高尔顿钉板
高尔顿钉板R语言实验
【实验结论】 1．当取定小球数时，概率为 0.5 时整体图像大致为正态分布图，当概率小于 0.5 时图像最高点向左偏移，大于 0.5 时向右便宜。 2．当概率去定时，随着小球数目的增多，图像和正态分布图的拟合程度越来 越高，但当小球数超过 10000 时，变化不明显。
高尔顿钉板试验 【实验目的】 1、加强对正态分布的理解 2、了解独立同分布的中心极限定理 3、掌握 R 在计算机模拟中的应用 【实验要求】 1、了解 R 程序文件的建立和运行，理解循环等控制语句的应用。 2、了解 R 的程序设计，掌握用 R 处理实际问题的能力。 【实验内容】 高尔顿钉板试验，这个试验是英国科学家高尔顿设计的，具体如下：自板上 端放一个小球，任其自由下落。在其下落过程中，当小球碰到钉子时从左边落下 的概率为 p，从右边落下的概率为 1-p，碰到下一排钉子又是如此，最后落到底 板中的某一格子，因此任意放入一球，则此球落入哪个格子事先难以确定（设横 排共有 m=20 排钉子，每一排钉子等距排列，下一排每个钉子恰好在上一排两相 邻钉子中间） 。 （1）分别取 p=0.15,0.5,0.85，自板上端放入 n 个小球，取 n=5000，观察 n 个小球落下后呈现的曲线（直方图） 。 （2）固定 p=0.3，分别取 n=1000,10000,100000，观察小球落下后呈现的曲 线的变化。 【实验思路】 令μk 表示某一个小球在第 k 次碰到钉子后向左或向右落下这一随机现象相 联系的随机变量（μ=1 表示向右落下，μ=-1 表示向左落下） ，令μn=
d<-NA for(i in 1:10000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)
d<-NA for(i in 1:100000) { a<-rbinom(20,1,0.3) b<-sum(a) d<-c(d,(b-10)) } hist(d)
中心极限定理证明
中心极限定理证明正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于. 证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有第二篇：大数定理中心极限定理证明一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明第三篇：中心极限定理§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x是许多随机误差的总和，即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=???(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n? k=1?n的分布函数对任意的x，满足n?? n?? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ?? e-? x t22dt第四篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
《概率论与数理统计》的课堂思政设计—以大数定律为例
《概率论与数理统计》的课堂思政设计—以大数定律为例摘要：本文以大数定律教学内容为基础，以课程思政为导向，挖掘概率论与数理统计教学内容中蕴含的思政元素，把思政元素融入教学内容、教学方法和教学活动。
通过引入历史两个著名试验，追溯大数定律的发展和演变，剖析大数定律的内涵和意义三个方面阐述课程思政教学的有效运行，结合具体教学内容为课程思政的有效运行提供切实可行的方法。
关键词：大数定律、思政元素一、引言概率论与数理统计是研究与随机现象相关的数量规律的学科，也是高等学校理工科专业的通识必修课之一。
概率论与数理统计应用广泛，几乎遍及学术研究和日常生活的方方面面。
通过学习，学员可以提升运用概率论的思想观察、处理随机事件的能力。
大数定律在概率论与数理统计课程的教学内容中具有承上启下的重要意义，既是前面概率论内容的一个补充，又为数理统计提供了理论基础。
大数定律是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要的作用。
大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定理。
从数学上严格地解释了频率稳定于概率，平均值稳定于数学期望。
本文以大数定律的教学内容为基础，深挖案例中蕴含的“思政元素”及所承载的思想政治教育功能，将思政元素有机的融入课堂教学，把“知识传授”与“价值引领”有机统一起来，做到立德树人，培养具有社会主义核心价值观的有用人才。
二、课堂思政设计（一）通过引入试验，透过实验现象看本质高尔顿钉板（Galton board）,是弗朗西斯高尔顿以验证中心极限定理的试验。
从漏斗形上口掉落的小球会遇上一系列排列成三角形的“钉子”。
每当小球从正上方下落到一个“钉子”上时，它总是会有50%的概率跑到左边，有50%的概率跑到右边。
在经过数次这样随机的“左右选择”之后，小球掉落到下方的格子中。
如图1所示。
图1 高尔顿钉板试验引入高尔顿钉板试验，可以从直观上看到无数的随机因素共同作用的结果即每一个因素或多或少都起到一点作用，但都没有起到很大的甚至决定性的作用也就是说每种因素的微小差异对总的影响作用不是很大，最终综合在一起就形成了正态分布。
高尔顿(Galton)
高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2
a1，1=（ ）2= C 2 )0（ ）2—0 2 (
显然成立。 2．假设 n=k（k≥2）成立（即假设第 n 行每一个数据都成立） 。 即 ak，i= C ik （ ）k—i( )i 当 n=k+1 时，ak+1，0=
1 2 1 2 1 2
ak，0=
1 2
1 2
C0 ）k—0 ( )0 k（
ak+1，i= =
1 2
ak，i-1+
1 2
ak，i
1 2 1 2
1 2
C ik-1 （ ）k-(i-1)( )i-1+
1 2
1 2
C ik （ ）k-i( )i
1 2
1 2
=（ C ik-1 + C ik ） （ ）k+1 = C ik 1 （ ）(k+1)-i（ ）i ∴在 n=k 成立的条件下，n=k+1 也成立。 3．由 1，2 得，原命题成立。 由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第 i 个空的概率正好满足二项分布。 由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有 人发布了试验的动画在此就不做说明） 。
案例9古典概型
3. 求古典概型概率的基本步骤 1) 算出所有基本事件的个数 n； 2) 求出事件 A 包含的所有基本事件数 m； 3）代入公式 P(A)=m/n，求出 P（A）。 4. 概率分布 事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。 若要全面了解试 验， 则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随 机试验的概率分布。
币、掷骰子）。即从装有 m 个白球 n 个黑球的袋子中有放回摸球，求在摸到 a 次黑球前摸到 b 次白球的概率。 由此又可以转化为大量的应用问题， 而二项分布、 几何分布、 负பைடு நூலகம்项分布等常见离散型分布均可由点数问题引申出来，所以点数问 题的圆满解决被认为是概率论诞生的标志之一。 实验 2 赌徒梅勒的第二个问题: 当时赌徒梅勒问帕斯卡的另一个问题是：
9.2 点数问题
实验 1 点数问题： 通常认为概率论起于骰子的应用，源于点数问题（又
称分赌本问题）。所谓点数问题是：A，B 两人赌博，其技巧相当，约定谁先胜 s 局则获全部赌金。若进行到 A 胜 s1 局而 B 胜 s2 局（s1<s，s2<s）时，因故停止， 赌金该如何分配才公平？点数问题最早见于意大利数学家帕乔利（Ｌ.Pacioli， 1445－1517）的《算术、几何及比例性质摘要》中。该书记载：A，B 两人进行 一场公平赌博，约定先赢得 s=6 局者获胜。而在 A 胜 s1=5 局且 B 胜 s2=2 局时中 断。帕乔利认为该赌博最多需要进行 2(s-1)+1=11 局，因而赌金分配方案为 s1/(2s-1)与 s2/(2s-1)之比，即 s1/ s2＝5/2。帕乔利的方案实际上是按已胜局数 比例分配(这也是一般人的看法)， 这种分法合理吗？我们不妨通过如下实验结果 来探讨这个问题。 问题分析：在 A 已经五胜两负的基础上，用计算机模拟两人以后的博弈，计 算他们应得的赌金。 由于两位技巧相当，不妨假定他们在以后的每局比赛中胜负 机会相等。连续模拟 n 次（为了使结果更有说服力，取 n 较大，如 n>1000）， 每次模拟到 A，B 双方有一方先胜 6 局为止，胜者获得全额赌金，n 次模拟结束 后，计算双方所获赌金的比例，以该比例作为赌金分配方案。 实验过程：Matlab 实验程序如下(stake.m 文件)： function [Awin,Bwin,p]=stake(s1,s2,s,n) %定义函数 stake， 输入参数 s1,s2
概率统计02高尔顿钉板的理论解释及仿真
二、高尔顿钉板的理论解释及仿真
高尔顿钉板中（见教材第一章图1—2）每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗中间．从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后均以2
1的概率向左或右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态),0(n N 的密度函数图形，其中n 为钉子层数。
解释如下：
令k X 表示某个小球在第k 次碰钉子后向左或向右落下这一随机现象联系的
随机变量，k X 的概率分布为（...,2,1=k ）k X 1-1
k
p 2121令∑==n i k n X Y 1，其中
)...21(n k X k ，，=相互独立，则n Y 表示这个小球第n 次
碰钉后的位置。
由中心极限定理，有⎰∞--∞→=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<x t n n dt e x n Y P 2221lim π故n Y ～),0(n N 。
下面进行计算机仿真。
%“高尔顿钉板问题”模拟程序
function y=f2
n=input('请输入球数n=');
m=input('请输入层数m=');
x(n)=0;yy(m+1)=0;
for i=1:n
for j=1:m
if rand>0.5
x(i)=x(i)+1;
else
x(i)=x(i)-1;
end
end。
高尔顿钉板试验模拟(程序)
高尔顿钉板试验模拟（程序）...这是我2005年12的课程设计中程序的核心部分，写完后自己非常得意，等着老师表扬。
等啊等，等待现在也没等到:em16:现将它献给大家...（若有版权那遵守BSD吧）注1：程序以前是用Matlab写的现用Java重写注2：原程序中galton返回值为int[] grid 、没有“输出结果”部分public void galton(int sumOfGrid, int sumOfBall){int[] grid = new int[sumOfGrid];int number = 0; //一个小球从顶端落下过程中向右偏移的总次数int rand ; //随机数，取值范围为{0,1}，为0、为1的概率相等for( int counter_ball = 1; counter_ball <= sumOfBall; counter_ball++ ){//<核心>// (sumOfGrid - 1)为钉板的层数for( int times = 1; times <= ( sumOfGrid - 1 ); times++ ){rand = (int)( Math.random()*2 );number += rand;}grid[number]++;number = 0;//</核心>}//输出结果System.out.println( "小球的总数为"+sumOfBall+"\t格子的个数为"+sumOfGrid );for( int index = 0; index < grid.length; index++ )System.out.println( (index+1)+"号格子中的小球数为：\t"+grid[index] );}}//end of metod galton补充：(谢谢2楼提醒:-D )高尔顿钉板试验：自板上端放入一小球, 任其自由落下.在下落过程中, 当小球碰到钉子时, 从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子也是如此.自板上端放入n(n自行输入)个小球, 观察小球落下后呈现曲线并统计小球落入各个格子的频率.高尔顿钉板试验可见《概率论》（复旦大学李贤平）当小球数量少时分布无明显特征，当小球数量多时（>100）分布近似正态分布。
中心极限定理证明
中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为,即以的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明§中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x是许多随机误差的总和，即x=xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量2xk-nk=1n的分布函数对任意的x，满足nnxk-nk=1nx12e-xt22dt中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
A版高二数学选修2-3《2.4正态分布》课件
区 间 取值概率 68.26% 95.44% 99.74% （μ －σ ，μ ＋σ ] （μ －2 σ ，μ ＋2 σ ] （μ －3 σ ，μ ＋3 σ ]
上述结果还可用下图表示：
68.26% 95.44% 99.74%
可以看到，正态总体几乎总取值于区间 3 , 3 之内.而在此区间以外取值的概 率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中 几乎不可能发生(小概率事件). 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量X只取 3 , 3 之间的 值，并简称之为3σ原则.
选修2-3
2.4 正态分布
情境引入
1. 高 尔 顿 钉 板 实 验
2.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验， 随着试验次数的增加， 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多， 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.
高尔顿板示意图
3. 频率分布直方图
为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球 槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一 下小球的分布规律. 以小球的编号为
O
a
b
x
3. 正态曲线的特点
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1
y
y
μ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1.
高尔顿钉板数学解释
高尔顿钉板数学解释
高尔顿钉板是一种几何工具，也叫高尔顿板或者布朗尼安运动。
它由一块平面上的钉板组成，其上方有许多等间距的突起物（通常是钉子），形成一系列固定的排列。
高尔顿钉板的数学解释可以通过落球模型来理解。
假设在钉板上方有一个小孔，并且从该小孔中往下自由下落一个小球。
每当小球碰到钉板时，它会按照一定的规则反射或者改变运动方向，最终最终落到一个特定的位置。
通过观察这些球的运动轨迹，我们可以观察到一些有趣的现象。
数学上，高尔顿钉板的解释可以通过物理学中的弹性碰撞和反射来进行分析。
当小球经过碰撞后，其运动方向和速度会发生改变，但是总能量是守恒的。
通过数学建模和计算，我们可以推导出小球的轨迹和最终的落点。
高尔顿钉板模型在数学研究中被广泛应用于混沌理论、动力系统和分形几何等领域。
它展示了一种看似无序但却是有规律的运动，引发了人们对随机性、确定性和无序性的思考。
总结而言，高尔顿钉板的数学解释可以通过物理学中的弹性碰撞和反射来理解。
通过观察球的运动轨迹，我们可以观察到一些有趣的现象，这在数学研究中具有重要的意义。
高尔顿钉板实验原理
高尔顿钉板实验原理详解高尔顿钉板，又称作“高尔顿板”或“豆子机”，是一项经典的物理学实验装置，主要用于演示概率论中的正态分布现象。
这个实验装置由英国统计学家和生物学家弗朗西斯·高尔顿在19世纪末期发明。
实验装置高尔顿钉板通常是由一系列垂直排列的钉子阵列构成，这些钉子按照一定的间距和排列方式固定在木板上。
在钉板的一侧，有一个可以放置小球的起始位置，而在钉板的另一侧，则是一系列的收集槽，用于收集经过钉子阵列后的小球。
实验过程实验开始时，将一个小球从起始位置释放。
小球在下降过程中，会不断地与钉子发生碰撞，每次碰撞后，小球都会随机地向左或向右偏移一定的距离。
由于这种偏移是随机的，因此小球在通过钉子阵列时，其路径是曲折不定的。
最终，小球会落到钉板另一侧的某个收集槽中。
实验原理1、随机过程：每次小球与钉子的碰撞都是一个随机事件，小球向左或向右偏移的概率是相等的（假设钉子的排列是对称的，且小球与钉子的相互作用是对称的）。
这种随机性是小球路径曲折不定的原因。
2、大数定律：当大量小球通过高尔顿钉板时，虽然每个小球的路径都是随机的，但所有小球在收集槽中的分布却呈现出一定的规律。
根据大数定律，当实验次数足够多时，相对频率会趋近于概率。
因此，收集槽中小球的数量分布会趋近于正态分布。
3、正态分布：正态分布是一种常见的概率分布，其特点是中间高、两头低，呈现出钟形曲线。
在高尔顿钉板实验中，当大量小球通过钉板后，落在中间收集槽中的小球数量最多，而落在两侧收集槽中的小球数量逐渐减少，形成了一个类似于正态分布的曲线。
实验意义高尔顿钉板实验不仅展示了正态分布的形成过程，还揭示了随机性和规律性之间的关系。
这个实验在统计学、物理学和概率论等领域具有重要意义，有助于人们深入理解随机过程和概率分布的基本原理。
与高尔顿钉板原理一样的实验
与高尔顿钉板原理一样的实验
高尔顿钉板是一种经典的物理实验，它可以展示出混沌现象。
虽然我无法进行实际的实验，但我可以向您解释一下高尔顿钉板的原理。
高尔顿钉板由一块垂直悬挂的金属板构成，板上钉有许多均匀分布的小钉子。
在钉板下方放置一个水平的接收器，接收器可以移动。
实验过程中，我们向钉板上方倾斜一定角度并将小球从顶部释放，小球会碰撞到钉子上然后落入接收器中。
当小球碰撞到钉子时，它会改变方向并反弹。
由于碰撞的不确定性，小球最终会以难以预测的方式在钉子之间穿梭。
这是因为每个钉子的碰撞都会使小球的运动路径发生微小的变化，而这些微小的变化会随着时间的推移被放大，导致小球的运动变得无法预测。
高尔顿钉板实验展示了混沌现象，这是一种在看似随机的系统中存在的有序行为。
这种现象在许多自然现象和物理系统中都可以观察到，例如天气模式、流体力学和分子动力学等。
通过高尔顿钉板实验，我们可以直观地理解混沌现象的基本原理。
中心极限定理证明
中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子[例1] 高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.[例2] 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则[例3] 用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: . [例4] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.[例5] 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.[例6] 某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.[例7] 根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.[例8] 在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有[例9] 设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:P222 EX 32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.[例11] 以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明: 令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明, 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1 对及任意的,证明:记,设,由于因此, ,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2 对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3 若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又 .令 ,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么 (5) 这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知, 当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有。
人教版高中数学选修2-3《2.4正态分布》
频率 组距
一.引入
总体密度曲线.
a
b
x
高尔顿钉板试验频率分布直方图
一.
正态曲线
像这种具有“中间高，两头低”的特征的总体密 度曲线,称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
y
总体密度曲线
二.正态曲线
O
x
正态曲线对应的函数为： ( x )2 1 2 2 ( x ) e ,xR 2
-
95.45%
+
P ( 2 X 2 ) 0.9545
2.28% 2.28%
-2
99.73%
+2
P ( 3 X 3 ) 0.9973
0.13%
0.13%
-3
+3
五.特殊区间的概率
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ) 之内，在此区间以外取值的概率只有0.0026.像这 种概率很小（一般不超过5 ％ ）的情况发生称为 小概率事件，我们认为这种情况几乎不可能发生。 3σ原则——实际生活中，服从正态分布N(μ，σ2) 的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
C
)
七. 小结
你能总结一下这节课学了什么内容吗？ 1.··· 2.··· 3.···
八. 布置作业
《高中新课程学习指导》作业与测评（38） A级—2,3,4,6,8,9 B 级— 2 ，6 C级
【例1】(成才P119例1)如图是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布概率密度函数的解析 式,并求出总体随机变量的数学期望和方差.
六.典型例题 题型一 .正态曲线及性质 y
1 2
5 10 15
20 25 30 35
高尔顿钉板概率计算
高尔顿钉板概率计算《高尔顿钉板概率计算》一、高尔顿钉板概率计算的概念高尔顿钉板概率计算（Hammering Probability Calculation）是一种研究客观事物重复出现率概率的数学类型。
它基于一种算法，分析特定事物出现的概率并计算其出现的可能性或重复出现的概率。
简单来说，它是一个数学方法，用来测量某种事件出现的机会。
高尔顿钉板概率计算可以用来预测工业中的反应，识别股票市场的趋势，以及估计事件发生的几率。
此外，这种概率计算也可以用于艺术表现并评估其历史及现在的行为及特点。
二、高尔顿钉板概率计算的运行方式高尔顿钉板概率计算的工作方式是非常简单的。
它需要一个输入，即重复次数（也就是机率）。
然后计算机会计算出一个输出概率。
整个过程通过一系列公式来完成。
首先，它会从连续事件中选择一个假设性的起始数字，该数字是某个事件的第一次发生的概率。
然后，根据经验和统计分析，将这一数字进行修改，使之更加接近真实数字。
最后，概率计算会返回一个可能性值，表示某个事件发生的概率。
有时，它也可以按比例计算某行为的重复出现，或者测量某个事件的概率变化。
三、高尔顿钉板概率计算的应用高尔顿钉板概率计算在我们的社会中有着广泛的应用，不但在实验科学、大数据分析、社会科学等方面，更是在金融期货行情预测、投资组合管理等领域有着极其重要的作用。
在实验科学中，高尔顿钉板概率计算可以识别反应模式，检测研究结果的重复性，以及比较不同药物的有效性。
在大数据分析中，它可以用于识别过去数据里一定趋势，从中发掘有价值信息，从而形成未来预测模型，助力大数据分析。
在社会科学研究中，这种概率计算可以通过构建跨学科、多角度的理论体系,比较不同人群的行为,评估社会问题的发展趋势，从而开展更加到位的社会政策制定与执行。
在金融投资领域，高尔顿钉板概率计算可以预测期货市场的波动幅度，预测不同资产投资行为及收益情况，建立多元投资组合，以最小的投入获得最大的风险分散及收益模式，助力投资者深入研究市场，在市场趋势格局中找到最佳投资机会。
正态分布详解
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N ( , )时，
2
P (| Y | ) 0.6826
P (| Y | 2 ) 0.9544
P (| Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h . 因为X～N(170,62),
X 170 6 ~ N (0,1)
故 P(X< h)=
(
h 170 6
)
0.99
查表得 (2.33)=0.9901>0.99 所以
h 170 6
=2.33,
即 h=170+13.98 184
设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.
THE END！
这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）.
再看一个应用正态分布的例子: 例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
解: 或 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01 P(X< h)≥ 0.99，
也许很多人不相信，玩这种赌博游 戏十有八九是要输掉的，不少人总 想碰碰运气，然而中大奖的概率实 在是太低了。
下面我们在计算机上模拟这个游戏：
街头赌博 高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高尔顿钉板
高尔顿G a l t o n 钉板实验一、问题描述Galton 钉板试验是英国生物统计学家Galton 设计的..在一板上钉有n 排钉子;如图示;其中n=5..右图中15个圆点表示15颗钉子;在钉子的下方有n+1个各子;分别编号为0;1;2;…;n..从Galton 钉板的上方扔进一个小球任其自由下落;在下落的过程中当小球碰到钉子时;从左边落下与从右边落下的机会相等..碰到下一排钉子时又是如此..最后落入底板中的某一个格子;图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹..二、高尔顿钉板试验中的相关问题1、小球落入各个格子中的概率与频数做一个小球的高尔顿钉板试验;其落入第i 个格子的概率正好满足二项分布..设高尔顿钉板有n 行钉;第n 行铁钉共有n 个;有n+1个空..把这n+1个空由左到右依次编号为i=0;1;2;…;n 共n+1个空..观察i=0这个空;小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下;即连续n 次选择向左落下;所以落入第i=0个空的概率为Pi=0=C 0n 21n 210..观察i=1这个空;小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中;有且只有一次选择向右落下;其余都只能是向左落下;所以落入第i=1个空的概率为Pi=1=C 1n 21n-1211..小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中;有i次选择向右落下;其余都选择向左落下;所以落入第i个空的概率为Pi= C in 12n-i21i i=0;1;2;…;n..故;当一个一个从顶部放入k个小球;低槽中各格的理论频数为：hi=k×Pi;i=0;1;2;…;n.2、程序运行2.1 基本功能①输入小球数k、概率p;②计算高尔顿钉板n=4时;放入k个小球后;落入底槽各格中的实验小球数；③计算高尔顿钉板n=4时;放入k个小球后;落入底槽各格中的理论小球数；④动画演示每个小球下落路径及底槽各格小球数频率增长情况；④画出落入底槽各格中的实验小球数频率的柱状图；⑤画出落入底槽各格中的实验小球数、落入底槽各格中的理论实验小球数的频率曲线图；⑥关闭..2.2 图形界面2.3 程序使用方法打开ex01.fig；填写“输入球数”、“输入p值”;点击求值运行；实验值一栏显示为落入底槽各格中的实验小球数;理论值一栏显示为落入底槽各格中的理论小球数；界面动画演示小球下落路径；红线代表落入底槽各格中的实验小球频率分布;绿线代表落入底槽各格中的理论小球频率分布;便于比较；多次点击“求值”按钮;可得到多组实验数据；单击“关闭”按钮;可退出程序窗口..2.4 运行结果1动画演示：小球数k=500 p=0.32小球数k=500 p=0.5由运行结果我们可以看出;所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合;但存在较大误差..3小球数k=5000 p=0.5由运行结果我们可以看出;所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合;误差相对1有所减小..4小球数k=50000 p=0.5由2、3、4运行结果我们可以看出;随着小球数的增加;实验值与理论值越来越符合;小球落入底槽各格中的概率也愈加符合二项分布、各格小球数符合正态分布..5小球数k=500 p=0.16小球数k=500 p=0.32.5卡方检验由2.42运行结果知：p=0.0625;0.25;0.375;0.25;0.0625;v=31.25;125;187.5;125;31.25;function kfp=0.0625;0.25;0.375;0.25;0.0625;V=31.25;125;187.5;125;31.25;for i=1:5V=0;Vi=v1;i-kp1;i^2/kp1;i;V=V+Vi;end运行结果与9.488相比;可得到V<9.488;因此验证所实验分布服从B4;p..3、matlab模拟Poisson分布与几何分布3.1 Poisson分布数学原理对于参数n;p二项分布;当n很大p很小;近似于λ=np为参数的泊松分布..取n=50000;p=0.3数学原理在实际事例中;当一个随机事件;例如某电话交换台收到的呼叫、来到某共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等;以固定的平均瞬时速率λ或称密度随机且独立地出现时;那么这个事件在单位时间面积或体积内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布..是由由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程;Tn间相互独立..random‘exponential’;λ生成;Tn程序内容function Poisson=50;λ=2;Tmaxi=1;T1=random'exponential';λ; %产生服从参数为λ的指数分布随机数T1whileTi<TmaxTi+1=Ti+random'exponential';λ;i=i+1;end; x=0:1:i;w1=0;Ti=Tmaxfor p=1:iwp+1=Tp;endstairsw;x;运行结果3.2模拟几何分布数学原理几何分布可定义为n次伯努利实验中;实验k次才得到第一次成功的概率..在高尔顿钉板试验中;我们可以认为是第mm=1;2;3;…;n 个小球第一次落入第ii=0;1;2;3;4个底槽中的概率..四、参考资料与任务分配1、参考资料1数学实验焦光虹主编科学技术出版社2MATLAB语言与数学建模曾建军李世行等编着安徽大学出版社3概率论与数理统计哈尔滨工业大学数学系组编科学出版社4高尔顿Galton 数理统计5高尔顿钉板实验的算法实现与分析聂燕着中国民航飞行学院学报May.2008 Vol.19 No.3五、总结我们所编高尔顿钉板matlab程序基本满足实验要求;可以通过改变小球数k值、概率p值;从而得到不同情况下底槽各格中小球的分布情况;并与理论值相比较;对实验结果的正确与否进行验证..同时;程序也给出了底槽各格中实验小球数与理论小球数的频率分布曲线;从而可以对其有更直观地认识..但我们的程序也有明显的缺点;如程序只给出了试验所要求的高尔顿钉板的层数n程序中n=4;不能进一步模拟得到更多的数据;程序给出小球下落轨迹的动画演示但当小球数很多时程序运行时间很长;程序编学较为繁琐等..通过该次实验;我们对数学实验这一课程有了进一步的了解与掌握;对于matlab程序的编学、matlab语言的应用有了更加深刻地体会;同时我们在实际问题在应用数学知识的能力得到加强..。
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高尔顿（Galton）钉板实验
一、问题描述
Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。
在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。
右图中15个圆
点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为
0，1，2，…，n。
从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自
由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从
右边落下的机会相等。
碰到下一排钉子时又是如此。
最后落入
底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
二、高尔顿钉板试验中的相关问题
1、小球落入各个格子中的概率与频数
做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i个格子的概率正好满足二项分布。
设高尔顿钉板有n行钉，第n行铁钉共有n个，有（n+1）个空。
把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。
观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向
左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P（i=0）=C0
n （
2
1
）n(
2
1
)0。
观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空
的概率为P（i=1）=C1
n （
2
1
）n-1(
2
1
)1。
小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为
P（i）= C i
n （
1
2
）n-i(
2
1
)i（i=0，1，2，…，n）。
故，当一个一个从顶部放入k个小球，低槽中各格的理论频数为：
h(i)=k×P(i),(i=0,1,2,…，n).
2、程序运行
基本功能
①输入小球数k、概率p;
②计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的实验小球数；
③计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的理论小球数；
④动画演示每个小球下落路径及底槽各格小球数频率增长情况；
④画出落入底槽各格中的实验小球数频率的柱状图；
⑤画出落入底槽各格中的实验小球数、落入底槽各格中的理论实验小球数的频率曲线图；
⑥关闭。
图形界面
程序使用方法
➢打开；
➢填写“输入球数”、“输入p值”，点击求值运行；
➢实验值一栏显示为落入底槽各格中的实验小球数，理论值一栏显示为落入底槽各格中的理论小球数；
➢界面动画演示小球下落路径；
➢红线代表落入底槽各格中的实验小球频率分布，绿线代表落入底槽各格中的理论小球频率分布，便于比较；
➢多次点击“求值”按钮，可得到多组实验数据；
➢单击“关闭”按钮，可退出程序窗口。
运行结果
（1）动画演示：小球数k=500 p=
（2）小球数k=500 p=
由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，但存在较大误差。
（3）小球数k=5000 p=
由运行结果我们可以看出，所做实验中落入底槽各格中的实验小球频率与落入底槽各格中的理论小球频率基本符合，误差相对（1）有所减小。
（4）小球数k=50000 p=
由（2）、（3）、（4）运行结果我们可以看出，随着小球数的增加，实验值与理论值
越来越符合，小球落入底槽各格中的概率也愈加符合二项分布、各格小球数符合正态分布。
（5）小球数k=500 p=
（6）小球数k=500 p=
卡方检验
由（2）运行结果知：
p=[,,,,];
v=[,125,,125,];
function kf
p=[,,,,];
V=[,125,,125,];
for i=1:5
V=0;
V(i)=(v(1,i)-k*p(1,i))^2/(k*p(1,i));
V=V+V(i);
end
运行结果与相比，可得到V<,因此验证所实验分布服从B（4，p）。
3、matlab模拟Poisson分布与几何分布
Poisson分布
高尔顿钉板模拟Poisson分布
➢数学原理
对于参数n,p二项分布，当n很大p很小，近似于λ=n*p为参数的泊松分布。
➢取n=50000，p=
时间间隔序列模拟Poisson分布
➢数学原理
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某
共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程,T n是由random （‘exponential’,λ）生成，T n间相互独立。
➢程序内容
function Poisson
λ=2;T max=50;
i=1;
T(1)=random('exponential',λ); %产生服从参数为λ的指数分布随机数T(1) while(T(i)<T max)
T(i+1)=T(i)+random('exponential',λ);
i=i+1;
end
T(i)=T max; x=0:1:i;w(1)=0;
for p=1:i
w(p+1)=T(p);
end
stairs(w,x);
➢运行结果
05101520253035404550
05
10
15
20
25
模拟几何分布
➢ 数学原理
几何分布可定义为n 次伯努利实验中，实验k 次才得到第一次成功的概率。
在高尔顿钉板试验中，我们可以认为是第m （m=1,2，3，…，n ）个小球第一次落入第i （i=0,1,2,3,4）个底槽中的概率。
四、参考资料与任务分配
1、参考资料
【1】《数学实验》 焦光虹主编 科学技术出版社
【2】《MATLAB 语言与数学建模》 曾建军 李世行等编着 安徽大学出版社
【3】《概率论与数理统计》 哈尔滨工业大学数学系组编 科学出版社
【4】《高尔顿（Galton ）》 数理统计
【5】《高尔顿钉板实验的算法实现与分析》 聂燕着 中国民航飞行学院学报
五、总结
我们所编高尔顿钉板matlab 程序基本满足实验要求，可以通过改变小球数k 值、概率
p值，从而得到不同情况下底槽各格中小球的分布情况，并与理论值相比较，对实验结果的正确与否进行验证。
同时，程序也给出了底槽各格中实验小球数与理论小球数的频率分布曲线，从而可以对其有更直观地认识。
但我们的程序也有明显的缺点，如程序只给出了试验所要求的高尔顿钉板的层数n(程序中n=4),不能进一步模拟得到更多的数据，程序给出小球下落轨迹的动画演示但当小球数很多时程序运行时间很长，程序编学较为繁琐等。
通过该次实验，我们对《数学实验》这一课程有了进一步的了解与掌握，对于matlab 程序的编学、matlab语言的应用有了更加深刻地体会，同时我们在实际问题在应用数学知识的能力得到加强。