
解得 = -,
+ = ,
= .
则 y 关于 x 的一次函数表达式为 y=-30x+960(10≤x≤32).
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.
x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( D )
A.15元
B.400元
C.800元
D.1 250元
2.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.经调查
发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则
该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的销售单价为(
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大
利润.
解:(2)设销售利润为w元.
由题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25 000=-5(x-75)2+3
125(50<x<100),
∵-5<0,50<x<100,
∴当x=75时,w取得最大值,最大值是3 125.
第3课时
利用二次函数解决最大利润问题
根据二次函数图象的顶点坐标确定最大利润
[例1] (2022滨州)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格
销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出
60件.假定每月的销售件数y(件)是销售价格x(元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数表达式.
.
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
初中数学课件
二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
初中数学九年级《二次函数与最大利润问题》公开课教学设计
初中数学九年级《⼆次函数与最⼤利润问题》公开课教学设计22.3实际问题与⼆次函数第⼆课时⼆次函数与最⼤利润问题⼀、教学⽬标知识与技能：通过探究实际问题与⼆次函数的关系，让学⽣掌握利⽤顶点坐标解决最⼤值(或最⼩值)问题的⽅法。
过程与⽅法：通过研究⽣活中实际问题，让学⽣体会建⽴数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想⽅法。
情感态度与价值观：通过将“⼆次函数的最⼤值”的知识灵活⽤于实际，让学⽣亲⾃体会到学习数学的价值，从⽽提⾼学⽣学习数学的兴趣。
⼆、教学重点及难点教学重点：⽤⼆次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。
教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。
三、学情分析我班学⽣已经学习了⼆次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列⽅程解应⽤题，所以学⽣具备了⼀定的建模能⼒，但我班学⽣的理解能⼒较弱，对应⽤题具有恐惧感，然⽽应⽤⼆次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应⽤能⼒，对学⽣⽽⾔建模难度很⼤。
三、教学过程（⼀）复习引⼊ (1)商家进了⼀批杯⼦，进货价是10元/个，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。
（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打⼋折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元。
利润问题主要⽤到的关系式是：利润=售价-进价总利润=单件利润 ? 销售数量(⼆)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。
如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场⼀周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表⽰为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表⽰为(300-10x ) 件，⼀周的利润可表⽰为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列⽅程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。
数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
人教版九年级数学上册2232二次函数与最大利润问题教学设计
第二十二章二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时二次函数与最大利润问题
(续表)
(续表)
(续表)
(续表)
活动四：课堂总结反思
1.课堂总结：
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第51页习题22.3第2，8题．
小结环节的设置能
够让学生养成自主
归纳课堂重点的习
惯，提高学生的学习
能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境和探究新知环节中，通过解决实际生活中的利
润问题，从而得到解答此类问题的一般方法，构建函数模
型；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由讨论时
间，提高学生解答问题的积极性.
②[讲授效果反思]
教师强调：（1）利用利润公式列函数解析式；（2）在数
量与价格的变化中利用表格形式表示数量关系.
③[师生互动反思]
从课堂发言和练习来看，借助实际问题和开放自由的讨论
给予课堂活力，使学生能够充分理解利润问题的函数模型.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教
师表现，进一步提升
操作流程和自身素
质.。
二次函数与最大利润问题课件ppt
2．某商场购进一批单价为 30 元的日用商品，如果以单价 40 元销售，那 么半月内可销售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．当销售单价是 45 元时，才 能在半月内获得最大利润．
【解析】 设销售单价为 x 元，销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(x－30)[400－20(x－40)] ＝(x－30)(1 200－20x)＝－20x2＋1 800x－36 000＝－20(x－45)2＋4 500， ∵－20＜0，∴x＝45 时，y 有最大值．
当堂测评
1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放
在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部
分数据如下表：
温度 t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量 l/mm
41
49
49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适 合这种植物生长的温度为 －1 ℃.
归类探究
类型 二次函数与最大利润问题 [2016·成都]某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现
准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树．
【点悟】 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解 此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围．
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
利润最大化问题与二次函数教案
课题：26.3实际问题(利润最大化)与二次函数(利润最大化)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关利润等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题. 难点：将现实问题数学化. 教学过程： 一.知识回顾二. 例题讲解思考：综合以上两问题，在定价为多少时，才能使利润最大？ 牛刀小试:(1)若记销售单价为x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？三、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？ 随堂清1、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?问题1:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元.要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?如何定价才能使利润最大?问题2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每降价1元,每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元.如何定价才能使利润最大?要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?③当一个旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?②若旅行团有32人,旅行社营业额又如何?①若旅行团人数为25人,旅行社的营业额如何? 某旅行社组团去雁荡山旅游,每人单价600元,旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加1人,每人的单价就降低10元.1.求出下列函数的最大(或最小)值.① y=2x 2-4x-5 ② y=-x2+3x2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少?2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?3、国务院出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？5、随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
10
y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
精选ppt
13
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x：定2价ba为5358时1 ， y元最时大，利18润最53大2，6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
精选ppt
9
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
二次函数与实际问题最大利润问题
1）小明家的服装店每 星期获利多少元？你用 到了哪几个量的关系？
如果调整价格：每件 涨价1 元，每星期要 少卖出10 件服装
2）怎样定价才使每星
期利润达到6090元？
能否达到10000元？
3 ）如何定价才能使一星期所获利润 最大？
分析
(60+ x)元 (60+ x-40) 元
涨价x元
销售 单价
单件 利润
如果调整价格：每件 降价1 元，每星期要 多卖出20 件服装
爸爸在旁边说， 降价必须是整数 哦，我可嫌找零
钱麻烦
帮小明算一算该如何定价才能使一星期所获 利润最大？最大利润是多少？
你是这样做的吗？
解：设降价x元，每 星期获得的利润为y 元，则 y=(60- x40)(300+20 x)
=(20x)(300+20 x)
的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y （万个）与x（元/个）的函数解析式． ? （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万个）与 销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元 时净得利润最大，最大值是多少？ ? （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售 价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大， 销售价格应定为多少元？
2、直接代入顶点坐标公式，求最值 (
?
b 2a
, 4a4c-ab2)
3、观察二次函数图象，找最高点或最低点，求最值
2、求下列二次函数的最值
（1）
（2）-1≤x≤2，该
y x?1
函数的最大值是 2 ，
最小值是 -2 ；
(3)若-2≤x≤0，该
o
x
函数的最大值是 1 ，
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
②T恤衫何时获得最大利润,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利润最大：
8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
二次函数的实际应用之利润最大(小)值问题
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a bx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_____时，y 有最____值，这个值是___． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______________)，此类函数都有____值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 米 ．5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面_____m ．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_____米． 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为_____元．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对（1判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？。
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利Βιβλιοθήκη 最大：8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
22_3 第2课时 二次函数与最大利润问题【人教九上数学学霸听课笔记】
－3x)件,则y关于x的函数解析式为y＝(20＋x)(80－3x)＝－3x2
＋20x＋1600.
随 3.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外.现有一
堂
小 个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,那么
检
测 每天可售出50箱；如果每箱产品每涨价1元,那么日销售量 将减少2箱.
润,最大利润是2400元.
探 (3)在y＝－10x2＋110x＋2100中,令y＝2200,得
究
与 －10x2＋110x＋2100＝2200,
应
用 即x2－11x＋10＝0,解得x1＝1,x2＝10.
由图象(图略)可知,当y≥2200时,x(元)的取值范围是1≤x≤10且x为
整数.
探 总结与警示
探 究
(3)若每个月的销售利润不低于2200元,求涨价x(元)的取值
与 范围.
应
用 [解析] (1)根据进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出
210件,再根据每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件
和销售利润＝件数×每件的利润,列出函数解析式,即可得出答
案.自变量x的取值范围可由“每件售价不能高于65元”以及“x为
应 用
(2)根据(1)得y＝－10x2＋110x＋2100＝－10(x－5.5)2＋2402.5.
∵a＝－10＜0,∴当x＝5.5时,y有最大值2402.5.
∵0＜x≤15,且x为整数,
当x＝5时,50＋x＝55,y＝2400,当x＝6时,50＋x＝56,y＝2400,
∴当每件商品的售价定为55元或56元时,每个月可获得最大利
－5)2＋6250,其中300－10x≥0，所以 0≤x≤30.当 x＝__5__时,y 最 x≥0，
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22.3实际问题与二次函数
第2课时二次函数与最大利润问题
情景导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣
一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：
①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？
[说明与建议] 说明：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型.建议：教师需重点关注：①学生能否想到两种调整价格的方式；②学生在表示价格和利润之间的关系时，是否注意到自变量的取值范围.
——第50页探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【模型建立】
本题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要分类讨论，分别建立函数解析式，在不同的情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内考虑函数的性质和图象，然后比较得出结论.
【变式变形】
1.[教材第52页习题2
2.3第8题]某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空
闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？[答案：房价定为每天350元时，宾馆利润最大]
2.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13
，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季 未入住房间数（间）
10 0 日总收入（元） 24000 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变.经市场调查发现，如果今年豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，每间的价格每增加25元，那么每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格每间上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
[答案：（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元 （2）当该酒店将豪华 间的价格每间上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为42025元]
[命题角度] 利用二次函数的性质解决最大利润问题 此类问题的常见题型：（1）利用二次函数解决最大利润问题，如教材P 50探究2，P 52习题22.3 T 8；（2）一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题.
例1 淮安中考某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当该纪念品每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.
（1）当该纪念品每件的销售价为52元时，每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润.
[答案：（1）180 （2）当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元]
例2 天门中考绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图22－3－13，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1（元）、生
产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系.
图22－3－13
（1）求该有机产品每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；
（2）直接写出该有机产品每千克的生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；
（3）当该有机产品的产量为多少时，生产并销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
[答案：（1）y1＝－
3
5x＋168（0≤x≤180）（2）y2＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧70（0≤x≤50）；
－
1
5x＋80（50<x<130）；
54（130≤x≤180）（3）当该有机产品的产量为110 kg时，生产并销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元]
1. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个，则当x=时，一天出
售该种文具盒的总利润最大．
2. 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．
（1）已知销售单价提高4元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；销售这种篮球每月的总利润是元；
（2）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）；
（3）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
参考答案
1．3
2．（1）y=－10x2+100x+6000
（2）当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元
3．解：（1）14 460 6440 （2）（10＋x）（500－10x）
（3）设月销售利润为y元．
由题意得：y＝(10＋x)( 500－10x)，
整理得：y＝－10(x－20)2＋9000，
当x＝20时，y有最大值9000．
此时篮球的售价应定为20＋50＝70(元)．
答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球的售价为70元．
素材六数学素养提升
中国数学界的伯乐——熊庆来
人们在赞美千里马时，总会记起识马的伯乐。
中国科学界在赞美华罗庚时，也不会忘记他的老师、中国近代数学的先驱——熊庆来。
熊庆来(1893—1969)，字迪之，云南弥勒人，18岁考入云南省高等学堂，20岁赴比利时学采矿，后到法国留学，并获博士学位。
他主要从事函数论方面的研究，定义了一个“无穷级函数”，国际上称为熊氏无穷数。
熊庆来热爱教育事业，为培养中国的科学人才，做出了卓越的贡献。
1930年，他在清华大学当数学系主任时，从学术杂志上发现了华罗庚的名字，了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后，毅然打破常规，请只有初中文化程度的19岁的华罗庚到清华大学。
在熊庆来的培养下，华罗庚后来成为著名的数学家。
我国许多著名的科学家都是他的学生。
在70多岁高龄时，他虽已半身不遂，还抱病指导两个研究生，这就是青年数学家杨乐和张广厚。
熊庆来爱惜和培养人才的高尚品格，深受人们的赞扬和敬佩。
早在1921年，他在东南大学(南京大学前身)当教授时，发现一个叫刘光的学生很有才华，经常指点他读书、研究。
后来又和一位教过刘光的教授，共同资助家境贫寒的刘光出国深造，并且按时给他寄生活费。
有一次，熊庆来甚至卖掉自己身上穿的皮袍子，给刘光寄钱。
刘光成为著名的物理学家后，经常满怀深情地提起这段往事，他说：“教授为我卖皮袍子的事，十年之后才听到，当时，我感动得热泪盈眶。
这件事对我是刻骨铭心的，永生不能忘怀。
他对我们这一代多么关心，付了多么巨大的热情和挚爱呀!”认为“陈景润定理”。