二项式定理典型例题(含解答)复习课程

解：二项式的展开式的通项公式为:

‘ 2n 3r

c r

丄 >r~4~ C n r X 2

前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 2

2 2n,t

3 c ：

2 2

8n(n 1)，

由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1

(n

1)，

••• n 8

16 3r

通项公式为

T

r1

C8

P 「

01,2

8,T r 1为有理项，故16

3r 是4的倍数,

8

1 2 1 2

C g -

8 x

x • 28

256

说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类

• r 0,4,8.依次得到有理项为T i

X

4

,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中

r 的取值，得到共有

典型例题四

3

10

R

1 6

例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项.

X

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘；

(2)可以经过代数式变形转化为二项式.

(1)可以

解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:

用(1 X)3

展开式中的常数项乘以 (1 X)10

展开式中的 X 5

项，可以得到

C 10X 5 ； 用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4)

3C 4°X 5 ；

3

2

10

用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的

3 2 x 可得到3x

3

3 3 5 m

C 10X

3C 10X ；用 (1 3

X)中的

X 3

项乘以 (1 X)10展开式中的X

2

项可得到

C 3

2 2

3x C 10 x

C 20X 5，合并同类项得 X 5 项为:

(C 0

C 4。 3C 3。 C 0)X 5

63X 5 .

(2)

(X

12

1

X •由

X

1

x

12

展开

式的通项公式

T r

' 2)12

C

12

X

6 r

，可得展开式的常数项为 C ：2 924

二项式定理典型例题

典型例题一

n

例1在二项式 x 1

的展开式中前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.

分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.

典型例题五

例5 求(1 X 2 6 5

X ）展开式中X 5的系数.

分析 :(1 X

2

X 1 O ）不是二

二项

式，

我们通过1 2

X X

(1 X) X 2 或1 (X

X ）展

开

解: 方法一： (1 X X 2 )6

(1

X

2

6

x) X

(1 X 6)

6(1 x)5x 2 15(1 4 4

x) X

其中含X 5的项为 C ：x 5 6C ；x 5 15C 14X 5 6x 5 .含 x 5项的系数为 6.

方法

一

二: (1 X 2\6

X )

1 (X

2、

6

X )

1 6(x x 2

) 15(x

2、2

2、

3

x ) 20(x x )

15(x x 2 )4

6(x x

2\5

/

)(x

6

X )

5

5

5

5

其中含X 5的项为20( 3)x 15( 4)x 6x 6x .二x 5项的系数为6.

方法3:本题还可通过把（1 x

X 2）6看成6个1 x

X 2相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项， x 5项可由下列几种可能得到. 5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5.

3

13

2

3个因式中取x , —个取 x 2，两个取1得到C 6 C 3X （ x ）. 1个因式中取X ,两个取 x 2，三个取1得到C 6 C 5x （ x ） •

合并同类项为（C ； c l c ； C

6C 5）X 5 6x 5, X 5项的系数为6•

典型例题六

例 6 求证：（1） Cn 2C ： nV n 2n 1 ；

（2）

c o [c n 垃

丄c n 丄⑵1 1）•

2 3 n 1 n 1

分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.

解决这两个小题的关键是通过组合数公式