立体图形的涂色问题

立体图形的涂色问题

例1．一个表面都涂满红色的立方体，在它的每个面上等距离地切两刀，可得到27个小立方体，而且切面都是白色，这27个小立方体中，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？

解析：仔细观察

（1）一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。有6个

（2）二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。有12个

（3）三面涂有红色的小方块位于每个角上，永远都是8个。

（4）各面没有红色的小方块位于立方体的内部，用总的小方块的数量减去一面、二面、三面涂红的块数，就可以了。有1个

进一步归纳：对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：（1）三面涂色的：8个

（2）二面涂色的：（n-2）×12个

（3）一面涂色的：（n-2）×（n-2）×6个

（4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数

或（n-2）×（n-2）×（n-2）个

例2．有个长方体，长、宽、高分别是3、5、7（单位：厘米），分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？

解析：（1）三面涂色的在角上，有8个

（2）二面涂色的在每条棱中间，长上面有1×4=4个，宽上面有

3×4=12个，高上面有5×4=20个，总共36个

（3）一面涂色的在每个面的中间，上、下面上有1×3×2=6个，左、右面上有3×5×2=30个，前、后面上有1×5×2=10个，总共46个

（4）各面都没涂色的有3×5×7-8-36-46=15个

进一步归纳：对于一个a×b×c的长方体（a、b、c表示长、宽、高），其涂色情况如下：

（1）三面涂色的：8个

（2）二面涂色的：[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4个即（a+b+c-6）×4个

（3）一面涂色的：[（a-2）×（b-2）+（a-2）×（c-2）+（b-2）×（c-2）]×2个

（4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数

或（a-2）×（b-2）×（c-2）个

练习：

1．一个棱长为3厘米，在其表面涂满红漆，然后切成棱长都是1分米的小正方体，问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个？六面都没红色有多少个？（答案：8、12、6、1）

2．一个长方体木块，长、宽、高分别是5、3、4分米，在它六个面上漆满油漆，然后踞成棱长都是1分米的正方体木块。问这些小正方体木块中，三面、二面、一面有油漆的各多少个？各面都没有油漆的有多少个？（答案：8、24、22、6个）

3．把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上颜色的有36个，那么这些小正方体一共有多少个？（答案：125个）

4．把一长方体表面涂红，分成若干相同的小长方体，其中两面为红的小长方体恰好12块，至少要把这长方体分成多少个小长方体？（答案：20个）

5．有三个长、宽、高分别为7、9、11；5、7、9；3、5、7（单位：厘米）的长方体，分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体，其中至少一面涂有红色的小立方体有多少个？（答案：678个）

6．三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰好是三个连续自然数。给这三个长方体表面涂色：一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面。涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体，最少有多少个？（答案：307个)