北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题

数值分析模拟卷A

一、填空（共30分，每空3分）

1 设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.

3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=2

1,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.

4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.

5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当

其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.

二、（14分）设4

9,1,41,)(21023

====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4

9

,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.

（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.

三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3

241+

=+， （1） 证明R x ∈∀0均有•∞→=x x n x lim （•x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过

，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00

)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.

六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.

（2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.

七、（8分） 方程组

，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方

程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .

其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.

数值分析模拟卷B

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；

2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；

4. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，

=)(1A Cond ______________________ ；

5. 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为

_________，进行二步后根所在区间为_________________； 6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+045

11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；

7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈1

11100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其

求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.

8. 求积公式)]2()1([2

3)(3

0f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。

二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足

3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，

并写出插值余项。

四、（12分）线性方程组

⎩⎨⎧=+=-2

2112122b x x b x x ρρ （1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设2=ρ，给定松弛因子21

=

ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论

收敛性。