弹性动力学的相似边界元法
弹性力学平面问题的边界单元法计算报告
{ 其中， ������������������������ =
������ {2������ ������ [(1 − 2������)������������ ������������������ + ������(������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) − 4������������ ������������ ������������ ] + 2������(������������ ������������ + ������������ ������������ )������������ 2������(1 − ������)������ 2 ������ ������ + (1 − 2������)(2������������ ������������ ������������ + ������������ ������������������ + ������������ ������������������ ) − (1 − 4������)������������ ������������������ } 1 [(1 − 2������)(������������ ������������������ + ������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) + 2������������ ������������ ������������ ] 4������(1 − ������)������
∗ ������������������ =
1 1 ������������ ������������ [(3 − 4������)������������������ ������������ + ] 8������(1 − μ) ������ ������������������ ������������������
弹性力学-边界条件
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个）
x x
悬臂梁的例子：
边界的积分式
h
2 h
x
xldy 0
2
h
2 h
x
xl ydy M
2
h
2 h
xy
dy 0
xl
2
设中性轴为z
y xdA z 1
自由端边界条件：
y
h
2 h
x
xl dy 0
2h 2 hFra bibliotekh x
2 h
x
xldy
2 h
f x dy
2
2
h
h
y xl f y
2 h
y
dy
xl
2 h
f ydy
2
2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：
h
h
2 h
x
xl ydy
2 h
f x ydy
2
2
平面问题小结
0
左 : (
)
x
s
q, (
)
xy
s
0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s
0
下: (
边界元法求解瞬态弹性动力学问题的一种新解法
边界元法求解瞬态弹性动力学问题的一种新解法
吴增荣;杨耀墀
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】1991(8)1
【摘要】本文首次将Newmark法引入到边界元法之中,从而使得边界元法与有限元法有机地结合起来,使边界元法的通用性在求解瞬态弹性动力学问题上大大加强,在程序的实现过程中应用一定的技巧,提出了多重子单元划分法,解决了时间步长与单元网格之间的耦合关系。
提高了计算精度,缩短了计算时间,从所给出的算例可知,此算法是可行的,程序也是可靠的。
【总页数】7页(P67-73)
【关键词】边界元法;瞬态;弹性动力学
【作者】吴增荣;杨耀墀
【作者单位】空军工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O347
【相关文献】
1.弹性动力学瞬态问题的频域边界元快速解法 [J], 荣俊杰;尤军峰;文立华;校金友
2.求解二维瞬态弹性动力问题的速度型边界单元法 [J], 廖河山
3.三维粘性流体内流问题的边界元研究中求解奇异积分的一种新的数值解法 [J], 余流;王铁成;等
4.映射半解析边界元法解瞬态弹性动力问题的有关问题 [J], 黄剑敏;任文敏;陈文
5.瞬态弹性动力学问题的半解析边界元法 [J], 朱建雄;曹志远
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应用边界元法的弹性结构灵敏度分析及其形状优化
应用边界元法的弹性结构灵敏度分析及其形状优化标题一：介绍边界元法在弹性结构灵敏度分析中的应用边界元法是一种常用的数值分析方法，主要用于求解一些偏微分方程问题。
在弹性结构灵敏度分析中，边界元法可以用来计算结构在受力变化时的响应以及相应的灵敏度，从而帮助优化结构设计。
本文将详细介绍边界元法在弹性结构灵敏度分析中的应用。
首先，我们需要了解什么是弹性结构灵敏度分析。
在结构设计中，灵敏度分析是一种可以用来衡量结构在受力变化下响应变化的方法。
灵敏度分析可以帮助优化结构设计，使得结构在极限体积、强度等条件下达到最优解。
边界元法在灵敏度分析中的应用主要是针对弹性结构的应力和应变分析。
其次，我们将介绍边界元法的基本原理。
边界元法是一种基于分解的方法。
在使用边界元法求解弹性结构灵敏度分析时，我们首先需要将结构模型离散化成网格。
接着，我们将通过计算网格边界节点处的位移，推导出各个节点和单元上的应力和应变值。
然后，我们将利用灵敏度学的方法推导出结构的各种指标的灵敏度，以此指导结构优化。
接着，我们将讲解边界元法在弹性结构灵敏度分析中的优点。
边界元法的主要优点在于其良好的适应性和高效性。
边界元法的精度通常比有限元法要高，可以掌握结构的变化趋势，并快速寻找最优方案。
此外，边界元法可以非常容易地适应不规则或复杂形状的结构。
因此，边界元法在弹性结构灵敏度分析中具有不可替代的优势。
同时，边界元法也有其缺点，例如容易受到边界噪声和边界特定条件的影响，这就需要优秀的算法优化来克服。
接着，我们将讲解应用边界元法进行弹性结构灵敏度分析的具体步骤。
我们需要进行先前提到的离散化网格以及求解节点边界变化的位移，接着是计算各节点和单元上的应力和应变，接着是利用灵敏度学的方法推导出结构的各种指标的灵敏度指标。
然后，我们将介绍如何通过灵敏度分析来优化结构设计。
最后，我们将提到边界元法在现代结构优化领域重要的应用价值。
最后，我们将讲解边界元法在弹性结构灵敏度分析中的未来展望。
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
弹性力学圣维南边界条件PPT课件
( y
x )
y
E
1 2
( y
x )
式(2-17)
xy
2(1 E
)
xy
xy
E 2(1
)
xy
按位移求解平面问题
3、推导求位移分量的方程。将公式（2-17）代入平衡微分方程， 得到用 u 和 v 表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程：
式(2-17)
x
x
yx
y
fx
0
y
y
xy
x
平面问题的应力边界条件
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的 面力。分析其边界条件。
h/2
h/2
h/ 2 ( x )xl dy 1 h/ 2 f xdy 1
h/2
h/2
( ) h/ 2 x xl ydy 1 h/ 2 f x ydy 1
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl dy 1 h/ 2 f ydy 1
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h
2 h
2
(
x
)
x
0
dy
2 h 2
(
f
x
) x0
dy
FN
h
h
2 h 2
(
x
) x0
ydyBiblioteka 2(h 2f x ) x0 ydy
M
h
h
2 h
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
弹性力学4-物理方程、边界条件
xy
1
yx
y
几何方程： 应变和位移的关系
x
u x
,
y
v y
,
xy
v x
u y
物理方程： 应力与应变的关系
x
1 E
x y
y
1 E
y x
21
xy E xy
x
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
xy
2 1
E
xy
平面问题简化为8个未知数，8个方程 x , y , xy , x, y , xy , u, v
平面应力问题的物理方程
平面应变问题的物理方程·
x
1 E
x y
y
1 E
y x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
21
xy E xy
xy
2 1
E
xy
在平面应力问题的物理方程中，将 E 和作如下变
换，可得平面应变问题的物理方程
E
E 1 2
应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，
也称为本构方程。
在完全弹性的各向同性体内， 应变分量与应力分量之间的关系由 虎克（Hooke）定律给出。
E 是弹性模量，G 是剪切弹性
模量， 是泊松比，是材料自身
的特性，不随点的坐标值及方向
改变。
G
2
E
1
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
弹性力学及其有限元法
弹性力学及有限元分析1、 设试件两定点之间的长度为L 0，其截面积为F 0，加上拉力P 后，L 0 伸长了△L 。
我们把P/ F 0 称为拉伸应力（σ），△L/ L 0 称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/ F 0 ，ε＝ △L/ L 0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 LF PL E ∆==00εσ，弹性模量E 表征了材料的物理性质。
2、 根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。
首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。
a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。
随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。
弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。
设受力方向为x 方向，x xE εσ=，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E 为常数，表示应力与应变成正比例。
通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。
b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。
当曲线超过s 点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s 点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b 点后产生颈缩。
从弹性极限到b 的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。
c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。
脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。
为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即εσd d E =。
如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA 上升，若到A 点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB 下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形''ε。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
弹性静力学问题的边界元法
第 章 弹性静力学问题的边界元法4.1引言1边界元法的特点解析与数值相结合的方法，具有较高的计算精度。
2弹性静力学的基本方程 0,=+i j ij f σ)(,,,i j j i ij k k ij u u u ++=µδλσ )(21,,i j j i ij u u +=εu ii Γu u on =t ij ij Γt n on=σ4.2弹性力学边界积分方程1弹性力学基本解－Kelvin 解设无限大弹性体内q 点处受沿j x 方向单位集中力q j δ的作用，弹性体内场点p的位移：))(()43[()1(161),(2*rx x x x r q p u qj p j q i p i ij ij −−+−−=δννπµ r ：p 、q 点间的距离；*ij u 的下标i 表示p 点位移方向，j 表示q 点力的作用方向。
点p 处任意截面上的力：})(]))((3)21[(])()()[21{()1(81),(22*rx x n r x x x x r x x n r x x n rq p t q kp k k q jp j q i pi ij qi p i j q j p j i ij −−−−+−+−−−−−−=δνννπ当pq ，Kelvin 解*ij u 和*ij t 分别具有一次和二次奇异性。
2贝蒂互等定理设弹性体在f i 和t i 作用下的位移场为u i ，在在f’i 和t’i 作用下的位移场为u’i ，则：∫∫∫∫′+′=′+′Ωi i Γi i Ωi i Γii Ωu f Γu t Ωu f Γu t d d d d即：第一组外力在第二组外力作用下所产生的位移场上所做的功等于第二组外力在第一组外力作用下所产生的位移场上所做的功。
3 Somigliana 积分恒等式视Kelvin 解为贝蒂互等定理中的第二组弹性力学解，则∫∫∫∫+=+Ωi i Γi ij Ωij i Γij i Ωu f Γu t Ωu f Γu t d d d d **** （1）*i f 为与Kelvin 解对应的体力，即仅q 点作用有单位集中力，q 点之外没有体力作用。
弹性动力学的相似边界元法
! K !（ I）=
2P k+1
2LT〔4U（B I）- V （C I）〕
其中对平面应变问题 k = 3 -
（19）
4U，对 平 面 应 力 问 题 k =（3 U）（/ 1 +U）；U（B I ）和UC（ I ）分别 为裂纹尖端单元上 B 点和 C 点
在 I 时刻 y 方向的位移。 计算 所 得 的 正 则 应 力 强 度
摘要：讨论了弹性动力学边界元法中边界单元相似时单元之间的一些矩阵关系，建立了相
似边界元法的公式。在一组相似单元中，只要求得一个单元的相应矩阵，通过比例关系即
可求得其它单元的相应矩阵，然后通过迭加建立代数方程组系数矩阵。与通常的每个单
元都各自进行积分计算相比，本文方法可大幅度减少计算量。
关 键 词：弹性动力学；边界积分方程；相似单元；相似边界元法
因子（即 K !（ I ）/ K 1，K 1 为 静 态应力强度因子）及其与前人所
做工 作 的 比 较 见 图 2。可 以 看
出，本文方法的计算结果与其它
方法基本吻合。
参考文献：
图 1 中心裂纹板
图 2 应力强度因子
［1］ Leung AYT and Su RKL . Mode I Crack Probiems by Fractai T wo Levei Finite Eiement Method〔s J〕. Engineering Fracture Mechanics，1994，4（8 6）：847 ~ 856
1 弹性动力学边界元法
对于均匀、各向同性的线弹性材料，在小变形条件下，运动微分方程为
（ c21
-
c22）Ui，（i x ，t）+
c
2 2
弹性力学平面问题的直坐标系解答
物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
边界元法
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
弹性力学的理论模型和计算方法
弹性力学的理论模型和计算方法弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力分布规律的学科。
它在工程学、物理学、材料学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍弹性力学的理论模型和计算方法，帮助读者更好地理解和应用弹性力学的知识。
1. 弹性力学的基本概念弹性力学研究物体在受力时的变形和应力，其中弹性变形指物体在外力作用下的恢复性形变，应力则是物体内部单元之间的相互作用力。
根据物体受力的不同方式，弹性力学可以分为静力学和动力学两个分支。
2. 弹性力学的理论模型在弹性力学中，最常用的理论模型是胡克定律。
胡克定律描述了物体的应力和应变之间的线性关系，即应力与应变成正比。
根据具体情况的不同，可以采用各种模型进行计算，如一维线弹性模型、平面应力和平面应变模型等。
3. 弹性力学的计算方法在实际应用中，针对不同的问题和受力情况，可以选择不同的计算方法来求解弹性力学的问题。
以下介绍几种常用的计算方法：a. 解析解法：从理论上解析得出物体的应力和应变分布规律，适用于简单几何形状和边界条件的情况。
b. 数值解法：通过建立有限元模型，利用数值方法求解弹性力学问题。
常用的数值解法有有限元法、有限差分法和边界元法等。
c. 实验方法：通过真实物体的实验测试来获取其力学性质，并反推计算应力和应变分布。
实验方法通常用于验证理论模型的正确性和精确度。
4. 弹性力学的应用领域弹性力学广泛应用于工程学和物理学等领域中。
在工程学中，弹性力学常用于结构设计和材料力学的分析，例如建筑物的承载能力计算和风力荷载分析等。
在物理学中，弹性力学被用于研究固体和流体的弹性性质，探究其力学行为和性能。
5. 弹性力学的发展趋势随着科技的不断发展和应用的深入，弹性力学的研究也在不断前进。
当前，弹性力学中的非线性、动态和复杂问题成为研究的热点。
同时，计算机技术和仿真方法的发展，为弹性力学的理论模型和计算方法提供了更多的工具和手段。
总结：弹性力学的理论模型和计算方法是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的重要内容。
边界元方法简介
边界元方法简介早在1905年，Fredholm就对积分方程的分类作了研究，并首先将其应用于弹性力学问题.随后，许多人对积分方程的性质作了严格的数学探讨，但是到2 0世纪4 0年代末，积分方程求解边值问题的研究仍只能处理一些特殊的问题如第一边值问题。
在2 0世纪6 0年代，一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程的理论作了更为深入的研究，从而为进一步应用边界元法开辟了道路。
后来，高速大型计算机的出现及其硬件的迅猛发展使离散求解积分方程成为可能，但当时由于有限元法的出现并迅速发展，加上其广泛的适应能力，使人们的注意力大部分集中在它的身上。
随着有限元法逐渐成熟，其缺点也显现出来，人们开始寻找一种能够弥补其不足的新方法，目光又转向了边界元法，并逐步将有限元法中发展起来的一些离散技巧运用于边界积分方程，从而使边界元法脱颖而出，成为工程分析中的一种新的有效工具。
虽然边界元方法的研究引起人们注意的时间并不长，但是它的理论基础即积分方程的研究却可以追溯到1 9世纪初，当时仅从理论上对各类问题推导出解的积分方程，并没有涉及到数值计算。
例如在1929年，Kellogg利用Fredholm积分方程解决了位势问题，Fredholm积分方程是由以单层位势和双层位势为代表的调和位势发展而来的，并且由它又进一步发展成为所谓的间接边界元方法。
2 0世纪5 0年代，前苏联的米赫林和穆什海里什维里的工作为积分方程在工程上的应用开辟了道路。
6 0年代初，积分方程作为数值计算方法开始应用于实际问题，并逐步发展成为各种边界元方法。
虽然各种边界元方法都有一个共同的出发点，但是它们也可以分成下列互不相同又彼此紧密联系的三大类:第一类为边界元方法的直接表达式。
在此类表达式中，积分方程内出现的未知元是真实的物理变量。
正因为如此比如弹性问题中，解这种积分方程就可直接得出系统边界上的全部张力和位移，而物体内部的张力和位移则可通过数值积分由边界值推算出来。
boundary element methods journal -回复
boundary element methods journal -回复什么是边界元法（Boundary Element Method，BEM）？边界元方法（Boundary Element Method，BEM）是一种计算力学中常用的数值方法，用于求解偏微分方程问题。
它的主要特点是在计算区域的边界上建立问题的数学模型，通过求解边界上的积分方程来得到问题的近似解。
本文将详细介绍边界元方法的原理、应用和优势。
边界元方法的原理边界元方法的原理基于格林函数的性质。
格林函数是偏微分方程的解，描述了在特定边界条件下，单个单位源的响应。
边界元方法通过将问题的数学模型转化为边界上的积分方程，然后利用格林函数的性质，在边界上的每个点上建立积分方程，将问题的求解转化为求解这些积分方程的问题。
边界元方法的应用边界元方法广泛应用于力学、电磁学和数值分析等领域。
在力学领域，边界元方法常用于求解弹性力学、声学和热传导等问题。
在电磁学领域，边界元方法可用于求解电场、磁场和电磁波传播等问题。
此外，边界元方法还可用于流体力学、电力系统分析和声学等其他领域的数值模拟。
边界元方法的优势相比于有限元法等常见数值方法，边界元方法具有以下优势：1. 减少计算域：边界元方法只需在问题的边界上建立离散点，因此在处理二维或三维问题时，可以大大减少计算域的规模。
2. 简化网格生成：边界元方法不需要生成整个计算区域的网格，仅需要定义边界上的离散点即可。
相比之下，有限元法需要生成整个计算区域的网格。
3. 容易处理无穷远区域：边界元方法基于积分方程求解，可以很容易地处理无穷远区域的问题。
而有限元法等其他方法在处理无穷远问题时会面临困难。
4. 精确度高：由于边界元方法将问题的数学模型转化为边界上的积分方程，因此在边界上的解是精确的。
这使得边界元方法在一些问题中比其他方法更加精确。
5. 并行计算优势：边界元方法在求解积分方程时，各个积分方程之间是相互独立的。
弹性流体力学研究中的边界效应分析
弹性流体力学研究中的边界效应分析引言弹性流体力学是研究流体在外力作用下的变形和运动规律的学科，它涉及了弹性力学和流体力学的结合。
在弹性流体力学研究过程中，边界效应是一个重要的研究方向。
边界效应指的是流体在接触到固体边界时产生的物理和化学效应，它们对流体的流动和流体固相相互作用有着重要的影响。
本文将探讨弹性流体力学研究中的边界效应，包括边界效应的起因和分类，以及常见的边界效应研究方法和应用。
通过对边界效应的深入研究，我们可以更好地理解弹性流体力学现象的机理，为相关领域的应用提供指导和支持。
边界效应的起因和分类边界效应的起因边界效应的起因主要有以下几个方面：1.分子作用力效应：边界对流体分子的吸附、吸附层结构和分子间相互作用等都会导致边界效应的产生。
2.表面性质效应：边界表面的物理和化学性质对流体的流动和相互作用有重要影响。
例如，固体表面的粗糙度、表面能以及润湿性等都会影响流体的黏附和流动。
3.外界作用效应：外界的温度、压力等因素也会对边界效应产生影响。
例如，温度梯度会导致流体的热对流现象，压力梯度会改变流体的流动速度和流态等。
边界效应的分类根据边界效应的性质和影响的方向，边界效应可以分为以下几类：1.粘性边界效应：粘性边界效应是由于固体表面对流体黏性的影响而产生的。
固体表面的粗糙度和润湿性会导致流体黏附在表面上，从而影响流体的流动性质。
2.热边界效应：热边界效应是由于固体表面和流体界面之间的温度差异而产生的。
温度梯度会导致流体的热对流现象，从而影响流体的流动和传热性质。
3.化学边界效应：化学边界效应是由于固体表面化学性质和流体分子的相互作用而产生的。
固体表面的化学反应和吸附现象会改变流体分子的运动和相互作用规律，从而影响流体的流动和化学反应过程。
常见的边界效应研究方法和应用边界效应研究方法研究边界效应需要采用一系列的实验和模拟方法，以下是常见的边界效应研究方法：1.原位表征方法：利用扫描电子显微镜等仪器对边界表面形貌和化学组成进行表征，以了解其对流体流动和相互作用的影响。
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
0
Ni y Ni x
N j x 0
N j y
0
N j y N j x
N m x 0
N m y
0
N m y N m x
ui
vi
u v
j j
um vm
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
B Bi B j
ui
bm 0 cm
0 cm bm
a
u
v
N
ae
INi
I
1 0
0 1
IN j INm ae
位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性
单元应变函数
u
x y
xy
x u
y
u y
v x
Ni
x
0
Ni
y
) xy
x
E
1 2
( x
y)
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D DBae
D
E
1 2
1
0
1 0
0
0
1
2
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。
弹性动力学方程边界元法计算公式探讨
弹性动力学方程边界元法计算公式探讨
李开海
【期刊名称】《重庆建筑大学学报》
【年(卷),期】1999(021)002
【摘要】弹性动力学是力学领域中的一个重要课题。
在采用边界元方法计算时有许多数值方法值得探讨，尤其是奇异积分的处理。
本文讨论了在Ｆｏｕｒｉｅｒ变换下弹性动力学方程边界元方法中的奇异积分的一种计算方法。
【总页数】5页(P38-41,48)
【作者】李开海
【作者单位】重庆建筑大学建筑工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O343
【相关文献】
1.轴向运动载流导电板磁热弹性耦合动力学方程 [J], 胡宇达;张金志
2.弹性力学间接边界元法修正问题的探讨 [J], 徐汉忠
3.关于粘弹性结构和复合结构有限元动力学方程的探讨 [J], 桂洪斌;赵德有;等
4.边界元法中影响系数的解析计算公式 [J], 严更
5.边界元法中奇性系数张量的统一解析计算公式 [J], 严更
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可求得其它单元的相应矩阵，然后通过迭加建立代数方程组系数矩阵。与通常的每个单
元都各自进行积分计算相比，本文方法可大幅度减少计算量。
关 键 词：弹性动力学；边界积分方程；相似单元；相似边界元法
中图分类号：0343
文献标识码：A
在边界元法中，要建立最终可求解的代数方程组，需要在所有单元上进行大量的积分运算。当 单元数目较多时，单元上积分的计算量将大大增加计算时间。
Jacobi 行列式
（#，$）=
3r 3#
X
3r 3$
（7）
对式（6）进行数值求解即得变换域中边界节点的位移和面力分量，然后由数值反变换求得时间
域中的解。
将边界积分方程（6）写成矩阵形式
N
N
〔 C〕〔 U 〕= !〔 GI〕〔 T I〕- !〔 HI〕〔 U I〕
I=l
I=l
（8）
其中〔 U 〕=｛Ui｝，i = l，2，…，K 为节点位移向量；〔 U I 〕=｛U Ii ｝，i = l，2，…，M 为单元 I 的节点位
0
为边界点；U
e ki
和
t
eki 为基本解；Ck（i
0
）是自由项，与
0
点处边界的几何特征有关；U i
和 ti
分
别表示变换域中的位移和面力分量。
在无体力的情况下，边界积分方程（5）可离散为
NM
+l +l
Ck（i 0 ）U（i 0 ）=
!
!
t
m i
I
I=l m=l
-l
-
l
U
e ki
N
m（#，$）（#，$）c#c$
Abstract：For the boundary eiement method of eiastodynamics，some properties of matrices are discussed in case of simiiar boundary eiements and the simiiar boundary eiement method is presented . In a series of simiiar boundary eiements，when the corresponding matrices of a boundary eiement are obtained，the ones of other boundary eiements in the series can be obtained by proportion . Then the coefficient matrix of the iast system of iinear aigebraic eguations can be obtained by the method of superposition . Compared with the generai boundary eiement method，the computing speed can be raised by the simiiar boundary eiement method given in this paper . Keywords：eiastodynamics；boundary integrai eguation；simiiar boundary eiements；simiiar boundary
应力和位移满足如下边界条件
} t（i x ，t）= Ti I = p（i x ，t） x "TO
U（i x ，t）= g（i x ，t）
x " TU
（2）
和初始条件
} U（i x ，0+ ）= Ui（0 x ）
U'（i x ，0+ ）= 1 i（0 x ） x " O
（3）
本构关系为
T（i x ，t）=
1 弹性动力学边界元法
对于均匀、各向同性的线弹性材料，在小变形条件下，运动微分方程为
（ c21
-
c22）Ui，（i x ，t）+
c
2 2
U
，（ii
x
，t ）+
f（ x ，t）=
U（ x ，t）
x "O
（1）
其中 c1 和 c2 分别为弹性体内膨胀波和畸变波的传播速度；f 为体力分量；O 为弹性体所在的域， 其边界为 T；x =（ x 1，x 2，x 3）（对三维问题）或 x =（ x 1，x 2）（对二维问题）。
CHENC Y U-minl，PENC Miao- Uan2
（l . Shanghai Institute of Appiied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，Chian；2 . Department of Civii Engineering，Shanghai University，Shanghai 200072，China）
弹性动力学的相似边界元法!
程玉民1， 彭妙娟2
（1 . 上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2 . 上海大学 土木工程系，上海 200072）
摘要：讨论了弹性动力学边界元法中边界单元相似时单元之间的一些矩阵关系，建立了相
似边界元法的公式。在一组相似单元中，只要求得一个单元的相应矩阵，通过比例关系即
［2］ 应隆安 . 无限元方法〔 M〕. 北京：北京大学出版社，1992 ［3］ 嵇醒，臧跃龙，程玉民 . 边界元法进展及通用程序〔 M〕. 上海：同济大学出版社，1997
4
重庆建筑大学学报
第 22 卷
Similar Boundary Element Method in Elastodynamics
2 相似边界元法
由方程（9）可知，只要求得矩阵〔 H 〕和〔 G 〕，求解方程组即可求解。而〔 H 〕和〔 G 〕是分别由
〔 HI〕和〔 GI〕组装而成的。要求得〔 HI〕和〔 GI〕，需要做大量的如下形式的积分
+l +l
-l -l teki N m（#，$）（#，$）c#c$ = 0
（l0）
+l +l
-l -l Ueki N m（#，$）（#，$）c#c$
（ll）
在非奇异单元上采用 Gauss 积分；在奇异单元上需对奇异积分做消除奇异性或降低奇异性阶数处
理，或利用刚体位移特解来求奇异积分。
为减少形如（l0）和（ll）的积分的计算量，本文提出相似单元的概念，建立了相似边界元法。
相似边界元法的基本思想是，将弹性体所在的区域 " 的边界! 按照边界条件或几何形状划分 为若干局部区域，然后将每个局部区域剖分为若干相似单元，建立相似单元上矩阵〔 HI〕及〔 GI 〕的 关系。在一组相似单元中，只要求得某个单元上的〔 HI 〕和〔 GI 〕，其它单元上的〔 HI 〕和〔 GI 〕即可 由比例关系得到而不需再做积分运算。
eiement method
弹性动力学的相似边界元法
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
程玉民， 彭妙娟 程玉民(上海大学上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072)， 彭妙娟(上海大学 土木工程系, 上海 200072)
第 22 卷 第 6 期
重庆建筑大学学报
VoI. 22 No . 6
2000 年 12 月
JournaI of Chongging Jianzhu University
Dec. 2000
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
文章编号：1006 - 7329（2000）06 - 0001 - 04
2
重庆建筑大学学报
第 22 卷
对式（l）~（4）作用 LapIace 或 Fourier 变换，即得相应的变换域中的方程，再应用加权残数法， 得到弹性动力学问题在变换域中的边界积分方程
Ck（i 0 ）U（i 0 ）=
Ueki t i c! -
teki Ui c! +
U
e ki
f
i
c"
!
!
"
（5）
其中
NM
+l +l
-
!
!
U
m i
I
I=l m=l
-l
-l teki N m（#，$）（#，$）c#c$
（6）
其中
N
为边界单元数，每个单元均为有
M
个节点的等参单元，边界节点总数为
K
；U
m i
I
，tim
I
分别
表示第 I 个单元第 m 个节点的 i 方向的位移和面力；N（#，$）， = l，2，…，M 是形函数；（#，$）为
〔 GI〕而不必再做大量的奇异或非奇异积分运算，从而大幅度减少计算量。
对二维问题，有
I = O I-1 〔 HI〕= O〔 HI -1〕 〔 GI〕= O〔 GI -1〕
（16） （17） （18）
3 算例
以下对突加载荷6 作用下的二维矩形中心裂纹板的应力强度因子作了计算。 矩形中心裂纹板的模型如图 1 所示，板长 4 cm，宽 2 cm，裂纹长度为 2 a，a = 0 . 24 cm。材料的 弹性模量 E = 2 . 0 X 105 M N / m2，泊松比U= 0 . 3，质量密度P = 0 . 005 M N·s2 / m4。 对!型对称裂纹，其动态应力强度因子的计算公式为
! K !（ I）=
2P k+1
2LT〔4U（B I）- V （C I）〕
其中对平面应变问题 k = 3 -