易错点剖析
五年级上册语文知识点易错题剖析
五年级上册语文知识点易错题剖析一、字音辨析在语文学习中，字音辨析是一个容易出错的地方。
下面我们对五年级上册语文中常见的易错字进行剖析。
1. 亲/侵这两个字的音很相似，但意义完全不同。
亲是指亲近、亲人的意思，读音是/qīn/。
侵是指侵犯、侵略的意思，读音是/qīn/。
因此，在辨析这两个字的时候，要根据上下文来确定具体的意义。
2. 危/威危和威这两个字的读音非常相近，但意义不同。
危是指危险的意思，读音是/wēi/。
威则是指威压、威严的意思，读音是/wēi/。
在辨析这两个字的时候，需要根据具体的语境来判断是危险还是威压的意义。
3. 流/留流和留这两个字的读音很接近，但意义不同。
流是指水流、东流的意思，读音是/liú/。
留则是指停留、不离开的意思，读音是/liú/。
在辨析这两个字的时候，要根据具体的语境来判断是水流的意思还是停留的意思。
二、字词辨析除了字音辨析外，五年级上册语文中还有一些常见的字词易错点。
下面我们对一些常见的易混淆字词进行剖析。
1. 举/剧举和剧这两个字的读音很相似，但意义完全不同。
举是指举起、举行的意思，读音是/jǔ/。
剧则是指戏剧、剧烈的意思，读音是/jù/。
在辨析这两个字的时候，要根据具体的上下文来判断是举还是剧的意思。
2. 穷/琼穷和琼这两个字的读音非常相似，但意义不同。
穷是指贫困、困窘的意思，读音是/qióng/。
琼则是指珍贵、美好的意思，读音是/qióng/。
在辨析这两个字的时候，需要根据具体的语境来判断是贫困的意思还是珍贵的意思。
3. 吼/吸吼和吸这两个字的读音相似，但意义截然不同。
吼是指大声喊叫、咆哮的意思，读音是/hǒu/。
吸则是指吸入、吸取的意思，读音是/xī/。
在辨析这两个字的时候，要根据具体的上下文来判断是喊叫还是吸入的意思。
三、句子梳理在五年级上册语文中，句子梳理是一个常见的难点。
下面我们来梳理几个常见的句子结构。
初中一次函数涉及的12个易错点剖析
初中一次函数涉及的12个易错点剖析【知识点1】一、函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
二、函数的三种表示法:（1）图像法(“形”）；（2）列表法（“数”）；（3）公式法（“式”）.【易错点1】对函数概念理解不清例题1 下列等式：y=|x|，|y|=x,5x2-y=0,x2-y2=0,其中表示y是x的函数的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.4个【错解】D【错因】一个等式是不是函数，必须同时满足两个要求。
一是有两个变量；二是在两个变量x与y的对应关系中，x每确定一个值，y必须只有唯一的值与之对应.本题错解中没有正确地理解函数的概念，错误地认为|y|=x和x2-y2=0也是函数。
事实上，这两个等式中，对于x每取一个值，y并不与之唯一对应，所以在|y|=x和x2-y2=0中，y不是x的函数。
【正解】C巩固1 下列各选项中，不是函数的是（）【错解】A或B或D【正解】C.巩固2 有下列关系：①长方形的长一定时，其面积y 与宽x ；②高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x ；③y 2=x ；④y =x 2.其中，y 是x 的函数关系的有 （填序号）.【错解】①②③④ 【正解】①②④【小结】由函数的概念可知，判断y 是x 的函数的关键是对于自变量x 取的每一个值，都有唯一的y 值与之对应。
【易错点2】考虑问题不全面，求自变量的取值范围时出错例题2 求函数y =【错解】依题意，得10210x x -≥⎧⎨->⎩ ，解之得x ≥1,所以自变量的取值范围是x ≥1【错因】错解中思考问题不全面，被开方数1021x x -≥-时有两种情况，即10210x x -≥⎧⎨->⎩或10210x x -≤⎧⎨-<⎩，错解漏掉了第二种情况。
【正解】依题意，得1021x x -≥-，∴（I ）10210x x -≥⎧⎨->⎩或（II ）10210x x -≤⎧⎨-<⎩解不等式组（I ），得x ≥1 等式组（I ），得12x <∴解不自变量的取值范围是x ≥1或12x <巩固3 函数y =x 的取值范围为 . 【错解】x ≥-1。
分式约分易错点剖析
分式约分易错点剖析在数学学习过程中，分式是一个非常基础且重要的概念，而分式的约分是其中一个关键的知识点。
然而，许多学生在学习过程中往往容易犯一些约分的错误。
本文将从常见的易错点入手，深入剖析分式约分的相关知识，帮助读者更加准确地掌握这一内容。
一、忽略最大公约数的存在在进行分式约分的过程中，很多学生容易忽略最大公约数的存在，直接对分子和分母进行简单的除法操作，导致无法得到最简形式的结果。
因此，在进行约分时，一定要先找到分子和分母的最大公约数，并将其约掉，以确保结果的准确性。
例如，对于分式$\frac{24}{36}$，很多学生可能直接进行简单的除法运算得到$\frac{24}{36}$= $\frac{2}{3}$。
然而，正确的做法应该是找到24和36的最大公约数为12，然后将分子和分母同时除以12，得到最简形式$\frac{2}{3}$。
二、未进行因式分解有些复杂的分式约分问题需要进行因式分解后才能正确地约分。
如果直接进行简单的除法操作，往往难以得出正确的结果。
例如，对于分式$\frac{20m^2n}{28mn}$，正确的约分过程应该是先因式分解分子和分母，得到$\frac{2*2*5*m*m*n}{2*2*7*m*n}$，再约去相同的因子，得到最简形式$\frac{5m}{7}$。
三、未考虑负号的影响在约分过程中，负号是一个常见的容易被忽略的因素。
很多学生在处理包含负号的分式时，常常出现符号计算错误，导致最终结果出现偏差。
例如，对于分式$\frac{-15}{-20}$，很多学生可能直接除去负号得到$\frac{15}{20}$= $\frac{3}{4}$。
然而，正确的做法应该是先约去最大公约数5，再考虑负号的影响，得到最简形式$\frac{-3}{4}$。
四、未保持等价关系在进行分式约分时，一定要保持等价关系，即约去的公因数必须同时存在于分子和分母中。
否则，就会导致最终结果出现错误。
例如，对于分式$\frac{8a^2b}{12a}$，如果直接约分得到$\frac{4b}{6}$= $\frac{2b}{3}$。
古诗词的难点与易错点剖析
古诗词的难点与易错点剖析古诗词作为中国传统文化的瑰宝，承载着丰富的情感、深邃的思想和优美的意境。
然而，对于许多人来说，学习和欣赏古诗词并非易事，其中存在着一些难点和易错点。
一、语言理解的困难古诗词往往使用古代的语言表达方式，与现代白话文存在较大差异。
1、词汇含义的变化许多古代词汇的含义在现代已经发生了改变，或者变得不常用。
例如，“可怜”在古代有“可爱”的意思，“走”在古代是“跑”的意思。
如果按照现代的理解去解读，就会产生误解。
2、语法结构的不同古诗词中的语法结构常常与现代语法不同。
比如倒装句，“欲穷千里目，更上一层楼”中“欲穷千里目”就是宾语前置，正常语序应为“欲目穷千里”。
还有省略句，“两个黄鹂鸣翠柳”，省略了介词“于”，完整应为“两个黄鹂于翠柳鸣”。
3、典故的运用诗人为了表达丰富的内涵，常常引用典故。
如果不了解这些典故的出处和含义，就难以理解诗词的真正意思。
比如“庄生晓梦迷蝴蝶，望帝春心托杜鹃”，其中就运用了庄生梦蝶和望帝啼鹃的典故。
二、意境把握的挑战古诗词讲究意境的营造，通过简洁的文字传达出深远的情感和丰富的想象空间。
1、时代背景的差异每首诗词都有其特定的创作时代背景，而我们生活在现代社会，对古代的社会风貌、价值观念等了解有限，这就增加了理解诗词意境的难度。
2、诗人个人经历和情感诗人的经历和情感对诗词的意境有着重要影响。
不了解诗人的生平遭遇，就可能无法体会诗词中蕴含的复杂情感。
3、象征和隐喻的运用古诗词中常运用象征和隐喻的手法，如“明月”常象征团圆或思乡，“梅花”常隐喻高洁的品质。
如果不能准确解读这些象征和隐喻，就难以把握诗词的深层意境。
三、韵律和格律的复杂性古诗词在韵律和格律方面有严格的要求。
1、平仄的规则平仄是古诗词音律美的重要体现，但对于初学者来说，区分平仄以及按照平仄规则创作或欣赏诗词是有难度的。
2、押韵的技巧押韵使诗词读起来朗朗上口，但不同的诗词体裁有不同的押韵规则，如律诗要求偶数句押韵，且押平声韵，而词的押韵规则则更加多样化。
古诗词的难点与易错点剖析
古诗词的难点与易错点剖析古诗词是中国文化的瑰宝，它以其独特的魅力和深厚的内涵吸引着无数人。
然而，对于很多学习者来说，古诗词的学习并非一帆风顺，其中存在着诸多难点与易错点。
一、字词理解古诗词中的字词往往具有丰富的含义和特定的用法，这是学习中的一个重要难点。
（一）古今异义许多字词在古代和现代的意义有所不同。
例如，“走”在古代是“跑”的意思，“妻子”指的是妻子和儿女。
如果按照现代的意思去理解，就会导致对诗句的误解。
（二）一词多义不少字词有多种含义，需要根据具体语境来判断。
以“属”为例，在“属引凄异”中是“连接”的意思，在“有良田美池桑竹之属”中则是“类”的意思。
（三）通假字通假字的存在也增加了理解的难度。
如“学而时习之，不亦说乎”中的“说”通“悦”，表示高兴。
二、语法结构古诗词的语法结构与现代汉语有很大差异。
（一）倒装句常见的有宾语前置、状语后置等。
“何陋之有”就是宾语前置，正常语序应为“有何陋”。
（二）省略句诗句中常常省略主语、宾语等成分。
“将军百战死，壮士十年归”，实际上是“将军百战死（于沙场），壮士十年归（故乡）”。
（三）词类活用名词用作动词、形容词用作动词等现象较为常见。
“春风又绿江南岸”中的“绿”就是形容词用作动词，意为“使……变绿”。
三、意象与典故（一）意象的多义性古诗词中常用各种意象来表达情感，但同一意象在不同的诗词中可能有不同的含义。
比如“月”，有时象征团圆，有时则表达思乡之情。
（二）典故的运用诗人常借用典故来含蓄地表达思想。
如果不了解这些典故的出处和含义，就难以理解诗词的深层内涵。
例如“怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人”，用了向秀作《思旧赋》和王质观棋的典故。
四、韵律与格律（一）押韵规则古诗词的押韵有严格的要求，但不同的诗体押韵方式不同。
如律诗要求偶数句押韵，而古体诗押韵则相对灵活。
（二）平仄格律平仄的协调对于诗词的音韵美至关重要。
但平仄规则较为复杂，需要花费一定的时间和精力去掌握。
五、情感把握（一）含蓄表达诗人往往不直接抒发情感，而是通过写景、叙事等方式委婉地表达。
指数函数与对数函数易错点剖析
ʏ郑欣易错点1:利用分段函数的单调性时,忽略分段点例1已知函数f(x)= (a-2)x+1,xɤ1,l o g a x,x>1,若f(x)在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,则实数a的取值范围为()㊂A.(0,1)B.(2,3]C.(1,2)D.(2,+ɕ)错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂综上所述,a>2㊂应选D㊂剖析:分段函数在R上单调递增,在每一段都是递增的,在分段点处也是递增的㊂正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂在分段点x=1处,由a-3ɤl o g a1=0,解得aɤ3㊂综上所述,实数a的取值范围是(2,3]㊂应选B㊂易错点2:求单调区间时,忽略函数的定义域例2函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间是()㊂A.(-ɕ,-2)B.(-ɕ,1)C.(1,+ɕ)D.(4,+ɕ)错解:因为内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ,1)上单调递减,在区间(1,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,所以复合函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(1,+ɕ)㊂应选C㊂剖析:求函数的单调性往往容易忽略定义域㊂要使函数f(x)=l g(x2-2x-8)有意义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域的前提下,才能讨论函数f(x)=l g(x2-2x-8)单调性㊂正解:对于函数f(x)=l g(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函数f(x)=l g(x2-2x-8)的定义域为(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ)㊂内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ, -2)上单调递减,在区间(4,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,结合复合函数的单调性,可得函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+ɕ)㊂应选D ㊂1.函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为()㊂A.(-ɕ,2]B.[2,+ɕ)C.[2,6]D.[-2,2]提示:对于函数y=-x2+4x+12,由-x2+4x+12ȡ0,可得x2-4x-12ɤ0,解得-2ɤxɤ6,所以此函数的定义域为[-2, 6]㊂内层函数u=-x2+4x+12在区间[-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,故此函数的单调递减区间为[2,6]㊂应选C㊂2.已知函数f(x)= (1-3a)x+10a(xɤ7),a x-7(x>7),且对定义域内的x1,x2(x1ʂx2)都满足f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则实数a的取值范围是㊂提示:由题意可得函数f(x)在定义域内是减函数,结合分段点处函数值的大小关系可得1-3a<0,0<a<1,(1-3a)ˑ7+10aȡa7-7=1,解得13< aɤ611,所以实数a的取值范围是13,611㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)73易错题归类剖析高一数学2023年11月。
中考英语语法易错点深度剖析
中考英语语法易错点深度剖析在中考英语考试中，语法部分一直是考生容易出错的地方。
本文将深度剖析中考英语语法中的易错点，帮助考生提高语法得分。
一、主谓一致主谓一致是英语语法中常见的错误点之一。
主谓一致是指主语与谓语在人称和数方面保持一致。
下面是一些常见的主谓一致错误：1. 单数主语与复数谓语不一致：例句：The news are very exciting.（错误）The news is very exciting.（正确）2. 复数主语与单数谓语不一致：例句：My family is going on vacation.（错误）My family are going on vacation.（正确）二、动词时态动词时态是中考英语考试中容易出错的地方之一。
时态错误常见于动词的时态与上下文不一致。
下面是一些常见的动词时态错误：1. 将来时态的误用：例句：I will go to the cinema yesterday.（错误）I went to the cinema yesterday.（正确）2. 现在进行时态的误用：例句：He has playing football now.（错误）He is playing football now.（正确）三、冠词用法冠词的用法是中考英语考试中易错且容易混淆的语法点之一。
下面是一些常见的冠词错误：1. 不定冠词与可数名词复数搭配：例句：I bought some apples yesterday.（错误）I bought an apple yesterday.（正确）2. 定冠词与不可数名词搭配：例句：Please pass me waters.（错误）Please pass me some water.（正确）四、代词用法代词的用法是中考英语考试中容易出错的地方之一。
代词错误常见于代词的指代不明确或与先行词的关系不清晰。
下面是一些常见的代词错误：1. 指代不清晰：例句：Tom is my friend. He is very kind.（错误）Tom is my friend. Tom is very kind.（正确）2. 人称代词与先行词的人称不一致：例句：She wants to buy a book for I.（错误）She wants to buy a book for me.（正确）五、动词形式动词形式的错误是中考英语考试中常见且易犯的错误。
古诗词的难点与易错点剖析
古诗词的难点与易错点剖析古诗词作为中华传统文化的瑰宝，承载着丰富的情感、深邃的思想和独特的艺术魅力。
然而，对于许多学习者来说，理解和欣赏古诗词并非易事，其中存在着诸多难点和易错点。
一、语言文字的障碍古诗词往往使用古汉语，其词汇、语法和表达方式与现代汉语有较大差异。
1、词汇方面许多古诗词中的词汇在现代汉语中已不再常用，或者词义发生了变化。
比如“可怜”在古文中常有“可爱”之意，“走”则表示“跑”。
这就容易导致学习者按照现代词义去理解，从而产生误解。
2、语法方面古诗词中的语法结构较为灵活，常常省略主语、宾语，或者使用倒装、互文等特殊句式。
例如“将军百战死，壮士十年归”使用了互文的手法，不能简单地理解为将军战死、壮士归来，而应理解为将军和壮士经过多年征战，有的战死，有的归来。
3、文字通假通假字也是常见的难点。
“学而时习之，不亦说乎”中的“说”通“悦”，如果不了解通假现象，就难以准确理解诗句的含义。
二、文化背景的差异古诗词是特定历史文化背景下的产物，其中蕴含着丰富的文化内涵。
1、典故运用诗人常常借用典故来表达自己的思想感情，但如果不了解这些典故的出处和含义，就无法领会诗人的真正意图。
比如李商隐的“庄生晓梦迷蝴蝶，望帝春心托杜鹃”，就运用了庄周梦蝶和望帝啼鹃的典故。
2、礼仪制度古代的礼仪制度在诗词中也有所体现，如“还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时”中，女子的拒绝方式就遵循了当时的礼教规范。
3、社会风俗不同朝代的社会风俗也会影响诗词的创作和理解。
例如，重阳节登高、端午节赛龙舟等风俗在诗词中时有出现，如果对这些风俗不熟悉，就难以理解诗人所描绘的场景和情感。
三、意象与意境的把握古诗词常常通过意象来营造意境，表达情感。
1、意象的多义性同一个意象在不同的诗词中可能有不同的含义。
比如“月”这一意象，有时象征团圆，有时又寄托思乡之情，有时还寓意孤独。
2、意境的复杂性意境是由多个意象组合而成的整体氛围和情感境界，理解意境需要对诗词中的意象进行综合分析和感悟。
电解质易错点剖析
关于电解质，许多学生在学习的过程中都会存在一些易错点。
本文将对电解质的易错点进行剖析。
首先，在学习电解质时，许多学生容易混淆电解质和非电解质。
电解质是可以在溶液中受电场作用而分解的化合物，而非电解质是不能在溶液中受电场作用而分解的化合物。
因此，学生要想正确理解电解质和非电解质之间的区别，就需要在学习的过程中不断地加强自己的理解能力。
其次，学生在学习电解质的分类时，容易混淆电解质的分类和分子的分类。
电解质的分类是按照其是否具有正电荷或负电荷来分类的，而分子的分类则是按照其分子式或分子量来分类的。
因此，学生在学习的过程中要确保自己理解电解质的分类以及分子的分类，以免在学习的过程中出现错误。
最后，学生容易把电解质和混合物混淆。
电解质是一种独立的化合物，而混合物是由多种物质混合而成的，它们之间有着很大的区别。
因此，学生在学习的过程中要特别注意理解电解质和混合物之间的区别，以免在学习的过程中出现错误。
总之，电解质的易错点主要有三点：混淆电解质和非电解质、混淆电解质的分类和分子的分类以及把电解质和混合物混淆。
学生在学习的过程中要特别注意这些易错点，以便正确理解电解质。
整式的加减易错点剖析
代数式中的错解示例一、例1 用代数式表示：(1) x 除以y 的3倍的商的平方；(2) x 与y 的倒数的和；(3) a 与b 的平方的和除c ；(4) a 的立方与b 平方的倒数的差．错解：(3×x y )2；(2)1x ＋1y ；(3)a 2＋b 2c ；(4)1a 3－1b 2． 错解分析：(1)把“y 的3倍”误认为“3倍的商”；(2)混淆了“x 与y 的倒数的和”与”x 与y 的倒数和”不同的意义，前者是x ＋1y ；而后者是1x ＋1y． (3)错误有两点，其一没有把“a 与b 的平方的和”与“a 与b 的平方和”区别开来，前者是a ＋b 2，而后者是a 2＋b 2；其二混淆了“除以”与“除”的不同意义，“a 与b 的平方的和除c ”，其c 应该是被除式．(4)未能正确理解文字语言中的三层关系：第一是“a 的立方”，即a 3，第二是“b 平方的倒数”，应为1b 2；第三是第一部分的结果与第二部分结果的差．正解：(1)(x 3y )2； (2)x ＋1y ；(3)c a ＋b 2；(4)a 3－1b 2． 二、例2 用语言叙述下列代数式：(1)3(x ＋y)；(2)ab-c ；(3)a bc ；(4)x －y m；(5)a(x-y)2． 错解：(1) 3乘以x 加y ；(2) a 乘以b 与c 的差；(3) a 除以b 乘以c ；(4) x 减去y 除以m 的商；(5)a 乘以x 减去y 的平方．错解分析：(1) “3乘以x 加y ”，其意义不明确，未能准确表述其运算顺序．正确的说法是“3与x ＋y 的积”，或“x 与y 的和的3倍”．(2)“a 乘以b 与c 的差”容易使人误解为a(b-c)．正确的说法是“ab 与c 的差”或“a 乘以b 的积与c 的差”．(3)“a 除以b 乘以c ”所表示的代数式为a b·c ，显然与题意不符．正确说法应为“a 除以bc 的商”或“a 比bc ”．(4)“x 减去y 除以m 的商”容易使人误解为x-y m．因此，这种说法不妥．正确的说法是“x-y 除以m 的商”或“x 减去y 的差除以m”．(5) “a 乘以x 减去y 的平方”容易误解为(ax －y)2或[a(x －y)]2或ax － y 2．因此这种语言表述不清．正确的说法是“x 减去y 的差的平方与a 的积”．列代数式和说出代数式的意义是用数字、字母表示的符号语言与文字语言之间的互译的两种情况．三.识别单项式、多项式出错例3下列式子中，哪些是单项式?哪些是多项式?0，133，6x -，25m n -，1y -，2ab ，5210.218x x ++. 错解：6x -，25m n -，1y -，2ab 是单项式；0，133，5210.218x x ++是多项式. 错解分析：25m n -包含加减运算，它应该是多项式；1y-的分母中含有字母，所以它既不是单项式，也不是多项式；0和133都是数字，应是单项式.正解： .(请自己填上答案)点拨：判断一个式子是不是单项式,要严格依据定义进行判断,同时注意以下三点：①单独的一个数或一个字母是单项式；②单项式中数与字母只能是相乘的关系；③若分母中出现含字母的式子，则不是整式，而是将来我们要学习的“分式”，如1就是-1与y的商，所以不是单项式.y四、识别单项式的系数和次数出错例4请指出单项式x5y3z的系数和次数.错解：单项式x5y3z的系数是0，次数是8.错解分析：对于单项式x5y3z，系数为省略了的1，而不是0；计算次数时错解误将字母z的指数当成0，实际上是1.正解： .(请自己填上答案)点拨：单项式的系数是指单项式中的数字因数；单项式的次数指单项式中所有字母的指数和.要注意系数和次数中省略的1.五.识别多项式的项和次数出错例5 指出多项式3xy2－2xy＋x－5是几次几项式，并指出这个多项式的各项.错解：这个多项式是六次四项式，各项分别为：三次项3xy2，二次项2xy，一次项x，常数项5.错解分析：错解是把多项式中所有字母的指数和当成了多项式的次数，而且在写多项式的项时忽略了符号.正解： .(请自己填上答案)点拨：多项式中每一个单项式称为多项式的项，这里要注意的是每一项都包括前面的符号.在多项式里，次数最高的项的次数是多项式的次数，也就是说多项式的次数实际上是用一个次数最高的单项式的次数来代表的.整式易错点示例一、对概念理解不透例1 指出单项式3xy ，221b －，a ，42z xy －的系数和次数． 错解： 3xy 的系数是1，次数是1； 221b －的系数是21，次数是2； a 的系数是0，次数是0；42z xy －的系数是0，次数是4．错解分析： 错误的原因是不理解什么是单项式的系数和次数，当系数和指数为1时，在单项式中省略不写，因而误认为这时的系数和指数为O ，单项式的系数包括它前面的符号．正解： 3xy 的系数是31，次数是2； 221b －的系数是－21，次数是2； a 的系数是1，次数是1；42z xy －的系数是－1，次数是7．注：单项式和多项式中的“＋”和“－”号在确定系数时不能遗漏．例2 试指出下列说法的错误：y x 34，b a 34，32ab －，3yx 是同类项；3a －，331b 为同类项．错解分析： 由于同类项必须同时满足：①项中所含字母相同；②相同字母的次数分别相同.而本题中y x 34与b a 34由于字母不同，因此它们不是同类项；b a 34与32ab －虽然所含字母相同，但由于相同的字母的次数不相同，因此，它们也不是同类项．同样地，3a －与331b ，y x 34与32ab －也都不是同类项．正确答案是只有y x 34与3yx 是同类项．例3 多项式abc c b a 3333＋－－由哪几项组成？错解：多项式abc c b a 3333＋－－是由3a ,3b ,3c ,abc 3四项组成． 错解分析：此解漏掉了各项的符号，必须注意，多项式的项都包括它前面的符号，正确答案是由3a ,3b －,3c －,abc 3四项组成．例4 整式32＋－a 是几次几项式？错解： 32＋－a 是三次二项式．错解分析：这里第一项a －的次数是l ，系数是－1，后面一项32的指数虽然是3，但底数不含有字母，因而仍是常数项．所以这个整式是一次二项式．例5 多项式522＋－b ab 是几次式？错解： 522＋－b ab 是二次式．错解分析： 这个多项式中，次数最高的项是第一项，它的次数为1十2＝3，所以多项式522＋－b ab 是三次式．例6 在代数式m ，－2，24ab ，x 1，5y x ＋中，单项式有（ ）． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个错解：选C ．单项式有m ，24ab ，x 1，5y x ＋． 错因分析：因为单独的一个数字和一个字母也是单项式，所以－2是单项式；x 1表示l 与x 的商，它不是单项式；5y x ＋表示51与y x ＋的积，它应当属于多项式．正解：选 B ．单项式有m ，－2，24ab ．点拨：单项式中数字与字母之间都是乘积关系，所以包含其他的运算形式的代数式就不是单项式，应严格按照单项式的概念判断．二、判断单项式系数、次数出错例7 单项式332xy π－的系数是________，次数是________．错解：－3，6或31－，6.错因分析：此题中出现了π，因圆周率π是常数，当单项式中出现π时，应将其看作数字系数，所以系数为32π－；数字的指数不能加在字母的指数上算作单项式的次数，所以单项式的次数为x ,y 的指数的和．正解：系数是32－，次数是4．点拨：在解答此类问题时经常由于未分清字母与数字导致出错，应正确理解与分析单项式的系数与次数．三、判断多项式项数、次数出错例8 已知m ,n 都是正整数，多项式n m n m y x ＋－＋32的次数是（ ）A.mB.n m ＋C.n m 22＋D.不能确定错解：B ．错因分析：题中多项式各项次数最高的是n m ＋3，但由于底数为3，所以此项为常数项．应比较含有字母的单项式的次数，所以主要分析m ,n 的大小.题目已知条件没有给出m ,n 的大小关系，所以无法确定．正解：D ．点拨：在比较各项次数时，一定要分清数字的指数，还是字母的指数，把每项的次数都写出来，再进行选择即可．四、对同类项概念理解出错例9 已知单项式b a b a y x ＋－－43与3261x y 是同类项，则代数式2 011()a b －的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.±1错解： B ．错因分析：根据同类项的定义可知，相同字母的指数应对应相等，由于题目中x ,y 的先后位置不同，致使出现24＝－b a ，3＝＋b a 的错误等式，通过仔细观察可得34＝－b a ，2＝＋b a ，解得1＝a ，1＝b ，所以代数式 2 011()a b －的值为0．正解： C ．点拨：通过对定义分析可知，两个式子若是同类项，所含的字母和指数必须对应相等．五、合并同类项出错例10 下列运算中，正确的是（ ）A.m n mn 77＝－B.ab b a 1046＝＋C.633523a a a ＝＋D.022＝－ba b a错解：C ．错因分析：在给出的选项中，mn 7和n ，a 6和b 4都不是同类项，所以不能合并；33a 和32a 是同类项，但是结果中的字母指数发生了变化，结果应为35a ；b a 2和2ba 都包含着字母a ,b ，且对应的指数也都相等，所以应选D ．正解： D ．点拨：合并同类项的前提首先是几个单项式必须是同类项，其次是将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．若两项不是同类项，就不能进行合并，应保留原来形式．六、应用去括号法则出错例11 化简:)]3(2)25([52222a a a a a a －－－＋－.错解：原式＝)3(2)25(52222a a a a a a －－－＋－＝2224a 5a 2a 2a 6a ＋－－＋＝27a a.＋4错因分析：题中的错误主要是去掉中括号时，括号内的每项都要变号，特别是带有小括号的项．先去中括号时，要把每个小括号看作一个整体,作为一项，一般是先去小括号，再去中括号．正解：原式＝]6225[52222a a a a a a ＋－－＋－＝a a a a a a 622552222－＋＋－－＝a a 42－.点拨：将代数式中的括号去掉时，应注意变号.去括号的法则是:括号前面是正号，去掉括号和前面的符号,括号内每项都不变号；括号前面是负号，去掉括号和前面的符号，括号内每项都变号．去括号时要由内到外或由外到内依次进行，以免出错．例12 去括号：)32(523－－＋x y x ．错解：)32(523－－＋x y x ＝32523－－x y x ．错解分析：在去括号时，如果括号前面是“＋”号，只需要去掉括号和这前面的“＋”号，把括号中每一项照抄下来就行了．但由于原括号中第一项的“＋”号省略，因此，在去掉括号后应把它补上．正确答案是：32523－－＋x y x ．例13 计算：)21(3)325(22x x x x ＋－－＋－．错解：原式＝2223325x x x x ＋－－＋－＝x x 462－．错解分析：上述解法错误有：(l)根据去括号法则，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号，而不能单改变第一项的符号或其中部分项的符号，错解中只改变了第一项的符号，其余各项的符号均未改变；(2)去括号时，括号前面的系数应乘以括号内的每一项，错解中仅用括号前面的系数去乘括号内的第一项，其余各项均未乘以括号前面的系数．正解：原式＝22363325x x x x －＋－＋－＝x x 422＋．例14 不改变多项式3334723d c b a －＋＋的值，把它后面三项括在前面带有“－”号的括号内．错解：3334723d c b a －＋＋＝)472(3333d c b a ＋－－.错解分析：根据添括号法则，如果添上的括号的前面是“－”号，那么括到括号里的每一项的符号都要改变．上述解法虽然括起来的后面两项都改变了符号，但由于括到括号里的第一项没有改变符号，因此是错误的．正确答案应是：)472(3333d c b a ＋－－－．七、整式加减运算过程出错例15 先化简再求值．当27＝a ,21＝－b 时，求代数式)2(3)2(32222b b a b b a ＋－－的值． 错解：①原式＝063632222＝＋－－b b a b b a ．②原式＝222223a b 6b 3a b 2b 8b =-－－－，把21＝－b 代入上式，原式＝－2．错因分析：此题既要应用乘法的分配律，又要去括号和合并同类项，是一道典型的整式运算．特别要注意在去括号时括号内每一项都要变号，和应用乘法分配律时数字因数要乘以括号内的每一项，要细心、认真，不能马虎．正解：原式＝22222126363b b b a b b a ＝－－－－, 把21＝－b 代入上式，原式＝－3．点拨：在遇到求代数式的值时，一般是先化简,再代入，运算简便．应重点注意去括号法则的应用和乘法分配律的应用．八、考虑问题不全面，造成漏解例16.如果二次三项式22(1)16x m x -++是一个完全平方式，那么m 的值是____.错解：由题意知2(1)8m +=,解得3m =.错解分析：忽视了222()2a b a ab b ±=±+而导致错误.正解：由题意知2(1)8m +=±,解得3m =或5-.。
人教版六年级数学上册教材易错点剖析
人教版六年级数学上册教材易错点剖析在学习数学的过程中，我们常常会遇到一些易错的地方。
特别是在人教版六年级数学上册教材中，也存在一些让学生容易出错的知识点。
本文将对这些易错点进行剖析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
1. 十进制小数与分数的转换在六年级数学上册中，涉及到了十进制小数与分数之间的转换。
这一部分是易错点的主要原因在于学生们对于十进制小数的理解和分数的运算掌握不够扎实。
对于这一点，我们可以通过以下步骤来进行转换：- 将十进制小数的数位按位数表示成分数形式；- 确定分数的分子和分母；- 化简分数，如果需要的话。
举个例子，如果给定一个十进制小数0.25，我们可以将它转换成分数的形式。
首先，我们知道0.25可以看作是25/100，然后我们可以将分数进行化简，得到1/4。
通过这样的步骤，我们就能够准确地将一个十进制小数转换成分数形式。
2. 数论中的整除性质在数论中，我们经常会遇到整除性质的考察。
这一部分也是易错点的主要原因在于学生们对于整除性质的记忆和理解不够。
在人教版六年级数学上册中，给出了一些整除性质的定理，例如：- 偶数能够被2整除；- 一个整数的个位数是0、2、4、6、8中的任意一个时，这个整数肯定可以被2整除；- 一个整数的个位数是0或者5时，这个整数肯定可以被5整除等等。
学生们在记忆这些整除性质时，可以通过多做一些相关的练习题来加深印象和熟练掌握这些性质。
3. 平行线与相交线的性质在几何学中，平行线与相交线的性质也是易错点的一个重要部分。
在六年级数学上册中，我们学习了平行线与相交线的相关概念和性质。
在判断平行线与相交线的关系时，可以利用以下几个性质进行判断：- 如果两条直线都与一条直线平行，则这两条直线之间互相平行；- 若两条直线之间只有一条直线与另一条直线平行，则这两条直线之间互不平行；- 若两条直线之间相交，那么交点必定在这两条直线延长线上。
通过理解和掌握这些性质，我们能够更准确地判断平行线与相交线的关系，避免在解题过程中出现错误。
三年级上册数学教案二：小学生易错点剖析——三位数加三位数
三年级上册数学教案二——小学生易错点剖析：三位数加三位数在小学三年级数学教学中，三位数加三位数是比较基础的数学运算之一。
但是，由于孩子的注意力不集中、马虎等原因，常常会出现错误。
本教案针对小学生在三位数加三位数的运算中易犯的错误进行归纳和分析，旨在帮助小学生更好地掌握这一运算，提高成绩。
一、易错点剖析1.忘记进位小学生在三位数加三位数的运算中，经常会出现忘记进位的情况。
主要是因为学生对进位的规则不熟悉，或者没有在计算时注意到需要进位。
2.横竖写混淆小学生在三位数加三位数的运算中，有时会把竖式写成横式，或者把横式写成竖式。
这主要是因为孩子对于竖式和横式的区别没有完全掌握。
3.数字错位小学生在三位数加三位数的运算中，有时会出现数字错位的情况。
比如：将个位数和十位数搞混，或者百位数和十位数搞混。
这主要是因为孩子没有认真审题或者没掌握好数字大小。
4.对位相加错误小学生在三位数加三位数的运算中，对位相加时，有时会出现错误。
比如：个位数写在了十位数的位置上或者个位数没有写出来。
这也是因为学生没有充分掌握对位相加的规律。
二、教学方法1.图表法教师可以通过图表法，让学生更直观地理解进位的规律。
比如：将两个三位数横着写在两个长方形的盒子中，让学生用色块表示每一位数字，再去根据规律进行进位。
2.拆分法教师可以通过拆分法，让学生将三位数拆成百位、十位、个位三个数加起来，再将两个三位数每一位对应相加，将每一位相加的结果相加，得到加和。
3.交叉相加法教师可以通过交叉相加法，让学生对位相加时更加准确。
将两个三位数竖着写在纸上。
将百位数、十位数、个位数对应的数字相加，得到加和。
三、教学案例1.课前预习教师可以让学生预习三位数加三位数的运算，理解进位的规律，并画出对位相加的图表。
2.课堂教学教师可以通过图表法向学生解释进位的规律，让学生理解进位的规则。
教师可以通过拆分法和交叉相加法，让学生更加透彻地掌握三位数加三位数的运算。
教师可以在黑板上出示一系列三位数加三位数的题目，让学生进行计算，并在检查答案时对学生的错误进行指正。
古诗词的难点与易错点剖析
古诗词的难点与易错点剖析古诗词是中华民族的瑰宝，是中国优秀传统文化的重要组成部分。
但是，由于其独特的语言表达方式和深厚的文化底蕴，学习古诗词往往成为许多学生学习语文的难点。
本文将从古诗词的难点和易错点两个方面进行剖析，以帮助读者更好地掌握古诗词的学习方法和技巧。
一、古诗词的难点1. 文字古旧：古诗词使用了古代的文言文字，与现代汉字有一定的差异。
例如，一些字词的读音和意义发生了变化，需要我们重新理解。
此外，古文中还存在许多生僻字和繁体字，对于大多数学生来说，记忆起来较为困难。
2. 句式复杂：古诗词中的句式较为复杂，通常采用倒装、排比、对仗等修辞手法，给人一种矫揉造作的感觉。
这要求我们对语句结构有较好的掌握，能够理解并正确运用这些特殊的句式结构。
3. 文化内涵深厚：古诗词是中国文化的精髓，其中蕴含着丰富的历史、哲学和文学知识。
学习古诗词需要我们对中国文化有一定的了解，了解古代社会的背景和历史事件，才能更好地理解其中的意境和表达。
二、古诗词的易错点1. 对词义的理解：由于古代用字的差异和语境的变化，理解古诗词中的词义常常成为学生容易出错的地方。
例如，一些字词在古代的意义可能与现代有所不同，需要我们了解其历史演变过程，以免产生误解。
2. 对典故的理解：古诗词中经常会涉及典故和历史事件，要想准确理解其中的意思，就需要对相关的典故有所了解。
例如，《红楼梦》中经常引用典故，如果对典故不熟悉，就很难理解其中的意思。
3. 对韵律的把握：古诗词的韵律是其独特之处，也是学生易错的地方。
古诗词中通常采用平仄、押韵等手法，要想正确地朗读和理解古诗词，就需要对韵律有一定的敏感度和把握能力。
三、学习古诗词的方法与技巧1. 多读多背：通过大量的阅读和背诵，可以帮助我们熟悉古诗词的语言风格和表达方式。
同时，通过背诵可以提高记忆力和理解能力，让我们更好地掌握其中的内涵。
2. 注重背景知识的学习：了解古代社会的背景和历史事件对于理解古诗词至关重要。
考研数学常见易错点剖析分析数学中常见的易错点帮助学生避免犯同样的错误
考研数学常见易错点剖析分析数学中常见的易错点帮助学生避免犯同样的错误一、引言数学是考研考试中的重要科目之一，很多学生在备考过程中常常会遇到一些常见易错点。
本文通过对数学考点的剖析分析，旨在帮助考生们避免犯同样的错误，提高解题能力和成绩。
二、概念混淆1. 同余与模运算同余是指两个数除以一个整数所得的余数相等，而模运算是指将一个数除以另一个数所得的余数。
常见错误：将同余与模运算混淆，或在具体计算时运用错误。
解决方法：理解同余和模运算的定义和性质，通过大量例题进行练习，加深对两者的区别和应用。
2. 整除与因数整数a除以整数b，若余数为0，则称a能被b整除，b称为a的因数。
常见错误：将整除与因数概念混淆，或在计算因数时计算错误。
解决方法：明确整除与因数的定义，认真分析题目中的要求，画出各个数之间的关系图示，避免混淆和计算错误。
三、公式运用1. 综合运用在考研数学中，常常需要综合运用各种公式和定理进行推导和计算，但很多学生在解题过程中容易迷失在各种公式之中，而忽略了题目的本质。
常见错误：过度依赖公式，没有从问题本身出发，盲目套用公式。
解决方法：理解公式的含义和推导过程，通过大量练习题目培养灵活运用公式的能力，强化问题分析和解决能力。
2. 打桩法与递推公式打桩法是指为了通过表达式的形式寻找递推关系，常用于求解数列等。
常见错误：误用递推公式，找不到合适的打桩点。
解决方法：充分理解递推公式的定义和求解思路，并灵活运用打桩法找到递推关系，通过计算多个数值验证递推公式还可以进行调整。
四、未解决问题的再次尝试1. 短时间内未取得进展时在考试的限时条件下，遇到一道难题很容易陷入僵局，这时候考生往往会直接放弃，而没有尝试其他的解法或思路。
常见错误：过早放弃，没有发挥出自己的潜力。
解决方法：当遇到难题时，可以尝试其他的解法，或者用不同的思路来解决问题，多角度思考，找到最适合自己的解题方式。
同时，可以通过多做模拟题和真题，提高解题的速度和准确性。
小数除法的易错点剖析：提高教案设计质量的技巧
小数除法的易错点剖析：提高教案设计质量的技巧。
易错点一：小数点位置不对小学生在进行小数除法练习时，往往会因为小数点位置不对而犯错。
例如，当计算0.8 ÷ 0.2 时，学生可能会将小数点向左合并，从而计算得到8 ÷ 2 = 4，这是错误的答案。
针对这个问题，在教学中我们可以通过引导学生观察小数点的位置，强调小数点不可以随便移动，慢慢提高他们对小数点位置的认识。
易错点二：忘记将分母变为整数在小数除法中，使用乘法的办法来计算分母中小数位数的改变，这可以帮助学生处理小数除法问题。
例如，计算0.4 ÷ 0.02 时，我们会发现分母 0.02 中有两位小数，因此我们需要将分母乘以 100，变为整数 2。
但是，许多学生往往会忘记这一步骤，直接开始计算，这会导致错误的答案。
教师可以通过示范和练习，以及一些提示性问题，帮助学生记住如何将分母变为整数。
易错点三：计算错误在进行小数除法计算时，学生往往会出现计算错误的情况。
例如，在计算0.6 ÷ 0.3时，学生可能误算出6 ÷ 3 = 2，这是错误的答案。
教师可以通过反复练习和提醒学生注意计算细节，帮助他们有效地避免这一问题。
易错点四：未能化简分数在小数除法过程中，学生有时可能会得到一些带小数的分数，但他们未必能够正确地将其化简为简分数。
例如，在计算 1.5 ÷ 0.3 时，学生可能会得到分数5/3，但未必能够化简为5/3的形式。
针对这个问题，我们可以在讲解小数除法的同时，为学生演示分数化简的过程，帮助他们逐渐熟悉化简分数，提高他们的技能水平。
以上四个点是小数除法中容易出错的一些情况，教师们应该在指导学生时特别关注这些问题，逐渐提高学生的认识和能力。
在教学中，我们可以采用一系列有效的教学策略来帮助学生更好地理解和掌握小数除法，例如练习、游戏、实践等等。
我们还可以设计一些更有趣和富有挑战性的小数除法测试，帮助学生通过实践增强技能，并提高他们的自信心和兴趣。
直线和网的易错点归纳剖析
ʏ湖北省襄阳市第三中学 宋勇林直线与圆的方程是解析几何的基础知识,它不仅涉及几何知识,也涉及广泛的代数知识,综合性较强,对同学们的能力要求较高,在高考题中多以小题的形式呈现,考查也较为全面,除考查直线与圆的位置关系㊁点到直线的距离㊁圆与圆的位置关系等问题外,还注重考查等价转化㊁数形结合㊁分类讨论等常见的数学思想,近几年对直线和圆的考查方式及题目难度变化不大,同学们由于对基本概念㊁思想方法㊁性质的掌握不准确,导致平时解题中经常出现错误,没有达到有效掌握的目的㊂笔者在本文中主要从以下角度对直线和圆的易错点进行剖析总结,供同学们复习时参考㊂一㊁设直线方程时忽略直线方程使用的前提条件致错例1 若过点A (1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程为( )㊂A .x -y +3=0B .x +y -5=0C .4x -y =0或x +y -5=0D .4x -y =0或x -y +3=0错解:设直线的方程为x a +y-a=1(a ʂ0),因为直线过点A (1,4),所以1a -4a=1,解得a =-3,代入直线的方程得x -y +3=0㊂剖析:截距式方程不能表示截距为0和与坐标轴垂直的直线,过点A (1,4)且截距为0的直线符合题意,上述解答没有考虑截距为0的情况导致错误,设截距式方程时一定要单独考虑过原点的情况!正解:当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时直线的方程为y =4x ,即4x -y =0;当直线不过原点时,如错解,可得直线的方程为x -y +3=0㊂综上所述,直线的方程为4x -y =0或x -y +3=0㊂故选D ㊂点评:不同形式的方程均有其适用条件,在解题时应注意截距式方程的使用前提是截距不为0㊂二㊁求含参数的直线的平行问题时忽视验证直线重合的情况致错例2 已知直线l 1:x +a y -a =0和直线l 2:a x -(2a -3)y +a -2=0,若l 1ʊl 2,求实数a 的值㊂错解:因为l 1ʊl 2,所以a 2=-2a +3,解得a =-3或1㊂剖析:A 1B 2-A 2B 1=0是直线平行的一个必要不充分条件,所以应用此结论解题时要注意验证充分性,上述错解中没有考虑这一点导致出错㊂正解:前面同错解,得a =-3或1㊂当a =-3时,l 1:x -3y +3=0,l 2:3x -9y +5=0,满足l 1ʊl 2;当a =1时,l 1:x +y -1=0,l 2:x +y -1=0,此时l 1与l 2重合,不合题意,舍去㊂所以a =-3㊂点评:一般地,设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 1,B 1不同时为0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2不同时为0),则l 1ʊl 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1ʂ0或A 1C 2-A 2C 1ʂ0;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0㊂由平行条件求参数的值时要验证两条直线是否重合㊂三㊁利用数形结合思想化简方程时忽视变量的范围致错例3 若方程1-x 2=k (x -1)+2有两个不等实根,求k 的取值范围㊂错解:方程1-x 2=k (x -1)+2有两72个不等实根,可转化为函数y =1-x 2的图像和直线y =k (x -1)+2有2个交点㊂y =1-x 2可变形为x 2+y 2=1,即以原点为圆心,1为半径的圆,直线y =k (x -1)+2的斜率为k ,且经过点M (1,2),当直线和圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34,由数形结合可得k 的范围为34,+ɕ㊂剖析:做数学题都是在进行一系列的等价转化,直到解出答案㊂上述错解中式子y=1-x 2平方前后不等价,平方之前y 的范围非负,故函数y =1-x 2的图像是以原点为圆心,1为半径的圆的上半圆弧㊂图1正解:如图1,当直线和半圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34;当直线经过点A (-1,0)时,则0=(-1-1)k +2,求得k =1㊂综上可得,k 的取值范围为34,1㊂四㊁求圆的一般方程时忽视圆存在的条件致错例4 若过点(2,1)可以作圆x 2+y 2-x +y +a =0的两条切线,则a 的取值范围为( )㊂A .12,+ɕB .(-4,+ɕ)C .-4,12D .(-ɕ,-4)ɣ12,+ɕ错解:由题意可知,点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部,故22+12-2+1+a >0,得a >-4㊂故选B ㊂剖析:错解中只考虑了点A 在圆的外部,而忽视了方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆的条件,需要求出r 2,由r 2>0得出a 的范围㊂正解:由点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部可求得a >-4,而方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆,则(-1)2+12-4a >0,得a <12,所以a 的取值范围为-4,12㊂故选C ㊂点评:方程x 2+y 2+D x +E y +F =0表示圆的前提条件是D 2+E 2-4F >0㊂五㊁圆与圆相切时忽视内切的情况致错例5 已知圆x 2+y 2=9与圆x 2+(y-6)2=r 2(r >0)相切,求半径r 的值㊂错解:由题意知,两圆的圆心分别为C 1(0,0),C 2(0,6),半径分别为r 1=3,r 2=r ,因为两圆相切,所以|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3㊂剖析:两圆相切时包括内切和外切,上述错解中将两圆相切理解为外切,导致漏解㊂正解:当两圆外切时,|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3;当两圆内切时,|C 1C 2|=6=|3-r |,解得r =9,负值舍去㊂综上所述,r=3或r =9㊂点评:设两圆的圆心分别为C 1,C 2,半径分别为r 1,r 2,若两圆外切,则C 1C 2=r 1+r 2;若两圆内切,则C 1C 2=|r 1-r 2|㊂六㊁求轨迹方程时忽略几何图形的存在性致错图2例6如图2,已知圆M :x 2+y 2-4x +3=0,点P (-1,t )为直线l :x =-1上的一个动点,过点P 引圆M 的两条切线,切点分别为A ,B ,求线段A B 的中点的轨迹方程㊂错解:圆M :x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,则圆心M (2,0),半径r =1㊂又P (-1,t ),则|P M |=9+t 2,|A M |=r =1,所以|P A |2=|P M |2-|A M |2=t 2+8,故以P 为圆心,|P A |为半径的圆P 的方程为(x +1)2+(y -t )2=t 2+8,则直线A B 的方程为(x +1)2-(x -2)2+(y -t )2-y 2=t 2+8-1,即3x -t y -5=0,易得直线A B 过定点H53,0㊂设A B 的中点为F ,A B 交x 82轴于点H ,如图2所示,当H ,F 不重合时,则H F 始终垂直于F M ,所以点F 的轨迹是以HM 为直径的圆㊂又H 53,0 ,M (2,0),故该圆的圆心为116,0,半径为12|HM |=2-116=16,故点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂剖析:上述过程通过弦中点的性质得到垂直条件,然后得出中点F 在以HM 为直径的圆上,当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,这是矛盾的,所以应该挖点㊂正解:前面的过程同错解,得点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,此时不符合题意,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y2=136(x ʂ2)㊂点评:在求轨迹方程时需要注意挖掘动点满足的隐含条件,比如与斜率有关时注意考虑分母不为零;与双曲线的定义有关时注意条件中有没有隐含绝对值,即双曲线的一支还是两支;遇到与三角形有关问题时注意考虑三角形的存在性,遇到弦的中点的轨迹问题时要考虑中点在曲线的内部等㊂七㊁求直线和圆相交的综合问题时忽略相交条件致错例7 已知圆C :(x -2)2+y 2=4,若过点(0,-3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ,B ,且O A ң㊃O B ң=3,O 为坐标原点,求直线l 的方程㊂错解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当直线l 的斜率不存在时,不符合题意,故可设直线l :y =k x -3,联立y =k x -3,(x -2)2+y 2=4,消去y 整理得(k 2+1)x 2-(4+6k )x +9=0,所以x 1x 2=9k 2+1,x 1+x 2=4+6kk 2+1,所以y 1y 2=(k x 1-3)(k x 2-3)=k 2x 1x 2-3k (x 1+x 2)+9=9-12k k 2+1㊂因为O A ң㊃O B ң=3,所以x 1x 2+y 1y 2=9k 2+1+9-12kk 2+1=3,解得k =1或-5,所以直线l 的方程为y =x -3或y =-5x -3㊂剖析:整个解答过程忽略直线和圆相交的条件,要注意验证Δ>0,也可以通过圆心到直线的距离d <r 来验证㊂正解:前面的过程同错解,得k =1或-5㊂因为直线和圆相交,所以Δ=(4+6k )2-36(k 2+1)=48k -20>0,解得k >512,所以k =1,从而直线l 的方程为y =x -3㊂八㊁解题习惯不好致错例8 已知圆C 1:x 2+(y +2)2=4与圆C 2:(x -4)2+y 2=4,是否存在点P ,满足经过点P 有无数对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,并且直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由㊂错解:由题意知,圆C 1的圆心(0,-2),半径r 1=2,圆C 2的圆心(4,0),半径r 2=2㊂设P (a ,b ),显然直线l 1,l 2的斜率都存在,且均不为零,设直线l 1的方程为y -b =k (x -a )(k ʂ0),直线l 2的方程为y -b =-1k(x -a )(k ʂ0),因为直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长,且r 1=r 2,则|2-a k +b |k 2+1=|4-b k -a |k 2+1,即|2-a k +b |=|4-b k -a |,也即2-a k +b=4-b k -a 对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,解得a =1,b =1,所以存在点P (1,1)满足题意㊂剖析:本题将两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等,再通过关于斜率k 的恒等式解出点P 的坐标,但是由于解题习惯不好导致方程|2-a k +b |=|4-b k -a |的根不完整㊂92正解:前面的过程同错解,得|2-a k +b |=|4-b k -a |,即2-a k +b =4-b k -a 或(2-a k +b )+(4-b k -a )=0对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,或6+b -a =0,a =b ,解得a =1,b =1, 或a =3,b =-3,所以存在点P (1,1)或(3,-3)满足题意㊂(责任编辑 王福华)ʏ湖北省襄阳市第三中学 邹永生圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,圆锥曲线的学习是同学们领悟用代数方法解决几何问题的关键过程,圆锥曲线的训练对提高逻辑推理㊁运算求解等能力有重要价值,圆锥曲线的图形优美,概念众多,结论繁杂,运算冗长,使得众多学子在高考中频繁丢分,下面总结一些学习过程中的常见错误,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁使用 点差法 时忽视直线与曲线有交点的前提致错例1 已知双曲线2x 2-y 2=2,过点B (1,1)能否作直线l ,使得直线l 与所给双曲线交于点Q 1,Q 2,且B 是弦Q 1Q 2的中点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由㊂错解:设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2)是双曲线上的两点,则x 1ʂx 2,且x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,由2x 21-y 21=2,2x 22-y 22=2,两式相减并变形得y 1-y 2x 1-x 2=2,所以直线l 存在,且直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0㊂剖析:通过数形作图(图略),发现直线2x -y -1=0与双曲线没有交点,利用 点差法 解题不能保证方程有解,也就是说无法保证Δȡ0,因此对求得的直线方程的存在性进行验证是必不可少的㊂在解析几何中,凡是直线与圆锥曲线的相交问题,先考虑相交的前提,即先检验判别式Δȡ0是否成立,否则易产生错解㊂凡是在联立方程消元后得到一元二次方程时,都要注意讨论两个问题:一是讨论二次项的系数是否为零;二是讨论判别式Δȡ0是否成立㊂正解:由错解知,可能存在的直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0,与双曲线方程联立2x -y -1=0,2x 2-y 2=2,消去y 整理得2x 2-4x +3=0,而Δ=-8<0,则方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线㊂易错点二㊁忽视 焦点弦 的条件,将 焦点弦 与 非焦点弦 混淆致错例2 求顶点在原点,焦点在x 轴上,且截直线2x -y +1=0所得弦长为15的抛物线的方程㊂错解:设所求抛物线的方程为y 2=a x (a ʂ0)①,直线方程变形为y =2x +1②㊂设直线与抛物线交于A ,B 两点,将②代入①化简整理得4x 2+(4-a )x +1=0,因此|A B |=x 1+x 2+p =a -44+a2=15,解得a =4(1+15)3,故所求抛物线的方程为y 2=4(1+15)3x ㊂剖析:题目中没有条件说直线A B 过焦点,只有焦点弦才有|A B |=x 1+x 2+p ,因此不能用此性质㊂那么非焦点弦的弦长问题一般可以用弦长公式来求,所以在求抛物线的弦长时,要先确认直线是否通过焦点,如果过焦点就用焦点弦公式,否则只能用一般弦长公式㊂(1)一般弦长公式:|A B |=1+k 2㊃3。
因式分解易错点剖析
因式分解常见错误示例（一）1.周而复始型错误因式分解是把-个多项式化成几个整式的积的形式.但是在分解过程中，部分学生会将分解好的结果再乘回去，如：造成错误的原因是学生对因式分解的概念理解不清，混淆了因式分解与整式乘法的意义.2.张冠李戴型错误出现此类错误的原因是学生对公式的意义理解不透所致,如：2249(49)(49)a b a b a b -=+-，对于平方差的意义应是表示两个数的平方差等于这两个数的与与差的积.本例中的2249a b -表面形式上是不符合要求的， 应变形为22(2)(3)a b -以后才能利用平方差公式因式分解.3.无中生有型错误所谓无中生有型主要是针对多项式的系数是分数而言的,如去分母是在等式中进行的，而不能硬搬到代数式中去.4.不翼而飞型错误这种错误经常出现在提公因式法分解因式中，如：236(36)3(2)x xy x x x y x x y -+=-=-在第一步提公因式x 后，漏掉了“1”这-项，使得一个三项多项式提公因式后变成了两项多项式.5.半途而废型错误顾名思义，这类错误是由于分解不彻底而产生的，如此题还能利用公式法继续分解为22()()a b a b +-.6.顾此失彼型错误利用十字相乘法分解因式时，学生常会出现这样的错误,如256(6)(1)x x x x -+=--错误原因是只顾把6分解成–1与–6，而忘了是否–1与–6的与等于一次项系数这个条件.7.断章取义型错误如222444()-++=---x xy y x x y y ，只看到了第-项与第二项中的公因式-4x ， 而误认为4x -就是原多项式的公因式了.8.以积代幂型错误这类错误出现在对分解最后结果的处理上，如两个相同因式()x y +的积应写成2()x y +的形式，犯了书写形式不规范的错误.9.概念理解不透型错误如22226312(6312)++=++x y xy x y xy x y xy ，原因是对公因式的概念没有完全理解，忽略了数字因数.又如234(3)4a a a a +-=+-，就没有把-个多项式从整体上化成几个整式乘积的形式.因式分解的错误原因很多，要认真审题，牢记分解方法，并能灵活运用.以下口诀同学们在分解过程中不妨试-试，以避免错误:因式分解并不难，分解方法要记全；各项若有公因式，首先提取莫迟缓；各项若无公因式，乘法公式看一看；以上方法若不行，分组分解做试验；因式分解若不完，继续分解到完全.因式分解的常见错误示例（二）一、概念错误1．分解目标不明确．没有把一个多项式从整体上化为几个整式的乘积的形式．例1 分解因式x2-4x-5.错解：原式＝x(x-4）-5.正解：原式＝（x+l)(x-5).2．分解不彻底．没有在给定范围内，分解到每一个多项式的因式都不能再分解为止．例2 分解因式ｘ4-3ｘ3-28ｘ2.错解：原式＝x2（x2-3x-28).正解：原式＝x2（x2-3x-28)＝x2(x+4)(x-7).二、方法错误1．如果多项式的各项有公因式，那么应先提公因式，从而降低分解的难度，这方面常见的错误如下：（1）有而不提例3 分解因式100x2-4.错解：原式＝（10x+2)(10x-2).正解：原式＝4（25x2-1)＝4(5x+1)(5x-l).（2）提而不尽例4 分解因式2（a-b）2-6(b-a）.错解：原式＝2[（a-b）2-3（b-a)]＝2(a2-2ab+b2-3b+3a).正解：原式＝2（a-b）2+6（a-b）＝2(a-b)[(a-ｂ)＋3]＝2(a-b)(a-b+3).（3）提后不补位当公因式恰好为多项式某一项时，提取后该项的位置应为“1”，否则，就犯漏项错误．例5 分解因式3x2-6xy+x.错解：原式＝x(3x-6y).正解：原式＝x(3x-6y+1).（4）提后不化简例6 分解因式（m+n）（p+q）-（m+n)(p-q).错解：原式＝（m+n）[(p+q)-（p-q)].正解：原式＝(m+n)[(p＋q)-（p-q）]＝（m+n)(p+q-p+q)＝2q（m+n).2．不能正确运用公式例7 分解因式4x2-9y2．错解：原式＝（4x+9y）（4x-9y）．正解：原式＝（2ｘ）2-（3y）2＝(2x+3y）(2x-3y）.例8分解因式4ab2-4a2b-b3.错解：原式＝b(4ab-4a2-b2）＝b(2a+b)2.正解：原式＝b(4ab-4a2-b2）＝-b(4a2-4ab+b2)＝-b(2a-b)2.3．盲目分组例9 分解因式x2-6x+9-y2．错解：原式＝（x2-y2)+（-6x+9)＝（x＋y）（x-y）-3(2x-3).由于盲目分组，导致无法达到因式分解的目的.正解：原式＝（x2-6x+9）-y2＝（x-3)2-y2＝（x-3+y)(x-3-y).第6 页。