数学物理方程课件例题与习题
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数理方程30题
所以初边值问题的解为
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
《数学物理方程》第四章§1
由通解得到柯西问题解——达朗贝尔公式
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
5/16
2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
3/16
0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
5/16
2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
3/16
0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
吴小庆-数学物理方程习题解答案全
数学物理方程习题解习题一1，验证下面两个函数：(,)(,)sin x u x y u x y e y ==都是方程0xx yy u u +=的解。
证明：（1）(,)lnu x y =因为32222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y yu y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =−⋅⋅=−+++−⋅−=−=++=−⋅⋅=−+++−⋅−=−=++−−+=+=++所以(,)u x y =0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin xu x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=⋅=⋅=⋅=−⋅所以sin sin 0xxxx yy u u e y e y +=−=(,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程0xy x y uu u u −=其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''−=⋅−⋅⋅=得证。
3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u −+= 的通解。
数学物理方程习题讲义
t
=
0
:
v
=
(h
−
x)ϕ(x),
∂v ∂t
=
(h
−
x)ψ(x)
因此
v(x, t)
=
1 2
((h
−
x
+
at)ϕ(x − at) + (h
−
x
−
at)ϕ(x + at))
+
1 2a
x+at
(h − ξ)ψ(ξ)dξ,
x−at
从而
u(x, t)
=
1 2(h − x)
((h
−
x
+
at)ϕ(x
−
at)
+
(h
−
(x
+
∆x,
t)
−
E
(x)
S
(x)
∂u ∂x
(x,
t)
=
∂ ∂x
E
(x∗)
S
(x∗)
∂u ∂x
(x∗,
t)
∆x
-1-
1.2 习题选讲
其中x∗ ∈ (x, x + ∆x).约去∆x并令∆x → 0,即得
∂ ∂t
ρ
(x)
S
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
(x)
S
(x)
∂u ∂x
当S(x)为常数时，即为
∂ ∂t
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
数学物理方程-习题讲解汇总
又杆的初始温度分布为
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
2
，所以
湖南大学数学院朱郁森
故相应的定解问题为
ut = a2uxx , 0 < x < l, t > 0.
u x=0 = 0,
ux x=l = q . k
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
习题一、2
湖南大学数学院朱郁森
长为 l 的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲
)
=
Bk
sin
kπ α
θ
,
kπ
Rk (ρ) = ck ρ α k = 1, 2,L.
1 ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂2u
∂θ 2
=
0,
（1）
u θ =0 = u θ =α = 0, u ρ=a = f (θ) u(0,θ) < +∞,
（2） （3） （4）
于是得方程（1）适合条件（2）（4）的一组特解
∞
u(x,t) = ∑uk (x,t)
k =0
∑ =
∞
Ck
e−
akπ l
2 t
cos
kπ
x
k =0
l
仍满足方程（1）与条件（2）。
湖南大学数学院朱郁森
又由条件（3），得
∑∞ Ck cos kπ x = x, ⇒
k =0
l
l , k = 0,
Ck
2
= ∫2 l x cos kπ xdx,
l0
l
故原定解问题的解为
情况。
数学物理方程习题讲义 (1)
ch2 作业
1. 求下列定解问题的解
ut ux
a2uxx , 0 x 0, t ux l, t
l, 0,
t 0
t0
u x, 0 x , 0 x l
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
解答过程见教材P38-40.最后结果为：
u(
x,
t)
1 2
a0
( n a
ane l
)2 t
cos
n
l
x
,
其中, an
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
(n 0,1, 2,L ).
ch2 作业讲解
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
解法: 先把一组边界条件化成齐次的。比如把 x=0 及 x=a 上的边界条件化成齐次的，令
u x,t v x,t w x, y,
其中
w(
x,
y)
1(
y)
2
(
y)
a
1(
y)
x,
通过代换后得到关于 v 的定解问题
2v 2v
x2
y2
f1( x, y),
0 x a,
0 y b,
v
0,
2 Bn a
n b
e a Bn
a 0
1
sin
n
a
e
n a
b
2 a
a
0
2
d
sin
1. 求下列定解问题的解
ut ux
a2uxx , 0 x 0, t ux l, t
l, 0,
t 0
t0
u x, 0 x , 0 x l
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
解答过程见教材P38-40.最后结果为：
u(
x,
t)
1 2
a0
( n a
ane l
)2 t
cos
n
l
x
,
其中, an
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
(n 0,1, 2,L ).
ch2 作业讲解
2.一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
解法: 先把一组边界条件化成齐次的。比如把 x=0 及 x=a 上的边界条件化成齐次的，令
u x,t v x,t w x, y,
其中
w(
x,
y)
1(
y)
2
(
y)
a
1(
y)
x,
通过代换后得到关于 v 的定解问题
2v 2v
x2
y2
f1( x, y),
0 x a,
0 y b,
v
0,
2 Bn a
n b
e a Bn
a 0
1
sin
n
a
e
n a
b
2 a
a
0
2
d
sin
第7讲数学物理方程PPT课件
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
Tn 100n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
(4)求通解
un X nTn
(C ncos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
u
un
n 1
(C n
n 1
cos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
(5)确定常量
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x B sin x
（8）
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3, )
l
n2
l2
2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3, )
XXnn( x)
sinBnnslin
xn
l
x
u( x, t ) t
t0
Dn
n1
n a sin
l
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
l
1 cos 2n
/l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
x
dx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l 0
人教版初中物理课件17章欧姆定律专题(五)(方程问题)
人教版 物理 课件
第十七章 欧姆定律
17章欧姆定律专题（五）
方程问题 与
R=
△U △I
本节内容
1.二元一次方程解欧姆定律计算题
2.求定值电阻公式：R U I
例1 如图所示，滑动变阻器的滑片在某两点间移动时，电
流表的示数范围在1A至2A之间，电压表的示数范围在6V至9V
之间．则定值电阻R的阻值及电源电压分别是多少？
(1) R1 ___变__大___ (2) 电流表___变__小___ (3) V1电压表__变__大____ (4)V2电压表__变__小____
例4 如图电路，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P向 右滑动时，电流表A、电压表V1和V2的示数分别用I、U1和U2表 示，这三个电表示数变化量的大小分别用△I、△U1和△U2表 示．则下列各物理量变化情况是:
2.求定值电阻公式： R U I
R2=
△U2 △I
= △U1 △I
说明：△U1=△U2
注意：
R1≠
△U1 △I
或： △ R1≠
△U1 △I
练习1.如图所示，电源电压保持不变，滑动变阻
器的最大阻值R0=20Ω，当只闭合开关S1，滑片P置 于最左端a时，电流表示数为0.2A；当开关S1、S2均 闭合，滑片P置于最右端b时，电流表示数为0.6A，
例3 如图甲所示电路，电源两端电压U不变，灯泡闭合后，改变滑动变阻器
接入电路的电阻，其电流表与电压表示数的关系如图乙所示，
求：灯泡L的电阻值RL和电源电压U。
解： △UL=△UR=6V-0V=6V
RL
U L I
6V 0.7 A 0.1A
10
电源电压:U=I1RL+U1=0.1A×10Ω+6V=7V 【方法二】
第十七章 欧姆定律
17章欧姆定律专题（五）
方程问题 与
R=
△U △I
本节内容
1.二元一次方程解欧姆定律计算题
2.求定值电阻公式：R U I
例1 如图所示，滑动变阻器的滑片在某两点间移动时，电
流表的示数范围在1A至2A之间，电压表的示数范围在6V至9V
之间．则定值电阻R的阻值及电源电压分别是多少？
(1) R1 ___变__大___ (2) 电流表___变__小___ (3) V1电压表__变__大____ (4)V2电压表__变__小____
例4 如图电路，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P向 右滑动时，电流表A、电压表V1和V2的示数分别用I、U1和U2表 示，这三个电表示数变化量的大小分别用△I、△U1和△U2表 示．则下列各物理量变化情况是:
2.求定值电阻公式： R U I
R2=
△U2 △I
= △U1 △I
说明：△U1=△U2
注意：
R1≠
△U1 △I
或： △ R1≠
△U1 △I
练习1.如图所示，电源电压保持不变，滑动变阻
器的最大阻值R0=20Ω，当只闭合开关S1，滑片P置 于最左端a时，电流表示数为0.2A；当开关S1、S2均 闭合，滑片P置于最右端b时，电流表示数为0.6A，
例3 如图甲所示电路，电源两端电压U不变，灯泡闭合后，改变滑动变阻器
接入电路的电阻，其电流表与电压表示数的关系如图乙所示，
求：灯泡L的电阻值RL和电源电压U。
解： △UL=△UR=6V-0V=6V
RL
U L I
6V 0.7 A 0.1A
10
电源电压:U=I1RL+U1=0.1A×10Ω+6V=7V 【方法二】
数学物理方程习题课PPT文档共21页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
方程组解初中物理问题课件
运用方程组法解析物理计算题
解题基本思路
定义公式 例：计算=UI P=I2R
比
方程
串：I1=I2 并：I1R1=I2R2
1、两只电阻R1和R2并联时的总电阻为1.5Ω,串 联是的总电阻是8Ω，求这两个电阻？
答：
2、电阻R1与滑动变阻器串联，R2的变阻范围为 0~~50Ω,当P滑倒R2中点时，其电流表的示数为0.8A，当 P滑动R2的最大值时，电流表的示数为0.6A，求电源电压 与R1的阻值？
答：
5、若需30kg40℃的温水，则需用80℃的热水和20℃的凉水 各多少千克混合？（假设无热量损失）
分析 温水是由热水和凉水混合而成，所以温水的质量应等于热水质量和凉水质量之和； 又因为没有热量损失，所以热水放出的热量就等于凉水吸收的热量。
解：设热水质量为m1kg,凉水质量为m2kg,则热水放出的热量为Q放=C水 m1(80-40),凉水吸收的热量为Q吸= C水m2(40-20)，所以有
答：
6、
方程的不同的表达方式
（2） 答：
7、把R1接到电压为U的电路时，其功率为100W，把R1、R2串 联后接到此电路时，R2的功率为16W，求串联后R1的功率？ （R1> R2）
答：
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
11
过程中总电压不变
方程可以是不同的表达方式
答：
分析 甲同学在钢管一端敲击一下时，乙同学听到的两次声音，一次是声音 沿钢管传播的，另一次是声音通过空气传播的，而且传播的距离都等于钢管 的长度。
答：
分析 ：“神舟”六号飞船用铝代替钢，虽然质量减少了，但其体积保持不变， 且质量减少的量就等于相同体积的钢比相同体积的铝多的质量。
解题基本思路
定义公式 例：计算=UI P=I2R
比
方程
串：I1=I2 并：I1R1=I2R2
1、两只电阻R1和R2并联时的总电阻为1.5Ω,串 联是的总电阻是8Ω，求这两个电阻？
答：
2、电阻R1与滑动变阻器串联，R2的变阻范围为 0~~50Ω,当P滑倒R2中点时，其电流表的示数为0.8A，当 P滑动R2的最大值时，电流表的示数为0.6A，求电源电压 与R1的阻值？
答：
5、若需30kg40℃的温水，则需用80℃的热水和20℃的凉水 各多少千克混合？（假设无热量损失）
分析 温水是由热水和凉水混合而成，所以温水的质量应等于热水质量和凉水质量之和； 又因为没有热量损失，所以热水放出的热量就等于凉水吸收的热量。
解：设热水质量为m1kg,凉水质量为m2kg,则热水放出的热量为Q放=C水 m1(80-40),凉水吸收的热量为Q吸= C水m2(40-20)，所以有
答：
6、
方程的不同的表达方式
（2） 答：
7、把R1接到电压为U的电路时，其功率为100W，把R1、R2串 联后接到此电路时，R2的功率为16W，求串联后R1的功率？ （R1> R2）
答：
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
11
过程中总电压不变
方程可以是不同的表达方式
答：
分析 甲同学在钢管一端敲击一下时，乙同学听到的两次声音，一次是声音 沿钢管传播的，另一次是声音通过空气传播的，而且传播的距离都等于钢管 的长度。
答：
分析 ：“神舟”六号飞船用铝代替钢，虽然质量减少了，但其体积保持不变， 且质量减少的量就等于相同体积的钢比相同体积的铝多的质量。
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习题2.4,2题(求方程通解) (1) uxx +10 uxy +9 uyy = 0 解:特征方程
dy =1 dx dy =9 dx
λ2 − 10λ + 9 = 0
y = x + C1
(λ − 1)(λ − 9) = 0
ξ = x− y η = 9x − y
y = 9 x + C2
原方程化简为 uξη = 0
t =0
=0
解:设 u(x, t) = v (x, t) + W (x) 代入方程, 可得 4 8 W ′′ − = 0 9 9 W = x2 W x = 0 = 0, W x = π = π 2 4 v tt = v xx (0 < x < π , t > 0) 9 利用叠加原理, 得 v x = 0 = 0, v x =π = 0
8/16
习题3.2第1题
ut = a 2 u xx (0 < x < L, t > 0)
u
x=0
= 0, u
x= L
=0
u t =0 = x( L − x )
解: 固有值问题
nπ 2 固有值 λ n = ( ) L
∞
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0
[1 − ( −1) ] nπ nπ exp(− x) at ) sin( u( x , t ) = 3 ∑ 3 π n =1 L n L 4L
2 ∞ n
1
1
0.5
0
0 1 0.5 0 1 0 0.5
-1 1 0.5 0 1 0 0.5
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⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L 固有值问题I ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0 n 2π 2 nπ λn = 2 X n ( x ) = Bn sin x L L
v
⎛ vk ⎞ λk = ⎜ ⎟ (k = 1,2,·······) ⎝ L⎠ 1 ( k − )π < v k < kπ 2
15/16
⎧ X ′′ + λ X = 0 ⎨ ⎩ X (0) = 0, X (1) + X ′(1) = 0
tan λ = − λ
λ3
·····
λ1
λ2
2.0288 4.9132 7.9787 11.0855
2
u t = 0 = sin x + 2 sin 3 x u x = 0 = 0, u x =π = 0
方程的Fourier解
∞
u( x , t ) = ∑ Bn e
n =1 n
∞
− ( na ) 2 t
sin nx
初始条件
∑B
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
Bn = 0
∴ u( x , t ) = cos(3at ) sin( 3 x )
2/16
⎧1 ， x ∈ [0 , 1] 1 f ( x) = ∑ sin( 2k − 1)πx = ⎨ π k =1 2k − 1 ⎩0 , x ∉ [0 , 1]
4
∞
1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 ∑ 3 nDn sin(nx ) = 0 n =1
Dn = 0
v ( x , t ) = cos 2t × sin 3 x
u( x , t ) = v + W = cos 2t × sin 3 x + x
2
5/16
热传导方程
第一类边界
ut = a u xx (0 < x < π , t > 0)
u( x , t ) = ∑ [C n cos(ant ) + Dn sin(ant )] sin( nx )
⎧0, n ≠ 3 C n = ∫ sin( 3ξ ) sin( nξ )dξ = ⎨ π 0 ⎩1, n = 3 2 1 Dn = ∫0 0 sin(nξ )dξ = 0 nπa 2
π
n =1
u = f (ξ ) + g(η )
u = f ( x − y ) + g(9 x − y )
其中, f 和 g 是任意函数
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例1.分离变量法求解 波动方程定解问题 解:利用公式
∞
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < π , t > 0 ) ⎪ ⎨ u x = 0 = 0, u x = π = 0 ⎪ ⎩ u t = 0 = sin( 3 x ), ut t = 0 = 0
7/16
Cn = 0
L
nπa nπ ∑ L Dn sin( L x ) = x( L − x ) n =1 nπa nπ 2 L
∞
L
Dn =
L∫
0
x ( L − x ) sin
L
xdx
nπ L L nπ ∫0 x( L − x ) sin L xdx = nπ ∫0 ( L − 2 x ) cos L xdx L 2 L nπ L 3 xdx = −2( = 2( ) ∫ sin ) [cos nπ − 1] 0 nπ L nπ 4 L3 Dn = [1 − ( −1) n ] 所以 4 a ( nπ ) n πa nπ 4 L3 ∞ [1 − ( −1) n ] u( x , t ) = t sin sin x 4 ∑ 4 aπ n=1 n L L
固有函数
n = 1,2,……
nπ X n = sin x L
nπ nπ u( x , t ) = ∑ An exp(− at ) sin( x) L L n =1 ∞ 利用初值条件 ∑ An sin( nπ x ) = x( L − x ) L n =1
9/16
nπ 2 L 4 L2 n An = ∫ x ( L − x ) sin xdx = 3 3 [1 − ( −1) ] 0 L L nπ
u t = 0 = 0, ut
解: 固有值问题
nπ 2 固有值 λ n = ( ) L
∞
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0
固有函数
n = 1,2,……
nπ X n = sin x L
nπ nπ nπ u( x , t ) = ∑ [C n cos( at ) + Dn sin( at )]sin( x) L L L n =1 ∞ nπ 利用初值条件 ∑ C n sin( x) = 0 L n =1
cos (π x)
0.2
0.4 x
0.6
0.8
1
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固有值问题V ⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0) = 0, [ X ′ + hX ] x = L = 0 X ( x ) = A cos λ x + B sin λ x 通解: X(0)=0 A=0 X = B sin λ x [ X ′ + hX ] x = L = 0 λ cos λ L + h sin λ L = 0 λ v tan λ L = − 令 v = λ L tan v = − h Lh 2 y
2
( 2n + 1)π X n ( x ) = Bn sin x 2L s in((1+1/2) x)
π
12/16
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L 固有值问题III ⎨ ⎩ X ′( 0 ) = 0, X ( L ) = 0 2 2 ( 2n + 1)π ( 2n + 1) π X n ( x ) = An cos x λn = 2L 4 L2
cos ((1+1/2) π x) 1 0.5 0 -0.5 -1 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 λn = 2 L
2
1 0.5 0 -0.5 -1 0
2
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ′( 0 ) = 0, X ′( L ) = 0 nπ X n ( x ) = An cos x L
v
t =0
= sin 3 x , v t
t =0
=0
4/16
2 2 v ( x , t ) = ∑ [C n cos( nt ) + Dn sin( nt )]sin( nx ) 3 3 n =1
∞
∑C
n =1 ∞
∞
n
sin( nx ) = sin 3 x
⎧0, n ≠ 3 Cn = ⎨ ⎩1, n = 3
1.5 1
0.5
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3/16
例6 P.51
4 8 utt = u xx − ( 0 < x < π , t > 0) 9 9 u x = 0 = 0, u x =π = π 2
u t = 0 = sin 3 x + x 2 , ut
− ( 3a )2 t
B1 = 1, B3 = 2,
( n ≠ 1, 3 )
u( x , t ) = e
− a 2t
sin x + 2e
sin 3 x
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习题3.1第1题(1)
utt = a 2 u xx (0 < x < L, t > 0)
dy =1 dx dy =9 dx
λ2 − 10λ + 9 = 0
y = x + C1
(λ − 1)(λ − 9) = 0
ξ = x− y η = 9x − y
y = 9 x + C2
原方程化简为 uξη = 0
t =0
=0
解:设 u(x, t) = v (x, t) + W (x) 代入方程, 可得 4 8 W ′′ − = 0 9 9 W = x2 W x = 0 = 0, W x = π = π 2 4 v tt = v xx (0 < x < π , t > 0) 9 利用叠加原理, 得 v x = 0 = 0, v x =π = 0
8/16
习题3.2第1题
ut = a 2 u xx (0 < x < L, t > 0)
u
x=0
= 0, u
x= L
=0
u t =0 = x( L − x )
解: 固有值问题
nπ 2 固有值 λ n = ( ) L
∞
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0
[1 − ( −1) ] nπ nπ exp(− x) at ) sin( u( x , t ) = 3 ∑ 3 π n =1 L n L 4L
2 ∞ n
1
1
0.5
0
0 1 0.5 0 1 0 0.5
-1 1 0.5 0 1 0 0.5
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⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L 固有值问题I ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0 n 2π 2 nπ λn = 2 X n ( x ) = Bn sin x L L
v
⎛ vk ⎞ λk = ⎜ ⎟ (k = 1,2,·······) ⎝ L⎠ 1 ( k − )π < v k < kπ 2
15/16
⎧ X ′′ + λ X = 0 ⎨ ⎩ X (0) = 0, X (1) + X ′(1) = 0
tan λ = − λ
λ3
·····
λ1
λ2
2.0288 4.9132 7.9787 11.0855
2
u t = 0 = sin x + 2 sin 3 x u x = 0 = 0, u x =π = 0
方程的Fourier解
∞
u( x , t ) = ∑ Bn e
n =1 n
∞
− ( na ) 2 t
sin nx
初始条件
∑B
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
Bn = 0
∴ u( x , t ) = cos(3at ) sin( 3 x )
2/16
⎧1 ， x ∈ [0 , 1] 1 f ( x) = ∑ sin( 2k − 1)πx = ⎨ π k =1 2k − 1 ⎩0 , x ∉ [0 , 1]
4
∞
1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 ∑ 3 nDn sin(nx ) = 0 n =1
Dn = 0
v ( x , t ) = cos 2t × sin 3 x
u( x , t ) = v + W = cos 2t × sin 3 x + x
2
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热传导方程
第一类边界
ut = a u xx (0 < x < π , t > 0)
u( x , t ) = ∑ [C n cos(ant ) + Dn sin(ant )] sin( nx )
⎧0, n ≠ 3 C n = ∫ sin( 3ξ ) sin( nξ )dξ = ⎨ π 0 ⎩1, n = 3 2 1 Dn = ∫0 0 sin(nξ )dξ = 0 nπa 2
π
n =1
u = f (ξ ) + g(η )
u = f ( x − y ) + g(9 x − y )
其中, f 和 g 是任意函数
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例1.分离变量法求解 波动方程定解问题 解:利用公式
∞
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < π , t > 0 ) ⎪ ⎨ u x = 0 = 0, u x = π = 0 ⎪ ⎩ u t = 0 = sin( 3 x ), ut t = 0 = 0
7/16
Cn = 0
L
nπa nπ ∑ L Dn sin( L x ) = x( L − x ) n =1 nπa nπ 2 L
∞
L
Dn =
L∫
0
x ( L − x ) sin
L
xdx
nπ L L nπ ∫0 x( L − x ) sin L xdx = nπ ∫0 ( L − 2 x ) cos L xdx L 2 L nπ L 3 xdx = −2( = 2( ) ∫ sin ) [cos nπ − 1] 0 nπ L nπ 4 L3 Dn = [1 − ( −1) n ] 所以 4 a ( nπ ) n πa nπ 4 L3 ∞ [1 − ( −1) n ] u( x , t ) = t sin sin x 4 ∑ 4 aπ n=1 n L L
固有函数
n = 1,2,……
nπ X n = sin x L
nπ nπ u( x , t ) = ∑ An exp(− at ) sin( x) L L n =1 ∞ 利用初值条件 ∑ An sin( nπ x ) = x( L − x ) L n =1
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nπ 2 L 4 L2 n An = ∫ x ( L − x ) sin xdx = 3 3 [1 − ( −1) ] 0 L L nπ
u t = 0 = 0, ut
解: 固有值问题
nπ 2 固有值 λ n = ( ) L
∞
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0 ) = 0, X ( L ) = 0
固有函数
n = 1,2,……
nπ X n = sin x L
nπ nπ nπ u( x , t ) = ∑ [C n cos( at ) + Dn sin( at )]sin( x) L L L n =1 ∞ nπ 利用初值条件 ∑ C n sin( x) = 0 L n =1
cos (π x)
0.2
0.4 x
0.6
0.8
1
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固有值问题V ⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ( 0) = 0, [ X ′ + hX ] x = L = 0 X ( x ) = A cos λ x + B sin λ x 通解: X(0)=0 A=0 X = B sin λ x [ X ′ + hX ] x = L = 0 λ cos λ L + h sin λ L = 0 λ v tan λ L = − 令 v = λ L tan v = − h Lh 2 y
2
( 2n + 1)π X n ( x ) = Bn sin x 2L s in((1+1/2) x)
π
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⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L 固有值问题III ⎨ ⎩ X ′( 0 ) = 0, X ( L ) = 0 2 2 ( 2n + 1)π ( 2n + 1) π X n ( x ) = An cos x λn = 2L 4 L2
cos ((1+1/2) π x) 1 0.5 0 -0.5 -1 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 λn = 2 L
2
1 0.5 0 -0.5 -1 0
2
⎧ X ′′ + λ X = 0, 0 < x < L ⎨ ⎩ X ′( 0 ) = 0, X ′( L ) = 0 nπ X n ( x ) = An cos x L
v
t =0
= sin 3 x , v t
t =0
=0
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2 2 v ( x , t ) = ∑ [C n cos( nt ) + Dn sin( nt )]sin( nx ) 3 3 n =1
∞
∑C
n =1 ∞
∞
n
sin( nx ) = sin 3 x
⎧0, n ≠ 3 Cn = ⎨ ⎩1, n = 3
1.5 1
0.5
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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例6 P.51
4 8 utt = u xx − ( 0 < x < π , t > 0) 9 9 u x = 0 = 0, u x =π = π 2
u t = 0 = sin 3 x + x 2 , ut
− ( 3a )2 t
B1 = 1, B3 = 2,
( n ≠ 1, 3 )
u( x , t ) = e
− a 2t
sin x + 2e
sin 3 x
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习题3.1第1题(1)
utt = a 2 u xx (0 < x < L, t > 0)