考研概率论讲义

例3按规定车站8：00-9：00，9：00-10：00恰有一辆客车到站，到站时 间是随机的，独立的，其规律为：
到站时 8：10 8：30 8：50 间 9：10 9：30 9：50
P
0.2
0.4
0.4
旅客8：20到，须等时间的数学期望及方差
例4对某一目标进行射击，直至击中为止，若每次射击命中率为，求射击 次数的数学期望及方差。
1． 古典概型 I 取次品
条件概率、全概公式及逆
例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：
（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至
少一个次品的概率。
例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机
的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是?
例9填空 （1）设随机变量X与Y独立，DX = 2，DY = 4，则D(2X-Y) =________________。 （2）设随机变量X~U[-1,2]，随机变量，则D(Y) =________________，标
准差σ(Y) =________________。
（3）X服从正态分布，Y服从正态分布，，， （4）若随机变量X，Y相互独立，E(X) = E(Y) = 0，D(X) = D(Y) = 1，
II排数字
例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成wk.baidu.com位数，求此三位数
大于300的概率。
例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相
同），求此三位数大于300的概率。
例5 把本书任意地放在书架上，求其中指定的本书放在一起的概率
III质点入盒
例6将个球随机地放入个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为的概率
（C） （D） 例11．设0<p(A)<1 ,0<p(B)<1, ,则有( )
（A） 事件A与B互不相容 （B） 事件A与B 相互对立 （C） 事件A与B 不独立 （D） 事件A与B 相互独立
3．条件概率 例1 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2个，每次抽取一个，抽
取后不再放回，则第一次为正品，第二次抽取的也是正品的概率。
例1 设p(A)=0.4 ,p(AB)=0.7,若事件A,B互斥，则p(B)=______若事件A,B
独立，则p(B)=______ 例2事件。那么 例3设p(A)=0.7 ,p(A-B)=0.3，则 例4，则 例5已知p(A)=p(B)=p(C)=则事件A,B,C全不发生的概率为_______ 例6设两两相互独立的事件A,B,C满足条件 且? 例7设两个相互独立的事件A，B 都不发生的概率为，A发生B 不发生的概
例2连投两次骰子，设第一、二次出现的点数为，
求：
例3某动物活到20岁的概率0.8，活到25岁的概率0.4，问现在20岁的动物能
活到25岁的概率 4．全概公式，贝叶斯公式
例1 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1% 和2% ，现在从由A和B 的
产品分别占60% 和40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品
X\Y
1
四、二维连续型随机变量 1。联合分布函数；2。联合概率密度；3。 边缘分布；4。条件分布；
5。独立性；6。函数的分布 例1设二维随机变量的分布函数为， 求（1）； (2) 的概率密度函数和边缘概率密度函数，。 例2已知随机变量X和Y 的联合概率密度为 求X和Y的联合分布函数F(x,y) 例3设二维随机变量的联合概率密度为 求：（1）系数；（2）的联合分布函数；（3）边缘概率密度；（4） 例4设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则该次品属于A生产的概率是 ？ 例2三个箱子，第一个箱子中有黑球4个， 白球1个。第一个箱子中有黑球
3个， 白球3个。第三个箱子中有黑球3个，白球5个。现随机地取 一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为 ______已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 __________. 例3三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6， 0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为 0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人 同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率． 例4.现有8个乒乓球，4新4旧，甲取一个用完放回，乙再从中取一个为新 球的概率。 5． 伯努利概型 例1设一个均匀陀螺的圆周上均匀的刻上了区间上的诸数值，将这陀螺 重复旋转次，计算这次中恰好有次停下来时接触桌面的点的刻度在区间 上的概率。 例2 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次 的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为? 例3 设一次试验中，事件 A 发生的概率为P,现进行 n 次独立试验，则A至 少发生一次的概率为 ______,而事件A 至多发生一次的概率为 ______________. 例4在（1，4）内取三个数，求大于2的数少于两个的概率
（） （） （） （） 例9是随机变量X的概率密度函数的区间是： （A）；（B）；C；D 例10 设与分别为随机变量与的分布函数。设是某一随机变量的分布函数。
在下列给定的各组数值中应取（ ） （A） （B） （C） （D） 例11 设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别 为，分布函数分别为, 则 （ ） （A）必为某一随机变量的概率密度 （B）必为某一随机变量的概率密度 （C）必为某一随机变量的分布函数 （D）必为某一随机变量的分布函数
例12 设随机变量X的概率密度为，若k使, 则k的取值范围是
例13 随机变量X的密度函数为，且，是X的分布函数。则对于任意实数
a，有（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
例14已知随机变量的分布函数则_________，_________， 密度函 数为 例15设随机变量的概率密度为：。 试求：（1）系数，（2）求；（3）的分布函数。 例16使用了小时的电子元件在以后小时内损坏的概率等于球电子元件
例5已知，的分布律如下，且与相互独立，
-1 0 1
1/4 1/2 1/4 -1 0 1
1/4 1/2 1/4
（1）求和的联合分布表；（2）写出的分布律 （3）写出的分布律（4）写出的分布律
例6设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合 分布律，及关于X和Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值 填入表中空白处
各是多少？
例7设将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词
SCIENCE 的概率为?
IV配鞋子 例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求：
（1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型 例9设在[0，1]随机取值，求 （1）；（2） 例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小 时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待 的概率。 2 利用公式
例5设随机变量的概率密度为，求及 例6设，，且与相互独立。
求（1）的联合概率密度；
（2）； （3）。
例7已知，的分布律如下，且与相互独立，
-1 0 1
1/4 1/2 1/4 -1 0 1
1/4 1/2 1/4
（1）求和的联合分布表； （2）EX，EY，COV（X，Y） 例8设二维随机变量的概率密度函数为， 求（1）常数；（2）判断是否独立，为什么？（3）。
概率论与数理统计考研辅导讲义
白云霄
第一章 随机事件及其概率
1、随机事件、样本空间、概率的定义
例1. 写出下列试验的样本空间与事件A的样本点 1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。A：第一次出现正面 3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数
2． 常见的离散型随机变量的分布 3． 离散型随机变量函数的分布
例5．已知随机变量的分布律为
，
（1） 求的分布律； （2）求的分布律和分布函数。 例6设，求得分布率 二、一维连续型随机变量 1．分布函数；2。概率密度；3。常见的连续型分布；4。随机变量函数 的分布
例7已知随机变量X的概率密度函数 则X的分布函数F(x)＝? 例8如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X的分布函数 （ ）
则E[(X+Y+1)2] =__________。 （5）已知随机变量的概率密度函数为，则的方差为________________，
标准差=________________。 （6）掷骰子100次，点数之和的方差为________________。
（7）设随机变量X~B[n, p]，且DX = 20，DY = 15，则n =____________，p =____________。 （8）已知X~P(λ)且λ = 2，又Y = 3X-2，则DY =____________。
次数,则P{Y=2}=________ 例20设随机变量服从参数为的泊松分布，且=,则_________。
例21设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知。则X 落在区间内的概率为_______
例22若随机变量服从均值为2，方差为的正态分布，且, 则______
随机变量函数的分布 例23设随机变量X 的概率密度为求 的概率密度 例24设随机变量服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量在（0，4）内 概率密度? 例25设随机变量X的概率密度函数为 ，求随机变量 的 。 （3）二维离散型随机变量 1。联合分布率；2。 边缘分布；3。条件分布；4。独立性；5。函数的
分布 例1将一枚硬币掷三次，以表示三次中出现正面的次数，以表示三次中 出现
正面次数于出现反面次数只差的绝对值。 （1）试写出和的联合分布律（表格形式）； （2）写出与的边缘分布律，与是否相互独立？
例2设X在1，2，3，4中等可能取值Y在1，…X中等可能取值求（X， Y）的分布率 例3设，令 求（X，Y）的联合分布率 例4设求（）的联合分布率
2、事件的关系及其运算
例2设A,B 是任意两个随机事件，则 例3设为三个事件，试将下列事件用表示出来：
（1） 发生，与不发生 （2） ，，至少有一个发生 （3） ，，恰好有一个发生 （4） ，，至少有一个不发生 （5） ，，最多有一个不发生
（6） 不发生，，中至少有一个发生
3、概率的计算
方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 概公式、二项公式
率与B发生A不发生的概率相等，则p(A)=? 例8设三台机器相互独立地运转着，第一、第二、第三台机器不发生故障
的概率依次为、、，求这三台机器全不发生故障的概率以及它们中至 少有一台发生故障的概率。 例9甲乙轮流投骰子，求加先投出6的概率 例10．设A,B是任意两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正 确的是( ) （A） （B）
使用寿命的分布函数。
例17假设随机变量X的绝对值不大于1, 在事件出现的条件下，X在( -1, 1 )内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比。 试求：（1）X的分布函数 （2） X取负值的概率p
例18若随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的概率为______ 例19设随机变量X的概率密度为以Y表示X的三次重复观察中事件 出现的
例5区域由围成，区域由围成，向中投10个点，有至少2个点落在中的概率
第二章 随机变量及其分布
一、一维离散型随机变量
1．求分布律 例1 从装有2白3红的球袋中每次取一个球，直到取到白球为止，求取球次
数的分布率。 1） 不放回抽去，2）放回抽去
例2假设从某大学到火车站途中有6个交通岗，各交通岗出现什么颜色的 灯相互独立。红绿灯显示的时间比为1:2，（1）设为途中遇到的红灯的 次数，求的分布率和分布函数；（2）令表示汽车行使过程中在停止前 所经过的路口数，求的分布律。 例3在伯努利试验中 实验进行到都发生为止，求试验次数的分布率。 例4 随机变量X的分布函数: 则X的分布律为
求随机变量Z＝X＋2Y的分布函数。 例5设随机变量的概率密度为 求（1）常数；（2）联合分布函数 （3）边缘概率密度； （4）条件密度（5）独立性（6）Z＝X＋Y的概 率密度函数。（7）Z＝max(X,Y)的概率密度函数
第三章 随机变量的数字特征
例1已知随机变量的分布列为
，
求，，，， 例2设从学校到火车站有3个交通岗，各交通岗红绿灯相互独立，红灯概 率0.4球遇到红灯的数学期望。