北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航数值分析大作业二(纯原创,高分版)
(R_5 ,I_5 )=(-1.493147080915e+000, 0.000000000000e+000)
(R_6 ,I_6 )=(-9.891143464723e-001, 1.084758631502e-001)
-0.8945216982
-0.0993313649
-1.0998317589
0.9132565113
-0.6407977009
0.1946733679
-2.3478783624
2.3720579216
1.8279985523
-1.2630152661
0.6790694668
-0.4672150886
6.220134985374e-001
-1.119962139645e-001
-2.521344456568e+000
-1.306189420531e+000
-3.809101150714e+000
8.132800093357e+000
-1.230295627285e+000
-6.753086301215e-001
而其本质就是
1.令 以及最大迭代步数L；
2.若m≤0，则结束计算，已求出A的全部特征值，判断 或 或m≤2是否成立，成立则转3，否则转4；
3.若 ，则得一个特征值 ，m=m-1，降阶；若 ，则计算矩阵：
的特征值得矩阵A的两个特征值，m=m-2，降阶，转2.；
4.若k≤L，成立则令
k=k+1，转2，否则结束计算，为计算出矩阵A的全部特征值；
北航数值分析实验报告
北航数值分析实验报告篇一：北航数值分析报告第一大题《数值分析》计算实习报告第一大题学号：DY1305姓名：指导老师：一、题目要求已知501*501阶的带状矩阵A，其特征值满足?1?2...?501。
试求：1、?1，?501和?s的值；2、A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik（k=1，2，...，39）；3、A的（谱范数）条件数c nd(A)2和行列式de tA。
二、算法设计方案题目所给的矩阵阶数过大，必须经过去零压缩后进行存储和运算，本算法中压缩后的矩阵A1如下所示。
?0?0?A1??a1??b??c0b a2bcc bb c............c bb ccb a500b0a 3...a499c?b??a501??0?0??由矩阵A的特征值满足的条件可知?1与?501之间必有一个最大，则采用幂法求出的一个特征值必为其中的一个：当所求得的特征值为正数，则为?501；否则为?1。
在求得?1与?501其中的一个后，采用带位移的幂法则可求出它们中的另一个，且位移量即为先求出的特征值的值。
用反幂法求得的特征值必为?s。
由条件数的性质可得，c nd(A)2为模最大的特征值与模最小的特征值之比的模，因此，求出?1，?501和?s的值后，则可以求得c nd(A)2。
北航数值分析实习题目第一题
《数值分析B》大作业一ZY1515105 樊雪松一．算法设计方案：1.矩阵A的存储与检索将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] 。
在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是：A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j。
2.求解λ1，λ501，λs1、首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。
λmin即为λs；如果λ max>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。
2、使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ’max，如果λ max>0,则λ1=λ’max+p；如果λmax<0,则λ501=λ’max+p。
3、求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40 的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。
使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λ ik。
4、求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式detA。
cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。
求解矩阵A的行列式，可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。
二．源程序#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>//定义A中元素double C[5][501];double a[501];double b;double c;//声明所有函数void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) ;//压缩矩阵函数double mifa(double C[5][501]); //幂法函数void daizhuangLU(double A[5][501]); //带状矩阵的LU分解double fanmifa(double C[5][501]);//反幂法函数//最值函数int max2(int x,int y);int max3(int x,int y,int z);int min(int x,int y);//最值函数int max2(int x,int y) //求2个数的最大值{int z;z=x>y?x:y;return(z);}int max3(int x,int y,int z) //求3个数的最大值{int w;w = z > max2(x,y)? z:max2(x,y);return(w);}int min(int x,int y) //求2个数的最小值{int z;z=x>y?y:x;return(z);}//将矩阵A压缩存储在矩阵C中void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) {int i;for(i=0;i<=500;i++){if(i>=2) C[0][i]=c;else C[0][i]=0;if(i>=1) C[1][i]=b;else C[1][i]=0;if(i<=499) C[3][i]=b;else C[3][i]=0;if(i<=498) C[4][i]=c;else C[4][i]=0;C[2][i]=a[i];}}//幂法函数：用幂法求矩阵模最大的特征值double mifa(double C[5][501]){double u[501];double y[501]={0},η=0;double β,βk=0;double ε=1;// ε为精度double sumu=0,sumAY=0;int i,j,k=1; //k为循环次数for (i=0;i<=500;i++) //取任一非零向量u0u[i] = 1.0;while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηsumu=sumu+u[i]*u[i];η=sqrt(sumu);sumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求u(k)的各分量u[i]{for(j=max2(0,i-2);j<=min(i+2,500);j++)sumAY=sumAY+C[i-j+2][j]*y[j];u[i]=sumAY;sumAY=0;}//求幂法中的βkβ=βk; //将β(k-1)放在β中βk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求βkβk=βk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(βk-β)/fabs(βk);k++;}return(βk);}//带状矩阵的LU分解void daizhuangLU(double A[5][501]){int i,j,k,m,t;double sumukj=0,sumlik=0;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=min(k+2,500);j++) //求ukj并存在A[k-j+2][j]中{for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=k-1;t++)sumukj=sumukj+A[k-t+2][t]*A[t-j+2][j];A[k-j+2][j]=A[k-j+2][j]-sumukj;sumukj=0;}if(k<500)for(i=k+1;i<=min(k+2,500);i++) //求lik并存在A[i-k+2][k]中{for(m=max3(0,i-2,k-2);m<=k-1;m++)sumlik=sumlik+A[i-m+2][m]*A[m-k+2][k];A[i-k+2][k]=(A[i-k+2][k]-sumlik)/A[2][k];sumlik=0;}}}//反幂法函数：用反幂法求矩阵的模最小的特征值double fanmifa(double M[5][501]){double u[501];double y[501]={0},x[501],η=0;double fβ,fβk=0;double ε=1;double fsumu=0,sumLX=0,sumUu=0;int i,t,m,k=1;for(i=0;i<=500;i++) //任取一非零向量u0u[i]=1;daizhuangLU(M); //对A进行LU分解A=LU，Au(k)=y(k-1)等价于Uu(k)=x和Lx=y(k-1) while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηfsumu=fsumu+u[i]*u[i];η=sqrt(fsumu);fsumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求中间向量xx[i]=y[i];for(i=1;i<=500;i++){for(t=max2(0,i-2);t<=i-1;t++)sumLX=sumLX+M[i-t+2][t]*x[t];x[i]=x[i]-sumLX;sumLX=0;}u[500]=x[500]/C[2][500]; //求u(k)的各分量u[i]for(i=499;i>=0;i--){for(m=i+1;m<=min(i+2,500);m++)sumUu=sumUu+M[i-m+2][m]*u[m];u[i]=(x[i]-sumUu)/M[2][i];sumUu=0;}//求反幂法中的βkfβ=fβk; //将fβ(k-1)放在fβ中fβk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求fβkfβk=fβk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(1/fβk-1/fβ)/fabs(1/fβk);k++;}return(1/fβk);}//主函数void main(){int i,j,k;double λ1,λ501,λm,λm1,λm2,λs,λ,p;double cond,detA=1;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);b=0.16;c=-0.064;YaSuoJZ(C,a,b, c); //将矩阵A中元素压缩存储在C中λm1=mifa(C); //对A用幂法求出模最大的特征值λm1λs=fanmifa(C); //对A用反幂法求出模最小的特征值λsYaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(j=0;j<=500;j++) //对A进行平移，平移量为λm1，平移后矩阵元素压缩存储在C中C[2][j]=C[2][j]-λ?m1;λm=mifa(C);λm2=λm1+λm; //λm1与λm2是矩阵的最大最小特征值if(λm1>λm2) //判断A最大最小特征值{λ501=λm1;λ1=λm2;}else{λ501=λm2;λ1=λm1;}printf("数值分析计算实习第一题\n\n ZY1515105 樊雪松\n\n （1）A的最大最小以及模最小的特征值\n");printf("A的最小特征值λ1=%.13e\n",λ1);printf("A的最大特征值λ501=%.13e\n",λ501);printf("A的模最小特征值λs=%.13e\n",λs);printf("\n（2）与数μk最接近的特征值\n");printf("\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(k=1;k<=39;k++){p=λ1+k*(λ501-λ1)/40;for(j=0;j<=501;j++)C[2][j]=C[2][j]-p;λ=fanmifa(C)+p;printf("μ%d=%.13e λ%d=%.13e\n",k,p,k,λ);YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中}printf("\n（3）计算A的条件数cond(A)和行列式detA\n");cond=λm1/λs;daizhuangLU(C);for(j=0;j<=500;j++)detA=detA*C[2][j];printf("A的条件数cond(A)=%.13e\n",cond);printf("A的行列式detA=%.13e\n",detA);getch();}三、运行结果数值分析计算实习第一题ZY1515105 樊雪松（1）A的最大最小以及模最小的特征值A的最小特征值λ1=-1.0700113615018e+001A的最大特征值λ501=9.7246340987773e+000A的模最小特征值λs=-5.5579107942295e-003（2）与数μk最接近的特征值要求接近的值实际求得的特征值μ1=-1.0189494922173e+001 λ1=-1.0182934033146e+001 μ2=-9.6788762293280e+000 λ2=-9.5857074250676e+000 μ3=-9.1682575364831e+000 λ3=-9.1726724239280e+000 μ4=-8.6576388436383e+000 λ4=-8.6522840078976e+000 μ5=-8.1470201507934e+000 λ5=-8.0934838086753e+000 μ6=-7.6364014579485e+000 λ6=-7.6594054076924e+000 μ7=-7.1257827651036e+000 λ7=-7.1196846486912e+000 μ8=-6.6151640722588e+000 λ8=-6.6117643393973e+000 μ9=-6.1045453794139e+000 λ9=-6.0661032265951e+000 μ10=-5.5939266865690e+000 λ10=-5.5851010526284e+000 μ11=-5.0833079937241e+000 λ11=-5.1140835298122e+000 μ12=-4.5726893008792e+000 λ12=-4.5788721768651e+000 μ13=-4.0620706080344e+000 λ13=-4.0964709262599e+000 μ14=-3.5514519151895e+000 λ14=-3.5542112157508e+000 μ15=-3.0408332223446e+000 λ15=-3.0410900181333e+000 μ16=-2.5302145294997e+000 λ16=-2.5339703111304e+000 μ17=-2.0195958366549e+000 λ17=-2.0032307695635e+000μ18=-1.5089771438100e+000 λ18=-1.5035576112274e+000μ19=-9.9835845096511e-001 λ19=-9.9355860600754e-001μ20=-4.8773975812023e-001 λ20=-4.8704267388496e-001μ21=2.2878934724645e-002 λ21=2.2317362495748e -002μ22=5.3349762756952e-001 λ22=5.3241747420686e -001μ23=1.0441163204144e+000 λ23=1.0528989626935e+000μ24=1.5547350132593e+000 λ24=1.5894458818809e+000μ25=2.0653537061042e+000 λ25=2.0603304602743e+000μ26=2.5759723989490e+000 λ26=2.5580755970728e+000μ27=3.0865910917939e+000 λ27=3.0802405093071e+000μ28=3.5972097846388e+000 λ28=3.6136208676923e+000μ29=4.1078284774837e+000 λ29=4.0913785104506e+000μ30=4.6184471703285e+000 λ30=4.6030353782791e+000μ31=5.1290658631734e+000 λ31=5.1329242838984e+000μ32=5.6396845560183e+000 λ32=5.5949063480833e+000μ33=6.1503032488632e+000 λ33=6.0809338570269e+000μ34=6.6609219417080e+000 λ34=6.6803540921116e+000μ35=7.1715406345529e+000 λ35=7.2938774481266e+000μ36=7.6821593273978e+000 λ36=7.7171117142356e+000μ37=8.1927780202427e+000 λ37=8.2252200140502e+000μ38=8.7033967130876e+000 λ38=8.6486660651935e+000μ39=9.2140154059324e+000 λ39=9.2542003445750e+000（3）计算A 的条件数cond(A)和行列式detAA 的条件数cond(A)=1.9252042739022e+003A 的行列式detA=2.7727861417521e+118四、结果分析设A 的n 个线性无关的特征向量为1x ，2x ,…,n x ，其相对应的特征值满足的关系为n λλλλ≥≥≥> 321。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
数值分析报告题库及问题详解
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+x Bx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<;10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=, 011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=. 3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
北航数值分析报告大作业第八题
北京航空航天大学数值分析大作业八学院名称自动化专业方向控制工程学号学生姓名许阳教师孙玉泉日期2014 年11月26 日一．题目关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++=-+++79.0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。
表A-1 二维数表1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式∑∑===k i kj s r rs y x c y x p 00),(要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度∑∑==-≤-=100207210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。
2. 计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。
二．算法设计（一）总体思路1.题目要求∑∑===ki kj s r rs y x c y x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。
),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。
2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。
（二）算法实现1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的f (x , y )值可由方程组及二维数表得到。
北航数值分析大作业3(学硕)
《数值分析》作业三院系：机械学院学号：SY1307145姓名：龙安林2013年11 月24 日1. 算法设计1) 开始；2) 计算数组[][]0.08,0.050.5,0,1,2,,10;0,1,2,,20x i i y j j i j ==+=⋯=⋯（）； 3) 将点[][],0,1,2,,10;0,1,2,,20x i y j i j =⋯=⋯（）,（）带入非线性方程组： 0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ 得出相应的点,t u （）； 4) 选择拉格朗日插值法，将,t u （）作为中间变量，在题目所给出的二维数表中进行二次代数插值，得到[][],)(z f x i y j =；5) 输出数表：[][][][]()()0,1,2,,10;0,1,2,,20,,,x i y j f x i y j i j =⋯=⋯； 6) 令k=0；7) 以()()(),,,0,1,r r r s x x y y r s ϕψ===…,k 为拟合基函数，将上述数表作为拟合条件，对于给定的k 值，得到矩阵B 、G 、U ；8) 令-1-1(),()T T T A B B B U C AG G G ==，用选主元的LU 分解法分别计算矩阵A 和C 的各列，最后得到系数矩阵C ；9) 以公式：()()()00,k ki j rs r i s j s r p x y C x y ϕψ===∑∑计算每个点的拟合值；10) 利用公式：()()()2102000,,i j i j i j f x y p x y σ===-∑∑计算拟合误差，当σ≤10-7时，循环结束，否则k=k+1，转（6）；11) 令[][]()**0.10.50.2 1,2,81,2,5x i i y j j i j ==+=⋯=⋯；，；，；12) 计算()()()******,,,,,i j i j i jf x y p x y delta x y ，输出数表，观察逼近效果； 13) 结束。
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题数值分析模拟卷A一、填空（共30分，每空3分）1 设-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则?=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为方程的根）；（2）取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分）设有常微分方程的初值问题=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组b Ax ＝，其中= ??=21,13.021b A ，（1）试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷B填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知???? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：?-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈?是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中I A B λ-=(I 为单位矩阵），对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：（1）作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北航数电2015试题及答案
匕航数电2015试题及答案数字电子技术基础（A卷）（无答案）解答下列问题（共40分，每小题5分）1. 十进制数X = 117，其ASCII码表示为：__________________ 。
在8位机器中，［X］补= __________________ ，［-X］补= __________________ 。
2. 已知逻辑函数：F AC BC A（B CD），直接用反演规则写出其反函数和对偶函数3. 用卡诺图化简逻辑函数 F m4(0,6,7,12,14)d4(1,2,8,101315)4. 用OC门驱动发光二极管电路如图，若 V F=2V, l F=20mA试完善电路并计算电阻 R=?5. 画出图示电路的输出波形IIIIII6. 主-从JK触发器，已知CP J、K信号波形如图示，画出输出波形（初始状态为0）7. 分析函数F AB ABC所组成的电路存在何种险象8. 图示电路中触发器:建立时间t su= 20ns，保持时间t h = 5ns，传输迟延时间t pdcp-Q,/Q = 30ns，门 G迟延t pd G= 10ns，时钟脉冲F max = ?逻辑函数F(A,B,C) ABC BC AC (本题共14分，每小题7分) 1.用3-8译码器及适当门电路实现。
2.用“四选一”数据选择器及适当门电路实现Q00 1 A B/0 A/1 B C/0 A/0 C C/0 B/0 D E/0 D/1 EC/0D/0三. 分析下列电路所实现的逻辑功能（本题共16分，每小题8分）四. 某同步时序系统的原始状态表如图示（本题 15分）1. 用隐含表法化简；2. 自然序编码；3. 用JK 触发器及适当门设计电路;4. 检查是否可以自启动。
1.由2-5-10进制异步计数器构成的电路。
2.由74LS163构成计数器电路。
A oA 1八选一数据选择器ADDDD S DBD S D数字电子技术基础（A 卷）•、填空题（本大题共22分）1、 （本小题 3分）十进制数 126,对应8421BCD码 __________ ，二进制数 _____________ ，十六进 制数 _______________ 。
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
北航数值分析大作业第二题
“数值分析“计算实习大作业第二题——SY1415215孔维鹏一、计算说明本程序采用带双步位移的QR方法求解矩阵A的所有特征值，然后采用反幂法求解矩阵A的实特征值对应的特征向量。
在采用带双步位移的QR方法求解特征值时，对教材上所提供的具体算法作稍微的改动，以简化程序，具体算法如下所示：1、计算出A拟上三角化后的矩阵，给定精度水平和最大迭代次数L；2、记，令k=1，m=n；3、如果，则可直接计算出最后1或2个特征值，转8，否则转4；4、如果，则可得一个特征值，置m=m-1；转3，否则转5；5、如果，则可得两个特征值，置m=m-2；转3，否则转6；6、记，计算7、k=k+1,转38、A的全部特征值已经求出，停止计算。
二、计算源程序（FORTRAN）PROGRAM SY1415215_2PARAMETER (N=10)DIMENSION A(N,N),A1(N,N),A2(N,N),C(2,N),Q(N,N),R(N,N),CR(N),CM(N)!C为存储特征值的数组,1为实部，为虚部REAL(8) A,A1,A2,C,Q,R,CME=1E-12 !精度水平L=1000 !迭代最大次数OPEN(1,FILE='数值分析大作业第二题计算结果.TXT')DO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENA(I,J)=*COS(I+*J)ELSEA(I,J)=SIN*I+*J)ENDIFENDDOENDDOA1=AWRITE(*,"('矩阵A为：')")WRITE(1,"('矩阵A为：')")DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") A(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") A(I,J)ENDDOWRITE(*,"(' ')")WRITE(1,"(' ')")ENDDO!使用矩阵的拟上三角化的算法将矩阵A化为拟上三角矩阵A（n-1）CALL HESSENBERG(A,N)WRITE(*,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')")WRITE(1,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')")DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") A(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") A(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDO!计算对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得矩阵A2=ACALL QRD(A2,N,Q,R)WRITE(*,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：')") WRITE(1,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：')") DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") Q(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") Q(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDOWRITE(*,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：')") WRITE(1,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：')") DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") R(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") R(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDO!使用带双步位移的QR方法求解矩阵A（n-1）的特征值K=1M=NDO WHILE(K<=L)IF(M<=2) THENIF(M==1) THENC(1,M)=A(M,M)ELSE IF(M==2) THENCALL CALCUS(A,N,M,C)ENDIFEXITELSE IF(ABS(A(M,M-1))<E) THENC(1,M)=A(M,M)M=M-1ELSE IF(ABS(A(M-1,M-2))<E) THENCALL CALCUS(A,N,M,C)M=M-2ELSECALL CALM(A,M,N)ENDIFK=K+1ENDDOWRITE(*,"('矩阵A的全部特征值为：')")WRITE(1,"('矩阵A的全部特征值为：')")DO J=1,NWRITE(*,",'+',,'i')") C(1,J),C(2,J)WRITE(1,",'+',,'i')") C(1,J),C(2,J)ENDDO!使用反幂法求解A的相应于实特征值的特征向量J=1DO I=1,NIF(C(2,I)==0)THENCR(J)=C(1,I)J=J+1ENDIFENDDOJC=J-1WRITE(*,"('矩阵A的实特征值为：')")WRITE(1,"('矩阵A的实特征值为：')")DO I=1,JCWRITE(*,"") CR(I)WRITE(1,"") CR(I)ENDDODO II=1,JCDO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENA(I,J)=A1(I,J)-CR(II)ELSEA(I,J)=A1(I,J)ENDIFENDDOENDDOCALL INPOVERMETHOD(A,N,CM)WRITE(*,"('与实特征值',,'对应的特征向量为：')") CR(II) WRITE(1,"('与实特征值',,'对应的特征向量为：')") CR(II) DO I=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") CM(I)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") CM(I)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDOCLOSE(1)END!***************拟上三角化子函数*************************！SUBROUTINE HESSENBERG(A,N)DIMENSION A(N,N),P(N),Q(N),W(N),U(N),AT(N,N)REAL(8) A,P,Q,W,U,ATREAL(8) S0,S1,S2,S3,S4,TDO L=1,N-2JUDGE=0DO I=L+2,NIF(A(I,L)/=0) THENJUDGE=1EXITENDIFENDDOIF(JUDGE==0) THENA=ACYCLEELSE IF(JUDGE/=0) THEN!计算DRS0=0DO I=L+1,NS0=S0+A(I,L)**2ENDDODR=SQRT(S0)!计算CRIF(A(L+1,L)==0)THENCR=DRELSECR=-SGN(A(L+1,L))*DRENDIF!计算HRHR=CR**2-CR*A(L+1,L)!给u赋值IF(I<L+1) THENU(I)=0ELSE IF(I==L+1) THEN U(I)=A(I,L)-CRELSE IF(I>L+1) THEN U(I)=A(I,L)ENDIFENDDO!计算PDO I=1,NDO J=1,NAT(I,J)=A(J,I)ENDDOENDDODO I=1,NS1=0DO J=1,NS1=S1+AT(I,J)*U(J)ENDDOP(I)=S1/HRENDDO!计算QDO I=1,NS2=0DO J=1,NS2=S2+A(I,J)*U(J)ENDDOQ(I)=S2/HRENDDO!计算TS3=0DO I=1,NS3=S3+P(I)*U(I)ENDDOT=S3/HR!计算WDO I=1,NW(I)=Q(I)-T*U(I)!计算A（r+1）DO I=1,NDO J=1,NA(I,J)=A(I,J)-W(I)*U(J)-U(I)*P(J)ENDDOENDDOENDIFENDDORETURNEND!***************符号函数子程序*****************！FUNCTION SGN(X)REAL(8) XIF(X>0) THENSGN=1ELSE IF(X<0) THENSGN=-1ELSE IF(X==0) THENSGN=0ENDIFEND!*********计算二阶子阵特征值s1，s2子函数*******！SUBROUTINE CALCUS(X,N,M,Y)DIMENSION X(N,N),Y(2,N)REAL(8) A,B,C,D,X,YA=1C=X(M-1,M-1)*X(M,M)-X(M-1,M)*X(M,M-1)B=-(X(M-1,M-1)+X(M,M))D=B**2-4*CIF(D>=0) THENY(1,M)=(-B-SQRT(D))/2Y(1,M-1)=(-B+SQRT(D))/2ELSEIF(D<0) THENY(1,M)=-B/2Y(1,M-1)=-B/2Y(2,M)=-SQRT(-D)/2Y(2,M-1)=-SQRT(-D)/2ENDIFRETURNEND!*********计算Mk，Ak+1子函数************！SUBROUTINE CALM(A,M,N)DIMENSION A(N,N),MK(M,M),X(M,M),QK(M,M),RK(M,M),S1(M,M),S2(M,M),QKT(M,M) REAL(8) A,MK,X,QK,RK,QKTREAL(8) S0,S1,S2DO I=1,MDO J=1,MIF(I==J) THENX(I,J)=1ELSEX(I,J)=0ENDIFENDDOENDDOS=A(M-1,M-1)+A(M,M)T=A(M-1,M-1)*A(M,M)-A(M,M-1)*A(M-1,M)DO I=1,MDO J=1,MS0=0DO K=1,MS0=S0+A(I,K)*A(K,J)ENDDOMK(I,J)=S0-S*A(I,J)+T*X(I,J)ENDDOENDDO!对Mk做QR分解CALL QRD(MK,M,QK,RK)DO I=1,MDO J=1,MQKT(I,J)=QK(J,I)ENDDOENDDODO I=1,MDO J=1,MS1(I,J)=0DO K=1,MS1(I,J)=S1(I,J)+QKT(I,K)*A(K,J)ENDDOENDDOENDDOA=S1DO I=1,MDO J=1,MS2(I,J)=0DO K=1,MS2(I,J)=S2(I,J)+A(I,K)*QK(K,J)ENDDOENDDOENDDOA=S2RETURNEND!************QR分解子程序***************！SUBROUTINE QRD(A,N,Q,R)DIMENSION A(N,N),AT(N,N),Q(N,N),U(N),W(N),P(N),R(N,N) REAL(8) A,AT,Q,U,W,P,RREAL(8) DR,S0,CR,HR,S1,S2DO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENQ(I,J)=1ELSEQ(I,J)=0ENDIFENDDOENDDODO L=1,N-1JUDGE=0DO I=L+1,NIF(A(I,L)/=0) THENJUDGE=1EXITENDIF!A(I,L)中有一个不为零,判断条件为真，跳出循环转ENDDOIF(JUDGE==0) THENQ=QA=ACYCLE!A(I,L)全为零，结束本循环，进入下一个ELSE IF(JUDGE/=0) THEN!计算DRS0=0DO I=L,NS0=S0+A(I,L)**2ENDDODR=SQRT(S0)!计算CRIF(A(L,L)==0)THENCR=DRELSECR=-SGN(A(L,L))*DRENDIF!计算HRHR=CR**2-CR*A(L,L)!给u赋值DO I=1,NIF(I<L) THENU(I)=0ELSE IF(I==L) THENU(I)=A(I,L)-CRELSE IF(I>L) THENU(I)=A(I,L)ENDIFENDDO!计算WDO I=1,NS1=0DO J=1,NS1=S1+Q(I,J)*U(J)ENDDOW(I)=S1ENDDO!计算Q（r+1）DO I=1,NDO J=1,NQ(I,J)=Q(I,J)-W(I)*U(J)/HRENDDOENDDO!计算PDO I=1,NDO J=1,NAT(I,J)=A(J,I)ENDDOENDDODO I=1,NS2=0DO J=1,NS2=S2+AT(I,J)*U(J)ENDDOP(I)=S2/HRENDDO!计算A（r+1）DO I=1,NDO J=1,NA(I,J)=A(I,J)-U(I)*P(J)ENDDOENDDOENDIFENDDOQ=QR=ARETURNEND!*************运用反幂法求解矩阵A实特征值的特征向量***********！SUBROUTINE INPOVERMETHOD(A,N,Y)DIMENSION A(N,N),U(N),Y(N),U1(N,N),L1(N,N)REAL(8) E,Z,Z1,Z2,S1,S2,BREAL(8) A,U,Y,U1,L1U(I)=1ENDDO!任取非零向量UCALL DETA(A,N,U1,L1)Z2=EIZ1=E=1K=1DO WHILE (E>1E-12)S1=0DO I=1,NS1=S1+U(I)**2ENDDOB=SQRT(S1) !1DO I=1,NY(I)=U(I)/BENDDO!2CALL DOOLITTLE(U1,L1,Y,N,U) !3利用DOOLITTLE分解法法求解Au=yS2=0DO I=1,NS2=S2+Y(I)*U(I)ENDDOZ1=Z2Z2=S2 !4E=ABS(1/Z2-1/Z1)/ABS(1/Z2) !判断是否满足精度K=K+1ENDDORETURNENDSUBROUTINE DOOLITTLE(U,L,B1,N,X)DIMENSION B(N),U(N,N),X(N),Y(N),B1(N)REAL(8) L(N,N)REAL(8) B,U,X,Y,B1REAL(8) S1,S2,S3,S4B=B1Y(1)=B(1)S3=0DO M=1,I-1S3=S3+L(I,M)*Y(M)ENDDOY(I)=B(I)-S3ENDDOX(N)=Y(N)/U(N,N)DO I=N-1,1,-1S4=0DO M=I+1,NS4=S4+U(I,M)*X(M)ENDDOX(I)=(Y(I)-S4)/U(I,I)ENDDORETURNENDSUBROUTINE DETA(A1,N,U,L) DIMENSION A(N,N),U(N,N),A1(N,N) REAL(8) L(N,N)REAL(8) X,S1,S2REAL(8) A,U,A1X=1A=A1!对矩阵A进行Doolittle分解DO K=1,NDO J=K,NS1=0DO M=1,K-1S1=S1+L(K,M)*U(M,J)ENDDOU(K,J)=A(K,J)-S1A(K,J)=U(K,J)ENDDOIF (K==N) THENEXITELSEDO I=K+1,NS2=0DO M=1,K-1S2=S2+L(I,M)*U(M,K)ENDDOL(I,K)=(A(I,K)-S2)/U(K,K)A(I,K)=L(I,K)ENDDOENDIFENDDORETURNEND三、计算结果矩阵A为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +01拟上三角化后矩阵A（n-1）为：+00 +01 +00 +00 +01 +00 +00 +00+01 +01 +01 +00 +00 +01 +00 +01 +00 +00+01 +01 +01 +00 +01 +00 +00 +00 +00+01 +01 +01 +01 +00 +00 +00 +00+01 +00 +00 +00 +00 +00+00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00+00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00+00 +00 +00+00 +00对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：+01 +01 +01 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +01 +01 +00 +01 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +01 +01 +00 +00 +00+00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +01 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00矩阵A的全部特征值为：+01+ +00i+01++00i+01++00i+01+ +00i+01+ +00i+00++00i+00++00i+00+ +00i+00+ +00i+ +00i矩阵A的实特征值为：+01+01+01+00+00与实特征值 +01对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值 +01对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值+01对应的特征向量为：+00 +00 +00与实特征值 +00对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00与实特征值 +00对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00。
北航数值分析复习试题
数值分析一、单项选择题（共20分,每小题2分）1-110=11=12=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ） A.2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101112(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()111012(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()121110(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101211(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ 1-210=11=12=，用Lagranage为（ ）精确到小数点后4位。
A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.72271-3、已知(1 2 3 4)TX =，则向量X 的21, , Xx x ∞的值分别是：（ ）B. -9，212,7C. 4,5,6D. 9,4,71-4、设 2121A --⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ）A. 4B. -9，C.4,5,6D. 9,4,71-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ）A. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ B. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ C. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏ D. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏1-6、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++47401815622189622315694962424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）A. 1211213321B.1613216241C.16332202102 D.12147165511-7、对方程组的系数矩阵123412312341346262414535x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=-⎨++-=⎪--+=-⎩进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ）A.1111363111261131-- B. 1111363111569171--C.111136611151091371-- D. 111166311223611121--1-8、1、已知642()1f x x x x =+-+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,6,10,14,18,22,26,30]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-9、1、已知64()f x x x =+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,4,6,8,10,12,14]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对1-11、对线性方程组1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散B. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-12、对线性方程组1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ），则 B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-13、设线性方程组为1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ），则(Ⅰ) 2311(1)()()1(1)()2(1)()311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩(Ⅱ) 2311(1)()()1(1)(1)2(1)(1)311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩A.(Ⅰ)和(Ⅱ)B. (Ⅱ)和(Ⅰ)C.(Ⅰ)和(Ⅰ)D. (Ⅱ)和(Ⅱ)1-14、已知*x 是()f x 的 (2)m m ≥重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）1(). ()k k k k f x A x x mf x +=-' 10(). ()k k k f x B x x mf x +=-'111(). ()()()k k k k k k k f x C x x x x f x f x +--=--- 111()(). ()()k k k k k k k f x f x D x x f x x x -+--=--1-15、若记(),()k k k k y f x z f y ==，则对迭代格式1()k k x f x -=使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）21(()). (())2()k k k k k k k f x x A x x f f x f x x +-=--+21(()). ()(())2()k k k k k k k f x x B x f x f f x f x x +-=--+21(). 2k k k k k k k z y C x z z y x +-=--+ 21((())()). (())(())2()k k k k k k k f f x f x D x f f x f f x f x x +-=--+1-16、将积分区间[a,b]n 等分，分点为kh a x k +=，k=0,1,2,3,4....n,其中nab h -=，则复合梯形公式为( )A. ])()(4)([211∑-=++n k k b f x f a f hB.])()(2)([211∑-=++n k k b f x f a f hC.)]()(4)(2)([6102111b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=D.)]()(4)(2)([6112110b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=二、填空题（共20分,每空2分）2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
数值分析第二题 梁进明SY0906529算法设计方案。
一．矩阵的QR 分解。
把矩阵A 分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积，称为矩阵A 的正三角分解，简称QR 分解。
QR 分解的算法如下：记1A A =，并记[]rij n n Ar a ⨯=，令1Q I =（n 阶单位矩阵） 对于r=1,2,…,n-1执行(1) 若(1,2,...,)rir a i r r n =++全为零，则令1r r Q Q +=，1r r A A +=转(5);否则转(2)(2) 计算2r d =()sgn()r r rr r c a d =-(若()0r rr a =,则取r r c d =) 2()r r r r rrh c c a =- (3) 令()()()1,(0,...,0,,,...,)r r r T nr rr r r r nr u a c a a R +=-∈ (4) 计算11//r r rTr r r r rT r rr rT r r r rQ u Q Q u h p A u h A A u p ωω++==-==-(5) 继续当此算法执行完后就得到正交矩阵n Q Q =和上三角矩阵n R A =且有A QR =。
二．矩阵的 拟上三角化。
对实矩阵A 的拟上三角化具体算法如下：记(1)AA =，并记()r A 的第r 列到第n 列的元素为(1,2,...,;,1,...,)rij a i n j r r n ==+。
对于1,2,...,2r n =-执行（1） 若()(2,3,...,)r ir a i r r n =++全为零，则令(1)()r r AA +=,转(5);否则转(2)。
（2） 计算2()()1,1,2()1,sgn()(0,)r r r r r r r r r r r r r r r r rd c a d a c d h c c a +++==-===-若则取 （3） 令()()()1,2,(0,...,0,,,...,)r r r T nr r r r r r nr u a c a a R ++=-∈ （4） 计算()()(1)()///r T r r r r r r rTr r r rr r r rr r T T r r r rp A u h q A u h t p u h q t u A A u u p ωω+====-=--（5） 继续算法执行完后，就得到与原矩阵A 相似的拟上三角矩阵(1)n A -。
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数值分析模拟卷A一、填空（共30分，每空3分）1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有•∞→=x x n x lim （•x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷B填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________； 6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。
已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L ，U 。
(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项。
四、（12分）线性方程组⎩⎨⎧=+=-22112122b x x b x x ρρ （1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。
（2） 设2=ρ，给定松弛因子21=ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论收敛性。
五、（7分）改写方程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]的实根？六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。
七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；（3） 用所求公式计算⎰102dx x 。
八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 的值，这里.1+≤n p数值分析模拟卷C一、填空题（每空3分，共30分）1． 设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ；2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛的迭代格式为___________________；5．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lglg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求⎰212dx x = 。
二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；(2) 给出A 的选主元的Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足 40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项。
四、（10分）证明对任意的初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =的根，且具有线性收敛速度。
五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
（可用数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 的三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰--=202)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。
七、（10分）验证对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=∀+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.2013年期末考试真题参考答案A 一、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii二、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R 三、（1）32=L ;（2）347.3≈•x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型的. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==GS J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案B 一、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21(6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 1 8. 是, 1二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2) )(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、 )2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ 四、(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛 七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 八、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案C 一、1．42．发散3．0)(*=''x f 4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n 5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ 五、10512p p + 六、1=n ，2π。