复变函数与积分变换-第六章-保形映射(下)

第三部分 几个初等函数所构成的映射


1. 幂函数
2. 指数函数
1.幂函数
幂函数： w z
n
dw nz n1 dz
dw 0 ( z 0) dz
在z平面内除去原点外 ,由w z n所构成的映射 处处保形 .
令z re i w e i 又w z n r n e in r n
y
i
(z)
ez i w z e i
x
( )
v
(w)
u
ez
i
i w i
例4 求把带形域 a Re z b映射成上半平面 Im( z ) 0. (z) v (w) 解 y
we
a b
i
z a ba
x
( z1 )
u
w e z2
za z1 ba
n
由此可见, 在w z 映射下,
n
z r w rn
特别 : z 1 w 1.
射线 0 n0 特别: 0 0( 正实轴映射成正实轴 ) 2 角形域 0 0 ( ) 角形域 0 n 0 n
2 i
v
(w)
上岸 下岸
w ez
x
u
由w e z 所 构 成 的 映 射 的 特 点 是 :把水平带形域 0 Im (z ) a(a 2 ) 角 形 域 0 arg w a 因 此, 若 需 把带形域映射成角形域常 用指数函数 .
例3 求将0 Im( z ) 映射成 w 1的一个映射 . 解
0 Im z a(0 a 2 ) 0 arg w a
带形区域
y ia ( z) v
角形区域
(w)
arg w a
w ez
x
a
arg w 0
u
特形： 0 Im z 2 0 arg w 2 (沿 正 实 轴 剪 开 的 w平 面, 它 们 之 间 的 点 是 一 一 对应的 .） y (z)
y (z) v (w)
w zn
0
n 0
x
u
2 特别： 0 0 2 n
y ( z) v
(w) 上沿
w zn
2 n
x
下沿
u
从这里可以看出在 z 0处 角 形 域 的 张 角 经 过 这 一 映 射 后 变 了 原 来n 的 倍。
幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角 形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成
4
u x
z4
( )
i w i
i
c1与c2 所围成的交角为 的 例2 求将图中由圆弧 月牙域 0 arg w 0 的一个映射.
y i ( z)

2

c2
we
i 0
zi ( ) zi
v
(w)
c1
1 -i

0
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x

zi i( ) zi
1
z2 iz1
i
( z2 )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
了原来的n倍。
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
如果要把角形域 角形域常采用幂函数 .
例1 求将0 arg z 解: y
( z)

4
w 1的一个映射 .
v (w)
z4 i w 4 z i
w e i0

1
2. 指数函数
指数函数 :w e
w' e z 0 w e z是全平面上的共形映射 .
设z x iy w e i e x y (2)
由此 可知
z
直线： Re z 常数 c 圆： w ec
直线: Im z 常数 c1 射线： c1