方向导数和梯度

= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
f f i j x y
这个向量称作函数在 P 点的梯度，记作：
f f gradf ( x , y ) i j y x
如果设 e cos i sin j 是与 L 方向相同的单位向 量，则由方向导数的计算公式可知：
f f f f f cos sin = { , } (cos , sin ) l x y x y
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
ρ △y φ P △x
设函数 z f ( x , y ) 在 P 点的某一邻域内有定义， 自 P 点引 出射线 L，设 X 轴到射线的转角为φ，并设另一点
P( x x, y y ) 为 L 上的一点， 考虑函数的增量与 P 和 P
3） 对于三元来自百度文库数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
(x)2 (y)2 (z)2
f f f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
f y tan f x
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
2） 定理 如果函数 z
f ( x , y ) 在点 P（x , y ）是可微分的，
f sin y
那末函数在该点延任一方向 L 的方向导数为：
f f cos l x

其中 为 x 轴到 L 的转角。 要点：
1、 起点 P（x , y ） 2、 在 P 可微 3、 延 P 指向 L 的转角
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0