2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第14课时 空间向量及其线性运算导学案苏教版选修2-1.doc
必修2-1 第三章 空间向量与立体几何 知识点详解
必修2-1 第三章 空间向量与立体几何 知识点详解3.1 空间向量及其运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）．3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．（２）共面向量定理：如果空间向量不共线，则向量c 与向量共面的充要条件是，存在惟一的一对实数，使．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使．其中是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是，数量积有如下性质： ①（e 为单位向量）；②； ③；④．数量积运算满足运算律：①交换律，即；②与数乘的结合律，即；③分配律，即． a +b =b+a (a ()()+=+a +b c a b+c ()λμλμ+a =a +a ()λλλ=+a +b a b λμ，，a b (0)≠，b a b ∥λλa =b ，a b a,b x y ，c =x y a +b x y z p =a +b +c {}，，a b c {}，，a b c cos <>，a b =a b a b cos <>，a e =a a e 0⇔a b a b =⊥2a a =a ab a b ≤a b =b a ()()λλa b =a b ()a +bc =a c +b c5．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用表示；在空间选定一点O 和一个单位正交基底，可建立一个空间直角坐标系，作空间直角坐标系时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）．6．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a 在空间的坐标，记作．对空间任一点A ，存在惟一的，点Ａ的坐标，记作分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．7．空间向量的直角坐标运算律（1）若，则 ，，， ，．（2）若，则．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量，则点A 在空间的位置被所惟一确定，称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．3.2 立体几何中的向量方法1、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作），向量a 叫做平面的法向量．法向量有两个相反的方向．法{}，，i j k {}，，i j k O xyz -O xyz -123a a a a =i +j +k 123()a a a ，，123()a a a ，，a =OA x y z =i +j +k ()A x y z x y z ，，，，，123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()a b a b a b =---，，123()a a a λλλλ=，，a 112233()a b a b a b ，，a b =112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥111222()()A x y z B x y z ，，，，，212121()AB x x y y z z =---，，OA =a a a a AP t =a αααa ⊥α向量的具体应用方法，可以归结为：2．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决（１）设a 、b 分别为直线的一个方向向量，那么； （２）设a 、b 分别为平面的一个法向量，那么； （３）设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为b ，那么．3．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究（１）设a 、b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a 、b ，那么．（２）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题．（３）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行．高.考-资.源-网4．在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角空间角主要有：①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；②线面角：直线AB 与平面所成角为，其中是平面的法向量；③面面角：二面角的大小为或，其中是两个半平面的法向量．斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）．与最小角定理联系密切的一个重要公式是，要注意其应用！5．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定 可利用实现距离与向量之间的转化．设e 是直线l 的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是，则有，由此可求点到线，点到面的距离问题．空间距离主要有：①点面距：设n 是平面的法向量，，则B 到的距离为；②线线距：设n 是两条异面直线的公垂线的向量，若A ，B分别是在上的任意一点，则的距离为；③线面距、面面距．与a b ，0a b ⇔⇔a b a b =⊥⊥αβ，0αβ⇔⇔⊥⊥a b a b =l α⇔⊥∥a b a b ⇔a b ∥∥αarcsinAB AB n n n αarccos m nm n arccosπ-m n m n ，m n 12cos cos cos θθθ=2AB AB AB =A B ''A B AB ''=e αA α∈αAB nn 12l l ，12l l ，12l l ，AB nn前面求法相同．。
高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题4第14讲 空间向量与立体几何 理 北师大
第14讲 │ 主干知识整合
2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量 分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别 为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面 所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的 平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是 cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.
于是 cos〈A→C，A→1B1〉＝|AA→→CC|·|AA→→11BB11|＝3×42
＝ 2
32.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 32.
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(2)易知A→A1＝(0,2 2，0)，A→1C1＝(－ 2，－ 2， 5)． 设平面 AA1C1 的法向量 m＝(x，y，z)，
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► 探究点二 利用空间向量求空间角和距离 例 2 [2011·天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H ＝ 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值； (3)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平 面 A1B1C1，求线段 BM 的长．
图 14－1
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【分析】 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明 E→F∥A→B即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线 垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向 量的方法求解．
【2019-2020】高中数学第三章空间向量与立体几何3
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章空间向量与立体几何3撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)(2)二面角的大小范围是.(×)(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)(4)直线与平面所成角的范围是.(√)类型一求线线角、线面角例1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求线线角答案3010解析如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N，故＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝.(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．①求证：PB⊥DM；②求BD与平面ADMN所成的角．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求线线角①证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M.∵·＝(2,0，－2)·＝0，∴PB⊥DM.②解∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB⊥AD.又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.即为平面ADMN的一个法向量．因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．∵cos〈，〉＝＝＝，且〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝，∴BD与平面ADMN所成的角为.反思与感悟用向量法解决线线角、线面角问题时，首先需建立适当的坐标系，然后求解相应的向量表达式，再借助于空间向量的运算进行求解．跟踪训练1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为( )A.1010B.105C．－1010D．－105考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案A解析∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.(2)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①证明：AB⊥A1C；②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．考点向量法求线面角题点向量法求线面角①证明取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.∵CA ＝CB ，∴OC ⊥AB.由于AB ＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B 为等边三角形， ∴OA1⊥AB. ∵OC ∩OA1＝O ， ∴AB ⊥平面OA1C.又A1C ⊂平面OA1C ，故AB ⊥A1C. ②解 由①知OC ⊥AB ，OA1⊥AB. 又平面ABC ⊥平面AA1B1B ， 交线为AB ，OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面AA1B1B ， 故OA ，OA1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OA1，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AB ＝2，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，A1C-→＝(0，－，)． 设n ＝(x ，y ，z)是平面BB1C1C 的法向量，则即⎩⎪⎨⎪⎧x＋3z＝0，－x＋3y＝0，可取n ＝(，1，－1)． 故cos 〈n ，〉＝＝－，∴A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值为. 类型二 求二面角问题例2 如图所示，正三棱柱ABC －A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1的中点，求二面角A －A1D －B 的余弦值． 考点 向量法求二面角 题点 向量法求二面角解 取BC 的中点O ，连接AO ，因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC －A1B1C1中，平面ABC ⊥平面BCC1B1，平面ABC ∩平面BCC1B1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O 为坐标原点，分别以OB ，OO1，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 设平面A1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，AD →＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．因为n ⊥，n ⊥，所以得⎩⎨⎧－x＋y－3z＝0，2y＝0，所以⎩⎨⎧y＝0，x＝－3z.令z ＝1，得n ＝(－，0,1)为平面A1AD 的一个法向量． 又因为＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，BA1→＝(－1,2，)，所以·＝－2＋2＋0＝0，→·＝－1＋4－3＝0，AB1所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，且BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，所以是平面A1BD的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝＝－，又二面角A－A1D－B为锐二面角，所以二面角A－A1D－B的余弦值为.反思与感悟求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量法求解．跟踪训练2 如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A－PB－C的余弦值．考点向量法求二面角题点向量法求二面角解以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于点E，则向量与的夹角的大小为二面角A－PB－C的大小．∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D为PB的中点，∴D.在Rt△PAB中，由△PAB∽△AEB∽△PEA，得＝＝，∴E.∴＝，＝，∴·＝.又||＝，||＝1，∴cos〈，〉＝＝＝，∴二面角A－PB－C的余弦值为.1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案A解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.2．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为( )A. B.2π3C.或D.或π3考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案C解析由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大小为或，故选C.3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )A.B．－C.D．－104考点向量法求解直线与平面所成的角题点向量法解决直线与平面所成的角答案A解析取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E，则＝，＝.∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．设AD与平面AA1C1C所成角为α，∵cos〈，〉＝－，∴sin α＝|cos〈，〉|＝.4．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________．考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案315解析设α，β所成二面角中较小的一个角为θ，由题意得，cosθ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.5．已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB －D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________．考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案16解析过C点作CO⊥平面ABDE，垂足为点O，取AB的中点F，连接CF，OF，则∠CFO为二面角C－AB－D的平面角．设AB＝1，则CF＝，∴OF＝CF·cos∠CFO＝×＝，∴OC＝，且O为正方形ABDE的中心．以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则E，M，A，N，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴EM，AN所成角的余弦值为.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．一、选择题1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )A. B.－153C. D.或－156考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案D解析由＝＝，知这个二面角的余弦值为或－，故选D.2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A．45°B．135°C．45°或135°D．90°考点向量法求面面角题点向量法求面面角答案C解析cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )A.B.C.D.5π6考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案C解析线面角的范围是.∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为.4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a ＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为( )A．－B.C．－D.91333考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案D解析设α与l所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝＝＝，故直线l与α所成角的余弦值为＝.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.32考点向量法求线面角题点向量法求线面角答案C解析以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1，－1)，-→＝(－1,0，－1)．A1D∴·＝1－1＝0，·＝1－1＝0.∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D.又A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D⊂平面A1BD，∴AC1⊥平面A1BD.∴是平面A1BD的一个法向量．∴cos〈，〉＝＝＝.∴直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为.6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小( )A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案A解析A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，→·＝(＋)·MN→MP＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.7.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( )A．－ B.105C．－ D.1010考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案B解析不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.二、填空题8．如图，在长方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为________．答案1059．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 为BB1的中点，则平面A1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________． 考点 向量法求二面角 题点 向量法求二面角 答案 23解析 如图所示，以A 为坐标原点，，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设正方体的棱长为1，则A1(0,0,1)，E ，D(0,1,0)， 所以＝(0,1，－1)，＝.设平面A1ED 的法向量为n1＝(1，y ，z)，则即所以⎩⎨⎧y＝2，z＝2.所以n1＝(1,2,2)．平面ABCD 的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝， 即所求的锐二面角的余弦值为.10.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．考点向量法求线线角题点向量法求线线角答案36解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．→＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，EF故cos〈，〉＝＝.11.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cosθ＝.则AB与BC的边长之比为________．答案∶2解析设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)．→＝，＝(0，－a，b)，FM所以||＝，||＝，→·＝－，FM|cos〈，〉|＝＝，整理得，4＋5－26＝0，解得＝2或＝－(舍)．所以＝＝.三、解答题12.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值．考点向量法解决二面角问题题点求二面角(1)解如图所示，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，A(0,0,0)．则＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，于是cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明由＝，＝(－1,0,1)，→＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.AD因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，AM⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，故CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎨⎧ －x＋z＝0，－y＋z＝0，令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设知，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝＝＝.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为.13.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A1B1C1D1中，E ，F 分别是BC ，A1D1的中点．(1)求直线A1C 与DE 所成角的余弦值；(2)求直线AD 与平面B1EDF 所成角的余弦值；(3)求平面B1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．考点 向量法求面面角题点 向量法求面面角解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz.(1)则A1(0,0，a)，C(a ，a,0)，D(0，a,0)，E ，∴＝(a ，a ，－a)，＝，∴cos 〈，〉＝＝，故A1C 与DE 所成角的余弦值为.(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD 在平面B1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上．又B1EDF 为菱形，∴DB1为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B1EDF 所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，得＝(0，－a,0)，＝(a ，－a ，a)，∴cos 〈，〉＝＝，又直线与平面所成角的范围是，故直线AD 与平面B1EDF 所成角的余弦值为.(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E ，则＝，EB1→＝， 平面ABCD 的一个法向量为m ＝＝(0,0，a)．设平面B1EDF 的一个法向量为n ＝(1，y ，z)，由得⎩⎨⎧ y＝2，z＝1，∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝＝，∴平面B1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为.四、探究与拓展14．在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1中，M ，N 分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.25考点 向量法求线线角题点 向量法求线线角答案 D解析如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴＝，＝，∴·＝，||＝||＝，∴cos〈，〉＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.15.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．考点向量法求二面角题点向量法求二面角(1)证明由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，DF⊂平面EFDC，FE⊂平面EFDC，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)． 由已知得，AB ∥EF ，EF ⊂平面EFDC ，AB ⊄平面EFDC ，所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF.由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，即∠CEF ＝60°，从而可得C(－2,0，)．连接AC ，则＝(1,0，)，＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z)是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n·EC →＝0，n·EB →＝0，即所以可取n ＝(3,0，－)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m·AC →＝0，m·AB →＝0，同理可取m ＝(0，，4)．则cos 〈n ，m 〉＝＝－.故二面角E －BC －A 的余弦值为－.。
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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何 知识点考点重点难点解题规律归纳总结
第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系........................................................................................................ - 1 -1.1点在空间直角坐标系中的坐标..................................................................... - 1 -1.2空间两点间的距离公式................................................................................. - 6 -2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 10 -2.1从平面向量到空间向量............................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(一) .................................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(二) .................................................................................... - 14 -2.2空间向量的运算(三) .................................................................................... - 18 -3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 23 -3.1空间向量基本定理....................................................................................... - 23 -3.2空间向量运算的坐标表示及应用............................................................... - 26 -4向量在立体几何中的应用...................................................................................... - 31 -4.1直线的方向向量与平面的法向量............................................................... - 31 -4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系................................................... - 34 -4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系................................................... - 42 -第1课时空间中的角................................................................................ - 42 -第2课时空间中的距离问题.................................................................... - 47 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................... - 52 -1空间直角坐标系1.1点在空间直角坐标系中的坐标1．空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直．②四指先指向x轴正方向．③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称如图所示，①O叫作原点．②x，y，z轴统称为坐标轴．③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来刻画．(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．如何确定空间中点P坐标？[提示]过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、B、C，若点A、B、C的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．疑难问题类型1根据点的坐标确定点的位置【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．[思路点拨]可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．[解]法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．类型2已知点的位置写出点的坐标【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．(1)(2)[思路点拨](1)可先写出A，B，C，D的坐标，再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，再结合正方体的性质得出A，B，C，D 的坐标．[解](1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．同理，A ′(1，0，1)，C ′(0，1，1)．因为B ′B 垂直于xDy 平面且与z 轴正半轴在xDy 平面同侧，且|B ′B |＝1，所以B ′(1，1，1)．(2)因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴， y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A ′(1，0，0)，C ′(0，1，0)，D (0，0，－1)，D ′(0，0，0)．同(1)得B ′(1，1，0)，A (1，0，－1)，C (0，1，－1)，B (1，1，－1)．1．已知点M 的位置，求其坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足为M ′，求M ′的x 轴坐标，y 轴坐标，即点M 的x 轴坐标，y 轴坐标，再求M 点在z 轴上射影的z 轴坐标，即点M 的z 轴坐标，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )．2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x ，y ，z ∈R ． 分类坐标轴 坐标平面 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 坐标形式 (x ，0，0) (0，y ，0) (0，0，z )(x ，y ，0) (0，y ，z ) (x ，0，z )类型3 空间中点的对称问题[探究问题]1．类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段的中点坐标公式是什么？[提示] 若A ()x 1，y 1，z 1，B ()x 2，y 2，z 2，则线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22． 2．类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三角形的重心坐标公式是什么？[提示] 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33． 关于点对称【例3】 点M ()x 0，y 0，z 0关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为________．[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0) [由中点坐标公式得，点M (x 0，y 0，z 0)关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为M ′(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0)．]关于坐标轴对称【例4】 求点M (a ，b ，c )关于坐标轴的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 关于x 轴的对称点M 0的坐标为(a ，－b ，－c )，关于y 轴的对称点M 1的坐标为(－a ，b ，－c )，关于z 轴的对称点M 2的坐标为(－a ，－b ，c )．关于坐标平面对称【例5】 求点M (a ，b ，c )关于坐标平面的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )．1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．归纳总结1．确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R．(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R．(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．(3)三个平面的唯一交点就是M．3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴上．1.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离|PQ|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？[提示]以坐标原点为圆心，1为半径的球面．疑难问题类型1求空间中两点间的距离【例1】如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝6．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：类型2由距离公式求空间点的坐标【例2】已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．(0，0，6)[设P(0，0，z)，由|P A|＝|PB|，得(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2，解得z ＝6．∴点P 的坐标为(0，0，6)．]1．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？[解] 设P (0，y ，0)，由|P A |＝|PB |，得(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2，解得y ＝－245．∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－245，0． 2．求到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] 因为点P (x ，y ，z ) 到A ，B 的距离相等，所以(x －4)2＋(y －5)2＋(z －6)2＝(x ＋5)2＋(y －0)2＋(z －10)2．化简得9x ＋5y －4z ＋24＝0，因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是9x ＋5y －4z ＋24＝0．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．2．到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面，P 是线段AB 的中垂面与z 轴的交点．类型3 距离公式的应用【例3】 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值．[解] 由题图可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12． ∵Q 点在CD 上，∴设Q (0，1，z )，z ∈[0，1]，∴|PQ |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2＝ 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－z 2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22．本题首先设出Q 点的坐标，然后利用距离公式表示|PQ |，从而将其转化为函数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.归纳总结1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量2.2 空间向量的运算(一)1．空间向量(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法用有向线段AB →表示，A 叫作向量AB →的起点，B 叫作向量AB →的终点，也可记作a ，其模记为⎪⎪⎪⎪AB →或|a |．(4)特殊向量(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行．1．向量AB →与向量BA →的长度和方向之间有什么关系？[提示] 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即BA →＝－AB →．2．共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．(2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．3．空间向量的加减法与运算律 空间向量的运算加法OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b空间向量的加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？ [提示] 没有．疑难问题类型1 空间向量的有关概念【例1】 如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A ′B ′C ′D ′E ′F ′中， (1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？ (3)与AD →平行的向量有多少个？[思路点拨] 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．[解] (1)ED →，A ′B ′→，E ′D ′→． (2)是．(3)11个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．类型2 空间向量的加减运算【例2】 如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→． (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→，AC ′→如图所示．1．在例2的条件下，下列各式运算结果为BD ′→的是( )①A ′D ′→－A ′A →－AB →；②BC →＋BB ′→－D ′C ′→；③AD →－AB →－DD ′→；④B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→． A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④A [(1)A ′D ′→－A ′A →－AB →＝AD ′→－AB →＝BD ′→； (2)BC →＋BB ′→－D ′C ′→＝BC ′→＋C ′D ′→＝BD ′→；(3)AD →－AB →－DD ′→＝BD →－DD ′→＝BD →－BB ′→＝B ′D →≠BD ′→；(4)B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→＝BD →＋AA ′→＋DD ′→＝BD ′→＋AA ′→≠BD ′→，故选A ．] 2．在例2的条件下，用向量AA ′→，AB →，AD →表示向量AC ′→．[解] 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→．1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．类型3 空间向量加、减运算的应用【例3】 在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，求证：OA →＋OC →＝OB →＋OD →．[证明] 法一：因为底面ABCD 是平行四边形，所以，BA →＝CD →， 又BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．法二：设点E 是平行四边形ABCD 对角线的交点(图略)，则点E 分别是对角线AC ，BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OE →，OB →＋OD →＝2OE →，所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.(2)求两向量的差时，常考虑：①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.归纳总结1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．2.2 空间向量的运算(二)1．向量的数乘运算 定义与平面向量类似，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何定义λ＞0 λa 与向量a 方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ＜0 λa 与向量a 方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律 λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb2．共线向量基本定理空间两个向量a ，b (b ≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(1)若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？(2)在空间向量中，与非零向量a 共线的单位向量有几个，分别是什么？ [提示] (1)不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．(2)有2个，分别是a |a |与－a |a |．疑难问题类型1 空间向量的数乘运算【例1】 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →． [解] (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →． (2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →) ＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→．1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算． 2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的几何性质．类型2 向量共线问题【例2】 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．[解] 由已知可得，ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A →＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →．所以ME →＝－NF →， 故ME →与NF →共线．向量共线的判定方法判定向量a ，b 共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b ＝a λ(a ≠0)成立．类型3 点共线问题【例3】 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ． 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →．所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ． 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c ．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立；(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )；(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ＋y ＝1．归纳总结1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．2．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可；也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →” 来证明三点共线．2.2空间向量的运算(三) 1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角记法〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝π2时，a⊥b；a·b＝0规定：零向量与任意向量垂直1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·acos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)|a·b |≤|a |·|b |3．投影向量与投影数量①如图，已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，过A 向直线OB 作垂线，垂足为点A ′，称向量OA ′→为向量a 在向量b 方向上的投影向量，其长度等于||a |cos 〈a ，b 〉|．②如图，|a |cos 〈a ，b 〉称为向量a 在向量b 方向上的投影数量，可以表示为a ·b |b |．③数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影数量|b |cos 〈a ，b 〉的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影数量|a |cos 〈a ，b 〉的乘积．2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？ [提示] 数量积运算不满足结合律．疑难问题类型1 空间向量的数量积运算【例1】 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→．[解] 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0．(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16． (2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0．求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.类型2 利用数量积求夹角 [探究问题]1．若向量AB →与CD →的夹角为α，直线AB 与CD 所成的角为β，则α＝β一定成立吗？[提示] 不一定．α＝β或α＋β＝π． 2．怎样利用数量积求两直线的夹角α？[提示] 先求cos α＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a |·|b |；再结合α的范围确定其值． 3．如何利用数量积证明两个非零向量a 和b 互相垂直？ [提示] a·b ＝0⇔a ⊥b ．【例2】 已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，(1)求向量OE →与BF →所成角的余弦值； (2)求直线OE 与BF 所成角的余弦值．[解] (1)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3， 则a·b ＝b·c ＝c·a ＝12． 因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF→|＝32，所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a·c ＋14b·c －12a·b －12b 2＝－12，设OE →与BF →所成的角为θ，则cos θ＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－1232×32＝－23． 所以向量OE →与向量BF →所成角的余弦值是－23．(2)直线OE 与BF 所成角的余弦值为||cos θ＝23．求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．类型3 利用数量积求两点间的距离【例3】 如图，在三棱锥A -BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．[解] 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2 ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2，所以|MN →|＝53a ，即MN 的长为53a ．求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．归纳总结1．本节课的重点(1)空间向量的数量积的求法；(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理1．空间向量基本定理 条件 三个不共面的向量a ，b ，c 和空间任一向量p结论 存在唯一的三元有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c2．基(1)条件：三个向量a ，b ，c 不共面．(2)结论：{a ，b ，c }叫做空间的一组基．其中向量a ，b ，c 都叫作基向量．(1)0能不能作为一个基向量？(2)空间向量的基唯一吗？[提示] (1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．疑难问题类型1 空间向量的基【例1】 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一组基．[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝x OB →＋yOC →成立，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3．因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一组基，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎨⎧ －3x ＋y ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一组基．基的判断思路判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．类型2 空间向量基本定理及应用【例2】 如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →．[解] 连接A ′N (图略)．AM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BC →＋CC ′→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→＝12(a ＋b ＋c )．AN →＝AA ′→＋A ′N →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c ．若把本例中的“AA ′→＝a ”改为“AC ′→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？[解] 因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC ′→)＝12a ＋12b ．AN →＝12(AB ′→＋AC ′→)＝12(AB →＋BB ′→＋AC ′→)＝12AB →＋12CC ′→＋12AC ′→＝12AB →＋12(AC ′→－AC →)＋12AC ′→＝12AB →＋AC ′→－12AC →＝12b ＋a －12c ．对空间向量基本定理的两点说明(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量. (2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是唯一的. 空间向量基本定理为用基本量法研究空间向量提供了理论依据.类型3 四点共面【例3】 如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1上的点，并且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．[解] (1)证明：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，故A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－AB →－BE →＝AD →＋23AA 1→－AB →－13AA 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13．∴x ＋y ＋z ＝13．1．三个向量共面的充要条件若向量b ，c 不共线，则向量a ，b ，c 共面的充要条件是：存在实数x ，y ，使得 a ＝x b ＋y c ．2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．归纳总结1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．2．设OA →，OB →，OC →是不共面向量，则对空间任一点P ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →．当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面．3.2 空间向量运算的坐标表示及应用1．空间向量的正交分解及其坐标表示 标准正交基在空间直角坐标系O -xyz 中，分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i ，j ，k }，这组基叫作标准正交基 空间直角坐标系以i ，j ，k 的公共起点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz 空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x i ＋y j ＋z k ，则把x ，y ，z 称作向量p 在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．单位向量i ，j ，k 都叫作坐标向量2．空间向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)；(3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)，λ∈R ；(4)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2．3．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(x 1，y ，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)．则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；|a |＝a·a ＝x 21＋y 21＋z 21；若点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB |＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2．cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)． 空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？[提示] 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，b ＝b 1i ＋b 2j ＋b 3k ，所以a ＋b ＝()a 1i ＋a 2j ＋a 3k ＋()b 1i ＋b 2j ＋b 3k ＝()a 1＋b 1i ＋()a 2＋b 2j ＋()a 3＋b 3k ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)．疑难问题类型1 空间向量的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．(2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2． ②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．因为AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32，z －2＝－2 解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0．对空间向量坐标运算的两点说明(1)空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.(2)空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.类型2 坐标形式下的平行与垂直【例2】 已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →．(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，所以|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3．解得λ＝±1．所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0．解得k ＝2或k ＝－52．1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2，当b 与三坐标轴都不平行时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2． a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．类型3 向量夹角与长度的计算[探究问题]已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．1．如何求AB →、AC →的模与〈AB →，AC →〉的大小？[提示] 因为AB →＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)．所以⎪⎪⎪⎪AB →＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，⎪⎪⎪⎪AC →＝12＋(－3)2＋22＝14，由夹角公式得cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0，π]，所以〈AB →，AC →〉＝60°．2．在空间中，如何利用向量求△ABC 的面积？[提示] S ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝732．【例3】 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，其中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．[解] 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系C -xyz ．(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)．所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3．(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)．所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5．所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010．1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．2．平行四边面积的计算公式：S ▱ABCD ＝||AB→2||AC→2－(AB →·AC →)2．归纳总结1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．4 向量在立体几何中的应用4.1 直线的方向向量与平面的法向量1．直线的方向向量设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量． 如图所示，已知点M 是直线l 上的一点，非零向量a 是直线l 的一个方向向量，那么对于直线l 上的任意一点P ，一定存在实数t ，使得MP →＝t a ．把这个式子称为直线l 的向量表示．2．平面的法向量如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量n 叫作平面α的法向量． 如图所示，设点M 是平面α内给定的一点，向量n 是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P ，必有MP →·n ＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．。
2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章小节 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章小节 新人教A 版选修2-1知识点一 空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．例1 如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB＝∠CSD，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.答案：③④知识点二空间向量与空间位置关系利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题．(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：①利用线线平行证明线面平行．②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，要证明l∥α，只需证明a·n＝0.(2)证明线面垂直的常用方法有：①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)⇔a与n 共线⇔l⊥α.②l是交线a，b所在平面α外的直线，a，b不共线，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0⇔l⊥a且l⊥b⇔l⊥α.例2 如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.证明：(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如右图．令AB ＝2，PE ＝a ，则A (1，0，0)，Q (0，1，0)，E (0，0，a )，C (－1，1，0)．∵AQ →＝(－1，1，0)，PC →＝(－1，1，0)，∴AQ →＝PC →，∴AQ →∥PC →，∴AQ ∥PC .∵AQ ⊄平面EPC ，PC ⊂平面EPC ，∴AQ ∥平面EPC .(2)∵D (1，1，0)，E (0，0，a )，∴PD →＝(1，1，0)，PE →＝(0，0，a )，∴AQ →·PD →＝(－1，1，0)·(1，1，0)＝－1＋1＝0，AQ →·PE →＝(－1，1，0)·(0，0，a )＝0.∴AQ →⊥PD →，AQ →⊥PE →，即AQ ⊥PD ，AQ ⊥PE ，又PD ∩PE ＝P ，∴AQ ⊥平面EPD ，AQ ⊂平面AEQ ，∴平面AEQ ⊥平面DEP .例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：a ＝32；a ＝1；a ＝2；a ＝3；a ＝4.若在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD ，则a 可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．分析：建立空间直角坐标系，由PQ ⊥QD 得PQ →·QD →＝0，再将该等式表示为坐标形式，利用方程思想求解．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)．设Q (a ，x ，0)(BQ ＝x ，0≤x ≤2)，于是PQ →＝(a ，x ，－2)，QD →＝(－a ，2－x ，0)． 由PQ ⊥QD 得PQ →·QD →＝－a 2＋x (2－x )－2×0＝0，即x 2－2x ＋a 2＝0，此方程有解，Δ≥0，所以0<a ≤1.当a ＝32时，方程的解为x ＝32或x ＝12，满足0≤x ≤2. 当a ＝1时，方程的解为x ＝1，满足0≤x ≤2.因此满足条件的a 的取值为a ＝32和a ＝1. 知识点三 空间向量与空间角1．求异面直线所成的角．设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.2．求二面角的大小．如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.3．求斜线与平面所成的角．如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n1，n2〉|.四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC 上，且PC⊥平面AMN.(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．分析：建立空间直角坐标系，将所求角转化为空间向量所成的角．解析：建立如图所示的空间直角坐标系得A (0，0，0)，C (2，2，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)，所以PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设M (x 1，y 1，z 1)，因为PM →＝λPD →，所以(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0，2，－2)，所以x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2，所以M (0，2λ，2－2λ)．因为PC ⊥平面AMN ，所以PC ⊥AM ，所以PC →·AM →＝0，所以(2，2，－2)·(0，2λ，2－2λ)＝0，得4λ－2(2－2λ)＝0，所以λ＝12，M (0，1，1)． 设N (x 2，y 2，z 2)，因为PN →＝tPC →，所以(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2，2，－2)，所以x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2，所以N (2t ，2t ，2－2t )．因为PC →⊥AN →，所以PC →·AN →＝0，所以(2t ，2t ，2－2t )·(2，2，－2)＝0，所以4t ＋4t －2(2－2t )＝0，所以t ＝13，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. (1)因为cos AM →，PD →＝（0，1，1）·（0，2，－2）0＋1＋1·0＋4＋4＝0，所以AM 与PD 所成的角为90°.(2)因为AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，所以AB →，PC →分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量．因为AB →·PC →＝(2，0，0)·(2，2，－2)＝4，|AB →|＝2，|PC →|＝23，所以cos AB →，PC →＝443＝33， 所以二面角PAMN 的余弦值为33. (3)因为PC →是平面AMN 的法向量，所以CD 与平面AMN 所成的角即为CD 与PC 所成角的余角．因为CD →·PC →＝(－2，0，0)·(2，2，－2)＝－4，所以cos CD →，PC →＝－42×23＝－33， 所以直线CD 与PC 所成角的余弦值为33， 即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63. 知识点四 空间向量与空间距离计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．几种常见的距离的求法：(1)求A 、B 两点间的距离一般用|AB |＝AB →·AB →＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.(2)求点到平面的距离．如图所示已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量n ，直线AB与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n |·|AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cosθ|＝|n ·AB →||n |. (3)求异面直线间的距离．如图若CD 是异面直线a 、b 的公垂线，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，，则n ∥CD .则由AB →＝AC →＋CD →＋DB →得，AB →·n ＝AC →·n ＋CD →·n ＋DB →·n ，∴AB →·n ＝CD →·n .∴|AB →·n |＝|CD →|·|n |，∴|CD →|＝|AB →·n ||n |. ∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB →·n ||n |. (4)求直线到平面的距离．设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ，∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n .∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离为d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |. (5)求两平行平面间的距离．设n 是两平行平面的一个法向量，A 、B 分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d ＝|AB →·n ||n |.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)解析：设AC∩BD＝O，因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1，0，0)，C (0，3，0)．所以PB →＝(1，3，－2)，AC →＝(0，23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝622×23＝64. (3)解析：由(2)知BC →＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )(t >0)，则BP →＝(－1，－3，t )．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC →·m ＝0，BP →·m ＝0.所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t . 同理，平面PDC 的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t . 因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0， 解得t ＝6，所以PA ＝ 6.一、选择题1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )①a ＝(2，2，1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8，4，－6)，b ＝(4，2，－3)；③a ＝(0，－1，1)，b ＝(0，3，－3)；④a ＝(－3，2，0)，b ＝(4，－3，3)．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组1．解析：∵②中a ＝2b ，∴a∥b ；③中a ＝－13b ，∴a∥b ；而①④中的向量不平行．答案：B2．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a·b ＝b·c B ．|a|＝|b ＋c | C ．|a ＋b －2c |＝5 D ．a ＋c ＝b2．解析：对于A ：a·b ＝2×2－3×0＋1×3＝7，b·c ＝2×0＋0×0＋3×2＝6，故A 错． 对于B ：|a |＝4＋9＋1＝14，|b ＋c |＝22＋02＋52＝29，故B 错． 对于C ：a ＋b －2c ＝(4，－3，0)．∴|a ＋b －2c |＝5.故C 正确． 答案：C3．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3 D ．53．解析：(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3.答案：B4．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( )． A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c4．解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A 中，a ＋2b ＝32(2a )＋(－2)(a －b )，三个向量共面：B 中，b ＋2a ＝32(2b )＋(－2)(b －a )，三个向量共面；D 中，a ＋c ＝2c ＋(a －c )，三个向量共面；只有C 中的三个向量不共面．答案：C5．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 35．解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2. ∴|CD →|＝ 2. 答案：C6．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2，2，0)B ．(2，－2，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，06．解析：由OA →＝(－1，1，0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0. 答案：C7．已知二面角αl β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．解析：二面角αl β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为两条直线所成的角，∴θ＝60°，故选B. 答案：B8．如右图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )A．2 B. 3C. 5D.78．解析：如图所示取AC的中点G，连EG，FG，则易得FG＝2，EG＝1，则EF＝5，故选C.答案：C二、填空题9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．9．解析：如图所示以BC 边上的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，则PD 的长即为所求，由A (0，0，0)，P (0，0，8)，D (0，4，0)，则|PD →|＝42＋（－8）2＝4 5.答案：4 510．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．10．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，于是－1＜cos 〈a ，b 〉＜0，因此a·b ＜0，且a 与b 的夹角不为π，即cos 〈a ，b 〉≠－1.解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞11．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．11．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17.答案：(－64，－26，－17)12．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb a ，b ＝135°，且m ⊥n ，则实数λ等于________．12．解析：因为m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，所以m·n ＝0＝6＋4λ，所以λ＝－32.答案：－32三、解答题13．(xx·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角DA 1CE 的正弦值．13．(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)解析：由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设CA ＝2，则D (1，1，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则n ·CD →＝0，且n ·CA 1→＝0，即x 1＋y 1＝0，且2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)． 同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则m ·CE →＝0，且m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角DA 1CE 的正弦值为63.14．如下图，已知四棱锥PABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC 的余弦值．14．(1)证明：由四边形ABCD 为菱形， ∠ABC ＝60°，可得△ABC 为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE .而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD . 所以AE ⊥PD .(2)解析：如下图，设AB ＝2，H 为PD 上任意一点，连接AH 、EH .由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt △EAH 中，AE ＝3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大，此时tan ∠EHA ＝AE AH＝3AH＝62，因此AH ＝2，又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°，所以PA ＝2.因为AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，又E 、F 分别为BC 、PC 的中点，所以A (0，0，0)，B (3，－1，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (3，0，0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，1. 所以AE →＝(3，0，0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1.设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，32x 1＋12y 1＋z 1＝0. 取z 1＝－1，则m ＝(0，2，－1)， 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面AFC ，故BD →为平面AFC 的一法向量． 又BD →＝(－3，3，0)，所以cos 〈m ，BD →〉＝m ·BD →|m |·|BD →|＝2×35×12＝155.因为二面角EAFC 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为155.15．如图，已知在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .15．证明：如图，以C 1为原点，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2，0，2)，B (0，2，2)，C (0，0，2)，A 1(2，0，0)，B 1(0，2，0)，C 1(0，0，0)，D (1，1，2)．(1)由于BC →1＝(0，－2，－2)， AB →1＝(－2，2，－2)，因此BC →1·AB →1＝0－4＋4＝0， 因此BC →1⊥AB →1， 故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1，0，1)， 所以ED →＝(0，1，1)，又BC →1＝(0，－2，－2)， 所以ED →＝－12BC →1，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1， 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， 故BC 1∥平面CA 1D .16．如下图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m .(1)试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32；(2)在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．16．解析：方法一 (1)连接AC ，设AC 交BD 于O ，AP 与平面BDD 1B 1交于点G ，连接OG .因为PC ∥平面BDD 1B 1，平面BDD 1B 1∩平面APC ＝OG ， 故OG ∥PC .所以OG ＝12PC ＝m2.又AO ⊥DB ，AO ⊥BB 1，所以AO ⊥平面BDD 1B 1.故∠AGO 为AP 与平面BDD 1B 1所成的角． 在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝32，即m ＝13.故当m ＝13时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角的正切值为3 2.(2)依题意，要在A 1C 1上找一点Q ，使得D 1Q ⊥AP . 可推测A 1C 1的中点O 1即为所求的Q 点． 因为D 1O 1⊥A 1C 1，D 1O 1⊥AA 1，AA 1∩A 1G 1＝A 1，所以D 1O 1⊥面ACC 1A 1.又AP ⊂平面ACC 1A 1，故D 1O 1⊥AP .从而D 1O 1在平面AD 1P 上的射影与AP 垂直． 方法二 (1)建立如下图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m )，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)．所以BD →＝(－1，－1，0)，BB 1→＝(0，0，1)， AP →＝(－1，1，m )，AC →＝(－1，1，0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →|·|AC →|＝22·2＋m 2. 依题意有22·2＋m2＝321＋（32）2，解得m ＝13.故当m ＝13时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角的正切值为3 2.(2)若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则Q (x ，1－x ，1)，D 1Q →＝(x ，1－x ，0)．依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，等价于D 1Q →⊥AP →⇔AP →·D 1Q →＝0⇔－x ＋(1－x )＝0⇔x ＝12.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. 即Q 为A 1C 1的中点时，满足题设的要求．2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何测评A 新人教A版选修2-1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在四面体ABCD中,已知=b,=a,=c,,则等于()A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.a-b+c解析:)=-a+b+c.答案:A2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.a∥c,b∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上均错解析:因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则cos 的值等于()A. B. C. D.解析:设正方体棱长为1,则||=,||=,而=()·=||2+|2+=1+0+0-+0+0=.故cos =.答案:B4.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对解析:∵n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.答案:B5.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是()A. B.C. D.解析:建立如图所示的直角坐标系.设矩形ABCD的长、宽分别为a,b,PA长为c,则A(0,0,0),B(b,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),P(0,0,c).则=(b,a,-c),=(-b,a,0),=(0,-a,0),=(b,0,-c),=(0,a,-c),=(b,0,0),=(0,0,-c),=(-b,0,0).∴=-b2+a2不一定为0.=0,=0,=0.答案:A6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于()A.5B.6C.4D.8解析:设=a,=b,=c,则=a+b+c,=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此||=5.答案:A7.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A.-B.-C.D.解析:如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则=(-1,1,0),,若异面直线DE与AC所成的角为θ,cos θ=|cos<>|=.答案:D8.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A. B. C.4 D.8解析:|a|=3,|b|=3,而a·b=4=|a||b|cos<a,b>,∴cos<a,b>=,故sin<a,b>=,于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=|a||b|sin<a,b>=3×3×.答案:A9.如图,ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,|PD|=|AD|=2,二面角P-AD-C为60°,则点P 到AB的距离为()A.2B.C.2D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则点A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,1,),=(-2,1,),=(0,2,0),则=1,所以P到AB的距离d=.答案:D10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.∴令x=1,则n=(1,-1,-1),∴cos<n,>=.∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.∴直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.答案:C第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=.解析:c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由题意得0×2+0×4+(1-x)·2=-2,解得x=2.答案:212.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.(用a,b,c表示) 解析:)===a+b+c.答案:a+b+c13.若平面α的一个法向量为n=(3,3,0),直线l的一个方向向量为b=(1,1,1),则l与α所成角的余弦值为.解析:∵cos<n,b>=,∴l与α所成角的余弦值为.答案:14.如图,AB=AC=BD=1,AB⊂平面M,AC⊥平面M,BD⊥AB,BD与平面M成30°角,则C,D间的距离等于.解析:||2=||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1+0+0+2×1×1×co s 120°=2.故||=.答案:15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为.解析:以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴=(x-1,0,1),∴=(1,1,y).∵B1E⊥平面ABF,∴=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0⇒x+y=1.答案:1三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点坐标为E.17.(6分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.求证:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面CDB1.证明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,且C1C垂直底面.∴AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D.(1)=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴=0,∴AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),∵=(-3,0,4),∴.∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.18.(6分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解:(1)如图,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,则.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为θ,则sin θ=,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2)∵,n=(2,0,1),∴点P到平面DEF的距离d=.19.(7分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.解:(1)连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E.∵AA1∥BB1,∴OE⊥BB1.∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥BC.∵AB=AC,OB=OC,∴AO⊥BC.∴BC⊥平面AA1O,∴BC⊥OE.∴OE⊥平面BB1C1C.又∵AO==1,AA1=,∴AE=.(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),B1(-1,2,2).由,得点E的坐标是.由(1)得平面BB1C1C的法向量是.设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z),由令y=1,得x=2,z=-1,得n=(2,1,-1).所以cos<,n>=,即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.。
2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的坐标课件湘教版选修2_1
空间向量的坐标运算 (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求 a＋b， a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． (2)已知 O 是坐标原点，且 A，B，C 三点的坐标分别是 (2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点 P 的坐标： ①O→P＝12(A→B－A→C)；②A→P＝12(A→B－A→C)．
【解】 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－ 1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4) ＝(2，0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)× 4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2× (－6)＝－8.
则F→H＝－12，38，12. 所以 FH＝|F→H|
＝
－122＋382＋122＝
41 8.
利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题．
第3章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量的坐标
第3章 空间向量与立体几何
1.理 解 空 间 向 量基 本 定 理并 会 用 其解 决 一 些几 何 问 题． 2.掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐标． 3．掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量加减法、向量 与实数相乘及数量积的坐标运算．
q＝a＋2b－c，则 p·q＝( )
高中数学_《空间向量与立体几何》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
第三章《空间向量与立体几何》测试讲评一、讲评目的1、通过讲评，使学生明确自己出现的问题，并进一步改正试卷中的问题；2、加深对所学知识的掌握和理解，进而提高自己的能力。
二、讲评的重点、难点1、重点（1）测试中出现的错误题目；（2）在分析问题的过程中强调有关的知识。
2、难点如何在解题中快速的找到解决问题的方法和思路，并能规范地解答所给问题。
三、课前准备1、批阅试卷，完成对成绩、存在问题的分析。
2、多媒体、展台。
四、讲评过程（一）基本情况介绍1、测试内容及试卷来源本次测试的内容为高中数学选修2-1第三章《空间向量在立体几何中的应用》。
主要是通过该试卷来检测一下学生对空间向量在立体几何中应用的掌握程度，以及运用知识解决问题的能力。
试卷是由老师根据平时的教学情况自己组成的，试卷的结构、题量与高考的形式相同。
试题难度适中，主要侧重于对基本知识、基本方法和学生运算能力的考查。
设计意图：让学生明确考试的有关背景，对所考内容有所了解，同时对本章内容的掌握程度、主要题型都有所了解。
2、相关数据（1）选择题正答率（2）成绩统计各分数段人数设计意图：让学生明确自己在考试中所处的位次及自己的成绩情况，鼓励学生树立学习的自信心。
（3）考试中暴露的问题①对所学知识、常用方法掌握不熟练，有遗忘现象;②运算速度、准确度仍存在较大的缺陷;③答卷中的规范性问题，乱写、乱画的现象仍存在。
设计意图：让学生了解自己在考试中暴露出的问题，明确自己的问题所在。
（二）试卷讲评设计意图：本次的讲评采用相同类型的问题集中讲解的方法，可使学生对相关中出现的错误有整体的了解，从总体上把握该类问题的知识及解法，便于学生对知识的掌握。
本次测试的试题从总体上分为三个部分：（1）空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。
包括第1、2、4、11、13、15题。
（2）数量积及其应用。
包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。
（3）空间向量在立体几何中的应用。
人教版高中数学选修第三章-空间向量与立体几何ppt课件
空间向量及其运算 立体几何中的向量方法
本章总结提升 整章课件共256页
第三章 空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算
3.1.2
3.1.2 │ 三维目标 三维目标
1．知识与技能 (1)了解空间向量、相等的向量等概念； (2)掌握空间向量的加减运算及运算律，并能利用其解决简单的计算问题； (3)理解空间向量的数乘运算及运算律；培养学生的空间思维能力和想象能 力．
3.1.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么 叫作向量？向量是怎样表示的呢？ 类比平面向量的加减运算你能得到空间向量的加减运算法则吗？
3.1.2 │ 预习探究 预习探究
► 知识点一 空间向量及其加减运算 1．几类特殊向量 名称 定义及表示 长度为 0 的向量叫零向量， 0 零向量 _________ 记为________ 单位 _________ 模为 1 的向量叫单位向量 向量 相等 而方向_____ 相反 的向量， 相反 与向量 a 长度_____ 向量 叫 a 的相反向量，记为－a 相等 的向量称为相等向量， 方向相同 ____且模_____ 相等 同向 且_____ 等长 的有向线段表示同一 在空间，_____ 向量 向量或相等向量
3.1.2 │ 预习探究
► 知识点二 空间向量的数乘运算 1．数乘运算的定义 实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的 相同 ； 数乘运算． 如图 312 所示， 当 λ>0 时， λa 与向量 a 方向______ 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.λa 的 当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向______ 长度是 a 的长度的|λ|倍．
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第三章 _空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算
第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.在空间四边形OABC中,+-等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:原式=-=.故选C.2.下列命题中正确的个数是( A )①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在,故③错误.故选A.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( B )(A)-a+b+c (B)a+b+c(C)a-b+c (D)-a-b+c解析:因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,=a,=b,=c,所以=+=+(+)=(+)+=a+b+c.故选B.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A,B,D (B)A,B,C(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )(A)P∈AB (B)P∉AB(C)点P可能在直线AB上(D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )(A)(B)9 (C)(D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a+b|=|a|+|b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.9.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题是(填序号).解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:④10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中能够化简为向量的是.(把你认为正确的序号填上)解析:如图所示.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2≠;④(+)+=.综上可得,只有①②能够化简为向量.答案:①②11.如图,三棱锥P-ABC中,M是AC的中点,Q是BM的中点,若实数x,y,z 满足=x+y+z,则x-y+z= .解析:因为=+=+=+(-)=+[(+)-]=++,所以x=,y=,z=.所以x-y+z=0.答案:012.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④13.如图所示,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.(1)化简++,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),设=α+β+γ,求α,β,γ的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH(如图),则++=.(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),所以=+=+=(-)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.14.如图,H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH 上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:如图,连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为=,所以==(-++)=-++.又因为=-,所以=-++.因为=m,所以=m=-++.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0, 即m=.15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.证明:如图,连接EG,GP,QH,HF,EH,GF.因为E,G分别为AB,AC的中点,所以EG BC.同理,HF BC,所以EG HF.从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O 为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.事实上,=+,=+.因为O为GH的中点,所以+=0.易知GP CD,QH CD,所以=,=.所以+=+++=0.所以=-.故PQ经过O点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:利用图形及向量的运算可知②中是相等向量,①③④中是相反向量.故选C.17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为.解析:因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0,又λ+m+n=0,令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.答案:019.已知空间四边形ABCD中,=b,=c,=d,若=2,且=xb+yc+zd(x,y,z∈R),则y= .解析:如图所示,=+=-+=-+(-)=-++=-b+c+d.因为=xb+yc+zd(x,y,z∈R),所以y=.答案:20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.(1)证明:如图,分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,=,=,=.由题意易知四边形MNQR是平行四边形,所以=+=(-)+(-)=(-)+(-)=(+).又=-=-=,所以=+,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)解:平行.证明如下:由(1)得=,所以∥,所以EG∥平面ABCD.又=-=-=,所以∥.所以EF∥平面ABCD.又因为EG∩EF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)教师用书：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 平面的法向量与向量表示阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示→·n＝0的点M的集合构成的图形设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件AM是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】 B2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】 B教材整理2 三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )(2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )(3)若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.( )(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]111111 (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n1·DA →＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，z1＝－2y1.令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)∵C1B1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量．由n 2⊥FC1→，n 2⊥C1B1→， 得⎩⎨⎧n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，z2＝－2y2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.用向量方法证明空间平行关系的方法[再练一题]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG ∥平面HMN .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF→＝(0，－1,1)， EG→＝(1,0,1)， HM→＝(0,1，－1)， HN→＝(－1,0，－1)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量， 由⎩⎨⎧m·EF→＝0，m·EG→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－y1＋z1＝0，x1＋z1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)． 由⎩⎨⎧n·HM→＝0，n·HN→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y2－z2＝0，－x2－z2＝0.令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．于是有m ＝n ，即m ∥n ，故平面EFG ∥平面HMN .如图3-2-14所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-14【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE→与法向量共线．【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，A1D1→＝(－1,0,0)，D1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A1D1→＝0，n ·D1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(0,2,1)． 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →. ∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1．坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．[再练一题]2．如图3-2-15，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .图3-2-15【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0,1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA→＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB1→，CA →⊥PB1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .111111图3-2-16【自主解答】 在正方体中，AA 1⊥平面ABCD ，所以AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影，又AC ⊥BD ，所以BD ⊥A 1C .同理D 1C 是A 1C 在平面CDD 1C 1内的射影． 所以C 1D ⊥A 1C .又C 1D ∩BD ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BDC 1.1．三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．2．当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．[再练一题]3．正三棱锥P-ABC中，求证：BC⊥P A.【证明】如图，在正三棱锥P-ABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是P A在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥P A.[探究共研型]探究1【提示】只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可．探究 2 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【提示】建系如图，取A (0,0，a )，则易得B (0,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32a ，a 2.∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC .又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由n ·EF→＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，34a ，0＝0，有x ＝y . 由n ·BF →＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0⇒z ＝－3y .取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)．∵n ·CD →＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥CD→， ∴平面BEF ⊥平面ABC .如图3-2-17所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-17【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，则AA1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，0，12.设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎨⎧n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[再练一题]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . 【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，DB1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .[构建·体系]1．已知AB→＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，23，23【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，－23.【答案】 B2．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α. 【答案】 D3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4,2,0)，AP→＝(－1,2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ； ②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量； ④AP→∥BD →. 其中正确的是________．(填序号)【解析】 由于AP →·AB →＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以①②③正确．【答案】 ①②③4．如图3-2-18，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，则AB 与PC 的关系是________.【导学号：15460075】图3-2-18【解析】 ∵O 为△ABC 的垂心， ∴CO ⊥AB .又∵OC 为PC 在平面ABC 内的射影， ∴由三垂线定理知AB ⊥PC . 【答案】 垂直5．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0，－a 2.又PA→＝(a,0，－a )，所以PA →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a 2，a 2，所以PB →·DE→＝0＋a22－a22＝0，所以PB →⊥DE →，即PB ⊥DE .又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )A．4 B．－4C．5 D．－5【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.【答案】 D2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A．(4,2，－2) B．(2,0,4)C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2)【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D.【答案】 D3．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )A.337，－157，4 B ．407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， 则错误!解得错误! 【答案】 B4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－3，32D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，3，－32【解析】 对于B ，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，4，－12，则n ·AP →＝(3,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，3，32在平面α内．【答案】 B5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】 －97．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.【导学号：15460076】【解析】 因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，－1，－74，又因为a ·AB →＝0，a ·AC→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y.所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4) 三、解答题9.如图3-2-19，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF.图3-2-19【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD→＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD→，n ⊥DF →，所以⎩⎨⎧n·BD→＝2x －2y ＝0，n·DF→＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2.则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. 所以n ＝－2 AM→，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】法一 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0.因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS .又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二 设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎨⎧n1⊥BD →，n1⊥BE→，即⎩⎨⎧n1·BD→＝－x ＋y ＝0，n1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)． 因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1．如图3-2-20，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是()图3-2-20A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)【解析】 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1. 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1. 所以⎩⎨⎧ AE→·n＝0，AF →·n＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12z ，x ＝2z. 当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B.【答案】 B 2．如图3-2-21，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点．若点Q 在线段B 1P 上，则下列结论正确的是()图3-2-21A ．当点Q 为线段B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BDB ．当点Q 为线段B 1P 的三等分点时，DQ ⊥平面A 1BDC ．在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BDD ．不存在DQ 与平面A 1BD 垂直【解析】 以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知得A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，P (0,2,0)，A1B →＝(1,0,1)，A1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，B1P →＝(－1,2,0)，DB1→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·A1B →＝x ＋z ＝0，n·A1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B1Q →＝λB1P →＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB1→＋B1Q →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ →也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2,1，－2)与DQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-22，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-22【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)，∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ， ∴EF ⊥平面PBC .【答案】 垂直4．如图3-2-23，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .图3-2-23(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．【解】 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．(1)AP→＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， 可得AP →·CD →＝0，AC →·CD→＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，0，12. 设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n·CD→＝0，n·PD →＝0，因为CD→＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD .。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识板块。
它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法，使复杂的空间关系能够通过代数运算得以清晰展现。
接下来，让我们一起深入探索空间向量的奥秘。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
与平面向量类似，空间向量也由起点和终点来确定。
但由于是在三维空间中，其表现形式更加丰富。
空间向量用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的模，也就是向量的大小。
而向量的方向则由有向线段的指向来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用坐标来表示空间向量。
若向量的起点坐标为$（x_1, y_1, z_1)＄，终点坐标为$（x_2, y_2, z_2)＄，则该向量的坐标为$（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＄。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法遵循三角形法则或平行四边形法则。
两个向量相加或相减，其结果仍然是一个空间向量。
例如，若有向量$＼overrightarrow{a}＝（x_1, y_1, z_1)＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_2, y_2, z_2)＄，则$＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＄，＄＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1 z_2)＄。
2、数乘运算实数$＼lambda$与空间向量$＼overrightarrow{a}＝（x, y, z)＄的乘积$＼lambda\overrightarrow{a}＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＄。
数乘运算改变向量的大小，但不改变向量的方向（当$＼lambda ＞0$时）或使向量反向（当$＼lambda ＜ 0$时）。
高中数学课件-空间向量与立体几何3
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 如何用向量办法求异面直线AC和BD所成的 角？[提示 1] 设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ，
则 cos θ＝|cos〈A→C，B→D〉|. [问题 2] 如何求斜线 BD 与地面所成角 α？ [提示 2] 设地面的法向量为 n，则 sin α＝|cos〈B→D，n〉|. [问题 3] 如何求水平地面与斜坡面所成的二面角 β？
[提示 3] cos β＝cos〈C→A，D→B〉．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： A1B1⊥平面 BCC1B1， 故 A1B1⊥MN， 则M→P·M→N＝(M→B1＋B→1P)·M→N＝M→B1·M→N＋B→1P·M→N＝0， ∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 答案： A
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
解析： 设 CA＝2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1(0，2,1)，可得向量A→B1＝(－2,2,1)，B→C1＝(0,2，
－ 1) ， 由 向 量 的 夹 角 公 式 得
cos
2020高中数学 第章 空间向量与立体几何
3。
1。
1 空间向量及其加减运算3。
1.2 空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．（难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点）1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养。
1．空间向量(1）定义:在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．（2）长度或模：向量的大小．（3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示;②字母表示法：用字母a,b,c，…表示；若向量a的起点是A,终点是B，也可记作：错误!,其模记为｜a|或｜错误!｜．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量:－a错误!的相反向量：错误!相等向量相同相等a＝b3。
向量的加法、减法空间向量的运算加法错误!＝错误!＋错误!＝a＋b减法错误!＝错误!－错误!＝a－b加法运算律（1）交换律：a＋b＝b＋a （2）结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）4。
空间向量的数乘运算(1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ〉0时，λa与向量a方向相同；当λ〈0时，λa 与向量a方向相反;当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的｜λ｜倍．（2)运算律：①λ(a＋b）＝λa＋λb；②λ（μa)＝(λμ)a．5．共线向量和共面向量（1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使错误!＝错误!＋t错误!．(2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y）,使p＝x_a＋y_b．③空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对(x,y) 使错误!＝x错误!＋y错误!或对空间任意一点O，有错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!．思考：(1）空间中任意两个向量一定是共面向量吗？（2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足错误!＝错误!错误!＋13错误!＋错误!错误!，则点P与点A，B，C是否共面？[提示］（1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2）由错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!得错误!－错误!＝错误!（错误!－错误!）＋错误!（错误!－错误!）即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，因此点P与点A,B，C共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD.A1B1C1D1所有的棱中,可作为直线A1B1的方向向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个D[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1。
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2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第14课时
空间向量及其线性运算导学案苏教版选修2-1
【教学目标】
理解空间向量的基本概念，掌握空间向量的线性运算及其运算律，理解共线向量定理。
【自主学习】
1．平面向量： . 空间向量： ___________________________________________________________. 思考：平面向量与空间向量有什么关系？
2．相等向量： . 共线向量： . 3.空间向量的线性运算及其运算律：
（1）交换律： . （2）结合律： . （3）λ(a +b )= . 4.共线向量定理：
对空间任意两个向量, (0)a b a ≠，b a 与共线的充要条件是_____________； 思考：（1）若实数λ=0，λa 表示什么？ （2）为什么规定0a ≠？
【合作探究】
例1. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简
得到的向量：
（1）1CB BA +; （2）11
2
AC CB AA ++
; （3）1AA AC CB --.
例2．如图，在长方体OADB-CA ’D ’B ’中，OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，点E,F 分别是DB,D ’B ’的中点，设,,,,,.OI i OJ j OK k i j k OE OF ===试用向量表示和
例3.设1e ，2e 是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、C 三点共线，求k 的值.
【回顾反思】
【学以致用】
1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是 .
2. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，用向量11,AB AD AA AC ，来表示向量的表达式为
3.四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2
AB BD BC ++化简的结果是 4.已知四边形ABCD 为矩形，点P 是平面ABCD 外一点，且PA⊥面ABCD ，G 为⊿PCD 的重心，若AG xAB yAD zAP =++,则x= ,y= ,z= .
5.设两非向量1e ，2e 不共线，121212,28,3()AB e e BC e e CD e e =+=+=-，判断A 、B 、C 是否共线，并说明理由.。