人教版九年级数学三角形相似讲解

A
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:C`.
∴△ADE≌△A`B`C`
∴△A`B`C`∽△ABC
B
C
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_：__4_。
A
D E F
B
G H I
C
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。 3.如何识别两三角形是否相似?
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
300
450
它们是相似三角形吗？为什么？
A
A′
5 82° 3
82°
B 47°
66
C 10
6
51°
B′
12
C′
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角 的关系？边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
图中共有__3__对相似三角形。
A
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD △AOB ∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD E
B
O F
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE AB AC
A
过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF
AC BC
D
E
∵DBFE是平行四边形 ∴DE=BF
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
B
F
∴△ADE∽△ABC
C
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所得的三角形与原三角形___相__似___.
“A”型
“X”型
A
D
E
O
D
E
B （图1） C
B
（图2）
C
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D
E
D
E
O
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
CB
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
如图已知 AB BC AC，试说明∠BAD=∠CAE.
D
可证DBFE是平行四边形 ∴DE=BF,DE=FC
△ADE≌△EFC DE 1
B
F
BC 2
AD AE DE 1 AB AC BC 2
∴△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
A E C
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
D
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE ,即 50 DE . AC BC 50 30 70
所以, DE 50 70 43.75(cm). 50 30
C B
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC B`
C`
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
AD DE AE
解 AB BC AC AD DE AE
A E
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴∠BAC=∠DAE
D C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
D
B F
G
O
E
C
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
E
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个
三角形, 叫做相似三角形
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
A
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F B
AB AC BC DE DF EF
D
C
E F
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？
AB AC BC
=
=
AD AE DE
DE ∥ BC
D B
A E C
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC 2