2019年上学期湘教版七年级下册数学培优学案资料(共15讲)

第一讲 二元一次方程组（一）
例题讲解 例1 解方程组
例2 若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+k y x ,
k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，
求k 的值。

例3 已知
3252372a c c b b a -=
-=+, 则c b a c
b a 65223+--+的值等于 .
巩固练习
1．如果x ，y 满足2x +3y =15，6x +13y =41，求x +2y 的值。

2、二元一次方程组34,231x y x y +=⎧⎨
-=-⎩．的解是（ ）
A ．11.x y =⎧⎨=⎩，
B ．11.x y =-⎧⎨=-⎩，
C ．22.x y =-⎧⎨=⎩，
D ．21.x y =-⎧⎨=-⎩
，
3、如果|21||25|0x y x y -++--=，求x y +的值。

4、如果关于x y 、的二元一次方程组316215x ay x by -=⎧⎨
+=⎩的解是7
1
x y =⎧⎨=⎩，求关于x y 、的二元一次
方程组3()()16
2()()15x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩
的解。

5 解下列三元一次方程组：
（1） （2）
6 读一读：解方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=+141
272
3y
x
y
x
解：设n y m x ==1
,1，则原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+142723n m n m ，解得⎩
⎨⎧-==45n m ，
∴41,51-==y x ，∴原方程组的解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==415
1y x ．
试一试：请利用上述方法解方程组 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=+132
3112
5y
x
y
x
7 已知0332=--+c b a ，0443=--+c b a ，1-≠c 求1
32
22---++-c b a c b a 的值．
8.当m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1
44
2y x my x 的解x 和y 都是整数？
作业 1、若==++++++++=x ac
c x
bc b x ab a x abc 则,2010111,1
2、若8,553==a a ，并且对所有正整数n ，有==++++200121,7a a a a n n n 则
3、已知方程组⎩
⎨
⎧=+-=+-0320
32z y x z y x 则=z y x ::
4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+1
5332k y x k
y x 的解是非负整数，求k 的值。

5、已知关于x 、y 的二元一次方程()()02521=-+++-a y a x a ，无论a 为何值，这个方程必定有一个固定的解，求此解。

6、解方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-4
21621y x y x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=++=+-742125230
32z y x z y x z y x
第二讲 二元一次方程组（二）
例题讲解
例1 方程组12,
6
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．4
例2 关于x ，y 的方程组
10210
x ay bx y ++=⎧⎨
-+=⎩有无数组解，则a ，b 的值为( )
A ．0=a ,0b =
B ．2-=a ，1b =
C ．2=a ，1b =-
D ．2=a ，1b =
例3 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的2/3，厂家需付甲、丙两队共5500元。

现在厂家要求不超过15天完成全部工程，由哪对单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

例4 若z y x m z y x z y x z y x 245,503,30++==-+=++都为非负数，求、、的最大值和最小值。

巩固练习
1、若x 、y 是两个实数，且||2,||1,
x x y y x y -+=-⎧⎨
--=⎩，则y x x y 等于( )
A ．98- B. 1627-
C. 89-
D. 98
2.当a 、b 满足什么条件时，关于x 、y 的方程(22b -18)x=3①与方程组
都无解？请说明理由. 作业
1、甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )
A 甲比乙大5岁
B 甲比乙大10岁
C 乙比甲大10岁
D 乙比甲大5岁
2、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。

如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台
3、如图，甲、乙两辆车同时从点A 出发，沿长方形两边行驶，结
果在点B 相遇。

已知点B 和点C 的距离为5米，且乙车的行驶速度
为甲车行驶速度的13
9
，那么这个长方形的周长为 米
甲
C
B
（1）该商场购进A、B两种商品共多少件？
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
5、用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。

问桃，李，榄橄各买几粒？
6、A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元。

（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W关于x的关系式。

（2）若要求总运费不超过9千元，问共有几种调运方案
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
第三讲 整 式
例题精讲
【例1】若代数式22
(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代
数式234a -+2221
2(3)4
b a b --的值
【例2】已知,m n 是自然数，322341111
712
m n m n a b c a b c a b c --+--+是八次三项式，求,m n
【例3】已知两个多项式A 和B ，
43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使
A B -是五次六项式？
【例4】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的
所有值中最大的一个是多少
【例5】设21
11
x mx =-+，则36
33
1x x m x -+的值是 （ ） A.1 B.313m + C.2132m - D.2
1
31
m +
【例6】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值
是 .
【例7】已知a 为实数,且使32
3320a a a +++=,求199619971998(1)
(1)(1)a a a +++++的值.
巩固练习
1、已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，则多项式
222a b c ab bc ca ++---的值为
2、已知,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，那么111111()()()a b c b c c a a b
+++++的值为 .
3、若3a =-，25b =，则2007
2006a b +的个位数字是（ ）
A.3
B.5
C.8
D.9
4、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式3
1235ax bx --的值 .
5如果不论x 取什么数，代数式3
5
ax bx ++的值都是一个定值，求代数式2222
a b a b +-的值.
作业
1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

2、在()()y x y ax -+与3的积中，不含有xy 项，则a 必须为 。

3若()()q a a pa a +-++3822中不含有23a a 和项，则=p ，=q 。

4若n m n m 3210210,310+==，则的值为 。

5已知()()2212
3
--==+b a ab b a ，化简，的结果是 。

6计算()()()()
2
5
2
1.010432--⨯-⨯-÷-的结果为 。

7已知199819992000201x x x x x ++=++，则的值为 。

8已知()3
353x y y x y x -++-=-，则代数式的值等于 。

9如果2221682=⨯⨯x x ，则x 的值为 。

10、若()
4
323n n a a ，则=的值为 。

11、计算()20016006
125.02⨯-的结果为
12、已知()
93
22=x ，则x = 。

13、已知()n
n n xy y x 245，则，===
14、若y x x x 2254,32+==，则的值为 。

15、已知n m n m 2324232-==，则，
的值为
16、若22=ab ，则代数式()b ab b a ab ---352的值为
17、已知93222=⋅x
，则x 的值是 。

第四讲 乘法公式（1）
平方差公式
1、计算：
（1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a)
(3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z)
（5）(5+6x)(5-6x) （6)(x-2y)(x+2y)
(7)(-m+n)(-m-n) (8)(-
41x-y)(-4
1
x+y)
(9)(ab+8)(ab-8) (10)(m+n)(m-n)+3n
2
(11)(a+2)(a-2) (12) (3a+2b)(3a-2b)
(13)(-x+1)(-x-1) (14) (-4k+3)(-4k-3)
（15）（-2x+3y ）(-2x-3y) (16) (a-2)(a+2)(a 2+4)
2、利用平方差公式计算
（1）803×797 （2）398×402
完全平方公式
1、计算： （1）（a+b)2
(2)(a-b)2
（3）（x+6)2 （4）(a+2b)2
(5)(3s-t)2 （6）（
21x+3
2y)2
(7)(-2m+5n)2 （8）（2a+5b)2
(9)(4p-2q)2 （10）(21x-3
2y 2)2
(11)(1.2m-3n)2 (12)(-2
1
a+5b)2 (13)(-
43x-3
2y)2 （14）1012
(15)542 (16)9972
（17）（3m-4
1)2
(18)(x 2-1)2
(19)(-a-b)2 (20)(
43s+3
2t)2
（21）(3x-y)(3x+y) (22)(-2b-5)(2b-5)
（23）(5a-2b)2 (24)(
2
1m 2
+2n)2
（25） (x-2y)(x+2y)-(x+2y)2+8y 2 （26）(a+2b+3c)(a+2b-3c)
(27)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (28)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2
(29) (a+b)2-(a-b)2 (30)(a+b-c)2
(31)(x-y+z)(x+y+z) (32)(mn-1）2-（mn-1)(mn+1)
(33)(2+1)(22+1)(24+1)
(34) (3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2
3
64
公式的逆用
1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3、已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3
a b +与2()a b -的值。

4、已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

5、已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

6、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

7、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
8、已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。

9、已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2
x xy --的值。

10、已知16x x
-=，求221
x x +的值。

11、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）4
4
1x x +
12、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

13、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式
22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
14、计算
（1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2） （2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）
（3）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）； （4）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）．
15、已
，求下列各式的值：（1）
； （2）
．
“整体思想”在整式运算中的运用
1、当代数式532
++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值.
2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168
3-=x c ，
求：代数式bc ac ab c b a ---++2
22的值。

3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(2
2
++y x 的值
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式83
5-++cx bx ax 的值
5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N
试比较M 与N 的大小
6、已知012=-+a a ，求200722
3++a a 的值.
7、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．
8、先化简，再求值：
(1))4)(2)(2(2
2
y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 2
1
,2)()())((22
2
=
=+++--+b a b a b a b a b a 其中
第五讲 乘法公式（2）
例题精讲
例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式222
a b c ab bc ac ++---的值。

例2 已知a 、b 、c 为有理数，且满足2
8,16,a b c ab =-=-求a.b.c 的值。

例3 已知2
310,x x -+=试求下列各式的值： （1）2
21x x + （2）331x x + (3) 4
4
1x x +
例4 已知x 、y 满足x 2十y 2十4
5
＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值．
例5 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足2
2
2
c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．
巩固练习
1、 已知2
2
3,2,a b ab a b -==+求的值为
2、 若2
3
2
31,6751999x x x x x -=+-+求代数式的值为
3、如果：=-==+-2
22)32,5,0168y x x y xy x 则（且
4、能使2
164x +是一个完全平方式，需添加
5、计算：2
4
8
16
(21)(21)(21)(21)(21)1++++++=
6、若942++mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 。

7、计算2002200020012⨯-的结果是 。

8、已知()()7112
2
=-=+b a b a ，
，则ab 的值是 。

9、已知2
131⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=+x x x x ，则的值为 。

10、已知2235b a ab b a +==+，则，的值为 。

11、当x = ，y = 时，多项式11249422-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值是 。

12、()()()()()121212121232842+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++的个位数字是 。

13、计算()()2222b ab a b ab a +-++的结果是 。

14、若()()[]1320122
---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 。

15、计算()()123123-++-y x y x 的结果为 。

16、若x
x x 2
04412，则=+-的值为 。

17、()2
101
--= 。

18、多项式62
1
143--++b a ab a m 是一个六次四项式，则=m 。

19、若代数式7322++a a 的值是8，则代数式9642-+a a 的值为 。

20、已知y x y xy xy x -=-=-，则，1220的值为 。

21、若6242322-++=+n mn m n m ，则的值为 。

22、已知()()xy y x y x ，则，
592
2
=-=+的值为 。

21、若代数式5021422++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y 。

22、已知05242
2
=+-+-b b a a , 求 b a 、的值
23、已知a,b,c 是三角形的三边，且a 2+b 2+c 2
=ab=bc+ca ,试判断三角形的形状
24、已知2242212,22322
a a a a a a =++++求的值
四 作业
1．观察下列各式：
(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；
(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；
(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．
根据前面的规律可得 (x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．
2．已知052422=+-++b a b a ，则b
a b a -+= ．
3．计算：
(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655
(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 =
(3)2199919991999199719991998222
-+ ．
4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式
5．已知51=+a
a ，则2241a a a ++= ．
6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．
A ．一15
B ．一2
C ．一6
D ．6
7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．4000
2001
8．若4,22
2=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )． A ．4 B ．20022 C ． 22002 D ．42002
9．若01132=+-x x ，则4
41x x +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．7
10．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．
A ．))((22b a b a b a -+=-
B ．2
222)(b ab a b a ++=+
C ．2222)(b ab a b a +-=-
D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+
11．(1)设x+2z ＝3y ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．
(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)．
12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
13．观察：2514321=+⋅⋅⋅
21115432=+⋅⋅⋅
2
1916543=+⋅⋅⋅
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．
14．你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
(1)通过计算，探索规律．
152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；
352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．
(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ．
15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．
16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．
(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．
17．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )．
A ．4
B ．0
C ．2
D ． 一2
18．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
19．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．
A ．x ≤y
B ．x ≥y
C ．x<y
D ．x>y
20．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
21．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值．
第六讲 因式分解（一）
【例题精讲】
◆例1：（1）4x （a －b ）＋（b 2－a 2）；
（2）（a 2＋b 2）2－4a 2b 2；
（3）x 4＋2x 2－3；
（4）（x ＋y ）2－3（x ＋y ）＋2；
（5）x 3－2x 2－3x ；
（6）4a 2－b 2＋6a －3b ；
（7）a 2－c 2+2ab +b 2－d 2－2cd
（8）a 2－4b 2－4c 2－8bc
◆例2：分解因式：
（1）()()10342424+++-+x x x x
（2）()()()()26321x x x x x +++++
（3）()199911999199922---x x
1、()()122122-++++x x x x ；
2、()()2222284384x x x x x x ++++++；
3、()()()()21131216x x x x x +----；
4、分解因式：()()()2122-+-+-+xy y x xy y x ；
◆例3：把下列各式分解因式：
1、()()()b a c a c b c b a -+-+-222；
2、67222-+--+y x y xy x 。

【巩固】分解因式：
1、()()122++-+b a b a ab ；
2、613622-++-+y x y xy x 。

◆例4：分解因式：4323+-x x 。

1、4
224y y x x ++； 2、4464b a +；
【拓展】分解因式：4
32234232b ab b a b a a ++++。

◆例5：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式()A y x ++2，()B y x +-2乘积的值，则=+B A ______________。

◆例6：分解因式：61362
2-++-+y x y xy x 。

【巩固】分解因式：
1、25222-+---y x y xy x ；
2、4925322-++-+y x y xy x ；
【拓展】
1、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
2、多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，试确定b a +的值。

3、求证：22328y xy x --可以化为两个整系数多项式的平方差。

【作业】
1、分解因式：=+-2232ab b a a ___________________________；
2、分解因式：=-+-9222y xy x ________________________________；
3、分解因式：()()=-++++122122x x x x ___________________________________；
4、已知c b a 、、满足5=+b a ，92-+=b ab c ，则=c _______________；
5、分解因式：32422+++-b a b a 的结果是____________________________________；
6、已知()1552
-++-a x a x 能分解成两个整系数一次因式的乘积，求a 的值。

7、把下列各式分解因式：
（1）142
222+---y x xy y x ； （2）2225408b ab ax x ---；
（3）用换元法分解()()2
2236765x x x x x -++++；
（4）用待定系数法分解25222-+---y x y xy x 。

7、k 是什么数时，2533222+-+--y x y xy kx 能分解成两个一次因式的积？
第七讲 因式分解的应用
【例题精讲】
◆例1：若ABC ∆的三条边c b a 、、满足关系式04
22224=--+b c a c b a ，则ABC ∆的形状是_________________________。

【巩固】
1、已知c b a 、、是三角形三边长，则代数式2222b c ab a +--的值是（ ）
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.符号不定
2、设c b a 、、是三角形三边长，化简ca bc ab c b a c 222222--++++。

【拓展】已知c b a 、、是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）
A.恒正
B.恒负
C.可正可负
D.非负
◆例2：已知0142=-+x x ，则18482234+--+x x x x 的值是多少？
【巩固】
1、已知0136422=++-+b a b a ，求b a +的值。

2、已知()2112=-+⎪⎭⎫
⎝⎛-a a a a a ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+22121a a 的值。

3、设c a b 23+=，求ac c b a 449222++-的值。

◆例3：已知b a 、是自然数，且200722=-b a ，求a 与b 的值。

【巩固】设b a 、是自然数，733=-b a ，求b a 、的值。

【拓展】设b a 、是相邻的两个自然数，问ab b a b a 42222-++是否为平方数？
◆例4：（1）求证：13
9792781--能被45整除；
（2）证明：当n 为自然数时，()122+n 形式的数不能表示成两个整数的平方差。

【课后作业】
1、ABC ∆的三边满足ab c bc a 222
2-=-，则ABC ∆是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.锐角三角形
2、如果2
249100y kxy x +-是一个完全平方式，那么k 等于（ ）
A.4900
B.700
C.140±
D.70± 3、若652
2
-++-y mx y x 能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A.1 B.1- C.1± D.2 4、若n 为奇数，则
()
14
12
-n （ ） A.一定是奇数 B.一定是偶数
C.可能是奇数，也可能是偶数
D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1） 5、若b a 、为有理数，且052422=++-+b a b a ，则=a
b ______________。

6、已知1=+y x ，222=+y x ，那么=+4
4y x ________________。

7、计算：79.042.279.021.12
2⨯++。

8、已知131=+++b a ab ，求b a 、的值。

第八讲 相交线与平行线（一）
例题精讲
例1 如图，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。

例2 已知：如图， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF 的度数。

例3 如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

例4 已知锐角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ， 而h a ，h b ，h c 分别为对应边上的高线长， 求证：h a +h b +h c ＜a+b+c
例5 平面上n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n
0180
O
l 3
l 2
l n
A
D C B F G
E
A D C B
F E h a
c
b
a
巩固练习
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数A ．3B ．1或3C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条
4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于 （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对
6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3= A ．90° B ．135° C ．150° D ．180°
第5题
A
D
C B
F
H
G
E
第6题
3
A
2
1
D
C
B
F
G E
第7题
A
2
1
D
C
B
F
E
7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 . 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点 9．平面上5条直线最多可分平面为 个部分。

10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，
则∠PSQ ＝ 。

11．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G .
14．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？
15．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。

作业
第13题
A
D C
B F G
E
R
S
第10题A
Q
D C
B F
G P
H E
（一）、选择题
1．在一条直线上有5个不同的点，则以其中两点为端点的线段共有( )条． (A)15 (B)14 (C)12 (D)10
2．线段AB 上有P ，Q 两点，AB=13，AP=6，PQ=5。

那么BQ= ( ) (A)2 (B)12 (C)2或12 (D)1或12
3．如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，已知∠AOD=1200，则∠BOC 的度数为 ( )
(A)500 (B)600 (C)700 (D)800
4．已知∠a 的补角是它余角的3倍，则∠a= ( ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)900
5．如图，直线a ∥b ，c 与d 不平行，∠1=1210，∠3=1200，则∠2= ( ) (A)1210 (B)1200 (C)1190 (D)不能确定 6．下列判断中，正确的是 ( )
(A)永不相交的两条不同直线一定是平行线
(B)在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行 (C)在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交 (D)在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交
7．画一条直线，可将平面分成2部分，画2条直线，最多可将平面分成4部分，那么画5 条直线最多可将平面分成( )部分． (A)11 (B)16 (C)15 (D)17
8．如图，直线上有三个不同的点A ，B ，C ，且AB=10，BC=5，在直线上找一点D ，使得AD+BD+CD 最小，这个最小值是 (A)15 (B)14 (C)10 (D)7.5
9．如图，MON 是一条直线，∠α，∠β，∠γ满足
:2:1βα=， :3:1γβ=，则∠β= ( )
(A)200 (B)400 (C)600 (D)1200
10．如图，AB ∥CD ，∠EHC=1200，则∠BAC +∠ACE+∠CEH= ( )
(A)3600 (B)1800 (C)2700 (D)2400
（二）、填空题
11．一个角的补角的
1
16
是60，则这个角的度数为__________． 12．如图，AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=200，则∠C 的度数为__________。

13．如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1=1000，则∠2=__________。

14．如图，AB ∥CD ，则∠B ，∠C ，∠E 三者之间的关系是__________。

15．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，则线段AC的长度为__________．
16．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD=900，∠BOC=100，则∠MON=__________。

17．如图，AB┴BC，CD┴ BC，BE∥CF，∠ABE=α，∠DCF=β，则α__________β(填
“<”，“>”或“=”)．
18．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为__________个，最多为__________个．19．如图，AB∥CD，∠BED=∠DEF，∠EFD=400，则∠EDF =__________。

20．已知x，y是正整数，∠1的度数等于3x+5，∠2的度数等于3y+1，
且∠1和∠2互为补角，则x，y所能取的值的和是__________．
（三）、解答题
21．如图，∠AEM=∠DGN，∠AEF=∠CGH，
求证：EF∥GH．
22．已知，AB∥CD，
(1)如图①，求∠1+∠2+∠3．
(2)如图②，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
(3)如图③，求∠1+∠2+…+∠n．
23．如图，直线l是一条公路，A，B是两个村庄，现要在公路上建一个加油站，设为P，使得两个村庄到加油站的距离之和最小，即PA+PB最小．
(1)请在图上画出点P，并说明理由．
(2)若A，B两点到直线l的距离分别为3和4，且A与B的距离为4，求PA+PB的最小值
第九讲相交线与平行线（二）
一、巩固练习
1、如图1，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=( )
A、10°
B、15°
C、20°
D、30°
图1 图2 图3
2、如图2，CD
AB//，且
25
=
∠A，
45
=
∠C，则E
∠的度数是（）
A.
60 B.
70 C.
110 D.
80
3、如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（）
（A）α+β+γ=1800（B）α—β+γ=1800
（C）α+β—γ=1800（D）α+β+γ=3600
4、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。

（选择一种辅助线）
5、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。

6、如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。

7、如图，∠ABC＋∠ACB＝110°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,EF过点O与BC平行，求
∠BOC。

E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
A B
C
A B
P
C D
A B
C D
E
α
β
γ
8、如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。

9、已知AB ∥CD ，∠B=65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN=90°，求∠DCN 的度数.
10、.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？
11、如图，DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上的一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求∠PAG 的度数。

二、作业
F E A
O B C 2
1F E D C B A
N M
E D C B A
F E D
C
B
A _G _F
_E
_P
_D _C _B _A
1、 如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD 的度数。

2、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.
3、 如右图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光
线的入射
角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。

若已知∠1=55°，∠3=75°，求∠2的
度数。

4、 如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如
果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？
5、已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•
要求给出两个答案）．
l 1
l C
B
D
P
l 2
A
1
234
56a
A B
C D
6、已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P .试求∠P 的大小.
7、已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD .
8、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时，连结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°) （1）当动点P 落在第①部分时，试说明∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 成立的理由；
（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？
（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以说明.
第十讲 轴对称与旋转
A B
E
P
F C D
E D
C B A A B ① ② ③ ④ P C
D A B
① ② ③ ④ C D A B ①
② ③ ④ C D
例题与练习
（一）、选择题
1、下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．正三角形B．等腰直角三角形C．等腰梯形D．正方形
2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．
3.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个5、下列图形中，中心对称图形有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
7、下列图形中，不是中心对称图形的是（）
8、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O 后得到图2，则旋转的牌是（ ）
9、把下列每个字母都看成一个图形，那么中心对称图形有（ ）
E
H I N A
A 2个
B 3个
C 4个
D 5个
10、如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
11、如图，△ABC 与△A`B`C`关于直线l 对称，且∠A =78°，
∠C`=48°，则∠B 的度数为（
）
A ．48°
B ．54°
C ．74°
D ．78°
12、下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13、下列图形是轴对称图形是（ ）
A B C D
图1
图2
① ② ③ ④
14、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）
剪去上面的小直角三角形
将留下的纸片展开，得到的图形是（）
A．B．C．Ｄ．
15、下列图形中，轴对称图形的个数是（）．
A．1B．2C．3D．4
16、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们
把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）
A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行
17、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么∆AEG的面积的值（）
A．与m、n的大小都有关B．与m、n的大小都无关
C．只与m的大小有关D．只与n的大小有关
（二）、填空题A
B C
D
G F
第17题图
18、正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分
的面积之和等于．
19、星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗）与分针（细）
的位置如图所示，此时时针表示的时间是．（按12小时制填写）
（三）、解答题
20、如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，
90
AD BC BAC
⊥∠≠
，°．将此三角形纸片沿AD剪
开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，
则能拼出中心对称图形个．
21、如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）观察图①、②中所画的“L”型图形，然后
各补画一个小正方形，
使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所
成的图形是中心对称图形；
（2）补画后，图①、②中的图形是不是正方体的表面展开图：（填“是”或“不是”）
答：①中的图形，②中的图形．
22、如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时
针方向旋转90°得到
11
AB C
△．
（1）在正方形网格中，作出
11
AB C
△；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）
B
C
A
M E F A
B C D M F A
B D B 1
K D 1
23、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形
AMEF （如图甲），连结BD 、MF ，若此时他测得BD =8cm ，∠ADB =30°． ⑴ 试探究线段BD 与线段MF 的关系，并简要说明理由；
⑵ 小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
图甲 图乙
C
E D
B A 第十一讲 综合测试题
一、选择题（每小题4分，共32分） 1.某超市推出如下优惠方案：⑴购物款不超过200元不享受优惠；⑵购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；⑶购物款超过600元一律享受八折优惠。

小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元。

如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款( )元。

A 、522.80;
B 、560.40;
C 、510.40;
D 、472.80 2.设a 、b 、c 为有理数,,3
22π
+
-=b a x 6
22π
+
-=c b y ，2
22
π
+
-=a c z 则x 、y 、z 中
至少有一个值( )
A.大于0;
B.等于0;
C.不大于0;
D.小于0. 3.对于数x ，符号［x ］表示不大于x 的最大整数．例如，［3.14］＝3，［－7.59］＝－8，则满足关系式［7
73＋x ］＝4的x 的整数值有（ ）
（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个 4.客运列车在哈尔滨与A 站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A 站之间需要安排( )种不同的车票。

A 、6;
B 、7;
C 、21;
D 、42
5、在一条直线上四个不同的点依次是A 、B 、C 、D ，那么到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点（ ）
A 可以是直线AD 上的某一点
B 只是B 点或
C 点 C 只是线段A
D 的中点 D 有无穷多个 6若x 、y 、z 为整数，且.1)()
(20042004
=-+-x z y x 那么z y y x x z -+-+-的值为
（ ） A 、0; B 、1; C 、2; D 、4
7．△ABC 中有一边是另一边的2倍,又有一个内角等于30°,则△ABC 是( )
A 、锐角三角形或直角三角形;
B 、直角三角形或钝角三角形;
C 、锐角三角形或钝角三角形;
D 、直角三角形或钝角三角形或锐角三角形 8．如图，AB=AC ，∠BAD=α,且AE=AD ，则∠EDC 的度数等于( ) A 、α21; B 、α31; C 、α41; D 、α2
3.
二、填空题（每小题4分，共32分）
1.已知a=2001x+2002,b=2001x+2003,c=2001x+2004,则多项式
ca bc ab c b a ---++222的值为_________.
2. m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+0
23102y x y mx 有整数解且x 、y 均为整数，则m 2
=
3、某工程的施工费用不得超过190万元．该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万元．为缩短工期，决定由甲公司先工作m 天，余下的工作由乙公司完成，那么m ＝________，完工共需要__________天
4、已知多项式4
3225x x x x m 有一个因式是1x ，则m 的值是
5、已知关于x 、y 的二元一次方程()()02521=-+++-a y a x a ，无论a 为何值，这个方程必定有一个固定的解，则此解为
6、已知方程组⎩⎨⎧=+-=+-0
320
32z y x z y x 则=z y x ::
7、求多项式x 2+4y 2－8x +12y +5的最小值是
8．设(1＋x)2
(1－x)＝a ＋bx ＋cx 2
＋dx 3
，则a ＋b ＋c ＋d ＝ .
三、因式分解（共10分）
(1) 932
4+-a a (2) (
)(
)
12322
2
--+-+x x x x
四、解答题 1．（8分）甲公司决定分别向A 、B 两地运苹果，运给A 地10吨，B 地8吨，但现在只有苹果12吨，还需从乙公司调运6吨，经协商，从甲运给A 、B 两地运费分别为50元/吨和30元/吨，从乙运给A 、B 两地运费分别为80元/吨和40元/吨.若最后总运费为840元，问该如何调运？
2、（6分）设方程19982
2
=-y x 有n 组正整数解，求n 的值
3.（8分）已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且2
2
4
4
2
2
c b a b c a +=+，试判断△ABC 的形
状。

4、（6分）若8,553==a a ，并且对所有正整数n ，有200121,7a a a a n n n 求=++++的值
5、（6分）已知2
310,x x -+=试求下列各式的值： （1）2
21x x + (2) 4
41x x
+
6、（6分）已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，说明理由。

7、（6分）如图：已知A、B两点在直线MN的同侧，在MN上求一点P，使：⑴PB
PA-最小；⑵PB
PA-最大；⑶PA+PB最小。

M
B
A
N M
B
A
N M
B
A
N
3
2
1
F
G
E
D
C
A
第十二讲 几何、代数综合训练
1、已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，求证：CD ⊥AB ．
2、已知，如图，AD ∥BC ，∠B ＝70°，∠C ＝60°，求∠CAE 的度数．（写理由）
3、已知，x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，且xy ＋yz ＋xz ＝104，求2x 2＋12y 2－9z 2的值．
4、如图，已知，AC ∥DE ，DC ∥FE ，CD 平分∠ACB ，求证：EF 平分∠BED ．
5、已知：如图，AB ∥CD ，FG ∥HD ，∠B=100º，FE 为∠CEB 的平分线，求∠EDH 的度数.
A F C E
B H G
D
C
A
B D E
F
H
12
3
A
B C
D
E A
B
C
D
E
F
123
45。