10 第2课时 二次函数与最大利润问题

22.3实际问题与二次函数

第2课时二次函数与最大利润问题

情景导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣

一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：

①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？

[说明与建议] 说明：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型.建议：教师需重点关注：①学生能否想到两种调整价格的方式；②学生在表示价格和利润之间的关系时，是否注意到自变量的取值范围.

——第50页探究2

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【模型建立】

本题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要分类讨论，分别建立函数解析式，在不同的情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内考虑函数的性质和图象，然后比较得出结论.

【变式变形】

1.[教材第52页习题2

2.3第8题]某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空

闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？[答案：房价定为每天350元时，宾馆利润最大]

2.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13

，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

淡季 旺季 未入住房间数（间）

10 0 日总收入（元） 24000 40000

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变.经市场调查发现，如果今年豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，每间的价格每增加25元，那么每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格每间上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

[答案：（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元 （2）当该酒店将豪华 间的价格每间上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为42025元]

[命题角度] 利用二次函数的性质解决最大利润问题 此类问题的常见题型：（1）利用二次函数解决最大利润问题，如教材P 50探究2，P 52习题22.3 T 8；（2）一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题.

例1 淮安中考某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当该纪念品每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.

（1）当该纪念品每件的销售价为52元时，每天的销售数量为 件；

（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润.

[答案：（1）180 （2）当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元]

例2 天门中考绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图22－3－13，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1（元）、生

产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系.

图22－3－13

（1）求该有机产品每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；

（2）直接写出该有机产品每千克的生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；

（3）当该有机产品的产量为多少时，生产并销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

[答案：（1）y1＝－

3

5x＋168（0≤x≤180）（2）y2＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧70（0≤x≤50）；

－

1

5x＋80（50

54（130≤x≤180）（3）当该有机产品的产量为110 kg时，生产并销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元]

1. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个，则当x=时，一天出

售该种文具盒的总利润最大．

2. 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．

（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；

（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．

（1）已知销售单价提高4元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；销售这种篮球每月的总利润是元；

（2）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）；

（3）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？

参考答案

1．3

2．（1）y=－10x2+100x+6000

（2）当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元

3．解：（1）14 460 6440 （2）（10＋x）（500－10x）