复合函数定义域的常见求法

复合函数定义域的常见求法

一、复合函数的概念

假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：

〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]

例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]

〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]

〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

例4、f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。

答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3]

三、求复合函数的解析式。

关于复合函数的解析式的求法，尽管种类专门多，在那个地点重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅«教学周刊»第6期。

〔1〕配凑法

假设f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x 的函数，能够把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x 替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。

例5、f (x x

x x x 21)122++=+，求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 2

例6、f ( x + 331)1x

x x +=,求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 3-2x-1

〔2〕换元法

假设f [ g ( x ) ]的表达式，能够令g ( x ) = t ，从中解出x 再将x 代入f [ g ( x ) ]的表达式中，如此

f [

g ( x ) ]就表示成关于t 的函数，即得函数f ( x )的解析式。

例7、x

x x x f 212)1(+=+ 〔 x > 0 〕求f ( x )的解析式。 答案： 2 / (x-3)

例8、用换元法看看例5，例6能否适用。

答案：f(x)= x 2 f(x)= x 3-2x-1

二、关于f ( x )函数中，利用条件，求某些专门函数值。

关于这类咨询题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的咨询题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类咨询题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。

例9、函数f ( x )满足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,那么f ( 36 ) = ?

[分析]该题要求的是f ( 36 ),而条件中给我们f ( ab ) = ……，自然会想到，36能拆成什么的乘积了。

一、复合函数的概念

假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2

能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：

〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。 C.[H]和A TP D.184条、0条

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。