不等式证明方法讲义.doc

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不等式的证明方法

一、比较法

1. 求证： x2 + 3 > 3 x

证：∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0

2 2 2 4

∴x2 + 3 > 3 x

2. 已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：a m a

b m b

a m a b(a m) a(

b m) m(b a)

证：

m b b(b m) b(b m) b

∵ a,b,m 都是正数，并且a 0 , b a > 0

∴ m(b a) 0 即：a

m a

b(b m) b m b

变式：若 a > b，结果会怎样？若没有“ a < b”这个条件，应如何判断？

3. 已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证： a5 + b5 > a2 b3 + a3b2

证： (a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + ( b5 a2b3 )

= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 ) = ( a2 b2 ) (a3 b3)

2 2 2

= ( a + b)(a b) (a + ab + b )

∵a, b 都是正数，∴ a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵ a b，∴ (a b)2 > 0 ∴ (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0

即： a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果 m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

t1 t1

n S S 2S

, t 2

S( m n)

则：m S, t2 可得： t1

2mn

2 2 2m 2n m n

∴ t1 t2

2S S(m n) S[ 4mn (m n)2 ] S(m n)2

2mn 2(m n)mn 2mn( m n) m n

∵ S, m, n 都是正数，且 m n，∴ t1 t2 < 0 即： t 1 < t2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n，结果会怎样？

作商法

a b

1.设 a, b

R + ，求证： a a b b (ab) 2 a b b a

a a

b b a b b a

a a

b 证：作商：

a b

a 2 b

2

( ) 2

(ab)

2

b

当 a = b 时， (

a

) a

2

b

1

b

当 a > b > 0 时，

a

1, a b

0,( a

) a 2 b

1

b 2

b

当 b > a > 0 时， 0 a

1, a b 0,( a ) a 2

b

1

b

2 b

a b

∴ a a b b (ab) 2 （其余部分布置作业）

二、综合法

1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法

2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：

A B 1 B 2 B n B

3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

例 1 已知 a ，b ， c 是不全相等的正数，求证：

a(b 2 c 2 ) b(c 2

a 2 )

c( a 2 b 2 )

6abc

证明：∵ b 2

c 2 ≥ 2bc,a ＞ 0,

∴ a (b 2 c 2 ) ≥ 2abc

①

同理

( 2 a 2

)

≥ 2abc

②

b c

c( a 2 b 2 ) ≥ 2abc

③

因为 a ，b ，c 不全相等，所以 b 2

c 2 ≥ 2bc, c 2 a 2 ≥ 2ca, a 2 b 2 ≥2ab 三式不能全

取“ =”号，从而①、②、③三式也不能全取“

=”号

∴ a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc

例 2 已知 a ， b ， c 都是正数，且 a ， b ， c 成等比数列，

求证： a2 b 2 c2 (a b c) 2 证明：左－右 =2（ ab+bc－ac）

∵ a， b， c 成等比数列，∴b2 ac

又∵ a， b， c 都是正数，所以0 bac ≤a c

a c 2

∴a c b

∴ 2(ab bc ac) 2(ab bc b 2 ) 2b(a c b)0 ∴ a2b2 c 2(a b c)2

说明：此题在证明过程中运用了比较

法、明不等式的特点

练习：

1．设a, b, c R，

1 求证： a

2 b2 2 ( a b)

2

2 求证： a 2 b 2 b2 c2 c 2 a2 基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证2 (a b c)

3 若 a + b = 1,

1

b

1

求证： a 2

2 2

证：1∵ a 2 b2 ( a b)2 0 ∴a2 b 2 | a b | a b

2 2 2 2 2

∴ a 2 b 2 2

(a b) 2

2 同理： b 2 c 2 2

(b c) ，c2 a 2

2

(c a)

2 2

三式相加： a 2 b2 b 2 c2 c 2 a 2 2( a b c) 3由幂平均不等式：

1 1 1

(a

1

) (b 1)

(a b 1) 2 ) 2 2

( a b

2 2 1

2 2 2 2

∴

1 1

2 a b

2 2