什么是误差理论.ppt
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误差理论
• 1.0005 五位有效数字 • 0.5000 四位有效数字 • 0.0054 两位有效数字，5前面的0只 起定位作用，不是有效数字。 • 0．0002 一位有效数字 • 1.02 ×103三位有效数字
当数字末端的0不作为不效数 字时，要改写成用10n来表示
• 例:24600保留三位有效数字，应表 示为： • 2.46×104
• 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 PH 数值， 数值，其有效数字的位数取决于小数部 分数字的位数， 分数字的位数，因整数部分中说明该数 的方次。 PH值为12.68， 值为12.68 的方次。如PH值为12.68，即 [H+]=2.1× M,有效数字是两位 有效数字是两位， [H+]=2.1×10-13M,有效数字是两位， 而不是四位。 而不是四位。
误差和偏差
• 由于“真实值”无法准知道，因 由于“真实值”无法准确知道， 此无法计算误差。在实际工作中， 此无法计算误差。在实际工作中， 通常是计算偏差（ 平均值代替真 通常是计算偏差（用平均值代替真 实值计算误差，其结果是偏差） 实值计算误差，其结果是偏差）
四、精密度和偏差
• 1.精密度 精密度是指在相同条件下多次测定 1.精密度 结果之间相互接近的程度。（ 。（精密度用偏差表 结果之间相互接近的程度。（精密度用偏差表 示） • 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 • 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。所以 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。 偏差的大小是衡量分析结果的精密度高低的尺 偏差常用绝对偏差 相对偏差、 绝对偏差、 度。偏差常用绝对偏差、相对偏差、平均偏差 表示。 和相对平均偏差表示 和相对平均偏差表示。
当数字末端的0不作为不效数 字时，要改写成用10n来表示
• 例:24600保留三位有效数字，应表 示为： • 2.46×104
• 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 PH 数值， 数值，其有效数字的位数取决于小数部 分数字的位数， 分数字的位数，因整数部分中说明该数 的方次。 PH值为12.68， 值为12.68 的方次。如PH值为12.68，即 [H+]=2.1× M,有效数字是两位 有效数字是两位， [H+]=2.1×10-13M,有效数字是两位， 而不是四位。 而不是四位。
误差和偏差
• 由于“真实值”无法准知道，因 由于“真实值”无法准确知道， 此无法计算误差。在实际工作中， 此无法计算误差。在实际工作中， 通常是计算偏差（ 平均值代替真 通常是计算偏差（用平均值代替真 实值计算误差，其结果是偏差） 实值计算误差，其结果是偏差）
四、精密度和偏差
• 1.精密度 精密度是指在相同条件下多次测定 1.精密度 结果之间相互接近的程度。（ 。（精密度用偏差表 结果之间相互接近的程度。（精密度用偏差表 示） • 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 • 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。所以 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。 偏差的大小是衡量分析结果的精密度高低的尺 偏差常用绝对偏差 相对偏差、 绝对偏差、 度。偏差常用绝对偏差、相对偏差、平均偏差 表示。 和相对平均偏差表示 和相对平均偏差表示。
误差理论基本知识--
誤差理論基本知識
誤差分類及其特性、算術平均值、衡 量精度的標準、誤差傳播定律、誤差 理論應用。
§5-1 測量誤差概述
1. 基本概念 誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之 差。 真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。 三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界 條件。 誤差產生原因：實踐表明，由於三大客觀條 件的存在，對同一量進行觀測多次時，測量 結果總是存在著差異。
C
?
A
B
§5-5 誤差傳播定律的應用
解題：
① 列函數式： C=180°-A-B
② 求增量（此步可省略）：
③ 應用誤差傳播定律
mC2 mA2 mB2
A
C
? B
mB2 mC2 mA2 (5)2 (3)2 16
mB 4
即，B角需以不低於±4″的精度觀測，
才能使C角具有±5″的精度。
§5-5 誤差傳播定律的應用
次數的增多而趨於相等。
§5-1 測量誤差概述
⑶ 隨機誤差的特性 ① 有界性
在一定的觀測條件下，隨機誤 差的絕對值不會超過一定限度。 ② 範圍性
在一定的觀測條件下，絕對值 較小的隨機誤差出現的概率比絕對 值較大的誤差出現的概率大。
§5-1 測量誤差概述
③ 對稱性 在一定的觀測條件下，絕對值相等的
正、負誤差出現的概率相等。
解： 因為 m1=m2=±10″ 且角度無論大小均為兩方向讀數之差，
故只要中誤差相等，說明精度相同。
§5-3 衡量精度的標準
2. 相對誤差
結論：
經緯儀測角時，不能用相對誤差的概 念衡量精度，相對誤差用於衡量與長度、 面積、體積等有關的量。
§5-3 衡量精度的標準
3. 極限誤差與容許（允許）誤差 根據隨機誤差的有界性可知，在一定
誤差分類及其特性、算術平均值、衡 量精度的標準、誤差傳播定律、誤差 理論應用。
§5-1 測量誤差概述
1. 基本概念 誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之 差。 真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。 三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界 條件。 誤差產生原因：實踐表明，由於三大客觀條 件的存在，對同一量進行觀測多次時，測量 結果總是存在著差異。
C
?
A
B
§5-5 誤差傳播定律的應用
解題：
① 列函數式： C=180°-A-B
② 求增量（此步可省略）：
③ 應用誤差傳播定律
mC2 mA2 mB2
A
C
? B
mB2 mC2 mA2 (5)2 (3)2 16
mB 4
即，B角需以不低於±4″的精度觀測，
才能使C角具有±5″的精度。
§5-5 誤差傳播定律的應用
次數的增多而趨於相等。
§5-1 測量誤差概述
⑶ 隨機誤差的特性 ① 有界性
在一定的觀測條件下，隨機誤 差的絕對值不會超過一定限度。 ② 範圍性
在一定的觀測條件下，絕對值 較小的隨機誤差出現的概率比絕對 值較大的誤差出現的概率大。
§5-1 測量誤差概述
③ 對稱性 在一定的觀測條件下，絕對值相等的
正、負誤差出現的概率相等。
解： 因為 m1=m2=±10″ 且角度無論大小均為兩方向讀數之差，
故只要中誤差相等，說明精度相同。
§5-3 衡量精度的標準
2. 相對誤差
結論：
經緯儀測角時，不能用相對誤差的概 念衡量精度，相對誤差用於衡量與長度、 面積、體積等有關的量。
§5-3 衡量精度的標準
3. 極限誤差與容許（允許）誤差 根據隨機誤差的有界性可知，在一定
第二章 误差理论
的“平均误差”来表示过，其算式（ Σ | y – μ| / N）虽然比计算标准差的公式还简单，但实 际研究中已不再有人用它，原因是总体标准 差不仅能从数值上显示“变异度”的大小，更 重要的它还是用作描述误差概率分布的尺度。
例2.1： μ= 147g σ= 17g
第一节 误差及其特征数
二、关于“概率尺” 该名词是误差理论应用于实际研究工 作的需要而产生的，在我院教改课题《正 交表在试验统计中的新功用》的完成过程 中提升为一个新的专业术语。 可这样定义： 将误差或抽样误差转化为标准化随机 变量 u 、 t或q、SSR 的尺度（分母）。 它是概率统计和试验研究的结合点， 是随机变量最关键的变异特征数，可以是 标准差或标准误，也可以是与之相近的统 计量。试验统计中的核心问题就在于找到 概率尺的准确数值。
一、正态分布的概率函数 fN ( y -μ) 二、正态分布概率函数曲线的特性 0.5 ⑴对称性：绝对值相等的正负误差出 现的机会（概率）均等。 0.4 讨论：这里提到误差取某个“值”的概 率问题，也就是连续性变量取某个观察值 0.3 的概率究竟有没有意义？ 2） 高等数学论及连续性变量取某一个实 N （ 0 ， σ 0.2 数的概率时，都认定是在概率函数图中用 某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。 0.1 但应用中获得的观察值不能简单地理 解为 “一个”实数，而应当视为在精度有限 0 y -μ 的条件下，由最后一位有效数字按四舍五 -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ 入规则决定的虽然小却确实存在的区间。
6粒籽 7粒籽 8粒籽 9粒籽 10籽
第二节
数据整理 ‰（千分数） 例2.2 n =140 Ӯ =158g S = 36g
例2.2是由一个样本整理出的次数分布结 果，为反映 “行长4尺的水稻产量” 这种和 例
例2.1： μ= 147g σ= 17g
第一节 误差及其特征数
二、关于“概率尺” 该名词是误差理论应用于实际研究工 作的需要而产生的，在我院教改课题《正 交表在试验统计中的新功用》的完成过程 中提升为一个新的专业术语。 可这样定义： 将误差或抽样误差转化为标准化随机 变量 u 、 t或q、SSR 的尺度（分母）。 它是概率统计和试验研究的结合点， 是随机变量最关键的变异特征数，可以是 标准差或标准误，也可以是与之相近的统 计量。试验统计中的核心问题就在于找到 概率尺的准确数值。
一、正态分布的概率函数 fN ( y -μ) 二、正态分布概率函数曲线的特性 0.5 ⑴对称性：绝对值相等的正负误差出 现的机会（概率）均等。 0.4 讨论：这里提到误差取某个“值”的概 率问题，也就是连续性变量取某个观察值 0.3 的概率究竟有没有意义？ 2） 高等数学论及连续性变量取某一个实 N （ 0 ， σ 0.2 数的概率时，都认定是在概率函数图中用 某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。 0.1 但应用中获得的观察值不能简单地理 解为 “一个”实数，而应当视为在精度有限 0 y -μ 的条件下，由最后一位有效数字按四舍五 -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ 入规则决定的虽然小却确实存在的区间。
6粒籽 7粒籽 8粒籽 9粒籽 10籽
第二节
数据整理 ‰（千分数） 例2.2 n =140 Ӯ =158g S = 36g
例2.2是由一个样本整理出的次数分布结 果，为反映 “行长4尺的水稻产量” 这种和 例
误差ppt第一章
特点与性质
粗大 误差
1.2.2 误差分类
1.系统误差（Systematic Error） 系统误差（ 系统误差 ） 定义： 定义：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值 例如： 例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差[绝对值和符号保持不
变]；用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差[按某一确定 规律变化]；刻线尺的温度变化引起的示值误差[在条件改变时，按 某一确定规律变化]。 实际估计系统误差常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值 来表示，也称为测量器具的偏移 偏畸 偏移或偏畸 偏移 偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的 技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准 器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办 法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。
1.2.2 误差来源
测量方法误差 由于测量方法的不完善引起的误差，如 采用近似的测量方法、计算公式等原因所 引起的误差，又称为理论误差。
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按 照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 α = KFU =πU / 2 2 中出现无理数 π 和 2，故 取近似公式 α ≈1.11 ，由此产生的误差即为理论 U 误差。
标准器件误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分辨 力有限而 造成的读 数误差
1.2.2 误差来源
测量环境误差 指各种环境因素与规定的标准状态不一致而 造成的误差。
大学物理误差理论
多源误差综合
研究多源误差的综合影响和作用机制， 提高系统误差的评估和控制水平。
智能化误差处理
结合人工智能和机器学习方法，实现 误差的智能化识别、评估和补偿。
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产生原因
随机误差的产生通常与测量条件、环 境因素、测量者的操作习惯等偶然因 素有关。
减小方法
可以通过增加测量次数，取多次测量 的平均值来减小随机误差。
系统误差
定义
产生原因
系统误差是由于测量系统本身的不完善、 测量设备的不准确、测量方法的局限性等 因素引起的测量结果偏差。
系统误差的产生通常与测量设备、测量方 法、环境条件等有关，具有一定的规律性 和重复性。
特性
粗大误差具有明显性和不可预 测性，通常表现为异常值或离 群值。
减小方法
在数据处理过程中，应识别并 剔除粗大误差，通过加强操作 规范和数据审核来避免粗大误
差的出现。
误差的传递与合成
误差传递
误差的传递是指一个测量结果中包含的各个误差分量对最终 结果的影响。通过误差传递公式，可以计算出各个误差分量 对最终结果的贡献。
特性
减小方法
系统误差具有重复性、规律性和可预测性 ，即多次测量的结果呈现相同或相似的偏 差，可以通过校准和修正来减小。
可以通过校准测量设备、改进测量方法、 控制环境条件等方法来减小系统误差。
粗大误差
定义
粗大误差是由于测量过程中出 现异常情况或人为错误引起的
明显偏差。
产生原因
粗大误差的产生通常与测量者 的疏忽、操作错误、记录错误 等有关。
不确定度评定方法
不确定度的评定方法包括A类和B类两种，A类方法基于多 次测量结果，B类方法基于经验和标准。
1. 误差理论基础
例：用两种方法测量 L1=100 mm 的尺寸，其测量误差分别为 E1 10 μ m ，
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
误差理论PPT课件
图1-1 对正态分布的影响示意图
图1-2 对正态分布的影响示意图
第22页/共42页
在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f (x)
( x )2
物理量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均 值为L’,基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’L0’，看作是测量仪器对该物理量测量时的误差。
第12页/共42页
三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
第31页/共42页
置测信量区值间取与为真值的X若（0 干或倍数，学即期：望 ）偏差 x 的
望 的估计值，不是真值。既然是估计值，就
一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。那么， 如何评价算术平均值的随机误差(离散度)的大小？ 和其它随机变量一样，算术平均值也是用其方差 或标准差来评价。我们先分析算术平均值的方差：
第29页/共42页
2
X
X
2
1 n
n i 1
2
X
i
1 n2
估计值 ˆ X 与ˆ 2 X 来代替上两式中的 X 2 X
第30页/共42页
(4)（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值 Xi 的算术平均值 X
作为数学期望 的估计值，即真值 X0 的近似值。 其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复
性标准差 ˆ x（标准偏差的估计值）来表征
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
第一章 误差理论
பைடு நூலகம்
解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位 的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位． 故近似值x*=3.1415只有4位有效数字
定理１
设近似数x * 表示为 x* 10 m ( a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ) (2.1) 其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对误差限为
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差
• 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
In
1
0
xn dx x 10
(n 0,1, 2,,10)
容易得到递推公式
I0
1
0
1 dx ln( x 10 ) x 10
解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位 的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位． 故近似值x*=3.1415只有4位有效数字
定理１
设近似数x * 表示为 x* 10 m ( a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ) (2.1) 其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对误差限为
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差
• 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
In
1
0
xn dx x 10
(n 0,1, 2,,10)
容易得到递推公式
I0
1
0
1 dx ln( x 10 ) x 10
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• 完整的测量结果应表示为： X x x 以电阻测量为例 R＝910.3 1.4
(单位)
包括： 测量对象 测量对象的量值 测量的不确定度 测量值的单位
（X =x x 表示被测对象的真值落在（x x ，x x ）范
围内的概率很大， x的取值与一定的概率相联系。）
3
测量的分类
E x 100%
x
• 误差分类
－系统误差
－随机误差
6
系统误差
• 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号
保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。
• 主要来源：仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、人员误差等
• 分类及处理方法： ①已定系统误差：必须修正
电表、螺旋测微计的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。
14
随机变量的分布
• 实际测量次数有限，可用 n 次测量值的x、sx 来估算μ、σ:
x xi
n
sx
xi x 2
n 1
可以证明平均值的标准偏差sx 是单次测量的 sx 值的 1 n 倍
sx
xi x 2 nn 1
此时可用 x sx
来表示实验结果
电表轴承的摩擦力变动、环境因素的波动、操作读数时的视差影响。
• 特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平
均值有利于消减随机误差。
8
系统误差与随机误差的区别和联系
• 区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不 同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况 来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计 方法。
σx可由带统计功能的计算器直接求出。
11
随机误差的处理举例
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量 结果如下（单位mm）： 120.08,120.14,120.06, 120.10, 120.06, 120.10
则：测得值的最佳估计值为
L L 120 .09mm
测量列的标准偏差
L
确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。
• 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机
误差分量和未定系统误差的联合分布范围。
• 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可
正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为 零的正值，是可以具体评定的。
13
随机变量的分布
正态分布：大量相对独立微小因素共同作用下得到的随机变
x1
px dx
σ小 σ大
x
ξ表示随机变量 x 在〔x1，x2〕区间出现的概率，称为置信概率。 实际测量的任务是通过测量数据求得μ 和σ的值。
lim
n
xi
n
lim n
xi 2
n
x x 2 x 3
0.683 0.954 0.997
• 直接测量和间接测量（按测量方法分）
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果； 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数 关系经过计算从而得到被测量值的测量。
• 等精度测量与不等精度测量（按测量条件分）
等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量，每 次测量的可靠程度相同； 不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量， 每次测量的可靠程度不相同。
②未定系统误差：要估计出分布范围
（大致与 B 类不确定度S B 相当） 如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等
7
随机误差
• 定义：
消除或修正了一切明显的系统误差后，在相同条件下对同一 物理量进行多次测量时，每次测量值的随机涨落称为随机误差。
• 产生原因：
实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真 值发生涨落的变化。例如：
以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值(假定无系统误差)
x
1 n
n i 1
xi
用标准偏差 σx 表示测得值的分散性
n
(xi x)2
σx按贝塞耳公式求出：
x
i 1
n 1
σx大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；
σx小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；
n
(Li L)2
i 1
n 1
0.03mm
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测量误差与不确定度
• 不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、国际
计量局(BIPM)等七个国际组织1993年联合推出的
Guide to the expression of Uncertainty in measurement
• 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能
4
测量的要素
• 测量对象 • 测量手段（仪器、方法） • 测量结果 • 测量单位 • 测量条件
5
测量误差及其分类
误差Δx＝测量结果x －真值 x0
• 误差特性：普遍性、误差是小量
– 由于真值的不可知，误差实际上很难计算
– （有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计 算误差）
•
误差的表示方法： －绝对误差 Δx －相对误差
《大学物理实验》不确定度 基础知识
主讲：左安友
湖北民族学院理学院
1
主要内容
1 测量误差和不确定度估算的基础知识 2 实验数据有效位数的确定 3 作图法处理实验数据 4 数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）
2
一 、基本概念 测量
• 物理实验以测量为基础：所谓测量就是借助仪器用某一 计量单位把待测量的大小表示出来。即待测量是该计量 单位的多少倍。
量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以
近似看作服从Leabharlann 态分布。p( x;, 2 )
1 2
exp
1 2
x
2
P (x)
μ表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后，
通常就可以得到 x 的真值。σ称为标准差，是曲线
的拐点
x2
• 共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个 分量
9
精密度、准确度、精确度
• 精密度高：指随机误差小，测量的数据很集中。 • 准确度高：指系统误差小，测量的平均值偏离真值小。 • 精确度高：指随机误差和系统误差都非常小，才能说
测量的精确度高。
10
随机误差的处理
假定对一个量进行了n次测量，测得的值为xi (i =1, 2，…，n)，可