画圆内接正三角形、正六边形 实验报告

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几何构造分析实验报告

几何构造分析实验报告

几何构造分析实验报告实验目的本实验旨在通过几何构造的方法,研究和分析几何图形的性质、变换和关系,培养学生观察、分析和推理的能力,加深对几何学知识的理解与掌握。

实验器材和原料- 直尺- 量角器- 铅笔- 橡皮擦- 纸张实验步骤与结果步骤一:画正方形1. 在纸上任意选取一个点,并记作A;2. 以A为圆心,任意取一段合适的长度,画一条射线,并标记射线的终点为B;3. 使用量角器测量∠BA与射线的夹角,并将此角度记作x;4. 以B为圆心,以长度为x的尺寸,画一个弧,与射线交于F点;5. 连接AF,FA,BA三条线段,即可得到一个正方形ABFA。

![步骤一结果图](步骤二:研究正方形的性质1. 测量正方形ABFA的边长,并记录为a;2. 测量∠ABF,∠AFB,∠BAF的角度,并记录;3. 讨论并总结正方形的性质。

正方形的性质总结:- 所有边相等;- 所有角相等,每个角都是90度;- 对角线相等且垂直;- 有四条对称轴。

步骤三:进行图形变换1. 将点A移到纸上的另一个位置C;2. 使用相同的方法,画出正方形CDEF。

![步骤三结果图](步骤四:研究正方形的变换关系1. 比较正方形ABFA与正方形CDEF的性质,找出它们之间的关系;2. 如果我们将另一个正方形的边长变为原来的两倍,除了边长之外,还有什么性质发生了变化?正方形的变换关系总结:- 边长改变,但性质仍保持不变;- 所有角度仍相等,都是90度;- 对角线改变,但仍相等且垂直;- 有四条对称轴,数量不变。

结论通过几何构造实验,我们得出了以下结论:- 正方形的所有边和角度均相等;- 正方形的对角线相等且垂直;- 正方形有四条对称轴。

当正方形的边长发生变化时,其性质仍然保持不变,例如角度仍为90度,对角线仍相等且垂直,有四条对称轴。

实验心得通过本次实验,我加深了对几何图形的认识和理解。

几何构造不仅可以帮助我们更好地理解和记忆几何形状的性质,还能培养我们的观察、分析和推理能力。

全圆测绘法的实训结论及小结

全圆测绘法的实训结论及小结

全圆测绘法的实训结论及小结
全圆测绘法是一种测绘方法,主要用于测量和绘制圆形和圆弧的
形状和尺寸,广泛应用于各种工程领域和制图工作中。

在实际操作中,我们需要按照一定的步骤进行测量和绘制,以确保测绘结果的准确性
和可靠性。

一、实验目的
本实验的目的是学习和掌握全圆测绘法的基本原理和操作方法,
能够准确地测量和绘制圆形和圆弧的形状和尺寸。

二、实验步骤
1. 准备工作:准备好测绘工具、纸张、修正液等。

2. 绘制基准线:用铅笔和直尺在纸张上绘制两个垂直的基准线。

3. 测量圆心坐标:用划线板和画圆器测量圆心坐标,并在基准线
上标出。

4. 画圆:用画圆器固定圆心,调整半径,按照逆时针方向画出圆。

5. 画圆弧:用传动角尺调整角度,并用圆规画出所需圆弧段。

6. 校对:用直尺和划线板校对圆心坐标和圆弧段的长度。

7. 标注:用直尺、量角器、角度值表等工具标注圆心角、圆弧半径、角度值等重要参数。

三、实验结论
通过本次实验,我们深入学习了全圆测绘法的基本原理和操作方法,并能够熟练地测量和绘制圆形和圆弧的形状和尺寸。

实验结果显示,我们的测绘结果准确可靠,符合设计要求。

四、实验小结
全圆测绘法是一种重要的测绘方法,对于各种工程领域和制图工作都具有重要意义。

通过本次实验,我们掌握了全圆测绘法的基本原理和操作方法,并能够熟练地进行测量和绘制。

在实际应用中,我们需要注意测量和绘制的准确性和可靠性,使用正确的工具和方法,以确保测绘结果的质量和可信度。

3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下

3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下

第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。

3.8圆内接正多边形(共26张)

3.8圆内接正多边形(共26张)
小(dàxiǎo)关系是___相_等____.
第18页,共26页。
1、正多边形和圆有什么关系?你能举例说明吗?
2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、
边心距?你能举例说明吗? 3、如何计算(jì suàn)正多边形的半径、边心距及边长?
4、说说作正多边形的方法有哪些?
还有哪些疑问?
第19页,共26页。
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
第12页,共26页。
E D
C
用尺规作一个(yī ɡè)已知圆的内接正六边形
你还能借助尺规作出圆内接正三角形吗? 你是怎么做的?与同伴交流。
第13页,共26页。
你能尺规作出正六边形、正三角形(zhènɡ sān jiǎo 、 xínɡ) 正十二边形吗?
解:作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
A
连接OB,则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
边心距=OD=
·O
在Rt△ABDБайду номын сангаас ∠BAD=30°,
B
D
C
第9页,共26页。
正n边形与圆的关系
思考:当把正n边形的边数无限增多时,这时 正多边形就接近(jiējìn)于什么图形?
正六边形
正八边形
正十二边形
正十七边形
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到正多边形呢?
第10页,共26页。
思考 : (sīkǎo) 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗??
A
证明:∵A⌒B=B⌒C=CD⌒=DE⌒=EA⌒ B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA

圆内接正多边形教学设计

圆内接正多边形教学设计

圆内接正多边形导学案授课时间_______________一、导入新课什么是正多边形?正多边形:各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形:如果一个正多边形有n条边,那么这个正多边形叫做正n边形.二、探究新知圆的内接正多边形:把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正多边形圆内接正多边形概念1.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心2.正多边形的半径: 外接圆的半径.3.正多边形的中心角: 正多边形的每一边所对的圆心角.4.正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离.1完成下面的表格:正多边形的外角=中心角 2.圆内接正多边形的计算问题1 正n 边形的中心角怎么计算问题2 正n 边形的边长a ,半径R ,边心距r 之间有什么关系?问题3 边长a ,边心距r 的正n 边形的面积如何计算?针对训练1.正多边形的中心角是36°,那么这个正多边形的边数是( )A .10B .8C .6D .511.22S nar lr ==360n222().2a R r =+4222BC ==,22422 3.r =-=2.如图,正五边形ABCDE 内接于⊙O ,则∠ADE 的度数是 ( ) A .60° B.45° C . 36° D. 30三、典例分析例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m 2)解:过点O 作OM ⊥BC 于M. 在Rt △OMB 中,OB =4,MB = 利用勾股定理,可得边心距亭子地基的周长l =6×4=24(m) 亭子地基的面积变式1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么BF=______,CF=________变式2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么FM=1,若过点M 的直线l 将正六边形面积平分,则直线l 被正六边形所截的线段长为_____.圆内接正多边形的辅助线 1.连半径,得中心角; 2.作边心距,构造直角三角形.211242341.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈例2 用尺规作圆的内接正方形.已知:如图,⊙O.求作:正方形ABCD内接于⊙O四、当堂检测1若正多边形的边心距与半径的比为1:2,则这个多边形的边数是 .2.已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为________度.3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案,其形状近似看作为正七边形,则一个内角为 ___度.(不取近似值板书设计课后反思。

几何画板实验报告

几何画板实验报告
选中线段AB、BC、AC分别构造中点D、E、F;
选中线段BC和点A构造垂线,垂足为H,同理得到垂足L、K,三条垂线的交点为M;
选中点A和M构造线段,再选中线段AM构造中点O,同理得到点N、P;
选中点E、P、O构造过三点的弧,选中点O、D、E构造过三点的弧;
4、作出两圆的内外公切线。
外公切线步骤:
构造两圆C、D,圆心分别为C、D(注:圆C的半径大于圆D的半径);
S移至点P处,并设置动画按钮。
③同理作出点V在圆O的另一半弧上,标记角度QOV,分别使三角形KBL绕点K、三角形MEN绕点M,按标记角度旋转,并设置点V的动画按钮。
4、(1)用轨迹功能绘出球面,
(2)运用缩放、平移、轨迹功能绘出球冠。
实验步骤:
作一个圆A,过点A作一平行的直线交圆A于点C,取圆上一点D,选中点D、直线
选中点C、D,构造直线CD;
在圆D上任意取一点F,连接构造线段DF;
选中点C、线段DF,构造平行线交圆C于点G、P
选中点G、F,再构造直线GF交直线CD于点H;
选中点D、H,构造线段DH,再构造线段DH的中点M;
依次选中M、D(H),接着“构造”—“以圆心和圆周上的点作圆”—“生成一个圆M交圆D于点O和N;
作一圆o用直线连接点op交圆于点q依次选中点opq作过三点的弧作弧上一点s用虚线段连接点os依次选中点sop标记角度双击点i选中三角形ijc的三边和顶点jc按标记角度旋转得到三角形ijc将点s移至点p处并设置动画按钮
实验一数学教学软件基本操作
一、实验目的:
二、实验内容:
1、作出三角形的垂心。
2、作出三角形的外接圆与内切圆。
分别构造出直线OH和直线NH,即为所求的外公切线。

第八节圆内接正多边形_案例

第八节圆内接正多边形_案例

用尺规作一个已知圆的内接正六边形
作法如下: (1)以圆周上任意一点为圆心, 以圆的半径为半径作弧,与圆 周交于一点; (2)以得到的交点为圆心,以圆 的半径为半径作弧与圆周交于 另一点,依次下去,在圆周上 等到六个点; (3)依次连接这六个点,就得到 了这个圆的内接正六边形。 你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗?
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
展示你的成果
正多边形形状的物体或照片
图片欣赏
圆内接正多边形
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正 多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。
把一个圆 n 等分( n≥3 ),依次连 接各分点,我们就可以作出一个圆内 接正多边形。
如图 3 - 35 ,五边形 ABCDE 是圆 O 的 内接正五边形,圆心 O 叫做这个正五 边形的中心; OA 是这个正五边形的半 径;∠ AOB 是这个正五边形的中心角; OM⊥BC,垂足为 M , OM 是这个正五边 形的的边心距。在其他的正多边形中 也有同样的定义。
例:如图3-36,在圆内接正六边形ABCDEF中,半 径OC=4,OG⊥BC ,垂足为点G,求正六边形的 中心角、边长和边心距。 解:连接 OC、OD ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴ ∠COD=
360 =60° 6
∴ △COD为等边三角形 ∴ CD=OC=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=2 ∴ OG= 2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60°, 边长为4,边心距为 2 3 。
随堂练习
分别求出半径为6 cm的圆内接 正三角形的边长和边心距。
A
· B Cຫໍສະໝຸດ 结1、正多边形和圆有什么关系?你能举例说明吗?
2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、边心距 你能举例说明吗?

3.8 圆内接正多边形

3.8  圆内接正多边形
以作出一个圆内接正多边形. 如图,五边形ABCDE是⊙O的内接 正五边 形,圆心O叫做这个正五边形 的中心;OA是这个正五边 形的半径;
∠ AOB是这个正五边形的中心角;OM丄BC,垂足
为M,OM是这个正五边形圆心距.
(来自教材)
知1-讲
1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆 内接正多边形,这个圆叫做正多边形的外接圆.
6
(2015· 随州)如图,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆, 这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则 下列关系式错误的是( )
A.R2-r2=a2
B.a=2Rsin 36° C.a=2rtan 36° D.r=Rcos 36°
(来自《典中点》)
知2-导
知识点
2 圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
(来自《典中点》)
知1-练
2
(2016· 南京)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆
的半径为( A.1 ) B. 3 C.2 D.2 3
3
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ( )
A.1∶ 2
B.1∶2
C.2∶3
D.2∶π
(来自《典中点》)
知1-练
4
(2015· 青岛)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,
⊙O于点C,F和D,E;(4)连接AD,DE,EA.
则△ADE为所求作的正三角形,如图所示.
(来自《点拨》)
知2-讲
总 结
解决这类问题通常有两种方法:
(1)用量角器等分圆周法;
(2)用尺规等分圆周法.
(来自《点拨》)
知2-讲
例4 如图①②③…,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正

初中数学北师大版九年级下册《第三章 圆 8 圆内接正多边形》教材教案

初中数学北师大版九年级下册《第三章 圆 8 圆内接正多边形》教材教案

3.8圆内接正多边形教案课题:3.8圆内接正多边形课型:新授课年级:九年级教学目标:1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系;2、会通过等分圆心角的方法等分圆周,画出所需的正多边形;3、能够用直尺和圆规作图,作出一些特殊的正多边形;4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点:正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点:利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导:本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则,采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习.鼓励学生多思、多说、多练.课前准备:教师:多媒体课件、三角板.学生:圆规,铅笔、直尺、练习本.教学过程:一、创设情境,导入新课观察下列图形,你能说出这些图形的特征吗?提问:1.等边三角形的边、角各有什么性质?2.正方形的边、角各有什么性质?【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考,回忆学过的有关知识,进而回答教师提出的问题.【设计意图】培养学生的思维品质,将正多边形与圆联系起来.并由此引出今天的课题.二、探究新知,尝试发现活动一:观察生活中的一些图形,归纳它们的共同特征,引入正多边形的概念概念:叫做正多边形.(注:各边相等与各角相等必须同时成立)提问:矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗?为什么?如果一个正多边形有n(n≥3)条边,就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形,正方形有四条边叫正四边形.活动二:分析、发现:问题:正多边形与圆有什么关系呢?发现:正三角形与正方形都有内切圆和外接圆,并且为同心圆.分析:正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分,把等分点顺次连结,可得正五边形.要将圆六等分呢?师生共同归纳:顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三:探究等分圆周问题:为什么等分圆周就能得到正多边形呢?教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程:如图,∵AB BC CD DE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证:A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形.∵A、B、C、D、E在⊙O上,∴五边形ABCDE是圆内接正五边形.教师提出问题后,学生思考、交流自己的见解,教师组织学生进行证明,方法不限.说明:(1)要判定一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判定外,还可以根据这个定理来判定,即:依次连结圆的n(n≥3)等分点,所得的多边形是正多边形;(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件.(3)此定理被称为正多边形的判定定理,我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形.在师生共同作图的基础上,归纳出:正多边形与圆有着密切的联系.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性.正多边形也是轴对称图形,正n边形有n条对称轴,当n为偶数时,它也是中心对称图形,且绕中心旋转360n︒,都能和原来的图形重合.结合图4,给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系.A【处理方式】学生先试着独立完成,如有疑难可在学习小组内交流,师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉正多边形的本质特征,掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四:例题探究例.如图:在圆内接正六边形ABCDEF中,半径是OA=4,OM⊥AB垂于M,求这个正六边形的中心角,边长和边心距.分析:要求正六边形的边长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.解:连接OA,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于3606︒=60°,△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.因此,所求的正六边形的边长为4.在Rt△OAM中,OA=4,AM=12AB=2利用勾股定理,可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成,如有疑难可在学习小组内交流,师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉正多边形的本质特征,掌握运用正多边形德性质、解决问题,进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五:做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.分析:要画正六边形,首先要画一个圆,然后对圆六等分.在学生作图的基础上,教师组织学生,分析作图.师生归纳出等分圆周的方法:1.用量角器等分圆:依据:同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等.操作:两种情况:其一是依次画出相等的圆心角来等分圆,这种方法比较准确,但是麻烦;其二是先用量角器画一个圆心角,然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧,于是得到圆的等分点,这种方法比较方便,但画图的误差积累到最后一个等分点,使画出的正多边形的边长误差较大.2.用尺规等分圆.思考:如何作正八边形正三角形、正十二边形?【处理方式】提供充分的时间,鼓励学生用自己的语言表述,教师巡回引导,并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述,在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力,从而使所学的知识系统化、条理化,提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六:方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中,准备建造一个花园,并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观,种植要求如下:(1)种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.(注意:面积相等必须由数学知识作保证)(2)花卉总面积等于广场面积(3)花园边界只能种植牡丹花,杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案:(设计的方案越多越好;不同的方案类型不同.)要求①尺规作图;②说明画法;③指出作图依据;④学生独立完成.教师巡视,对画的好的学生给予表扬,对有问题的学生给予指导.教师要关注学生对问题的理解,对等分圆周方法的掌握程度.教师提出问题后,让学生认真思考后,设计出最美的图案,并用实物投影展示自己的作品.【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论,适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题.可提议用不同方法,以体现学生的创造性.此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程,发展学生的智力品质,让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法,实现学法指导的目的.四、课堂小结:谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言,互讲本节课的内容,总结本节课所学习的知识和应注意的问题,教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力,从而使所学的知识系统化、条理化,提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测,反馈提高1.如图1所示,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,则∠ADB 的度数是( ).A .60°B .45°C .30°D .22.5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )A B ,3:2:1C ,1:2:3D3.圆内接正五边形ABCDE 中,对角线AC 和BD 相交于点P ,则∠APB 的度数是( ). A .36° B .60° C .72° D .108°4.若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长,•则这段弧所对的圆心角为( ) A .18° B .36° C .72° D .144°(1) (2)5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是______度,半径是______,边心距是______,它的每一个内角是______.6.有一个边长为3cm 的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形,则这个圆形纸片的最小半径为 .7.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=15°,以C 为圆心,CA 长为半径的圆交AB 于D ,如图2所示,若AC=6,则AD 的长为________.8.如图所示,已知⊙O 的周长等于6 cm ,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积.【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识,同时锻炼了学生逆向思维能力,也为后续的学习做了铺垫.目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解,同时也锻炼学生的发散思维.六.分层作业,自由拓展(1)必做题:课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. (2)选做题:试一试如图⑴⑵⑶⑷,M ,N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ,正四边形ABCD ,正五边形ABCDE ,…正n 边形ABCDE …的边 AB ,BC 上的点,且BM=CN ,连结OM ,ON , ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数 ⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .⑴ ⑵ ⑶ ⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性,体现作业的巩固性和发展性原则,尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,让不同的人在数学上得到不同的发展.板书设计:。

数学教案-画正多边形-教学教案

数学教案-画正多边形-教学教案

数学教案-画正多边形-教学教案教学设计示例1教学目标:(1)了解用量角器等分圆心角来等分圆;掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形,能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形;(2)通过画图培养学生的画图能力;(3)对学生进行审美教育,提高学生的审美能力,促进学生对几何学习的热情.教学重点:(1)量角器等分圆心角来等分圆;(2)尺规作圆内接正方形和正六边形.教学难点:准确作图.教学活动设计:(一)提出问题:由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性,所以会画正多边形应是学生必备能力之一.问题1:已知⊙O的半径为2cm,求作圆的内接正三角形.教师组织学生进行,方法不限.目的:充分发展学生的发散思维.(二)解决问题:以下为解决问题的参考方案:(上课时教师归纳学生的方法)(1)度量法:①用量角器或30°角的三角板度量,使∠BAO=∠CAO=30°.②用量角器度量,使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.(2)尺规法:(如上右图)用圆规在⊙O上截取长度等于半径(2cm)的弦,连结AB、BC、CA即可.(3)计算与尺规结合法:由正三角形的半径与边长的关系可得,正三角形的边长= R=2(cm),用圆规在⊙O上截取长度为2(cm)的弦AB、AC,连结AB、BC、CA即可.(三)研究、归纳1、用量角器等分圆:依据:等圆中相等的圆心角所对应的弧相等.操作:两种情况:其一是依次画出相等的圆心角来等分圆,这种方法比较准确,但是麻烦;其二是先用量角器画一个圆心角,然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧,于是得到圆的等分点,这种方法比较方便,但画图的误差积累到最后一个等分点,使画出的正多边形的边长误差较大.问题2:把半径为2cm⊙O九等份.(先画半径2cm的圆,然后把360°的圆心角9等份,每一份40°)归纳:用量角器等分圆,方法简便,可以把圆任意n等分,但有误差.2、用尺规等分圆:(1)问题3:作正四边形、正八边形.教师组织学生,分析、作图.归纳:只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形,再过圆心作各边的垂线与⊙O相交,或作各中心角的角平分线与⊙O相交,即得圆接正八边形,照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……(2)问题4:作正六、三、十二边形.教师组织学生,分析、作图.归纳:先作出正六边形,则可作正三角形,正十二边形,正二十四边形………理论上我们可以一直画下去,但大家不难发现,随着边数的增加,正多边形越来越接近于圆,正多边形将越来越难画.(四)总结(1)用量角器等分圆周作正n边形;(2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形.(五)作业教材P173中13.教学设计示例2教学目标:1、能应用画正多边形解决实际问题;会画正五边形的近似图;了解等分圆的美丽图形;2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力;3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育;4、渗透数学建模思想.教学重点:应用正多边形的计算与画图解决实际问题.教学难点:数学模型的建立,和正多边形的有关计算问题.教学活动设计:(一)知识回顾:分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形.要求①尺规作图;②说明画法;③指出作图依据;④学生独立完成.教师巡视,对画的好的学生给于表扬,对有问题的学生给于指导.(二)画图应用:例1、有一个亭子,它的地基是半径为4m的正八边形,(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图;(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m²)教师引导学生分析:①比例尺= ;②正八边形的半径R=2cm;③如何解正八边形和近似计算.(1)画法:1.以任意一点O为圆心,以4m的,即2cm为半径画⊙O(如图).2.作⊙O的直径AC、BD,使AC⊥BD.3.作平分、的直径EG、FH.4.顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形.(2)解(学生分析解题方法):(m)(m)(m²)答:(略)我国民间相传有五边形的近似画法,画法口诀是:“九五顶五九,八五两边分”,它的意义如图:如果正五边形的边长为10,作它的中垂线AF,取AF=15.4,在AF上取FM=9.5,则AM=5.9,过点M作BE⊥AF,在BE上取BM=ME=8.连结AB、BC、DE、EA即可.例2、用民间相传画法口诀,画边长为20mm的正五边形.分析:要画边长20mm的正五边形,关键在于计算出口诀中各部分的尺寸,由于要画的正五边形与口诀正五边形相似,所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例.由已知知道要画正五边形的边CD=20mm.请同学们算出各部分的尺寸,并按口诀画出正五边形ABCDE.(画法:略.参看教材P170)说明:虽然这种画法是近似画法,但是这种画法的精确度却是很高的.有能力的学生课下可以探究和计算.通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化,揭示其科学性,渗透实践出真知的观点.(三)优美图案欣赏和画法:请学生欣赏下列图案,分析图案结构,画出图案.组织学生进行,可以让学生独立完成,也可以让学生协作完成,对画的较好的同学给予表彰.(四)总结1、运用正多边形的知识解决实际问题;2、学习了民间画正五边形的近似画法;3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案.(五)作业教材P171中练习1;P173中12;P173中14.探究活动图案设计某学校在教学楼前的圆形广场中,准备建造一个花园,并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。

24.3正多边形与圆(导学案)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)(原卷版)

24.3正多边形与圆(导学案)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)(原卷版)

24.3 正多边形与圆学习目标:1.了解正多边形和圆的有关概念。

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

3.画圆内接正多边形。

学习重点:正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

学习难点:利用直尺和圆规画特殊的正多边形。

学习过程1)知识点回顾圆内接四边形的性质:2)课堂探究一、圆内接多边形【举例】在生活中,各边相等,各角相等的多边形的图案处处可见,尝试举例?【证明】如图,把⊙O分成相等的3段弧,依次连接各分点得到△ABC。

求证:△ABC是圆内接正三角形.【证明】如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE. 求证:五边形ABCDE是圆内接正五边形.【圆内接正多边形的相关概念】圆内接正多边形概念:把一个圆分成相等的_________段弧,依次连接_________所得多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心概念:一个正多边形的_________的圆心。

正多边形的半径概念:_________的半径。

正多边形的中心角概念:正多边形的每一条边所对的_________。

正多边形的边心距概念:中心到正多边形一边的_________。

【探索与思考】探索圆内接正多边形内角、外角、中心角、内角和【结论】正n边形的一个内角的度数是_________;中心角是_________;正多边形的中心角与外角的大小关系是_________.二、画圆内正多边形【探索与思考】下图中的正多边形,哪些是轴对称图形?哪些是中心对称图形?【问题】如何把一个圆分成相等的一些弧,并画出这个圆的内接正多边形?并指出有缺点?【问题】尝试画出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形?【练一练】1.若一个正多边形的中心角为40°,则这个多边形的边数是()A.9 B.8 C.7 D.62.大自然中有许多小动物都是“小数学家”,如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8mm,则正六边形ABCDEF的边长为()A.2mm B.C.D.4mm3.已知正六边形的边长为4,则这个正六边形的半径为()A.4 B.C.2 D.4.如图,五边形ABCDE是O的内接正五边形,AF是O的直径,则BDF的度数是()A.36°B.72°C.54°D.60°AB BC和AC分别为O内接正方形,正六边形和正n边形的一边,则n是().5.如图,,A.六B.八C.十D.十二6.半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于()A.4 B.5 C.D.6)7A.B.C.D.8.若正方形的边长为4,则它的外接圆的半径为()A.B.4 C.D.29.如图,有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).【学后反思】通过本节课的学习你,你收获了什么?。

圆内接正三角形的一个结论的探讨

圆内接正三角形的一个结论的探讨

圆内接正三角形的一个结论的探讨圆内接正三角形的一个结论的探讨(发表于《中学数学》2003年第9期)430050 武汉市第三初级中学桂文通问题:等边⊿ABC 内接于⊙O ,劣弧BC 上取一点P ,连结PA 、PB 、PC ,求证:PB+PC=PA图1 图2 图3 图4一、问题的证明1、运用旋转法(1)、如图2,将⊿BCP 绕点B 逆时针旋转600,使点C 和点A 重合,点P 落在AP 上点D 处,∴AD=PC ,又易证⊿BDP 是等边三角形,∴BP=PD ,从而PB+PC=PA(2)、如图3,将⊿ABP 绕点B 顺时针旋转600,使点A 和点C 重合,点P 落在CP 的延长线上点D 处,∴PA=DC ,又易证⊿BDP 是等边三角形,∴BP=PD ,从而PB+PC=PA(3)、如图4,过点A 作AE ⊥PC 于点E ,再将Rt ⊿ACE 绕点A 顺时针旋转600,使点C 和点B 重合,点E 落在BP 的延长线上点D 处,∴BD=C E又∵∠PAD=∠PAE=300 ∴PD=PE=21PA ∴PB+PC=PD-DB+PE+CE=2PD=PA 方法(1)实质是截长,方法(2)实质是补短,方法(3)实质是在(1)、(2)的基础上一种折中的方法,取两条线段的平均长。

2、运用余弦定理在图1中,在⊿ABP 和⊿ACP ,由余弦定理得AB 2=PA 2+PB 2-2PA ·PBcos600 AC 2=PC 2+PA 2-2PC ·PAcos600 ∵AB=AC ∴PA 2+PB 2-2PA ·PBcos600= PC 2+PA 2-2PC ·PAcos600 ∴PB 2-PC 2=2cos600PA (PB-PC )∴(PB+PC )(PB-PC )=2cos600·PA (PB-PC )若PB=PC 时,PA 是⊙O 的直径,此时显然有PB+PC=PA若PB ≠PC 时,PB+PC=2cos600·PA=PA3、运用正弦定理在图1中,设⊙O 的半径为R ,弧BP 的度数为2α,则∠PAB=α、∠PAC=600-α、∠ACP=600+α,由正弦定理得:PB=2Rsin α,PC=2Rsin (600-α)=2R (sin 600cos α-cos 600sin α)=3Rcos α-Rsin α PA=2Rsin (600+α)=2R (sin 600cos α+cos 600sin α)=3Rcos α+Rsin α ∴PB+PC=PA4、运用托勒密定理如图1,∵PB 、PC 是圆内接四边形ABCP 的一组邻边,且PA 为其对角线,而PPP⊿ABC 是等边三角形,所以由托勒密定理得:PA ·BC=PB ·AC+PC ·AB ,又BC=AC=AB ,∴PB+PC=PA二、问题的推广将源问题结论PB+PC=PA 改为比式,则为PAPC PB +=1,我们讨论下面两个问题:1、如图5、正方形ABCD 内接于⊙O ,劣弧BC 上取一点P ,连结PA 、PB 、PC ,猜想PAPD PB +的值。

作圆的内接正方形和正六边形

作圆的内接正方形和正六边形

圆的对称性导致内接多边形的对称性
03
圆具有中心对称性,因此内接多边形也具有相应的对称性,如
正方形的对角线互相垂直且相等。
内接多边形对圆性质的应用
01
通过内接多边形计算圆的周长和面积
在某些情况下,可以通过计算内接多边形的周长和面积来近似计算圆的
周长和面积,如正六边形的周长和面积可以近似计算圆的周长和面积。
作圆的内接正方形和正六边形
contents
目录
• 引言 • 正方形的内接于圆 • 正六边形的内接于圆 • 圆的性质与内接多边形的关系 • 实际应用举例 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
研究圆内接正方形和正六边形的性质 和应用
为相关领域的研究和应用提供理论支 持和参考
探讨圆内接多边形与圆的关系,以及 多边形边长、面积等几何量的计算方 法
探讨了圆的内接正方形和正六边形在几何、代数、三角学等领域的应用价值,展示 了其在解决实际问题中的潜力。
对未来研究的展望
深入研究圆的内接多边形的高阶性质, 如内角、外角、对角线长度等,以期 发现更多有趣的数学规律和性质。
将圆的内接多边形的研究方法应用于 其他类似问题,如椭圆的内接多边形、 球的内接多面体等,以期推动相关领 域的研究进展。
探索圆的内接多边形与圆周率、黄金 分割等数学常数之间的内在联系,揭 示其更深层次的数学奥秘。
拓展圆的内接多边形在实际问题中的 应用范围,如建筑设计、工程绘图、 计算机图形学等领域,以期实现其更 大的应用价值。
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在数学领域,作圆的内接正方形和正 六边形是研究几何图形性质和变换的 重要工具。通过对这些图形的研究, 可以深入了解几何学的原理和应用。

圆内接正多边形

圆内接正多边形

把 一 个圆 n 等 分 ( n ≥ 3 ) , 依 次 连 (3)依次连接这六个点,就得到了这个圆的内接正六边形。
小结、(1)图中正六边形ABCDEF的中心角
接各分点,我们就可以作出一个圆内 把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正多边形。
借助尺规作出圆内接正四边形
为了减少累积误差,通常像右图那样,作⊙O的任意一条直径FC,分别以F、C为圆心,以⊙O的半径R为半径作弧,与⊙O相交于点E
径 ; ∠ A O B 是 这 个 正 五 边 形 的 中 心 角 ; 定义:顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
如图3-35,五边形ABCDE是圆O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的中心;
OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边 ∴ △COD为等边三角形
OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的的边心距。 2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长,正多边形的边心距之间的等量关系.
圆内接正多边形课 件
1.了解圆内接多边形的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心 角之间的关系,会应用多边形和圆的有关知识画多 边形.
圆内接正多边形 用尺规作一个已知圆的内接正六边形
了解圆内接多边形的有关概念.
什么定数量义关:系?顶为什点么都? 在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。这个圆叫做该 在了R解t△圆正C内O多接G多中边边,形O形C的=的有4,关C外概G=念接2. 圆。
解:连接 OC、OD ∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ∠COD= 360 =60° 6
∴ △COD为等边三角形 ∴ CD=OC=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=2 ∴ OG= 2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60, 边长为4,边心距为 2 3 。

作圆的内接正方形和正六边形

作圆的内接正方形和正六边形

B
C
你能尺规作出正六边形吗?
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上 截取六段相等的弧,依 次连结各等分点,则作 出正六边形.
先作出正六边形, 则可作正三角形,正十 二边形,正二十四边 形………
练习
如何画一个边长为2cm的正六边
形?
A
F
1、以2cm为半径作
一个⊙ O;
B
2、用量角器画一个
OE
60°的圆心角;
C
D
3、在圆上顺次截取这个圆心角对的弧;
4、顺次连接分点。
拓展:1、某单位搞绿化,要在一块圆形空地上种四 种颜色的花,为了便于管理和美观,相同颜色的花 集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同。现征 集设计方案,要求设计的图案成轴对称图形或中心 对称图形,请在下面的圆中画出三种设计图案。
拓展:2、如图表示某广场中心花坛的平面图, 准备在圆形花坛内种植6种不同颜色的花卉, 为了美观,要使同色花卉集中在一起,并且各 色花卉的种植面积相等,请你帮助设计出一种 种植方案,画在图上。
方法一:用量角器等分圆
依据:在同圆
中,相等的:作相等
的圆心角可以 等分圆。
方法二:用尺规等分圆
你能尺规作出正四边形吗?
A
D
·O
只要作出已知⊙O的互相垂直 的直径即得圆内接正方形,再 过圆心作各边的垂线与⊙O相 交,或作各中心角的角平分线 与⊙O相交,即得圆接正八边 形,照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正六十 四边形……
方案一、用圆规把圆6等分即可 方案二、如图所示
方案一
方案二
总结:要作半径为R的正n边形,只要把 半径为R的圆n等分即可。

内接法实验报告

内接法实验报告

一、实验目的1. 学习内接法测定圆的直径的原理和方法。

2. 培养学生观察、分析和解决问题的能力。

3. 培养学生严谨的科学态度和实验技能。

二、实验原理内接法是一种通过测量圆内接多边形的边长,然后计算多边形边长与圆直径之间的关系来测定圆直径的方法。

根据正多边形的性质,随着边数的增加,多边形的边长逐渐接近圆的周长,因此可以通过测量多边形的边长,计算其周长,进而得到圆的周长,最后求出圆的直径。

三、实验仪器与材料1. 仪器:直尺、量角器、圆规、三角板、细线、白纸、铅笔。

2. 材料:圆形物体(如硬币、圆盘等)。

四、实验步骤1. 准备实验器材,确保实验环境整洁。

2. 将圆形物体放在白纸上,用铅笔在圆上任意画一个圆点A。

3. 用圆规以点A为圆心,适当长度为半径,画一个圆。

4. 用三角板在圆上画出一个正六边形,使得正六边形的顶点分别落在圆上。

5. 用直尺分别测量正六边形的边长,记录数据。

6. 计算正六边形的周长,即六边形的边长乘以6。

7. 根据正六边形的周长,计算圆的周长,即正六边形周长乘以2π。

8. 计算圆的直径,即圆的周长除以π。

9. 重复步骤2-8,至少测量3次,求出圆的直径的平均值。

10. 分析实验结果,得出结论。

五、实验数据与结果实验次数 | 正六边形边长(cm) | 正六边形周长(cm) | 圆的周长(cm) | 圆的直径(cm)--------|-------------------|-------------------|----------------|----------------1 | 3.00 | 18.00 | 36.00 | 11.462 | 2.98 | 17.88 | 35.76 | 11.263 | 3.02 | 18.12 | 36.36 | 11.53圆的直径平均值 = (11.46 + 11.26 + 11.53) / 3 = 11.40 cm六、实验分析与讨论1. 通过实验,我们可以看到,随着测量次数的增加,圆的直径平均值逐渐稳定,说明实验结果具有一定的可靠性。

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球中学生通用技术实验报告单
成绩:
XX县XX高级中学高20 级班学生 2018年11月14日指导老师填写通用技术老师姓名同组人填1个同桌姓名
实验名称画圆内接正三角形、正六边形
实验目的通过画圆内接正三角形、正六边形,强化平面几何的直观感知,为学习空间几何体的视图打下基础,提高动手能力。

实验设备绘图纸绘图铅笔胶带纸擦图片小刀砂纸绘图橡皮
实验步骤 1.将A4图纸竖放且固定在图板的左下方,使图纸下边与丁字尺工作边平行。

2.用细实线画出图幅大小和图框线。

实验结论。

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