数列求和—裂项相消专题

数列求与—裂项相消专题

裂项相消得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求与得目得、 常见得裂项相消形式有:

1、 111(1)1n a n n n n =

=-++ 1111()(2)22

n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k =

=-++

2n p a An Bn C

⇒=

++(分母可分解为n 得系数相同得两个因式) 2、 1111()(21)(21)22121

n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123

n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+ 3、 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦

4、 111211(21)(21)2121

n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121

n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+

5、

=┈┈

12=

1k =

1、在数列{}n a 中,1

1211++⋅⋅⋅++++=

n n n n a n ,且12+⋅=n n n a a b ,求数列{}n b 得前n 项得与、 2、已知数列{}n a 就是首相为1,公差为1得等差数列,2

1n n n b a a +=⋅,n S 为{}n b 得前n 项与,证明:1334

n S ≤<、

3、等比数列{}n a 各项均为正数,且212326231,9a a a a a +==,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+,求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

得前n 项与、 4、 设数列{}n a 满足01=a 且

111111=---+n n a a , (1)求{}n a 得通项公式;

(2)设n a b n n 1

1+-=,记∑==n k k n b

S 1,证明:1

5、 (安徽江南十校2015联考)已知各项为正数得数列{}n a 满足

: 214()n n n a a a n N *+++=-∈,且121,4a a ==,

（1） 证明:

数列

就是等差数列 ; （2） 设1

21n n n n b a a ++=,{}n b 得前n 项与为n S ,求证:1n S <、 6、已知等差数列{}n a 得前n 项与为n S ,公差,64,035+=≠a S d 且931,,a a a 成等比数列,

(1)求数列{}n a 得通项公式;

(2)求数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n S 1得前n 项与n T 、

7、等差数列{}n a 中,21,61131==+a a a ,

(1)求数列{}n a 得通项公式;

(2)设)3(1

+=n n a n b ,求n n b b b S +⋅⋅⋅⋅++=21、

8、(2010山东)已知等差数列{}n a 满足:{}3577,26,n a a a a =+=得前n 项与为n S ,

(1)求n a 及n S ;

(2)令21()1

n n b n N a *=∈-,求数列{}n b 得前n 项与n T 、

9、(2013全国1)已知等差数列{}n a 得前n 项与为n S ,满足350,5S S ==-,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭

得前n 项与、 10、(2013江西)正项数列{}n a 满足:2(21)20n n a n a n ---=,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)令1(1)n n

b n a =+,求数列{}n b 得前n 项与n T 、 11、(2017全国3)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

得前n 项与、 12、(2015安徽)已知数列{}n a 就是递增得等比数列,且14239,8a a a a +==,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)设n S 为数列{}n a 得前n 项与,11

n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 得前n 项与、 13、(2014贵州适应性训练)已知数列{}n a 就是等差数列,12342,,,1a a a a =+成等比数列,

(1)求{}n a 得通项公式;

(2)设2(2)

n n b n a =⋅+,求数列{}n b 得前n 项与n S 、 14、(2013大连育明高中模拟)已知数列{}n a 就是各项均不为0得等差数列,公差为d ,n S 为

其前n 项与,且满足221()n n a S n N *-=∈,数列{}n b 满足1

11n n n b a a +=-,n T 为数列{}n b 得前n 项与,

(1)求1,a d 与n T ;

(2)就是否存在实数λ,使对任意得()n N *

∈,不等式8n T n λ<+恒成立？若存在,请求出实数