大学物理习题及参考答案8

习题8

8-1 质量为10×10－

3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3

x t π

π=+

(SI)的规律做谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：

3/2,s 4

1

2,8,m 1.00πφωπ

πω===

∴==T A 又 πω8.0==A v m 1

s m -⋅ 51.2=1

s m -⋅

2.632==A a m ω2s m -⋅

(2) N 63.0==m m a F

J 1016.32

122

-⨯==

m mv E J 1058.121

2-⨯===E E E k p

当p k E E =时，有p E E 2=， 即

)2

1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20

2

22±=±

=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t

8-2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：

(1)x 0＝－A ；

(2)过平衡位置向正向运动；

(3)过2A

x =

处向负向运动； (4)过

x =处向正向运动.

试求出相应的初位相，并写出振动方程.

解：因为 ⎩⎨⎧-==00

0sin cos φωφA v A x

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

)2cos(1ππ

π

φ+==t T A x

)23

2cos(2

32πππφ+==t T A x

)32cos(3

3π

ππ

φ+==t T A x

)4

5

2cos(4

54πππφ+==

t T A x

8-3 一质量为10×10－

3 kg 的物体做谐振动，振幅为2

4 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：

(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242

=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππ

ωT

又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为

m )5.0cos(10242t x π-⨯=

(1)将s 5.0=t 代入得

0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x π

N

102.417.0)2

(10103

23

2--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=π

ωx

m ma F

方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，

t t =时 3

,0,20πφ=<+

=t v A x 故且 ∴ s 3

2

2/3==∆=ππωφt

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

J

101.7)24.0()2(10102121

214223222--⨯=⨯⨯⨯===

π

ωA m kA E

8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g 的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的初速度v 0

＝5.0 cm·s －

1，求振动周期和振动表达式. 解：由题知

12

311m N 2.010

9.48

.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-1

2020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)

又 s 26.12,510

82.03===⨯==

-ωπωT m k 即 m

102)5100.5()100.1()(

2222

22

2

0---⨯=⨯+⨯=+=∴

ω

v x A

4

5,15100.1100.5tan 0

22000π

φωφ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )4

5

5cos(1022π+⨯=

-t x

8-5 题8-5图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.

题8-5图

解：由题8-5图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,2

3

,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==

ππωT

故 m )2

3

cos(

1.0ππ+=t x a 由题8-5图(b)∵0=t 时，3

5,0,2000π

φ=∴>=v A x

01=t 时，2

2,0,0111π

πφ+

=∴<=v x

又 ππωφ2

535

11=

+⨯=