高尔顿钉板

高尔顿（Galton）钉板实验

一、问题描述

Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。

在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆

点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为

0，1，2，…，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自

由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从

右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入

底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。

二、高尔顿钉板试验中的相关问题

1、小球落入各个格子中的概率与频数

做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i个格子的概率正好满足二项分布。

设高尔顿钉板有n行钉，第n行铁钉共有n个，有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。

观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向

左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P（i=0）=C0

n （

2

1

）n(

2

1

)0。

观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空

的概率为P（i=1）=C1

n （

2

1

）n-1(

2

1

)1。

小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为

P（i）= C i

n （

1

2

）n-i(

2

1

)i（i=0，1，2，…，n）。

故，当一个一个从顶部放入k个小球，低槽中各格的理论频数为：

h(i)=k×P(i),(i=0,1,2,…，n).

2、程序运行

基本功能

①输入小球数k、概率p;

②计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的实验小球数；

③计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的理论小球数；

④动画演示每个小球下落路径及底槽各格小球数频率增长情况；

④画出落入底槽各格中的实验小球数频率的柱状图；

⑤画出落入底槽各格中的实验小球数、落入底槽各格中的理论实验小球数的频率曲线图；

⑥关闭。

图形界面

程序使用方法

➢打开；

➢填写“输入球数”、“输入p值”，点击求值运行；

➢实验值一栏显示为落入底槽各格中的实验小球数，理论值一栏显示为落入底槽各格中的理论小球数；

➢界面动画演示小球下落路径；

➢红线代表落入底槽各格中的实验小球频率分布，绿线代表落入底槽各格中的理论小球频率分布，便于比较；

➢多次点击“求值”按钮，可得到多组实验数据；

➢单击“关闭”按钮，可退出程序窗口。

运行结果

（1）动画演示：小球数k=500 p=

（2）小球数k=500 p=

由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，但存在较大误差。

（3）小球数k=5000 p=

由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，误差相对（1）有所减小。

（4）小球数k=50000 p=

由（2）、（3）、（4）运行结果我们可以看出，随着小球数的增加，实验值与理论值

越来越符合，小球落入底槽各格中的概率也愈加符合二项分布、各格小球数符合正态分布。（5）小球数k=500 p=

（6）小球数k=500 p=

卡方检验

由（2）运行结果知：

p=[,,,,];

v=[,125,,125,];

function kf

p=[,,,,];

V=[,125,,125,];

for i=1:5

V=0;

V(i)=(v(1,i)-k*p(1,i))^2/(k*p(1,i));

V=V+V(i);

end

运行结果与相比，可得到V<,因此验证所实验分布服从B（4，p）。

3、matlab模拟Poisson分布与几何分布

Poisson分布

高尔顿钉板模拟Poisson分布

➢数学原理

对于参数n,p二项分布，当n很大p很小，近似于λ=n*p为参数的泊松分布。

➢取n=50000，p=

时间间隔序列模拟Poisson分布

➢数学原理

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某

共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。

由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程,T n是由random （‘exponential’,λ）生成，T n间相互独立。

➢程序内容

function Poisson

λ=2;T max=50;

i=1;

T(1)=random('exponential',λ); %产生服从参数为λ的指数分布随机数T(1) while(T(i)

T(i+1)=T(i)+random('exponential',λ);

i=i+1;

end

T(i)=T max; x=0:1:i;w(1)=0;

for p=1:i

w(p+1)=T(p);

end

stairs(w,x);

➢运行结果