方向导数和梯度
方向导数与梯度公式关系
方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。
具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。
那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。
现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。
因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
高数 方向导数与梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G , , x y z 0 l (cos , cos , cos ) f Gl 0 G cos( G ,l0 ) ( l0 1) l 当 l 0与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值： f G max l 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C * 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 1 ,4 ) 它在点 P 的切向量为 ( 1 ,2 x )x 2( 4 1 cos cos , 17 17
y
P
2x
o
1
4 z 60 6 xy 1 2 ( 3 x 2 y ) 17 17 l P (2 , 3) 17
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
方向导数与梯度
f f cos f cos f cos
l x
y
z
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2. 梯度
二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx , f y )
三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
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练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
x
y
o( )
故
f l
lim f
0
f cos f cos
x
y
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二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时,有 f f
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
故 gradu(1,1,2) (5, 2, 1) 5i 2 j 12k
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
方向导数与梯度 PPT
Δ y 0
y
其中 xρcoα,syρcoβs
Pl
ρ|P0P|
(x)2(y)2,
P0
el
y
x
o
x
2º方向导数的几何意义
过点P0 沿l 作垂直于 z=f(x, y)
Tl
xOy 面的平面，该平面
M•
与曲面 z = f (x, y)的交线
在曲面上相应点M 处的 切线MTl(若存在)关于l 方向的斜率:
l( x 0 ,y 0 ) ρ 0
ρ
注 1º方向导数的其他形式：
f l( x 0 ,y 0 ) ρ l 0 i f m ( x 0 ρ cα , o y 0 ρ s ρ cβ o ) f( s x 0 ,y 0 )
lim f(xΔ x,yΔ y)f(x,y)
Δ x 0
(Δ x)2(Δ y)2
f limf(P)f(P) l P P PP
(Pl)
lif m ( x ρ cα ,o y ρ c sβ , o z ρ c sγ ) o f ( x s ,y ,z )
ρ 0
ρ
l 0 ifm (x x ,y y ,z z ) f(x ,y ,z )
(2) 用公式 定理8.9 若f( 函 x ,y )在 数 P 0 (x 0 点 ,y 0 ) 处 可微 ,
则函数在该点沿任一方向 e l 的方向导数存在 ,
且 其 证有f 由 c中 函f o x fα l( 数x (,sx0 c0, ,fy yo 0(0 )β x) ,s为 yx f )e x l在( 的 f x y 点0 ( ,x y P0 0 0方 , ) 可y c 0 ) 微 α 向 ,o y . 得 f o y ( 余 s ( ρ x ) 0 oy,Py 弦 00 ) c xPeβ l o , ylx s
方向导数和梯度
2
n f f max || g || x l i 1 i
2 ，
1
这里的 n 维向量 g 实际上就是下面要讨论的梯度。
定义 7.5.2 量
设 f 是 R n 中区域 D 上的数量场，如果 f 在 P0 D 处可微，称向
f f f x , x ,, x 2 n 1
f ( P) f ( P0 ) || P0 P ||
f x1
f lim ||P0 P||0 x 1
x1
P0
|| P0 P ||
f xn
xn
P0
|| P0 P ||
o(|| P0 P ||) || P0 P ||
cos 1
最大值，此最大值即梯度的范数 || gradf || 。这就是说，沿梯度方向，函数值增加 最快。同样可知，方向导数的最小值在梯度的相反方向取得，此最小值即
|| gradf || ，从而沿梯度相反方向函数值的减少最快。
例 7.5.2
设在空间直角坐标系的原点处有一个点电荷 q ，由此产生一个静
电场，在点 ( x, y, z) 处的电位是
f 在 (0,0) 点沿方向 l || l || (cos , sin )（ 为 l 与 x 轴正向的夹角）的方向导数为
f (0 t || l || cos , 0 t || l || sin ) f (0, 0) f lim l t 0 || tl || 2 cos sin 2 lim 2 cos sin 2 。 t 0 cos 2 sin 2
f g g gradf f gradg ，其中 g 0 ； g2
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
8.5 方向导数与梯度
一 方向导数 二 梯度
一 方向导数
1 定义
定义1 设函数
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
的某个邻域内有
定义，设 l 是一单位向量，记为 l
P P0
cos , cos .
y
若极限
lim
f ( P ) f ( P0 ) PP 0
lim
0
f ( x 0 cos , y 0 cos ) f ( x 0 , y 0 )
则称此极限值为 f ( x , y ) 在点 P0 处 存在，
沿方向 l 的方向导数， 记为
f l
P0
P
。
o
P0
x
注：
f x
P0
存在
f ( x, y )
在点 P0 处沿 x 轴正方向
) (2)
4 3 3
.
例3 设 n 是椭球面 2 x 2 3 y 2 z 2 处的内法向量，求u 的方向导数。 解
u x 6x z 6x 8y
2 2
6
在点 P (1, 1, 1)
6x 8y
2
2
z
在点 P 处沿方向 n
,
u x
P ( 1 ,1 , 1 )
grad f
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z ,
5 , 2 , 12 .
grad f
P
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z (1,1, 2 )
（2） f ( x , y , z ) 在点 P 处沿梯度方向的方向导数是
梯度和方向导数
梯度和方向导数
方向导数是一个值，梯度是一个向量。
方向导数
顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。
这里的方向什么是方向？
这个方向是在二维的xy平面上的，而不是三维空间上的方向函数f(x,y)在这个方向上的图像：
我们知道：
函数f(x,y) 的A 点在这个方向上也是有切线的，其切线的斜率就是方向导数：
梯度
很显然，A 点不止一个方向，而是360°都有方向：
每个方向都是有方向导数的：
这就引出了梯度的定义：
梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。
方向导数与梯度
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y )
梯度为等高线上的法向量
f ( x, y ) c
等高线
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
1
2
.
{cos , cos , cos }
ln( x 1)
ln(1 y 1)
2
1 2
3.
设 u xyz z 5, 求 grad u, 并求在 点 M (0, 1,1) 处方向导数的最大 (小) 值 .
f f j ，这向量称为函数 都可定出一个向量 i x y z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度，记为 f f j. gradf ( x , y ) i x y 设 e cosi sinj 是方向 l 上的单位向量，
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
方向导数与梯度
方向导数与梯度
1. 基本概念
方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v 的变化率。
偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。
偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。
梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。
2. 方向导数
反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
例子如下：
2.0 方向导数计算公式
2.1 偏导数
2.2 二元函数偏导数的几何意义
2.3 偏导函数
偏导数与偏导函数的关系：
偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。
3. 全微分
4. 梯度
梯度是一个向量；既有大小，也有方向。
4.1 几何意义
函数z=f(x,y)在点P0处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。
梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。
第八章8 方向导数与梯度
2 π π ∂z = cos( − ) + 2 sin( − ) = − . 2 4 4 ∂l
y 点 1， ） 例2 求 数 f ( x, y) = x2 − xy + r 2在 （ ，1） 函 方 夹 为 方 射l 方 导 .并 沿 x轴 向 角 α 的 向 线 的 向 数 并 与 问 怎 的 向 此 向 数 在 样 方 上 方 导 有 2） （1） 大 ； （ ） 小 ； （3） 于 ？ ） 最 值 最 值 ） 等 零
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值. 为方向导数的最大值
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C r 在 π上考察 C P0 P的方向与 l 对应
π
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) 表示C 的割线向量
r P0 P 与 l 的交角的正切值
ρ
即
r P0 P关于 的斜率 关于l
当ρ → 0时
即
( x0 + ∆x, y0 + ∆y) →( x0, y0 )
( 1 ,1 )
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
5π π （2）当 α = ） 时，方向导数达到最小值− 2 ; 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为 ∂ f = lim f ( x + ∆ x , y + ∆ y , z + ∆ z ) − f ( x , y , z ) , ρ→0 ∂l ρ
三维空间中的方向导数和梯度
三维空间中的方向导数和梯度在物理和数学学科中，经常需要对函数在三维空间中的方向变化进行研究，方向导数和梯度就是两个比较重要的概念。
本文将从定义、意义、计算方法等角度详细介绍这两个概念。
一、方向导数1.1 定义方向导数是指函数$f(x,y,z)$在某一点$(x_0,y_0,z_0)$沿着某一方向$\vec{v}=(a,b,c)$的变化率。
记作$D_{\vec{v}}f(x_0,y_0,z_0)$。
1.2 意义方向导数能够衡量函数在某一点沿着某一方向的变化速度，这在实际应用中非常重要。
比如说，在工程领域中，需要对某一物体的某一点进行受力分析，这个时候就会用到方向导数。
同时，在最优化问题中，求解方向导数也是非常必要的。
1.3 计算方法计算方向导数之前，需要先求出函数的偏导数。
设函数$f(x,y,z)$的偏导数分别为$\dfrac{\partial f}{\partial x}$、$\dfrac{\partial f}{\partial y}$、$\dfrac{\partial f}{\partial z}$。
则函数在某一点$(x_0,y_0,z_0)$沿着方向$\vec{v}=(a,b,c)$的方向导数为：$$D_{\vec{v}}f(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{\partial f}{\partialx}(x_0,y_0,z_0)a+\dfrac{\partial f}{\partialy}(x_0,y_0,z_0)b+\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)c $$这个公式就是方向导数的定义式。
可以发现，它是一个点乘形式的表达式，非常容易计算。
二、梯度2.1 定义梯度是指函数$f(x,y,z)$在某一点$(x_0,y_0,z_0)$处的方向导数取得最大值的方向。
梯度的方向是函数在该点处变化最快的方向。
梯度的大小等于函数在该点处方向导数的大小。
7 方向导数与梯度
方向导数存在
如：函数
z x2 y2
偏导数存在
在 o(0,0) 处沿 l = i 方向的方向导数等于1, 但是 在该点的偏导数不存在。
定理: 若函数 f( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微，则函 数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f cos cos cos l l x y z
二元函数
对于二元函数 f ( x , y ), 在点P( x, y )处沿方向l (方向角
为 , ) 的方向导数为:
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0
y
l
l
f x ( x , y )cos f y ( x , y )cos
grad f
P.
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad(C u) C grad u
(4) grad( uv ) u grad v v grad u
三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数)
P
60 17
例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数 方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 6x u 6 而 x P z 6 x2 8 y2 P 14
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为
§方向导数与梯度精讲
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f f f 问题 : 在P0点, , , 有何关系? x x x
答案 : 在P0点,
P l
故f 在P0沿l的方向导数存在, 且
fl ( P0 ) lim
0
f P f ( P0 )
P0
y
o x
f x ( P0 )cos f y ( P0 )cos f z ( P0 )cos . //
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说明 : (1). 由定理1知, 如 f 可微, 则任意方向的方向导数皆可用偏导数表示:
§17.3 方向导数与梯度
17.3.1 方向导数 17.3.2 梯度
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17.3.1 方向导数
多元函数在一点的偏导数，表示此函数过该 点沿着平行于坐标轴方向的变化率。
f x ( x0 , y0 , z0 ) 表示 f ( x, y, z ) 在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 例如，
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f P f ( P0 )
f x ( P0 )cos f y ( P0 )cos f z ( P0 )cos
o
f x ( P0 )cos f y ( P0 )cos f z ( P0 )cos ,
z
0
可见fl ( P0 )为向量 f x ( P0 ), f y ( P0 ), f z ( P0 ) 在方向l上的投影.
方向导数与梯度
y y
最大的增长率为: | grad f
|( 2,0) 1 22 5
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
3x2 y2
3
( 3 ,1)
27,
P0 P1 ( 1,2),
| P0 P1 | 5 ,
zy
z l
( 3 ,1 )
2 x y ( 3,1) 54
P0
1 2 81 ) 54 27 ( 5 5 5
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
u u u u 11 ( cos cos cos ) . 故 7 n P x y z P
20
求函数 u
x
2
f f f f cos cos cos l x y z
18
x2 y2 z2 已知数量场u( x , y , z ) 2 2 2 , a b c
2 2 2 6 在点P (1,1,1) n 2 x 3 y z 设 是曲面 2 2 6x 8 y , 处指向外侧的法向量 求函数u z 在P点处沿方向n的方向导数.
解 令 F ( x, y, z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6
P0
f f cos cos . x P0 y P0
方向导数存在
偏导数存在
5
方向导数与偏导数的关系
i (1,0) 的方向导数存在, 且值为f x .
方向导数与梯度的关系公式
方向导数与梯度的关系公式
方向导数和梯度是微积分中的两个重要概念。
它们之间存在着密切的关系。
首先，我们来介绍一下方向导数的概念。
方向导数是指函数在某一点沿着某一方向的变化率。
如果函数在该点可微分，那么它的方向导数可以用该点的梯度来表示。
接下来，我们来介绍一下梯度的概念。
梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
梯度的方向指向函数值增加的最快的方向，大小表示该方向的最大变化率。
梯度的计算方式是取该点的偏导数向量。
在同一点上，如果沿着梯度的方向进行变化，则函数值的变化率最大。
因此，方向导数沿着梯度的方向取得最大值，即方向导数等于梯度与该方向的点积值。
因此，可以得出方向导数和梯度的关系公式如下：
设函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微分，向量v=(cosθ,sinθ)表示与x轴正向夹角为θ的方向，则f(x0,y0)在方向v上的方向导数为：
∂f/∂v = ▽f(x0,y0) ·v
其中▽f(x0,y0)表示f(x0,y0)的梯度向量。
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要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
ρ △y φ P △x
设函数 z f ( x , y ) 在 P 点的某一邻域内有定义， 自 P 点引 出射线 L，设 X 轴到射线的转角为φ，并设另一点
P( x x, y y ) 为 L 上的一点， 考虑函数的增量与 P 和 P
f f i j x y
这个向量称作函数在 P 点的梯度，记作：
f f gradf ( x , y ) i j y x
如果设 e cos i sin j 是与 L 方向相同的单位向 量，则由方向导数的计算公式可知：
f f f f f cos sin = { , } (cos , sin ) l x y x y
2） 定理 如果函数 z
f ( x , y ) 在点 P（x , y ）是可微分的，
f sin y
那末函数在该点延任一方向 L 的方向导数为：
f f cos l x
其中 为 x 轴到 L 的转角。 要点：
1、 起点 P（x , y ） 2、 在 P 可微 3、 延 P 指向 L 的转角