9-25梯形法求定积分的公式推导
梯形面积公式的四种推导方法
梯形面积公式的四种推导方法标题：梯形面积公式的四种推导方法一、引言梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积的计算公式为（上底+下底）*高/2。
这个公式看似简单，但其实可以通过多种方式来推导得出。
本文将详细介绍其中的四种方法。
二、割补法1. 将一个梯形切割成一个矩形和两个三角形。
2. 计算出矩形和两个三角形的面积，然后相加。
3. 可以发现，矩形的面积等于上底与高的乘积，每个三角形的面积等于1/2*底*高，所以总面积就是（上底+下底）*高/2。
三、平移法1. 将梯形的上底或下底沿着垂直于底边的方向平移到另一底边，形成一个矩形。
2. 计算矩形的面积，即上底与高的乘积。
3. 然后将原来的梯形分为两个相等的三角形，计算每个三角形的面积，即1/2*底*高。
4. 最后，矩形的面积加上两个三角形的面积，就得到了梯形的面积，即（上底+下底）*高/2。
四、积分法1. 梯形可以看作是函数在一段区间上的定积分，该函数由上下底的中点线定义。
2. 通过微积分的知识，我们可以知道，该定积分的结果等于上下底之和乘以高的一半，即（上底+下底）*高/2。
五、相似三角形法1. 在梯形中，连接上底的一个端点和下底的一个端点，形成一个高，然后找到这个高对应的两个小三角形。
2. 这两个小三角形与大三角形构成相似关系，因此可以利用相似三角形的性质，得到它们的面积比等于对应边长的平方比。
3. 根据这个比例关系，就可以推导出梯形的面积公式为（上底+下底）*高/2。
六、结论以上就是梯形面积公式的四种主要推导方法，每种方法都有其独特的视角和思维方式，可以帮助我们更深入地理解这个公式。
同时，这些方法也可以帮助我们在解决其他数学问题时开拓思路，提供新的解题策略。
求定积分的方法
【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。
定积分的基本计算方法
定积分的基本计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在进行定积分的基本计算时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
本文将介绍定积分的基本计算方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来了解定积分的定义。
定积分是一个区间上的函数在该区间上的平均值与区间长度的乘积。
通俗地讲，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。
在实际计算中，我们经常会遇到一些基本的函数，比如多项式函数、三角函数和指数函数等。
针对不同类型的函数，我们需要采用不同的计算方法。
对于多项式函数而言，我们可以直接利用定积分的定义来计算。
首先，我们将函数表示成一个无穷小区间上的和，然后对每一个小区间的函数值进行加总，最后取极限即可得到定积分的值。
这种方法比较直接，但对于复杂的函数可能会比较繁琐。
对于三角函数和指数函数，我们可以利用换元积分法来简化计算。
通过选择合适的代换变量，将原函数转化为一个更容易积分的形式，然后进行简单的积分运算即可得到结果。
这种方法在处理一些复杂的函数时非常有效，能够大大简化计算过程。
此外，我们还可以利用分部积分法来计算定积分。
分部积分法是对积分中的乘积进行分解，然后利用积分的性质进行转化，最终将原积分转化为两个更容易计算的积分。
这种方法在处理一些特殊的函数积分时非常有用，能够大大简化计算过程。
除了上述方法外，我们还可以利用定积分的性质来简化计算。
比如利用定积分的线性性质、积分中值定理、积分的比较性质等，都可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
总之，定积分的基本计算方法包括直接利用定义、换元积分法、分部积分法以及利用定积分的性质等。
在实际计算中，我们需要根据具体的函数形式选择合适的计算方法，以便简化计算过程，提高计算效率。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
梯形公式的推导过程
梯形公式的推导过程1. 引言1.1前言前言梯形公式是数学中常用的一种数值积分方法，用于估计曲线下面积。
它的推导过程基于将曲线所围成的区域近似为若干个梯形，并对每个梯形的面积进行求和。
本节将介绍梯形公式的推导过程，从而让读者对该公式有一个更加深入的理解。
推导过程如下：1.首先，我们考虑将曲线所围成的区域分割为若干个矩形。
对于每个矩形，我们可以使用矩形面积的公式来估计其曲线下的面积。
2.接下来，我们将每个矩形进一步分割为两个三角形和一个矩形。
对于每个三角形，我们可以使用三角形面积的公式来近似其曲线下的面积。
3.然后，我们可以将每个矩形和三角形的面积相加，得到区域内的总面积近似值。
4.为了提高精确度，我们可以继续将每个矩形和三角形进一步分割为更小的区域，然后按照相同的方法计算其面积近似值。
5.最后，我们将所有小区域的面积近似值相加，得到整个区域的面积近似值。
这就是梯形公式。
通过以上推导过程，我们可以得出梯形公式的表达式：梯形公式是一种较为简单但有效的数值积分方法，可以被广泛应用于科学计算和工程领域。
其推导过程的理解对于进一步研究和应用数值积分方法具有重要意义。
1.2目的和重要性梯形公式的推导过程是数学中的一个重要内容，其目的在于推导出计算梯形面积的公式并解释其重要性。
梯形公式可以用于计算梯形的面积，不仅在数学中有广泛的应用，也在现实生活中有许多实际意义。
梯形公式的推导过程可以开始于定义梯形。
梯形是指具有两条平行边的四边形，其两条平行边分别称为上底和下底。
梯形的高是连接两条平行边的垂直距离。
在推导过程中，可以引入梯形的底边平均数的概念。
首先，可以根据梯形的定义得出梯形的面积公式，即梯形的面积等于底边平均数乘以高。
这个公式在数学中广为使用，并且可以用于计算任意梯形的面积。
推导过程中，可以进一步说明梯形面积公式的重要性。
梯形作为一种常见的几何图形，其面积是很多数学问题中必须要计算的一个指标。
例如，在计算土地面积、建筑物面积等实际问题中，常常需要用到梯形面积公式。
复化梯形积分公式
5、参考文献
[1] 秦新强.数值逼近.西安：西安理工大学出版社，2010
3
本实验针对在每个小区间上利用梯型积分公式，即阶数为 1，进 行实验。
关键词：龙格现象 复化数值积分 代数精度
1、实验目的
1) 通过本次实验体会并学习复化梯形积分公式的优点。 2) 寻找复化梯形积分公式的不足，尝试着对其进行改进。 3) 通过对复化梯形积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。 4) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程
根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所 示：
针对上式，在每一个小区间上利用梯型积分公式有
根据以上两式可以得到
并称其为复化梯形积分公式。一般记
称作 n+1 点复化梯形积分公式
3、算法实例
用复化梯形积分公式计算积分
1
解：复化梯形积分公式就是将区间 n 等分， h=1/n，具体计算时给 n
取值并带如公式就可以得到结果。具体程序如下：
#include "" #include <> #include <iostream> using namespace std; const int num(1000); void main() {
二重数值积分的计算方法的比较
二重数值积分的计算方法的比较1.矩形法：矩形法是最简单的一种数值积分方法，它将区域划分为若干矩形，然后计算每个矩形的面积并求和。
其中有两种常见的矩形法：左矩形法和右矩形法。
左矩形法取每个小矩形的左下角点作为近似点，右矩形法则取每个小矩形的右下角点作为近似点。
矩形法简单易懂，但精度较低。
2.梯形法：梯形法是将区域划分为多个梯形，并计算每个梯形的面积再求和。
梯形法比矩形法更精确，因为它考虑了函数在两个近似点之间的变化。
梯形法的计算公式为：积分=（边界点的函数值之和-首尾两个边界点的函数值）*（区间长度/2）。
梯形法适用于连续函数。
3.辛普森法：辛普森法是通过拟合给定区域上的函数为一个二次多项式，然后计算该多项式的面积从而近似计算二重积分。
辛普森法比起梯形法更加精确，因为它考虑了更多的曲线特征。
辛普森法计算公式为：积分=（边界点的函数值之和+4*中点的函数值之和+边界点之外的所有点的函数值之和）*（区间长度/6）。
4.高斯-勒让德法：高斯-勒让德法是一种通过选择特定的积分点和权重系数来进行数值积分的方法。
该方法通过将区域变换为[-1,1]上的标准化区域，并使用具有一定带权系数的高斯勒让德多项式来逼近原函数。
高斯-勒让德法在给定节点和权重的情况下可以实现任意阶的精度。
综上所述，不同的二重数值积分计算方法各有优劣。
简单的矩形法和梯形法易于理解和实现，但精度较低；辛普森法提供了更高的精度，但计算复杂度也更高；而高斯-勒让德法具有任意阶的精度，但对节点和权重的选择较为复杂。
因此，在实际应用中应根据具体的需求和计算资源来选择适当的数值积分方法。
梯形公式的余项证明
梯形公式的余项证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：梯形公式是求解定积分的一种常用方法，它基于将被积函数在区间上近似为梯形，进而使用梯形的面积计算来估计定积分的值。
梯形公式的精确性取决于梯形的宽度和被积函数的性质。
在实际应用中，我们常常需要考虑梯形公式的余项，即估计梯形公式与实际定积分值之间的误差。
梯形公式的余项证明是一个较为复杂的数学问题，需要借助一些高等数学知识来进行推导和分析。
下面我将介绍一种典型的方法，来证明梯形公式的余项。
我们考虑一个定义在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，并将该区间均等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
对于每个小区间[i, i+1]，我们可以构造一个梯形，其上底边为f(xi)（其中xi是小区间[i, i+1]的中点），下底边为f(xi+1)，高度为Δx。
第i个梯形的面积可以表示为Ai=1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
根据梯形公式的定义，我们可以将整个定积分[a, b]的值近似为所有梯形的面积之和，即：∫[a, b] f(x)dx ≈ ΣAi = Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]ΔxΣ表示对i从1到n求和。
这就是梯形公式的基本形式。
如果我们定义Tn为梯形公式的近似值，则有Tn=Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
接下来，我们考察梯形公式的余项，即真实定积分值与梯形公式的近似值之间的误差。
我们可以将该余项表示为Rn=∫[a, b] f(x)dx - Tn。
接着，我们需要利用微积分的知识来求解余项Rn。
我们可以将余项Rn表示为∫[a, b] f(x)dx - Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
然后，利用泰勒展开定理，我们可以将函数f(x)在xi附近展开为f(xi)+f'(xi)(x-xi)+O(Δx^2)的形式，其中O(Δx^2)表示高阶无穷小项。
ξi和ξi+1分别是小区间[i, i+1]和[i+1, i+2]上的某个点，ξi∈[xi,xi+1]，ξi+1∈[xi+1, xi+2]。
C语言__用六种方法求定积分
C语言__用六种方法求定积分C语言是一种广泛应用于科学计算、算法设计和系统编程的程序设计语言。
虽然C语言本身并没有提供内置的定积分计算函数，但可以通过使用不同的方法来近似计算定积分。
以下将介绍六种常见的数值积分方法：矩形法、梯形法、辛普森法、龙贝格法、高斯-勒让德法和自适应辛普森法。
1. 矩形法（Reimann Sum）：将积分区间等分成若干小区间，然后在每个小区间取一个函数值，最后将所有函数值相加，并乘以区间大小。
这相当于将每个小区间上的曲线近似为一个矩形。
2. 梯形法（Trapezoidal Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用梯形面积公式进行近似计算。
梯形的上底和下底分别为相邻两个小区间的函数值，高为小区间的宽度。
3. 辛普森法（Simpson's Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用三点拉格朗日插值多项式近似计算。
辛普森法使用二次多项式来逼近曲线，能够更好地近似曲线的曲率。
4. 龙贝格法（Romberg Method）：龙贝格法是一种逐步逼近的方法，将积分区间多次分割，并使用多种精度的梯形法进行计算。
通过不断提高梯形法的精度，最终逼近定积分的值。
5. 高斯-勒让德法（Gauss-Legendre Method）：高斯-勒让德法使用一组预先确定的节点和权重，将积分区间变换到[-1,1]上，然后使用插值多项式计算定积分的近似值。
该方法的优点是能够以很高的精度计算积分值。
6. 自适应辛普森法（Adaptive Simpson's Rule）：自适应辛普森法根据曲线的变化程度自动调整子区间的大小。
在每个小区间上计算出辛普森值，并与高斯-勒让德法值进行比较，以决定是否需要进一步细分区间。
以上这些方法都可以使用C语言中的循环、条件语句和函数来实现。
具体实现的步骤包括：将积分区间分割成若干小区间，计算每个小区间上的函数值，然后将这些函数值进行加权求和，最后乘以相应的权重或宽度，得到定积分的近似值。
梯形法的递推化
2012-2013（1）专业课程实践论文梯形法的递推化于灏，0818180105，R数学08-1班董育兵，0818180224，R数学08-2班变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n 点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。
设将求积区间[a ，b]分成n 等份，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值n T ，需要提供n+1个函数值。
如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个。
将二分前后两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[k x ,1+k x ]经过二分只增加了一个分点()12121++=+k k kx x x ，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为))()(2)((4121++++k k k x f x f x f h。
注意，这里nab h -= 代表二分前的步长。
将每个子区间上的积分值相加，得∑∑-=-=++++=110)(2)]()([421!2n k n k k k k n x f h x f x f h T ， 从而利用公式可导出下列递推公式：∑-=++=1)(221212n k k n n x f h T T 主要公式：∑++=)(*)2(2212k n n x f hT T ;开始输入a,b及误差的值令k=0，x=a+(k+0.5)*hT 2n =Tn/2+(h/2)*Σf(xk+0.5)k<=n-1 kk→+1输出Tn，T2nNoYes三、算法程序#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x)//预先输入的待积分函数{double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl; }四、算法实现例1． 利用梯形法的递推公式计算()dx x x ⎰21*log 的值。
梯形法求定积分
梯形法求定积分
梯形法是一种求解定积分的数值计算方法，它是基于将积分区间分成若干个等距的小区间，然后在每个小区间内用梯形面积近似代替曲线下面积的方法来计算定积分的近似值。
梯形法是一种比较简单易行的数值计算方法，常用于计算一些复杂的积分，特别是那些无法用解析方法求解的积分。
梯形法的基本思想是将积分区间[a,b]分成n个等距的小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，然后将每个小区间内的曲线近似看作一个梯形，用梯形的面积来近似代替曲线下面积，最终将所有梯形的面积加起来，即可得到定积分的近似值。
具体地，设f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]分成n个等距的小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，设x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,...,xn=b，则有：
∫[a,b]f(x)dx ≈h/2[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn-1)+f(xn)]
其中，h/2[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn-1)+f(xn)]就是梯形法的近似值。
需要注意的是，梯形法的近似值的精度与分割的小区间数n有关，n越大，近似值的精度越高。
同时，梯形法也存在一定的误差，误差大小与函数的二阶导数有关，误差一般为O(h^2)，即误差随着小区间长度的平方而减小。
总之，梯形法是一种简单易行的数值计算方法，可以用来近似计算一些复杂的积分，但在使用时需要注意分割的小区间数n和误差大小。
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，小区间的长度在每个小区间上任取一点作乘积，求和取极限：则面积取极限其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成n 个小区间，小区间长度，。
任取，做求和取极限：则路程取极限定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和，记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即，（*）其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以3.规定时 ,在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）设可积性质1性质2性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有性质4性质5 如果在区间上，，则推论性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，使成立例2 比较下面两个积分的大小与解设，在（0，1）内，单调增当时，有，即由性质5，例3估计积分的值解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
梯形法求定积分的公式推导
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
积分的基本思想
积分是将函数的值与自变量的值相乘， 再对自变量进行积分，从而得到函数 与自变量之间关系的总和。
VS
积分的基本思想是“分割、近似、求 和、取极限”，即将积分区间分割成 若干小区间，在每个小区间上取一个 代表点，将代表点处的函数值作为近 似值，然后将所有近似值求和，最后 取极限得到精确值。
通过将这些梯形的面积进行求和，就 可以得到定积分的近似值。
梯形法的适用范围
梯形法适用于那些被积函数在积分区间上变化比较平缓的情况，因为这种情况下梯形的面积近似值比 较准确。
对于那些被积函数在积分区间上变化剧烈的情况，梯形法的误差可能会比较大，此时可能需要采用其 他数值积分的方法。
02
梯形法的基本原理
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梯形法求定积分的公式推
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ERA
导
• 梯形法简介 • 梯形法的基本原理 • 梯形法的公式推导 • 梯形法的应用实例 • 总结与展望
目录
CONTENTS
01
梯形法简介
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
计算复杂函数定积分
计算方法
对于复杂函数，可以采用泰勒级数展开等方法将其转化为简单函数，然后利用梯形法进 行计算。
实例
计算函数$f(x)=e^x/(x^2+1)$在区间[0,1]上的定积分。首先将函数进行泰勒级数展开， 然后利用梯形法进行计算。
解决实际问题中定积分的计算
应用场景
在实际问题中，定积分的应用非常广泛，如 物理学、工程学、经济学等领域。
定积分的计算方法
本科毕业论文定积分的计算方法专业数学与应用数学作者姓名班级2007级1班学号2007011105 指导教师提交日期2011年5月10日陇东学院数学与统计学院2011年5月定积分的计算方法（陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）摘 要:本文从定义法,几何意义计算法,公式法以及特殊计算法和近似计算方法讨论了定积分的计算.关键词: 定积分; 计算方法; 二重积分; 近似计算一 引言在数学分析的学习以及科学研究中，到处都会遇到微分、积分的计算问题,微分的计算比较容易，积分的计算难度就要大多了.正因为如此,人们对积分的计算从理论到实践进行了大量的研究,总结了许多种方法.在此，着重对定积分的计算方法和技巧做归类简析.二 正文1根据定义计算定积分定积分的定义]1[:一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 任意分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 称为被积函数,x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间,b 积分上限，a 积分下限.计算定积分可以通过计算极限ini io x x f ∆∑=→∆1)(lim ξ 来实现.例1]4[ 用定积分的定义求.dx e bax ⎰解 因为xe xf =)(为],[b a 上的连续函数，所以对于任意分割T 和任意点集},{i ξ有i ni i T x f ∆∑=→1)(lim ξ都存在且相等，即dx e bax ⎰存在，所以，把],[b a 平均分成n 等份，因此每个子区间的长度.nab x i -=∆ 取每一子区间的右端点为i ξ,即,i n ab a i -+=ξ于是ni a b a i ef )()(-+=ξ,这样=∆∑=i ni i x f 1)(ξna b a ni ni a b a e nab e-+=-+=-⋅∑(1)(na b a e)(2-++++ nab ena b n a --+))( na b ee nab ee eab na b a na b n nab na b a -⋅-=-⋅-=--+---+)1(]1)[(/),1(--na b e因此dx e bax⎰i ni i n x f ∆=∑=∞→1)(lim ξ∞→=n lim /)1(na b eeab na b a -⋅---+)1(--na b e.)1(a b ab a e e ee -=-=-小结: 用定积分的定义计算定积分,能解决的定积分其被积函数一般是比较简单的情形,主要因为和式x f ni i∆∑=1)(ξ 的极限一般不容易求.2 利用定积分的几何意义计算一般情况下,定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号． 例2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11． 解（1）由下图（1）所示,0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .- 11 11A A O xyRy2A（2）由上图（2）所示,2d 2222R A x x R RRπ==-⎰-.(3)由上图（3）所示,0)()(d c o s 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A A A A A x x .（4）由上图（4）所示,1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 3 公式法凡运用不定积分的基本公式和牛顿——菜不尼玆公式计算定积分的方法,称为公式法.公式法适用于解决能用不定积分求出被积函数的原函数的这类函数积分的问题.而用不定积分求原函数时有直接积分、还原积分、分部积分，因此相应地也有定积分的直接积分、还原积分、分部积分法等.牛顿—莱布尼兹公式]1[ 设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的一 个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰． (1)公式(1)是著名的牛顿—莱布尼兹公式.牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为求被积函数的原函数在上、下限处函数值之差的问题，从而巧妙地避开了求和式极限的艰难道路,为运用定积分计算普遍存在的总量问题另辟坦途．例如1cos 42]cos [)11sin 2(1212++=+-=+++⎰πarctgx x x dx x x x . O x y1 - 13A 4 A 5 A 2 π π( 3 )1-1- 11 O xy6A 6A (4)4 特殊计算方法 4.1方程式求解在计算过程中,通过解方程（组）的方式求定积分.例3 求xdx e I x sin 20⎰=π.解 xdx e I xsin 20⎰=π=02sin πxe x-xdx e x cos 20⎰π=x xde e cos 202⎰-ππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎰xdx e xe e x x sin cos 20022πππI e xdx e e x-+=-+=⎰1sin 12202πππ解方程：)1(21122+=⇒-+=ππe I I e I .4.2消项法对某些不便计算的积分,经过一定的变化,将其中某些部分积分相互抵消而得其值.作为一种方法只能尝试着使用. 例4]4[ 求dx x x I ⎰++=1021)1ln(.解 ⎰⎰⎰=-=+=+=404040c o s )4c o s (2ln cos cos sin ln)1ln(ππππdt t t dt t t t dt tgt I tgtx ⎰⎰⎰--+=404040.cos ln )4cos(ln 2ln ππππtdt dt t dt而⎰⎰⎰==--=404044.cos ln cos ln )4cos(ln πππππtdt udu dt t tu.2ln 82ln 40ππ==⎰dt I4.3 利用导数计算定积分例5]5[ ⎰π203.sin xdx x 求解 令,0)(,6)(''',6)('',3)(')()4(23====⇒=x f x f x x f x x f x x f)]2('')0(''[)]2()0([sin )]()([20)4(πππf f f f xdx x f x f ---=-⎰即].120[]80[sin )0(3203πππ---=-⎰xdx x.812sin 2203πππ-=⎰xdx x4.4 利用递推公式例6]5[ 计算xdx e x I xn n sin 20⎰=π.c o s 20x d x e x J x n n ⎰=π解 x d x e x x d x e xn x e x I x n xn xn n c o s s i n s i n2020102⎰⎰--=-πππn n xnJ nI e --=-12)2(π. (2)同理：n n n I nJ J +-=-1. (3)由（2）,（3）得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---=112112221221n n n n n n n n nJnI e J nJ nI e I ππππ ,,2,1 =n 其中 2121sin 220+==⎰ππe xdx e I x ,.2121cos 2200-==⎰ππe xdx e J x4.5 利用二重积分计算定积分先将定积分设法化为二重积分,再用二重积分的性质进行计算. 例7]1[ 计算dx xxx I ⎰-=13ln 解,2l n l i m ,0l n l i m 1,0l n 31303=-=--→→-x xx x x x xx x x x ）内连续，且在（ 故 dx x x x ⎰-13ln 有意义，又 ,ln 313dy x xxx y ⎰=-.2l n 11131103131=+===∴⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx x dy dy x dx I y y 4.6 利用带参变量的积分计算定积分 例8 计算dx xxx I ⎰-=13ln （即例7） 解 令dx xxx b I b ⎰-=10ln )( )0(≥b ,显然,0)(=b IC b b I bdx x b I b ++=⇒+==⎰)1ln()(11)('10)1(=I 21ln 2ln )1ln()(2ln +=-+=⇒-=∴b b b I C .2ln 213ln)3(=+==∴I I 4.7]3[ 利用留数计算积分这是将实积分转变为复变函数积分,再利用复变函数中留数理论进行计算. 例9 计算.1cos 2dx x x ⎰+∞∞-+解 211)(xx R +=为分母2次,分子0次的有理函数,故上述积分存在.且R(z)在上 半平面只有一个一级极点i ,在实轴上无孤立奇点,又i e z e i z i e z R s iz i iz21)(lim ],)([Re 120-→=+∙-=.221sin 1cos 11222ei e i dx x x i dx x x dx x e ix ππ=∙=+++=+∴-∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰ .)(1cos 2ee R dx x x I e ππ==+=∴⎰+∞∞-5 近似计算法]2[根据定积分的几何意义：dx x f ba⎰)(表示的是以)(x f 为曲边,以x 轴上的区间],[b a 为低的曲边梯形面积的代数和.我们可以用x 轴上的分点b x x x x x n ==,,,,210 ,将曲边梯形的低],[b a 平均分成N 个小区间,每个小区间的长度为,Nab x -=∆过分点作平行于y 轴的线段将整个曲边梯形分成N 个小的曲边梯形,每个小的曲边梯形面积都用已知图形的面积来近似代替.根据已知图形的形状可以分为以下近似计算法：5.1矩形法以第i 个小区间左或右端点对应的函数值x x f x f i i ∆-以为高或,)()1(为低作一个小 矩形,用这个小矩形面积x x f x x f i i ∆∆-)()1(或来近似代替第i 个小曲边梯形的面积（n i ,,2,1 =）， 于是Na b x f dx x f Na b x f x x f dx x f ni i bani i n i i ba-≈--=∆-≈∑⎰∑∑⎰===111)()()1()1()(或上式称为矩形法公式.5.2梯形法以第i 个小区间左右端点i i x x ,1-对应的函数值)(),1(i i x f x f -为上下低,以x ∆为高作一个梯形,其面积为2)]()1([xx f x f i i ∆+-,将其作为第i 个小的曲边梯形面积的近似值),,2,1(n i =，于是 xx f x f x x f x f x x f x f dx x f n n ba∆+++∆++∆+≈-⎰)]()([21)]()([21)]()([21)(12110=)]()()(21)(21[10n n x f x f x f x f n a b ++++- 上式称为梯形公式.5.3辛普森法当分点N=2n 时,每个小区间的长度h=nab 2-,过每个分点作平行于Y 轴的直线,它们与曲线 310222111000,,,).,(,),,(),,()(M M M y x M y x M y x M x f y n n n 过点分别交于点= 可确定一条抛物线,以此抛物线为曲边,以区间[20,x x ]为底边的曲边梯形的面积432210,,);4(3M M M y y y h同理以过点++所确定的抛物线为曲边,以区间],[42x x 为底的曲边梯形面积为n n n M M M y y y h21222432,,)4(3--++过点 确定的抛物线为曲边,以区间],[222n n x x -为低的小曲边梯形面积为)4(321222n n n y y y h++--.于是)](4)(2)[(6)(123122422--+++++++++-≈⎰n n n o bay y y y y y y y Nab dx x f上式成为辛普森公式.例10 分别用矩形法,梯形法,辛普森法计算定积分⎰+1021x dx的近似值.解 将区间[0,1]十等分，个基点上被积函数的值列表如下.(取七位有效数字)i x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 i y10.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000i x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 i y0.73529410.67114090.60975610.55248620.5① 用矩形法公式去计算（取四位有效数字）8099.0)(1011910102=+++≈+⎰y y y dx x dx（或7600.0)(1011021=+++y y y ） ② 用矩形法公式去计算（取四位有效数字）7850.0)22(1011109210102=++++≈+⎰y y y y y x dx ③ 用辛普森法去计算去计算（取七为有效数字）7853982.0)](2)(4[301184********02=+++++++++≈+⎰y y y y y y y y x dx . 准确值：78539816.04112===⎰πarctg dx x与上述值比较，普森法计算结果有六位有效数字是准确的，更接近于真实值.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）．高等教育出版社,2001 [2]首都师范大学数学系.数值分析 科学出版社,2000[3]同济大学数学教研组.高等数学（第三版）.高等教育出版社,1988 [4]邓乐斌.数学分析的理论,方法与技巧.华中科技大学出版社. [5]姚允龙.高等数学与数学分析—方法导引.复旦大学出版社,1992。
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
估算定积分的方法
估算定积分的方法一、引言定积分是微积分中的基本概念，它描述了函数在某个区间上的积分和。
在实际应用中，我们需要估算定积分的值。
传统的定积分计算方法包括矩形法、梯形法等，但这些方法在处理复杂函数或大区间时可能效率低下。
因此，寻找更高效、准确的估算定积分的方法具有重要意义。
本文将介绍几种常用的估算定积分的方法，并对其进行具体分析。
二、方法概述1.矩形法：将积分区间分成若干个等宽的小矩形，然后用小矩形的面积近似代替曲线下方的面积，从而得到定积分的近似值。
2.梯形法：将每个小矩形连接起来形成一个梯形，然后用梯形的面积近似代替曲线下方的面积，从而得到更精确的定积分近似值。
3.辛普森法则：将积分区间分成对称的两部分，然后在每个部分上使用梯形法进行近似计算，最后将两个部分的近似值相加，得到定积分的近似值。
4.牛顿-莱布尼茨公式：将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用矩形法进行近似计算，最后将所有小区间的近似值相加，得到定积分的近似值。
三、具体分析1.矩形法矩形法是一种简单直观的定积分估算方法。
其基本思想是将积分区间分成若干个等宽的小矩形，然后用小矩形的面积近似代替曲线下方的面积。
这种方法简单易行，但精度较低。
矩形的宽度越大，近似值的误差越大。
因此，在处理大区间或复杂函数时，矩形法的精度可能无法满足要求。
2.梯形法梯形法是在矩形法的基础上改进而来的。
与矩形法相比，梯形法更精确。
其基本思想是将每个小矩形连接起来形成一个梯形，然后用梯形的面积近似代替曲线下方的面积。
这种方法比矩形法更精确，因为梯形的面积更接近曲线下方的面积。
但当小矩形的宽度较大时，误差仍然较大。
因此，在处理大区间或复杂函数时，梯形法的精度也可能无法满足要求。
3.辛普森法则辛普森法则是基于梯形法的改进方法。
其基本思想是将积分区间分成对称的两部分，然后在每个部分上使用梯形法进行近似计算。
最后将两个部分的近似值相加，得到定积分的近似值。
与梯形法相比，辛普森法则可以在计算量增加不大的情况下提高近似值的精度。
数值分析中的梯形法误差估计技巧
数值分析中的梯形法误差估计技巧数值分析中的梯形法是一种常用的数值积分方法，用于近似计算定积分。
在实际应用中，我们往往需要对梯形法的误差进行估计，以确保计算结果的准确性。
本文将介绍数值分析中的梯形法误差估计技巧。
1. 基本原理梯形法是通过将定积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间上应用梯形面积公式来逼近定积分的值。
梯形法的基本原理是利用多项式插值的思想，在每个小区间上用一个二次多项式来逼近被积函数。
因此，梯形法的误差与插值误差有密切关系。
2. 误差估计公式梯形法的误差可以通过以下公式进行估计：\[|E| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max_{a \leq x \leq b} |f''(x)|\]其中，\(E\)为误差，\(a\)和\(b\)为积分区间的上限和下限，\(n\)为分割区间的个数，\(f''(x)\)为被积函数的二阶导数。
3. 误差分析从误差估计公式可知，梯形法的误差与积分区间长度的立方和分割区间数的平方成反比。
因此，我们可以通过减小积分区间长度或增加分割区间数来减小误差。
此外，被积函数的二阶导数在整个积分区间上的最大值也会影响误差的大小，因此在实际应用中需要对被积函数进行适当的选择和分析。
4. 数值实例假设要计算定积分\(\int_{0}^{1} e^{-x^2}dx\)，我们可以利用梯形法进行近似计算。
将积分区间\[0,1\]分成n个小区间，应用梯形面积公式计算每个小区间上的定积分值，然后将这些值相加即可得到近似结果。
通过误差估计公式，我们可以对近似结果的准确性进行评估。
5. 总结梯形法是数值分析中常用的积分方法，通过对积分区间进行分割，并利用梯形面积公式来逼近定积分的值。
在实际应用中，我们需要对梯形法的误差进行估计，以保证计算结果的准确性。
通过适当选择积分区间长度、分割区间数和被积函数的二阶导数，我们可以有效地控制误差，提高计算的精确度。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分是数学中重要的概念之一，用于计算曲线下面积、体积、质量等问题。
然而，很多情况下，定积分的精确计算是困难的，因此需要使用近似计算的方法来求解。
下面将介绍一些常用的定积分近似计算方法。
1.矩形法：矩形法是最基本的一种近似计算方法，它将定积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点，然后计算这些小区间的矩形面积之和。
通常有三种矩形法：左矩形法（取每个小区间左端点的函数值）、右矩形法（取每个小区间右端点的函数值）和中矩形法（取每个小区间中点的函数值）。
它们的近似公式分别为：左矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)(x_{k+1}-x_k)$右矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx\sum_{k=1}^{n}f(x_k)(x_k-x_{k-1})$中矩形法：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2})(x_{k+1}-x_k)$2.梯形法：梯形法是一种比矩形法更精确的近似计算方法。
它的基本思想是将定积分区间划分为若干个小区间，在每个小区间上选择两个端点，然后计算这些小区间内的梯形面积之和。
近似公式为：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{k=1}^{n}\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}(x_k-x_{k-1})$3.辛普森法：辛普森法是一种更加精确的近似计算方法，它将定积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上选择三个点，通过连接这三个点构造一个二次插值多项式，然后计算这些二次插值多项式下的曲线面积之和。
近似公式为：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx\frac{h}{3}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(f(x_{2k})+4f(x_{2k+1})+f(x_{2k+2}))$其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$n$为划分小区间的个数。
定积分 梯形公式 矩形
定积分梯形公式矩形
在微积分中，定积分是一个数学概念，用于计算曲线下面积。
梯形公式和矩形法则是两种用于估计定积分的数值近似方法。
定积分：定积分是一个数学概念，表示在一定区间内的曲线下面积。
通常用符号∫表示，表示对函数进行积分。
定积分的计算方法可以通过找到一个反导数（不定积分）的差值来实现。
梯形公式：梯形公式是一种数值积分的方法，它使用梯形的面积来估计曲线下面积。
方法是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上的曲线近似为一条直线，形成梯形。
然后，计算每个梯形的面积并求和，得到整个区间的面积估计值。
矩形法则：矩形法则是另一种数值积分的估计方法，它使用矩形的面积来估计曲线下面积。
与梯形法则类似，矩形法则也将积分区间分成若干个小区间，但它假设每个小区间上的曲线近似为一条水平线段。
然后，计算每个矩形的面积并求和，得到整个区间的面积估计值。
这两种方法都是数值积分的近似手段，特别适用于无法通过解析方法得到精确解的情况。
在实际应用中，选择梯形公式或矩形法则的具体方法通常取决于问题的性质和计算的要求。
利用梯形法则估计定积分的值
1The diagram shows the curve with equation y = 3x , x > 0.a Copy and complete the table below, giving the exact y -coordinate corresponding to each x -coordinate for points on the curve.x1 2 3 4 yThe shaded region is bounded by the curve, the x -axis and the lines x = 1 and x = 4.b Use the trapezium rule with all the values in your table to show that the area of the shadedregion is approximately 384. c With the aid of a sketch diagram, explain whether the true area is more or less than 384.2a Sketch the curve y = x (3x + 2) showing the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes.b Use the trapezium rule with 4 intervals of equal width to estimate the area bounded by the curve, the x -axis and the line x = 2.c Find this area exactly using integration.d Hence, find the percentage error in the estimate made in part b .3 Use the trapezium rule with the stated number of intervals of equal width to estimate the area of the region enclosed by the given curve, the x -axis and the given ordinates.a y = 321x + x = 4x = 6 2 intervals b y = lg (x 2 + 9) x = 0x = 3 3 intervals c y = x 2 sin x x = 0x = π 4 intervalsd y = x = −2 x = 2 4 intervals4Use the trapezium rule with the stated number of equally-spaced ordinates to estimate the area of the region enclosed by the given curve, the x -axis and the given ordinates.a y = 3xx = 0 x = 3 4 ordinates b y = sin (lg x ) x = 2 x = 2.4 3 ordinates c y = 32xx +x = 0x = 0.5 6 ordinatesd y = x = 0 x = 2π3 5 ordinates5123x −The diagram shows the finite region, R , which is bounded by the curve y = 2 – 123x −, the x -axisand the lines x = 3 and x = 7.a Use the trapezium rule with 5 intervals of equal width to estimate the area of R .b Use integration to find the exact area of R .6The diagram shows the curve y = sin x 2, 0 ≤ x ≤ 1 and the lines x = 1 and y = sin 1.a Use the trapezium rule with 5 strips of equal width to estimate the area bounded by the curve y = sin x 2, the x -axis and the line x = 1, giving your answer to 4 decimal places.The shaded region on the diagram is bounded by the curve, the y -axis and the line y = sin 1.A flower bed is modelled by the shaded region, with the units on the axes in metres. b Calculate an estimate for the area of the flower bed, correct to 2 significant figures.7 a Use the binomial theorem to expand (1 + 2x)6 in ascending powers of x up to and includingthe term in x 3.The finite region R is bounded by the curve y = (1 + 2x )6, the coordinate axes and the line x = 0.5b Use your expression in a and integration to find an estimate for the area of R .c Use the trapezium rule with 6 equally-spaced ordinates to find another estimate for thearea of R .8+ 16xThe diagram shows the curve y = x 2 + 16xfor x > 0. a Show that the stationary point on the curve has coordinates (2, 12). The region R is bounded by the curve y = x 2 +16x , the x -axis and the lines x = 2 and x = 4.b Use the trapezium rule with 4 strips of equal width to estimate the area of R .c State whether your answer to b is an under-estimate or an over-estimate of the area of R .。