中南大学高等数学下期末题及答案

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○○

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………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封

线…………

一、填空题（每小题分，总计分）

、点(3,1,1)A -到平面:2340x y z π-+-=的距离为

（ ）

、曲面4222

2

-+=y x z 在点()1,1,0-处的法线方程为

（ ）

、设Ω是由曲面2

2

z x y =+及平面1z =围成的闭区域，则

(),,d d d f x y z x y z Ω

⎰⎰⎰

化为顺序为z y x →→的三次积分为（ ）

、设∑是xoz 面的一个闭区域xz D , 则曲面积分(),,d f x y z S ∑

⎰⎰可化为二重积分

为（ ）

、微分方程2

1

2y x y

'=-满足初始条件()10y =的解为（ ）

--

=1绕z 轴旋转而成的曲面为（ ）

152=z ； （）15

42

22=+-z y x ； 152=z ； （）()15

42

2=+-z y x D 内具有二阶偏导数222222,,,

f f f f

x y x y y x

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，则（ ） 2f

y x

∂∂∂； （）则(,)f x y 在区域D 内必连续； D 内必可微； () 以上都不对 D 由2y x =及2y x =-所围成，则化为二次积分后的结果为I = ； （）⎰⎰-+21

2

2y y

xydx dy ；

⎰⎰

-+41

2

x

x xydy dx （）⎰⎰-+21

2

2y y

xydy dx

2=介于点(0,2)到点(2,0)的一段，则

=⎰

( )

（）; ; （）2. ()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 则（

）.

（）12y y -也是方程的解

（）122y y -也是方程的解

三、（分）设平面∏:2450

x y z

---=,且直线

0 :

30

x y b

l

x ay z

++=

⎧

⎨

+--=⎩

在平面∏上，求,a b的值.

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………

…

评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理…………评卷密封线…………

四、（分）

已知函数(,)f x y x y xy =++，曲线22:3C x y xy ++=，C 上的最大方向导数.

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五、（分）计算由旋转抛物面226z x y =--及锥面

z =所围成的立体的体积.

六、求解下列各题（每题分，共分）

{},1d d xy x y ，其中{}(,)02,02D x y x y =≤≤≤≤.

sin )()y y dx x e dy +++，其中L 是从(1,0)A 沿y =到(1,0)B -的

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七、（分）计算I xydydz yzdzdx xzdxdy ∑

=

++⎰⎰，其中∑是平面

0,0,0,2x y z x y z ===++=所围空间区域整个边界曲面的外侧.

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…

…

…

…

评卷

密封

线

…

…

……

密

封

线内

不

要

答题，密封线外不准

填写考生信

息，

违者

考

试成

绩

按

分处

理

……

…

…评卷密

封线…

…

……

具有二阶连续导数，(cos )x

z f e y =满足2cos )x x

y e ，若(0)0,(0)0f f '==， ()f u 的表达式．

(),()3y x b z x a x b =-+=-+-，代入平面∏方5,2a b =-=-.

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解法二：过直线l 的平面束方程设为3()0x ay z x y b λ+--+++= （或(3)0x y b x ay z λ++++--=），即

(1)()30x a y z b λλλ+++--+= （或(1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=）， 由题意知

11241a λλ++-==--（或11241

a λλλ

++-==

--）， 解得5,1a λ=-=，将5,1a λ=-=及平面∏上的点(1,2,5)-代入平面束方程，求得

2b =-.

四．解：最大方向导数即为梯度的模，

(,)(1,1),

(,)gradf x y y x gradf x y =++=令2222(,,)(1)(1)(3)F x y x y x y xy λλ=++++++-,由

222(1)(2)0

2(1)(2)030x y F x x y F y y x x y xy λλ=+++=⎧⎪

=+++=⎨⎪++-=⎩

，解得1211,,,1112x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨

⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，

比较：(1,1)gradf =(2,1)(1,2)3gradf gradf -=-=，

(1,1)0gradf --=，所以(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为.

五．

解法一： 2

622

20

32

(6)3

xy

r r

D V dv rdrd dz d r r rdr π

θθπ-Ω

===--=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰. 解法二：

1

2

26262120202832

(6)833z z

D D V V V dz dxdy dz dxdy z dz z dz πππππ=+=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

六．解： .

1

2

3

D D D I dxdy dxdy xydxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰