2019届中考数学专项检测：《四边形》基础测试(含答案)
2019年中考数学压轴题专项训练：四边形(附解析)
2019年中考数学压轴题专项训练：四边形1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP．（1）求证：∠AED＝∠BEC；（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图2，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB可以由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，直接写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）．2．如图1，在正方形ABCD中，AD＝6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC，过点P 作PE⊥PC交直线AB于点E．（1）求证：PC＝PE；（2）延长AP交直线CD于点F．①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若△APE的面积是，则DF的长为；（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N连接QN，若PQ＝5，MN＝，则△MNQ的面积是．3．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD）．（1）如图①，△AA′C是三角形；（2）如图②，当∠α＝60°，求AA′长度；（3）如图③，当∠α＝∠AOB时，求证：A′D∥AC．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）AB的长是．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．5．如图1，四边形ABCD是菱形，CD＝5，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，且AH＝3．（1）求DH的长；（2）如图2，连接BM，求DM的长；（3）如图2，动点P从点A出发，沿A→B→C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动．当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．6．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．知识探究：（1）在图1中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；知识应用：（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为；知识拓展：（3）如图3，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB＝24，求DF的长．7．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC为长方形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ＝BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F．若B1E：B1F＝1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF＝BF；（2）当AE＝时，求证：△AC′D′是等腰三角形；（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．9．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4），连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为α（0°＜α＜360°），得到矩形ADEF，点O，C，B的对应点分别为D，E，F．（Ⅰ）如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下，AB与DE交于点H．①求证△BDE≌△DBA；②求点H的坐标．（Ⅲ）α为何值时，FB＝FA．（直接写出结果即可）10．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；（3）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长．11．如图1，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ＝67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝2．（1）求点B的坐标；（2）如图1，点P、点Q分别是边BC、AB上的点，且BQ：BP＝1：2，将△BPQ沿PQ折叠，使点B的对称点B1落到x轴上，求点B1的坐标；（3）如图2，点B2为点B关于对角线AC的对称点，直接写出点B2的坐标．13．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是，数量关系为；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC边的延长线上，连接DE．过点B作DE 的垂线，交CD于点M，交AD边的延长线于点N．（1）连接EN，若BE＝BD，求证：四边形BEND为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM的长；（3）设CE＝x，BN＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．15．已知矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E为BC边上的动点（点E不与点B、C重合），如图1所示，沿折痕AE翻折得到△AEB，设BE＝m．（1）当E、B′、D在同一直线上时，求m的值；（2）如图2，点F在CD边上，沿EF再次折叠纸片，使点C的对应点C′在直线EB′上；①求DF的最小值；②点C′能否落在边AD上？若能，求出m的值，若不能，试说明理由．16．设△ABC，点P是平面内的任意一点（A、B、C三点除外），若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，试说明点P是△ABC的一个勾股点．（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，则CP＝；（3）如图3，四边形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．则点D能否是△ABC的勾股点，若能，求出BC的长：若不能，请说明理由．17．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（不与B重合），连结PQ交AB于E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E在边BC上，BE＝BC，AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．（1）求证：OF＝OG．（2）用含有n的代数式表示tan∠OBG的值．（3）若BF＝2，OF＝1，∠GEC＝90°，直接写出n的值．参考答案1．1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，∵E是CD边上的中点，∴DE＝CE＝CD＝1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠AED＝∠BEC；（2）解：EB平分∠AEC，理由如下：在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，∴tan∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∴∠BEC＝∠AED＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，∴EB平分∠AEC；（3）解：∵BP＝2CP，BC＝，∴CP＝，BP＝，在Rt△CEP中，tan∠CEP＝＝，∴∠CE P＝30°，∴∠BEP＝30°，∴∠AEP＝90°，∵CD∥AB，∴∠F＝∠CEP＝30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP＝＝，∴∠PAB＝30°，∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，在△AEP和△FBP中，，∴△AEP≌△FBP（AAS），∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：①将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，再沿PE折叠；②将△BPF以过点P垂直于BC的直线折叠，再绕点P逆时针旋转60°．2．1）证明：如图1，过P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠BDC＝45°，∴GH⊥CD，∴∠EGP＝∠PHC＝90°，∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GEP+∠GPE＝∠GPE+∠CPH＝90°，∴∠GEP＝∠CPH，∵∠BDC＝45°，∴△PDH是等腰直角三角形，∴PH＝DH＝AG，∵AB＝CD，∴BG＝CH＝GP，∴△EGP≌△PHC（AAS），∴PE＝PC；（2）解：①过P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵F是CD的中点，∴DF＝DC＝AB，∵DF∥AB，∴△DPF∽△BPA，∴，∵PG+PH＝6，∴PH＝2，PG＝4，由（1）知：△EGP≌△PHC，∴EG＝PH＝DH＝AG＝2，∴AE＝2+2＝4，∴S△APE＝＝8，②同理可知：AG＝EG＝PH＝DH，设EG＝x，则PG＝6﹣x，S△APE＝＝，x2﹣6x+＝0，（x﹣3）2＝，x 1＝（舍），x2＝，当x＝时，PH＝，PG＝6﹣＝，∵DF∥AB，∴△ABP∽△FDP，∴，∴＝，DF＝4；故答案为：4；（3）解：如图3，∵点E关于BD的对称点Q，∴PE＝PQ＝5，BE＝BQ，由（1）知：PE＝PC，PE⊥PC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝5，Rt△BEC中，BE＝＝，∴CQ＝6﹣，过Q作QR⊥CE于R，∵∠CRQ＝∠CBE＝90°，∠RCQ＝∠BCE，∴△CQR∽△CEB，∴，∴＝，RQ＝，＝＝＝，∴S△MNQ故答案为：．3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OA＝OA′，∴OA′＝OC，∴∠OAA′＝∠OA′A，∠OA′C＝∠OCA′，∴∠OA′C+∠OA′A＝∠OCA′+∠OAA′，∴∠CA′A＝90°，∴△AA′C是直角三角形，故答案为：直角；（2）解：∵AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，∴OA＝OA′＝，∵∠α＝60°，∴△AA′O是等边三角形，∴AA''＝OA＝；（3）证明：∵∠α＝∠AOB，OA＝OB＝OA′，∴AA′＝AB，∠OAA′＝∠OBA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBA＝∠OCD，AB＝CD，∴∠OAA′＝∠OCD，AA′＝CD，∴四边形A′ACD是等腰梯形，∴A′D∥AC．4．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．∴∠C＝30°∵AC＝12∴AB＝6，故答案为：6；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB＝6，AC＝12．∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE＝AD，即t＝12﹣2t，t＝4．即当t＝4时，四边形AEFD为菱形．5．【解答】解：（1）∵DH⊥AB，∴∠AHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3，∴DH＝＝4，（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵DH⊥AB，∴∠AHD＝∠CDH，∴△AMH∽△CDM，∴＝＝，∴＝，∵DH＝4，∴DM＝；（3）存在，如图2中，∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADM+∠BCD＝90°，∵∠MPB+∠BCD＝90°，∴∠MPB＝∠ADM，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠BAM，∵AM＝AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM＝∠ABM，∴∠MPB＝∠ABM，∵MH⊥AB，∴PH＝BH＝2，∴BP＝2BH＝4，∵AB＝5，∴AP＝1，∴t＝＝．6．【解答】解：知识探究：（1）∵BG＝DN，∠ABG＝∠ADN＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN（SAS），∴∠GAB＝∠NAD，AG＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，∴∠GAB+∠BAM＝45°，∴∠GAM＝∠MAN，∵AM＝AM，AG＝AN，∴△AGM≌△ANM（SAS），∴∠ABG＝∠AMN，∵AB⊥BM，AH⊥MH，∴AH＝AB．知识应用：（2）如图1所示，将△ABD和△ADC翻折，延长EB、GC交于点F，∵△ABE≌△ABD，∴EB＝BD＝2，AE＝AD＝6，∠E＝∠ADB＝90°，∵△ACD≌△ACG，∴AD＝AG＝6，∠ADC＝∠G＝90°，∵∠BAG＝45°，∴∠EAG＝2∠BAC＝90°，∴四边形AEFG为矩形，∵AE＝AG＝6，∴四边形AEFG为正方形，设CD＝CG＝x，∴CF＝6﹣x，BF＝4，BC＝2+x，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝3，∴CD＝3，故答案为：3．知识拓展：（3）如图2所示，连接AF，过点A作AM⊥EF，∵∠FEC＝2∠BAE，设∠BAE＝α，则∠FEC＝2α，∴∠BEA＝90°﹣α，∴∠AEM＝90﹣α，∴∠AEB＝∠AEM，∵AB⊥BE，AM⊥EM，∴AB＝AM＝AD，∵AF＝AF，∴△AMF≌△AFD（HL），∵AB＝24，点E为BC边上的中点，∴BE＝EC＝EM＝12，设FM＝FD＝x，则CF＝24﹣x，EF＝12+x，∴122+（24﹣x）2＝（12+x）2，解得x＝8，∴DF＝8．7．【解答】解：（1）①∵OA＝4，OC＝2，四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝2，∠OAB＝90°∴B（4，2）②设BP＝BQ＝a，则B1（4﹣a，2﹣a），如图1，设直线AC的解析式是y＝kx+b，把A（4，0）代入，得0＝4k+2，解得k＝﹣，∴直线AC的解析式是y＝﹣x+2，把B1（4﹣a，2﹣a）代入上式，得2﹣a＝﹣（4﹣a）+2，解得a＝．∴B1（，）（2）∵OA＝4，OC＝2，OC⊥AC，∴∠OAC＝30°，C（1，）．∵B1E：B1F＝1：3，∴有以下两种情况：①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，由题意可知B1G＝m，设GF＝b，则OG＝b，OF＝2b，∴CF＝2﹣2b，FE＝2（2﹣2b）＝4﹣4b，∴B1E＝EF＝2﹣2b，∴b+（4﹣4b）+（2﹣2b）＝m，解得b＝．∴点B1的纵坐标为．②当点B1在线段FE（除点E，F外）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，同理可求得B1的纵坐标为．综上所述，满足条件的B1的纵坐标为或．8．1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE＝∠CBE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴EF＝BF；（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝，∴BE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由（1）知：EF＝BF，∴△BEF是等边三角形，∵AB⊥EF，∴AE＝AF，过A作AH⊥C'D'，∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，∴FC'∥AH∥ED'，∴C'H＝D'H，∵AH⊥C'D'，∴AC'＝AD'，∴△AC′D′是等腰三角形；＝AH•C'D'＝＝2C'D'，（3）如图1，S△C'D'A当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6﹣4＝2，△AC′D′面积的最小值＝＝＝4．9．【解答】解：（I）如图1，过D作DG⊥OA于G，∵点A（3，0），点C（0，4），∴OC＝4，OA＝3，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝4，∴DG∥AB，∴△ODG∽△OBA，∴，设OG＝3x，DG＝4x，∴AG＝3﹣3x，由旋转得：AD＝OA＝3，由勾股定理得：AD2＝DG2+AG2，32＝（4x）2+（3﹣3x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴OG＝3x＝，DG＝4x＝，∴D（，）；（II）①由旋转得：DE＝OC＝AB，∵AD＝OA，∴∠ADO＝∠AOD，∵BC∥OA，∴∠A OD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADO，∴∠DBE＝∠ADB，∵∠ADH＝∠HBE＝90°，∠AHD＝∠BHE，∴∠DAB＝∠BED，在△BDE和△DBA中，∵，∴△BDE≌△DBA（AAS）；②∵△BDE≌△DBA，∴∠DBH＝∠BDH，∴BH＝DH，设BH＝x，则DH＝x，AH＝4﹣x，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2+DH2＝AH2，x2+32＝（4﹣x）2，x＝，∴AH＝4﹣＝，∴H（3，）；（III）分两种情况：①当F在AB的右侧时，如图2，过F作FM⊥AB于M，∵FB＝FA，∴AM＝BM＝AB＝AF，∴∠AFM＝30°，∴∠MAF＝60°，即α＝60°时，FA＝FB；②当F在AB的左侧时，如图3，过F作FM⊥AB于M，同理得：∠FAM＝60°，此时α＝360°﹣60°＝300°，综上，α为60°或300°时，FB＝FA．10．【解答】解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，∵AF+CE＝EF，∴EF＝x+y，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，∴（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，xy+x+y＝1，∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；（2）∠EBF的度数为定值，理由是：如图1，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，此时AB与CB重合．由旋转可得AB ＝BC，BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，∠BCG＝∠A＝90°．∴∠BCG+∠BCD＝90°+90°＝180°．∴点G、C、E在同一条直线上．∵AF+CE＝EF＝CG+CE＝EG，在△FBE和△GBE中，∵，∴△FBE≌△GBE（SSS），∴∠EBF＝∠EBG＝∠CBG+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°；（3）如图2，由折叠得：∠DFE＝∠BFE，由（2）可知：∠AFB＝∠EFB，∴∠AFB＝∠EFB＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°，设DF＝x，则EF＝2x，ED＝x，∵AD＝1，∴AF＝1﹣x，∵AF+CE＝EF，∴1﹣x+CE＝2x，CE＝3x﹣1，∴ED＝1﹣CE＝1﹣（3x﹣1）＝2﹣3x，∴2﹣3x＝x，x＝，∴EF＝2x＝＝＝．11．1）证明：由平移，得AE∥DF，AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，∵BE＝AE＝2，∴AE＝4，又∵AE＝AD＝4，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：由（1）得：△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB＝45°，∵AE∥DF，∴∠F＝∠AEB＝45°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，∴∠GAE＝90°，∵△DCF绕点D旋转得到△DGA，∴GA＝CF＝2，∴EG＝＝＝2；（3）解：如图3，PF、AQ、PQ之间的数量关系为：PQ2＝PF2+AQ2．理由如下：由（2）得：∠AEB＝45°，∴∠ADF＝∠AEF＝135°，∵AD＝DF，∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG，连GQ，如图3，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F＝45°，∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ＝67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ（SAS），∴PQ＝GQ，∴PQ2＝PF2+AQ2 ．12．【解答】解：（1）∵矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，∴B（4，2）（2）过点P作PM⊥x轴于点M．由折叠可知：∠PB1Q＝∠PBQ＝90°∴△PMB1∽△B1QA，∴，∴PM＝OC＝2，∴B1A＝1∴OB1＝3，∴B1（3，0）；（3）过B2作BH垂直AB，垂足为H．∵BC＝OA＝4，AB＝OC＝2，∴AC＝＝2，∵BG×AC＝，∴BG＝，＝，∴BB2由对称性质可知，BB＝2BG＝，BG⊥AC．2BH，∵∠BCA＝∠B2HB，∴Rt△ABC∽Rt△B2∴，∴，∴，，．13．【解答】解：问题发现（1）如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC，OH＝HF又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，∴AH＝BH∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH∵AH∥EF，AH⊥BC∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH ∴EF＝BC故答案为：EF⊥BC，EF＝BC （2）拓展探究如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC，OH＝HF又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝HC∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH∵AH∥EF，AH⊥BC∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH∴EF＝BC（3）解决问题如图，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形∴BH＝HC＝BC＝，OH＝HF又∵AB＝AC＝2，∴AH⊥BC，∴AH＝＝∵OH＝HF，AE＝AO∴EF＝2AH＝14．【解答】解：（1）证明：∵BD＝BE，BM⊥DE，∴∠DBN＝∠EBN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DNB＝∠EBN．∴∠DBN＝∠DNB．∴BD＝DN．又∵BD＝BE，∴BE＝DN．又∵AD∥BC．∴四边形DBEN是平行四边形．又∵BD＝BE，∴平行四边形DBEN是菱形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6．∴BE＝BD＝＝10．∴CE＝BE﹣BC＝2．∴在Rt△DCE中，DE＝＝．由题意易得∠MBC＝∠EDC，又∠DCE＝∠BCD＝90°．∴△BCM∽△DCE．∴．∴．∴BM＝．（3）由题意易得∠BNA＝∠EDC，∠A＝∠DCE＝90°∴△NAB∽△DCE，∴．∴．∴AN＝．∴在Rt△ABN中，y═＝＝．∵N在AD延长线上，∴AN＞8，即：，∴综上所述：y═．其中0＜x＜．15．【解答】解：（1）如图1，由折叠可知，∠BEA＝∠B′EA，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD，∴∠B′EA＝∠EAD，∴ED＝AD＝10，∵CD＝AB＝6，根据勾股定理得：CE＝8，∴BE＝BC﹣CE＝2，即m＝2；（2）①如图2，由折叠得：∠AEB＝∠AEB'，∠CEF＝∠C'EF，∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠AEB＝∠CFE，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，所以，CF＝，DF＝＝．所以当m＝5时，DF的最小值为．②不能．理由是：若点C′落在边AD上，由（1）知A C′＝E C′，根据折叠可知：BE＝B′E＝m，E C′＝EC＝10﹣m，所以A C′＝10﹣m，B′C′＝E C′﹣B′E＝10﹣m﹣m＝10﹣2m，AB′＝6，在Rt△A B′C′中，根据勾股定理得：62+（10﹣2m）2＝（10﹣m）2．化简得：36+100﹣40m+4m2＝100﹣20m+m2，3m2﹣20m+36＝0，b2﹣4ac＝400﹣432＝﹣32＜0，所以原方程没有实数解，所以点C′不能落在边AD上．16．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣50°﹣10°﹣30°＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是△ABC的一个勾股点；（2）点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，存在以下三种情况：①如图2，当∠APC＝90°时，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5，S△ACD ＝S△ABC＝CD•AP，＝，AP＝，∴CP＝＝；②如图3，当∠BPC＝90°时，S△ACD ＝S△ABC＝CD•BP，＝×BP，BP＝，∴CP＝＝；③如图4，当∠APB＝90°时，∵D是AB的中点，∴PD＝AB＝5，∴PC＝5+5＝10，综上，PC的长是或或10；故答案为：或或10；（3）存在，当∠ADB＝90°时，点D是△ABC的勾股点，如图5，过A作AE⊥CD，交直线CD于E，过B作BF⊥CD于F，∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠BDF+∠DBF＝90°，∴∠ADE＝∠DBF，∵∠E＝∠F＝90°，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（AAS），∴AE＝DF，∵AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠DAB＝45°，∵∠BCD＝45°，∴∠BCD＝∠DAB，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵AC＝，∴AE＝CE＝DF＝＝，∴CF＝3+，∴BC＝CE＝3+；综上，点D可以是△ABC的勾股点，BC的长是3+．17．【解答】解：（1）如图1，设点P运动t秒后，∠BQE＝30°，则AP＝QB＝t，∵∠ABC＝60°，BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，∴PC＝6﹣t，QC＝6+t，∵∠BQE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，6+t＝2（6﹣t），t＝2，即点P运动2秒后，∠BQE＝30°；（2）如图2，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，∵∠BAC＝60°，△AGP为等边三角形，∴GP＝AP＝AG∵QB＝AP，∴GP＝QB，∴△PEG≌△QEB（ASA），∴BE＝GE，∵△APG是等边三角形，PF⊥AB得到AF＝GF，∴GE+GF＝BE+AF＝＝×6＝3；，即EF＝3，故在运动过程中，线段EF长度不变，EF的长为3；（3）如图3，设PQ交AB于E，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，作CH⊥AB于点H．当点P，Q关于点E成中心对称时，QE＝PE，∴易证△PEG≌△QEB（ASA），∴GP＝QB，∵QB＝AP，∴GP＝AP，∵GP∥BC，∴CA＝CB＝a∵平行四边形的面积是24cm2，AB＝6，∴AH＝BH＝3，CH＝24÷6＝4，∴AC＝BC＝即a＝5．故在运动中存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，此时a的值为5．18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AO＝BO，AC⊥BD∴∠AFO+∠FAO＝90°∵AE⊥BG∴∠BFE+∠FBG＝90°，且∠BFE＝∠AFO∴∠FAO＝∠FBG，且OA＝OB，∠AOF＝∠BOG∴△AOF≌△BOG（ASA）∴OF＝OG（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∵BE＝BC∴设BC＝n，则BE＝1，∴点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴直线AC解析式为：y＝﹣x+n，直线AE解析式为：y＝﹣nx+n∵BG⊥AE∴直线BG的解析式为：y＝x∴x＝﹣x+n∴x＝∴点G坐标（，）∵点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0）∴BO＝n，点O坐标（，）∴OG＝∴tan∠OBG＝＝（3）∵OB＝OF+BF，BF＝2，OF＝1∴OB＝3，且OF＝OG，OC＝OB，BO⊥CO∴OC＝3，OG＝1，BC＝3∴CG＝2，∵∠GEC＝90°，∠ACB＝45°∴GE＝EC＝∴BE＝BC﹣EC＝2∴＝∴BE＝BC＝∴n＝。
2019年中考数学专题复习卷 四边形(含解析)
四边形一、选择题1.下列命题正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正十边形的每一个内角的度数为（）A. B.C.D.3.在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比为1：2：3：3，则∠B的度数为（）A. 30°B. 40°C. 80°D. 120°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点D，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件正确的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. ∠ABC=90° D. ∠ABC=∠ADC5.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）。
A.35°B.45°C.55°D.65°6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）。
A.20B.24C.40D.487.如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为（）A. －B.C. －2 D. 28.如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（）A. AB＝EFB. AB＝2EF C. AB＝EF D. AB＝EF9.如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A. 52B.48 C.40 D. 2010.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B.C.D.11.已知图2是由图1七巧板拼成的数字“0”，己知正方形ABCD的边长为4，则六边形EFGHMN的周长为（）A. B.C.D. 1212.如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°二、填空题13.四边形的外角和是________度．14.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________15.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为________cm．16.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD 于点F，则四边形AECF的面积为________．17.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，且点A坐标为（0，4），BC在x轴正半轴上，点C在B点右侧，反比例函数（x＞0）的图象分别交边AD，CD于E，F，连结BF，已知，BC=k，AE= CF，且S四边形ABFD=20，则k=________．18.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为________19. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为________.20.如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题21.如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接.求证：四边形是平行四边形.22.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
2019年人教版数学中考复习 《四边形》 综合测试(含解析)
中考复习《四边形》综合测试时间：120分钟满分：120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每题3分，共10小题）1．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形2．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形3．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形4．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（）A．14 B．13 C．12 D．105．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD 于点E，则AE的长是（）A．4 B．C．5 D．8．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线9．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形10．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（每题3分，共10小题）11．小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论．12．如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l 1∥l 2，则∠1﹣∠2＝ °．13．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝3，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠M AP +∠PAB ，则AP ＝ ．14．如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2．过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．16．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．17．如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）19．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有D M＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．20．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）三．解答题（每题6分，共10小题）21．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．22．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．25．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．26．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．29．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝°时，四边形BECD是矩形．30．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF＝DF；（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）．参考答案一．选择题1．解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．故选：A．2．解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9，故选：C．3．解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，则EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF＝（DE+CF）+CD+EF＝AD+CD+EF＝9+3＝12．故选：C．5．解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，∵在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，即S1＝S2．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，∵AB＝5，∴5x＝5，x＝1，∴AC＝6，BD＝8，S菱形ABCD＝，∴，AE＝，故选： B．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF＝∠DCB，∠BAE＝∠BAD，∴∠BAE＝∠DCF，∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵AD＝BC，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，A、∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C、根据∠B＝60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选：C．9．解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．10．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：根据图表可得：当参加人数为2人时，握手次数为：1＝×2×1，当参加人数为3人时，握手次数为：3＝×3×2，当参加人数为4人时，握手次数为：6＝×4×3，当参加人数为5人时，握手次数为：10＝×5×4，…∴当参加人数为n人时，握手次数为：．故答案为：．12．解：过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1﹣∠2＝72°．故答案为：72．13．解：∵BD＝CD，AB＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝3，又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝6，故答案为：6．14．解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH＝EP＝a，∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+＝，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S＝×OB×OC＝×BC×OF，△OBC∴OF＝，∴EF＝．故答案为．16．解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC；故答案为：AD＝DC．17．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，＝＝．故答案为：．18．解：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°．19．解：由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．20．解：添加条件：AB＝BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2＝2+2＝4．答：甲同学说的边数n是4；（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．22．解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，＝AE×BH＝×4×＝；∴S△ABE（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．23．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE＝EF，又∵BE＝CE∴四边形ABFC是平行四边形．24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴BE∥DF且BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．25．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．26．解：（1）∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，∴∠CGE＝∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△DPG，∴EC＝PD，∴AD＝AP+PD＝AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．27．（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝CD sin60°＝6×＝3．28．解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD•tan∠DAM＝3×tan30°＝3×＝；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2+NQ2，∴（x+1）2＝32+x2，解得：x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN•NQ＝××3×4＝；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△ABH∽△BFC，∴＝，∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF 最大，此时B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD＝AH，∵AD＝BC，∴AH＝BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF＝BH，由勾股定理得：BH＝＝＝，∴CF＝，∴DF的最大值＝DC﹣CF＝4﹣．29．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．30．（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∴BE＝AB﹣AE，DG＝AD﹣AG，∴BE＝DG，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF＝DF；（2）解：在△BCF和△DCF中∴△BCF≌△DCF（SSS），∴∠BCF＝∠DCF，∴点F在对角线AC上∵AD∥EF∥BC∴BE：CF＝AE：AF＝AE： AE＝∴BE：CF＝．。
2019中考数学解四边形专题试卷精选汇编（含解析答案）
2019中考数学解四边形专题试卷精选汇编（含解析答案）1解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，延长BA ⾄点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平⾏四边形; （2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平⾏四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥. ∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平⾏四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平⾏四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==,∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆⼼，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ．（1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．2 BDA【解析】（1）补全的图形如图所⽰．90AOB ∠=?．证明：由题意可知BC AB =，DC AB =，∵在ABD △中，ABD ADB∠=∠，∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴90AOB ∠=?．（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=?，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =?∠=，∴26BD OB ==．ABCDO海淀区21．如图，□ABCD 的对⾓线,AC BD 相交于点O ，且AE∥BD ，BE∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的⾯积取得最⼤值是_______.3C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平⾏四边形. ………………1分∵四边形ABCD 是平⾏四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平⾏四边形AEBO 是矩形. ………………2分∴90BOA ∠=?. ∴AC BD ⊥.∴平⾏四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正⽅形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平⾏四边形. ………………………1分∵四边形ABCD 为菱形，∴BA =BC .∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB . 由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平⾏四边形∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4，∴AG =2，AE =4.∴Rt△AEG 中，EG=.∴ED=分（其他证法相应给分）4⽯景⼭区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，BC CD ==，CE AD ⊥于点E ．（1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．21．（1）证明：（法⼀）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1．∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=?．∵∠BCD ＝90°，∴1290∠+∠=?，∴2D ∠=∠．⼜BC ＝CD∴BHC △≌CED △．∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°，∴四边形ABHE 是矩形，∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分（法⼆）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略．（2）解：∵四边形ABHE 是矩形，∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴CD ==．∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意⼀点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平⾏线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ．（1）求证：四边形CDBF 是平⾏四边形；（2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD .5∵E 是BC 中点，∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ，∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平⾏四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平⾏四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠?=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕⼭区23．如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE ,延长DE 到点F ，使得EF=BE,连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠BCF =120°，CE=4，求菱形BCFE 的⾯积．23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点∴DE ∥BC, DE=12BC ……………………….1′⼜BE=2DE,即DE=12BE∴BC=BE ⼜EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC∴四边形BCFE 是平⾏四边形……………………….2′⼜EF=BE∴四边形BCFE 是菱形 ……………………….3′（2）∵四边形BCFE 是菱形∴BC=BE ⼜∠BCF =120° ∴∠BCE=60°∴△BCE 是等边三⾓形∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC在Rt △BOC 中，BO=32242222=-=-OC BC ……………………….4′322322121=??=??=?OC BO S BOC∴∴ ……………………….5′门头沟区21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；A AB CD E F38324=?=BCFE S菱形（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周长．21. （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，……………………1分∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF．……………2分⼜∵OA=OC，∴四边形AECF是平⾏四边形，⼜∵EF⊥AC，∴平⾏四边形AECF是菱形；……………3分（2）设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=8﹣x，………………………………………4分在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．…………………5分⼤兴区21. 如图，矩形ABCD的对⾓线AC、BD交于点O，且DE=O C，CE=O D．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的⾯积．21.（1）证明：∵DE=OC，CE=OD，∴四边形OCED是平⾏四边形………………………………1分∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD.∴OC=OD.∴平⾏四边形OCED是菱形………………………………2分（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC＝4，∴BC=2.∴AB=DC=…………………………………………………3分连接OE，交CD于点F. ∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点.∵O为BD中点，∴OF=12BC=1.∴OE＝2OF＝2 …………………………………………………4分∴S菱形OCED＝12OE·CD=12×2×＝5分平⾕区6721．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y =x +1交于点A （1，a ）．（1）求a ，k 的值；（2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上⼀点，且满⾜OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．21．解：（1）∵直线y =x +1经过点A （1，a ），∴a =2． ··························· 1 ∴A （1,2）．∵函数()0ky k x=≠的图象经过点A （1，2），∴k =2． (2)（2）点P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． (5)怀柔区21.直⾓三⾓形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上⼀点，且AB=AD ，过点C 作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E ，交AB 延长线于点F. (1)求证：∠ACB=∠DCE；(2)若∠BAD=45°，AF =B 作BG⊥FC 于点G ，连接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的⾯积．21.(1)∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE. ∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分（2）补全图形,如图所⽰ …………………………3分∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°, ∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.8 ∵AB=AD，∴BG=AD.∴四边形ABGD 是平⾏四边形. ∵AB=AD∴平⾏四边形ABGD 是菱形.………………4分设AB=BG=GD=AD=x ，∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2. ∴x=2，过点B 作BH⊥AD 于H. ∴BH=22AB=1. ∴S 四边形ABDG =AD×BH=2. ……………………………………………………………………5分延庆区21．如图，Rt△ABC 中，∠ABC =90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ．（1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC ⾯积.FEDCBA21．（1）在Rt△ABC 中，∵CE //DC ，BE //DC∴四边形DBEC 是平⾏四边形∵D 是AC 的中点，∠ABC =90°∴BD=DC ……1分∴四边形DBEC 是菱形 ……2分（2）∵F 是AB 的中点∴BC =2DF =2,∠AFD =∠ABC =90° 在Rt△AFD 中,……3分∴……4分……5分顺义区21．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFD 是菱形；（2）若AD =1，BC =2，求BF的长． 21．（1）证明：∵BD=BC ，点E 是CD 的中点，∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分∵AD ∥BC ，∴∠2=∠3． F E AB CD 321FEABCD∴∠1=∠3．…………………………… 2分∴BD=DF．∵BD=BC，∴DF=BC．⼜∵DF∥BC，∴四边形BCFD是平⾏四边形．∵BD=BC，∴□BCFD是菱形．…………………………………………………… 3分（2）解：∵∠A =90?，AD=1，BD=BC=2，∴AB==∵四边形BCFD是菱形，∴DF=BC=2．………………………………………………………… 4分∴AF=AD+DF=3．∴BF== 5分9。
2019中考数学数学第一轮《四边形》单元测试卷含答案(1).docx
单元测试卷 ( 五)(测试范围:第五单元 (四边形 )题号一二三考试时间 :90 分钟总分总分人试卷满分核分人:100 分 )得分一、选择题 (本题共 12 小题 ,每小题 3 分 ,共 36 分 )1.将一个 n 边形变成 (n+ 1) 边形 ,内角和将()A.减少180 °B.增加 180 °C.增加90°D.增加360 °2.如图 D5- 1,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,∠ AOB= 60°,AC= 6 cm,则 AB 的长是()图D5-1A.3 cm C.10 cm B .6 cm D .12 cm3.如图D5- 2,在矩形ABCD中 ,AD= 3AB,点 G,H分别在AD ,BC上 ,连接BG,DH ,且BG∥ DH ,当=时 ,四边形 BHDG是菱形()图D5-2A. B. C. D.4.如图D5- 3,在平行四边形ABCD中 ,点E 在边DC上 ,DE ∶EC= 3∶1,连接AE交BD于点F,则△ DEF的面积与△ BAF 的面积之比为()图D5-3A.3∶4 B .9∶16C.9∶1 D .3∶15.如图 D5 -4,O 是矩形 ABCD 的对角线AC 的中点 ,M 是 AD 的中点 ,若 AB= 5,AD= 12,则四边形ABOM 的周长为()图D5-4A.17B.18C.19D.206.下列命题错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形7.如图 D5- 5,在 ?ABCD 中 ,连接 AC,∠ ABC= ∠ CAD= 45°,AB= 2,则 BC 的长是()图 D5-5A. B .2C.2 D.48.如图 D5-6,在矩形 ABCD 中 ,BC= 8,CD= 6,将△ ABE 沿 BE 折叠 ,使点 A 恰好落在对角线BD 上的点 F 处,则 DE 的长是()图D5-6A.3B.C.5D.9.如图 D5 -7,四边形 ABCD 是平行四边形 ,点 E 是边 CD 上的一点 ,且 BC=EC ,CF ⊥ BE 交 AB 于点 F,P 是 EB 延长线上一点 ,下列结论 :① BE 平分∠ CBF ;②CF 平分∠ DCB ;③BC=FB ;④PF=PC.其中正确的结论个数为()图D5-7A.1B.2C.3D.410.如图 D5-8,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折 ,点 B 恰好落在 AD 边上的点 B'处 .若 AE= 2,DE= 6,∠EFB= 60°,则矩形 ABCD的面积是()图D5-8A.12 B .24 C.12 D.1611.如图D5 -9,矩形ABCD中,AB= 8,BC= 4.点 E 在AB 上 ,点F 在 CD上 ,点 G,H在对角线AC上 ,若四边形EGFH是菱形 ,则AE的长是()图 D5-9A.2 B .3 C.5 D.612.如图 D5 -10,在正方形 ABCD 中 ,△ BPC 是等边三角形 ,BP ,CP 的延长线分别交AD 于点 E,F,连接 BD ,DP ,BD 与CF 相交于点H ,给出下列结论2:① BE= 2AE;②△ DFP ∽△ BPH;③△ PFD ∽△ PDB ;④ DP =PH ·PC. 其中正确的是()图D5 -10A.①②③④C.①②④B.②③D.①③④二、填空题(本题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共20 分)13.如图D5-11,在?ABCD中 ,点E 在AB 上 ,点F 在CD上,则S△ABF S△CDE (填“>”“<”或“= ”).图D5 -1114.如图 D5-12,在菱形 ABCD 中 ,AB= 10,AC= 12,则它的面积是.图D5 -1215.如图 D5-13,E 为正方形ABCD 外一点 ,若△ ADE 为等边三角形 ,则∠ AEB=.图 D5 -1316.如图 D5 -14,已知四边形ABCD 是矩形 ,把矩形 ABCD 沿直线 AC 折叠 ,点 B 落在点 E 处 ,连接 DE. 若 DE ∶∶AC= 3 5,则的值为.图D5 -14三、解答题 (共 44 分 )17.(5 分 )如图 D5-15,在△ ABC 中,M 是 AC 边上的一点 ,连接 BM.将△ ABC 沿 AC 翻折 ,使点 B 落在点 D 处,当 DM ∥ AB 时 ,求证 :四边形 ABMD 是菱形 .图D5 -1518.(6 分 )如图 D5 -16,在 ?ABCD 中 ,∠ ABC= 60°.E,F 分别在 CD 和 BC 的延长线上 ,AE∥ BD,EF⊥ BC,EF=,求 AB 的长 .图D5 -1619.(6 分 )如图 D5 -17,在菱形 ABCD 中 ,∠A = 110 °,点 E 是菱形 ABCD 内一点 ,连接 CE,将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 110°,得到线段CF ,连接 BE,DF.若∠ E= 86°,求∠ F 的度数 .图D5 -1720.(7 分) 如图 D5 -18,四边形 ABCD 中 ,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点 ,AD∥BC ,AC= 8,BD= 6.(1)求证 :四边形 ABCD 是平行四边形 ;(2)若 AC⊥ BD ,求平行四边形ABCD 的面积 .图D5 -1821.(10 分 )如图 D5 -19,在正方形ABCD 中 ,点 G 在对角线 BD 上 (不与点 B,D 重合 ),GE⊥ DC 于点 E,GF ⊥ BC 于点F,连接 AG.(1)写出线段AG,GE,GF 长度之间的数量关系,并说明理由 ;(2)若正方形ABCD 的边长为1,∠ AGF= 105 °,求线段 BG 的长 .图D5 -1922.(10 分 )已知正方形ABCD ,点 M 为边 AB 的中点 .(1)如图 D5-20① ,点 G 为线段 CM 上的一点 ,且∠ AGB= 90°,延长 AG,BG 分别与边 BC ,CD 交于 E,F. ①求证 :BE=CF ;②求证 :BE 2=BC ·CE.2(2)如图 D5 -20②,在边 BC 上取一点 E,满足 BE =BC ·CE,连接 AE 交 CM 于点 G,连接 BG 并延长交 CD 于点 F,求 tan∠CBF 的值 .图D5 -20参考答案1.B2.A [ 解析 ] 根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC,由∠ AOB= 60°,判断出△AOB 是等边三角形 ,根据等边三角形的性质求出AB 的长即可 .3.C4.B5.D6.C[ 解析 ]对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线相等的平行四边形是矩形;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 ;对角线互相垂直的矩形是正方形,所以其中错误的为 C,故选 C.7.C[ 解析 ]∵ ? ABCD ,∴ AD ∥ BC ,∴∠ DAC= ∠ ACB= 45°= ∠ ABC, ∴∠ BAC= 90°,AB=AC= 2 , 由勾股定理得BC== = 2 ,选 C.8.C[ 解析 ]由 AB= 6,BC= 8,应用勾股定理 AB2 +AD 2=BD 2 ,得 :BD= 10,由折叠可知 BF=AB ,故 BF= 6,则 DF= 4.(法一 )∵∠ A= ∠ EFD ,∠ EDF= ∠ADB ,∴ △DEF ∽△ DBA ,∴ = ,即= ,∴DE= 5.(法二 )在 Rt△DEF 中 ,设 DE=x ,则 EF=AE= 8-x,应用勾股定理DE 2=EF 2 +DF 2,∴ x2= (8-x) 2+ 42 ,解得 x= 5.9.D [ 解析 ] ∵AB ∥CD,∴∠ ABE= ∠ BEC.∵ CE=CB ,∴∠ CBE= ∠ BEC.∴∠ CBE= ∠ ABE.即 BE 平分∠ ABC. 故①正确 ;∵ CE=CB ,CF ⊥ BE,∴ CF 平分∠ DCB. 故②正确 ;∵ AB∥ CD,∴∠ DCF= ∠ CFB. ∵∠ BCF= ∠ FCD ,∴∠ BCF=∠CFB,∴ BC=BF. 故③正确 ;∵ BF=CB ,CF ⊥ BE,∴ BE 垂直平分 CF ,∴ PF=PC. 故④正确 .10.D11.C12.C [解析 ] 在正方形 ABCD 中,∠ A= 90°;由△BPC 是等边三角形 ,可得∠ CBP= 60°,∴∠ ABP= 30°,∴ BE= 2AE,即①正确 ;由 BD 是正方形 ABCD 的对角线 ,可得△BCD 是等腰直角三角形 ,∴∠ CBD= ∠CDB= 45°,可得∠ PBD= 15°,∵ CD=CP=CB , ∠ PCD= 30°, 可得∠ CPD= ∠ CDP= 75°, ∴ ∠ BPD= 75°+60°= 135°, ∠ FDP= 90°-75°= 15°, ∠PFD= 90°-∠ PCD= 90°-30°= 60°,∠ FPD= 180 °-∠ CPD= 180 °-75°= 105 °,∴∠ PBD= ∠ PDF ,∠ BPH= ∠ DFP ,∴ △DFP ∽△ BPH ,即②正确 ;∵∠ BPD≠∠ DPF ,∴③ △PFD ∽△ PDB 错误 ;由∠ PDH= ∠PDC- ∠ CDB= 75°-45°= 30°= ∠PCD ,∠CPD= ∠DPH ,可得△PDC∽△ PHD ,∴ DP 2=PH ·PC,即④正确 . 13.= 14.96 15.15°16.[解析 ] 由折叠的性质可知∠ BAC= ∠ EAC.∵四边形 ABCD 是矩形 ,∴ AB∥ CD ,∴∠ DCA= ∠BAC,∴∠ EAC= ∠ DCA.设AE 与 CD 交于点 F,则 AF=CF ,∴ DF=EF ,又∠ DFE= ∠ AFC ,∴△ACF ∽△ EDF .∴= = ,设DF= 3x,则 CF= 5x,AB=DC= 8x.在 Rt△ADF 中 ,由勾股定理知 ,AD= 4x,∴= .17.证明 :如图 ,由折叠得 :AB=AD ,BM=DM ,∠ 1= ∠ 2,∵DM ∥ AB,∴∠ 1= ∠ 3,∴∠ 2= ∠ 3,∴ AD=DM ,∴AB=AD=BM=DM ,∴四边形 ABMD 是菱形 .18.解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,∴AB=DC , AB∥ EC.∵ AE∥BD ,∴四边形 ABDE 是平行四边形 .∴AB=DE=CD ,即 D 为 CE 中点 .∵EF⊥BC ,∴∠ EFC= 90°.∵AB∥CD ,∴∠ DCF= ∠ ABC= 60°.∵ EF=,∴ CE= 2.∴AB= 1.19.解: ∵四边形 ABCD 是菱形 ,∴∠ BCD= ∠A= 110°,BC=DC.由旋转可得 :∠ ECF= 110°,EC=FC ,∵∠ BCD= ∠BCE+ ∠ECD= 110°,∠ECF= ∠DCF+ ∠ECD= 110°,∴∠ BCE= ∠ DCF.又∵ BC=DC ,EC=FC ,∴△BCE≌ △ DCF ,∴∠ F= ∠E= 86°.20.解:(1) 证明 :∵ O 是 AC 的中点 ,∴ OA=OC ,∵AD∥BC,∴∠ ADO= ∠ CBO.在△AOD 和△COB 中 ,∵∴ △AOD≌△ COB(AAS), ∴ OD=OB ,∴四边形 ABCD 是平行四边形 .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,AC⊥ BD,∴四边形 ABCD 是菱形 ,∴S 菱形ABCD = AC ·BD= 24.21.解:(1) AG2=GE 2+GF 2.理由如下 :连接 GC,由正方形的性质知AD=CD ,∠ ADG= ∠CDG ,在△ADG 和△CDG 中,∴ △ADG≌△ CDG ,∴AG=CG ,由题意知∠ GEC= ∠GFC= ∠ DCB= 90°,∴四边形 GFCE 是矩形 ,∴GF=EC.222222在 Rt△GEC 中 ,根据勾股定理 ,得 GC=GE +EC ,∴ AG =GE +GF .(2)作 AH ⊥ BD 于点 H,由题意知∠ AGB= 60°,∠ ABG= 45°,∴ △ABH 为等腰直角三角形,△AGH 为含 30°角的直角三角形,∵AB= 1,∴ AH=BH= ,HG= ,∴ BG= + =.22.解:(1) ①证明 : 在△ABG 中 ,∵∠ AGB= 90°,∴∠ GAB+ ∠ABG= 90°,∵正方形 ABCD ,∴ AB=BC ,∠ ABC= ∠BCD= 90°,∴∠ ABC= ∠ABG+ ∠GBC= 90°,∴∠ GAB= ∠GBC,∴Rt△EAB≌Rt△FBC ,∴ BE=CF .②证明 :∵∠ AGB= 90°,点 M 是 AB 的中点 ,∴GM=AM=BM ,∴∠ GAB= ∠ AGM ,∵∠ AGM= ∠CGE ,由①得∠ GAB= ∠ CBG,∴∠ CGE= ∠CBG,又∵∠ GCB= ∠ BCG,∴ △GCE∽△ BCG,∴=,∴CG2=BC ·CE,∵∠ MBG= ∠ MGB= ∠CGF= ∠ CFG ,∴CG=CF ,由①得 BE=CF ,2∴ CG=CF=BE ,∴ BE =BC ·CE.(2)解法 1:如图① ,延长 AE,DC 交于点 K,∵DC∥AB,∴ △ABE∽△ KCE ,∴= ,∵BE 2=BC ·CE,∴= ,∴=,∵AB=BC ,∴CK=BE ,∵ AB∥DC ,∴= = =,∵AM=BM ,∴CF=CK=BE.∵ BE2=BC ·CE,∴ E 是 BC 上的黄金分割点,-∴=,-∴ tan∠CBF= = =.解法 2:如图② ,延长 CM ,BF 分别交直线AD 于点 S,K,易证 AS=BC=AB ,∵BE2=BC ·CE,∴点 E 是 BC 上的黄金分割点,-∴=,∵AD∥ BC,∴ tan∠CBF= tanK=-= = =.7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
2019届中考数学压轴冲刺卷：四边形(含解析答案)
四边形1．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．2．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝，求DR的最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将△ODE沿DE翻折得到△FDE．（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF＝6cm，BC ＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当为何值时，PQ∥BD？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，当t为秒时，PQ⊥PE．5．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．6．如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝；（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明；（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，＝时，则线段MC的长为．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D 以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝BQ＝；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？8．在四边形ABCD中，点E是线段AC上一点，BE∥CD，∠BEC＝∠BAD．（1）如图1已知AB＝AD；①找出图中与∠DAC相等的角，并给出证明；②求证：AE＝CD；（2）如图2，若BC∥ED，，∠BEC＝45°，求tan∠ABE的值．9．如图，已知△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，点E为直线AC上一点，以BE为边，点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF．（1）如图①，当点E在线段AC上时，EF交BC于点D，连接CF；①找出一对全等三角形为；②若四边形ABFC的面积为7，则AE的长是．（2）如图②，当点E在AC的延长线上时，BE交CF于点D．①△CDE的面积记为m，△BDF的面积记为n，探究m、n之间的数量关系并说明理由；②当△CDE的面积为1时，求AE的长．10．如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ．（1）直接写出线段AP和CQ的关系．（2）当A，O，P三点共线时，求线段DP的长．（3）连接PQ，求线段PQ的最小值．11．课题学习：矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，B'C和AD相交于点E，如图1所示．探素发现（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接B'D，请猜想并证明B'D和AC的位置关系；（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF 再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．拓展应用（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△AB'D恰好为直角三角形．12．已知矩形ABCD，作∠ABC的平分线交AD边于点M，作∠BMD的平分线交CD边于点N．（1）若N为CD的中点，如图1，求证：BM＝AD+DM；（2）若N与C点重合，如图2，求tan∠MCD的值；（3）若＝，AB＝6，如图3，求BC的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB边上一点，且AD＝1，点P从点C出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作▱CPDE．设▱CPDE和△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）（1）连结CD，求CD的长；（2）当▱CPDE为菱形时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）将线段CD沿直线CE翻折得到线段C′D′．当点D′落在△ABC的边上时，直接写出t的值．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF （1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．15．如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OA′B′C′．（Ⅰ）如图1，当点A′首次落在BC上时，求旋转角；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点B′的坐标；（Ⅲ）如图2，当点B′首次落在x轴上时，直接写出此时点A′的坐标．16．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直角四边形”的是；②当OP的长是时，四边形DEPF为对直角四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，，∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝＝，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．2．（1）证明：设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，如图b所示：∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴＝，＝，∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB，∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM，∴＝＝＝，∴tan∠OMN＝＝；②如图c所示：∵四边形ABCD为矩形，AB＝，∴BC＝AD＝1，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝，∴DR最小＝﹣＝﹣＝．3．（1）解：∵矩形OABC中，B（8，4），∴OA＝8，OC＝4，∵四边形ODEF为正方形，∴OE∥DF，OE＝DF，∵△ODE沿DE翻折得到△FDE，∴OD＝DF，∵OD＝2t，OE＝4﹣t，∴2t＝4﹣t，t＝；（2）证明：连接AC，作OG⊥AC于G，如图1所示：∵t＝2，∴OE＝BE＝2，OD＝DE＝4，∴DE是△OAC的中位线，∴DE∥AC，且DE＝AC，∴＝＝，∴DE垂直平分OF，由折叠的性质得：DE垂直平分OF，∴G与F点重合，即A、C、F三点在同一条直线；（3）解：存在，理由如下：如图2所示：∵S△BDE＝S△ABC﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ODE＝32﹣t×8﹣×4×（8﹣2t）﹣×2t（4﹣t）＝32﹣4t﹣16+4t﹣4t+t2＝t2﹣4t+16＝（t﹣2）2+12，∴t＝2时，S△BDE有最小值为12；即存在实数t，使△BDE的面积最小，t＝2秒．4．解：（1）∵PQ∥BD，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当t＝时，PQ∥BD．（2）假设存在．∵S五边形AFPQM＝S△ABF+S矩形ABCD﹣S△PQC﹣S△MQD＝×（8﹣t ）×6+6×8﹣（8﹣t ）×t ﹣×（6﹣t ）×（6﹣t ）＝t 2﹣t +．又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8，∴（t 2﹣t +）：48＝9：8， 整理得：t 2﹣20t +36＝0，解得t ＝2或18（舍弃），∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8．（3）∵PQ ⊥PE ，∴∠QPE ＝90°，∵∠EFP ＝∠C ＝90°，∴∠EPF +∠QPC ＝90°，∠QPC +∠PQC ＝90°，∴∠EPF ＝∠PQC ，∴△EPF ∽△PQC ，∴＝，∴＝，解得t ＝，∴当t ＝时，PQ ⊥PE ．故答案为． 5．解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝∠CDE ＝60°＝∠CED∵点A 、D 、E 在同一条直线上，∴∠ADC ＝120°∵∠ACB ﹣∠DCB ＝∠DCE ﹣∠DCB∴∠ACD ＝∠BCE ，且AC ＝BC ，DC ＝CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴∠ADC ＝∠CEB ＝120°∴∠ABE ＝∠CEB ﹣∠CED ＝60°②∵△ACD ≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P满足PD＝2，∴点P在以D为圆心，2为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P在CD的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A到BP的距离为： +1或﹣11．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠APC＝2∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．2．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．3．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．4．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，5．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．6．解：（1）∵AD∥CP，∠APC＝76°，∴∠DAP＝104°，∵∠DAP＝2∠AMD，∴∠AMD＝52°，又∵∠D＝90°，∴∠DAM＝38°，故答案为：38°；（2）∠APC＝2∠DAM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD∥BC，∵点P是射线BC上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC＝180°，∴2∠AMD+∠APC＝180°，在Rt△AMD中，∠D＝90°，∴∠AMD＝90°﹣∠DAM，∴2（90°﹣∠DAM）+∠APC＝180°，∴∠APC＝2∠DAM，故答案为：∠APC＝2∠DAM；（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF＝AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM＝∠E，∵M是DC中点，∴DM＝CM，又∵∠1＝∠2，∴△AMD≌△EMC（AAS），∴AD＝CE，∴BE＝BC+CE＝2AD，∵∠APC＝2∠DAM，∴∠APC＝2∠E，∵PA＝PF，∴∠PAF＝∠F，∴∠E＝∠F，∴AE＝AF，又∵AB⊥BE，∴BE＝BF，又∵BF＝BP+PF＝BP+AP，∴2AD＝BP+AP；（4）如图2，延长MD到点E，使DE＝MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM＝3x，AD＝2x，则DM＝DE＝x，AE＝AP＝3x，∵∠AMD＝∠EMF，∠ADM＝∠EFM＝90°，∴△ADM∽△EFM，∴＝，即＝，解得EF＝x，∴AF＝＝x，∵DE＝MD，AD⊥CE，∴∠AME＝∠AEM，则∠EAF＝2∠AMD，∵AD∥BC，∠DAP＝2∠AMD，∴∠APB＝∠DAP＝2∠AMD，∴∠EAF＝∠APB，又∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AP，∴△EAF≌△APB（AAS），∴PB＝AF＝x，由AD＝BC得x+15＝2x，解得x＝9，∴AB＝＝12，∴MC＝DC﹣DM＝AB﹣DM＝3，故答案为：3．7．解：（1）由题意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案为：t，26﹣3t；（2）由题意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，设当运动时间为t秒时PD＝QC，此时四边形PQCD为平行四边形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴当运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，设当运动时间为t秒时AP＝BQ，四边形ABQP为平行四边形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四边形ABQP为矩形．∴当运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．8．解：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，则CD＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，∴∠BEC＝∠DFC，∴∠AEB＝∠AFD，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴∠ABE＝∠CAD，②∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF，∵CD＝DF，∴AE＝CD；（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，∵BE∥CD，∴∠DCA＝∠BEC＝45°，∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，∴△ABE∽△DAG，∴＝＝，∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE＝CD，过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，设AH＝EH＝m，则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，∴BH＝BE+EH＝2m+m，tan∠ABE＝＝＝．9．解：（1）①△ABE≌△CBF理由如下：∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，且AC＝BC，EB＝BF∴△ABE≌△CBF（SAS）故答案为：△ABE≌△CBF②如图，过点B作BM⊥AC于M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4，BM⊥AC，∴AM＝CM＝BM＝2∴S△ABC＝×4×2＝4∵S四边形ABFC＝7∴S△CBF＝3＝S△ABM，∴＝3∴AE＝3故答案为：3（2）①4+m＝n理由如下：∵△ABE≌△CBF∴S△ABE＝S△CBF，∴S△ABC+S△CBD+S△CDE＝S△CBD+S△BDF，∴4+m＝n②∵△CDE的面积为1，m+4＝n∴n＝5∴S△BDE＝5，如图，过点B作BG⊥AC，BH⊥FC，∵△ABE≌△CBF∴AE＝CF，∠A＝∠BCH＝45°＝∠ACB，且BG⊥AC，BH⊥FC，∴BG＝BH＝2，∠ACF＝90°∵S△BDE＝5，∴DF×BH＝5∴DF＝5，∴设CE＝x，则AE＝4+x＝CF，∴CD＝4+x﹣5＝x﹣1∵S△CDE＝CD×CE＝1∴1＝×x×（x﹣1）∴x＝2，x＝﹣1（舍去）∴AE＝2+x＝6，10．解：（1）AP＝CQ，AP⊥CQ；理由如下：延长QC、AP交于点E，AP的延长线交BC于F，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，由旋转的性质得：∠PDQ＝90°，DP＝DQ，∴∠ADP＝∠CDQ，在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ，∠DAP＝∠DCQ，∵∠BCD＝90°，∴∠DCQ+∠ECF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠CFE，∴∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠CEF＝90°，∴AE⊥QE，∴AP⊥CQ；（2）作DH⊥AP于H，如图2所示：∵O是BC边的中点，∴OB＝BC＝，当A，O，P三点共线时，由勾股定理得：AO＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAH＝∠BOA，∴sin∠DAH＝sin∠BOA＝＝，cos∠DAH＝cos∠BOA＝＝，∴DH＝AD×sin∠DAH＝2×＝4，AH＝AD×cos∠DAH＝2×＝2，∴PH＝AO﹣AH﹣OP＝5﹣2﹣2＝1，∴DP＝＝；（3）连接OD，如图3所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．11．解：（1）如图1中，①结论：EA＝EC．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．②连接DB′．结论：DB′∥AC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（2）如图2中，①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，∴△AEB′≌△AEF（AAS），∴AB′＝AF，此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．②当AD：AB＝时，也符合题意，∵此时∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵AD＝BC＝CB′，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．（4）①如图3﹣1中，当∠AB′C＝90°时，易证∠BAC＝90°，BC＝＝．②如图3﹣2中，当∠ADB′＝90°时，易证∠ACB＝90°，BC＝AB•cos30°＝．③如图3﹣3中，当∠DAB′＝90°时，易证∠B＝∠ACB＝30°，BC＝2•AB•cos30°＝2．④如图3﹣4中，当∠DAB′＝90°时，易证：∠B＝∠CAB＝30°，BC＝＝，综上所述，满足条件的BC的长为或或2或12．（1）证明：如图1，延长MN、BC交于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，∵N是DC的中点，∴DN＝CN，∴△DNM≌△CNE（AAS），∴DM＝CE，∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠MBE＝45°，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠EBM＝45°，∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，∵MN平分∠BMD，∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，∴∠E＝∠DMN＝67.5°，∴∠BMN＝∠E＝67.5°，∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；（2）解：如图2，当N与C重合时，由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，∴BC＝BM，设AB＝x，则BM＝BC＝x，∵AD＝BC，∴DM＝x﹣x，Rt△DMC中，tan∠MCD＝＝＝﹣1；（3）解：如图3，延长MN、BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵，∴CN＝2，DN＝4，∵△ABM是等腰直角三角形，∴BM＝6，由（1）知：BM＝BG＝6，∵DM∥CG，∴△DMN∽△CGN，∴＝2，设CG＝m，则DM＝2m，6＝6+2m+m，m＝2﹣2，∴BC＝6+2m＝2+4．13．解：（1）过点D作DF⊥AC于点F．如图1中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB．∴＝＝，∴＝＝，∴AF＝，DF＝，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣＝，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∴CD＝＝＝．（2）当▱CPDE为菱形时，如图2中，连接BP交CD于O．∵四边形PCED是菱形，∴PD＝PC，∵BD＝BC＝1，∴PB垂直平分线段CD，∴点E在直线PB上，∵∠CPO+∠PCO＝90°，∠CPB+∠PBC＝90°，∴∠PCO＝∠PBC，∵∠POC＝∠PCB，∴△COP∽△BCP∴＝，∴＝．∴t＝．（3）当0＜t≤时，如图3中，重叠部分是四边形PCED．．S＝t•＝t．当＜t≤3时，如图4中，重叠部分是四边形PCFD．S＝（4×+t）﹣＝t+．当t＞3时，如图 5中，重叠部分是四边形ACFD，S＝（4×+3）﹣＝．综上所述，S＝．（4）如图6中，当点D′落在AB上时，延长CE交AB于O，易知OC⊥AB，OC＝．AO＝，∴OD＝OA﹣AD＝，∵DE∥AC，∴＝，∴＝，∴DE＝，此时t＝，如图7中，当点D′落在BC上时，延长DE交BC于F，作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N．∵∠DCO＝∠OCB，ON⊥CD，OM⊥CB，∴ON＝OM，∵S△DCB＝S△CDO+S△BCO，∴×4×＝××ON+×4×OM，∴OM＝，∵OM∥AC，∴＝，∴BM＝，CM＝，∵EF∥OM，∴＝，可得EF＝，∴CP＝DE＝﹣＝，此时t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．14．解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．∴∠B＝∠AFD＝90°，又∵AE＝BC，∴AE＝AD，∴△ABE≌△DFA（AAS）．②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，根据勾股定理，得BE＝＝＝3，∵△ABE≌△DFA，∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，∴四边形CDFE的周长＝2（DC+EC）＝2×（4+2）＝12．③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．∴sin∠AEB＝＝，cos∠AEB＝＝，在Rt△FME中，FM＝EF＝，ME＝EF＝，∴MC＝ME+EC＝+2＝，在Rt△FMC中，tan∠FCE＝＝．（2）如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AE＝AD＝5，由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…（11分）如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，则CG∥AE，DH＝FH．∴AG＝GD＝2.5．∵CG∥AE，AG∥EC，∴四边形AECG是平行四边形，∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…（13分）如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，∴AF＝FE＝AE．∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，∴△ABE∽△DFA，∴＝，即AD×BE＝AF×AE．设BE＝x，∴5x＝×，解得x1＝2，x2＝8（不符合题意，舍去）∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．15．解：（Ⅰ）∵A（4，0），C（0，2），∴OA＝4，OC＝2，由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OA∥BC，在Rt△OCA'中，OC＝OA'，∴∠OA'C＝30°，∵OA∥BC，∴∠AOA'＝∠OA'C＝30°，即当点A′首次落在BC上时，旋转角为30°；（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，作B'E⊥BC于E，如图1所示：∵BC∥AO，∴∠OA′C＝∠A′OA＝30°，∴∠B′A′E＝60°，B′E＝sin∠B′A′E×BB′＝×2＝，EA′＝cos∠B′A′E×BB′＝×2＝1，A′C＝cos∠OA′C×OA′＝×4＝2，∴CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，B′的纵坐标为：2+，∴点B′的坐标为：（2﹣1，2+）；（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，如图2所示：∵∠B'A'O＝90°，A'F⊥B'O，∴B'O＝＝2，∠A'FO＝90°，∵∠A'OF＝∠B'OA'，∴△B'A'O∽△A'FO，∴＝＝，即＝＝，解得：OF＝，A'F＝，∴点A的坐标为（﹣，）．16．（1）解：结论：真．理由：如图1﹣1中，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∴BD是⊙O的直径，∵AC＝BD，∴AC也是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故答案为真．（2）证明：如图2中，∵四边形ABCD是对直角四边形，∠DAB＜90°，∴∠D＝∠B＝90°，∴AD2+DC2＝AC2，AB2+BC2＝AC2，∴AD2+DC2＝AB2+BC2，∵AD+DC＝AB+BC∴（AD+DC）2＝（AB+BC）2，即：AD2+2AD•DC+DC2＝AB2+2AB•BC+BC2，∴2AD•DC＝2AB•BC，∴•AD•DC＝•AB•BC，即：S△ADC＝S△ABC．（3）①结论：四边形ECFD是“对直角四边形”．理由：如图3中，∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，∴∠EDP＝∠BDP，∠FDP＝∠ADP，∴∠EDF＝（∠BDP+∠ADP）＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ECFD是“对直角四边形”．故答案为四边形ECFD．②如图3中，当OP＝2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．理由：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝10，∵BD＝AD＝5，DP∥AC，∴OB＝OC，∴OD＝AC＝3，∵OP＝2，∴DP＝5，∵∠PDF＝∠DFA＝∠ADF，∴AD＝AF＝5，∴DP＝AF，DP∥AF，∴四边形ADPF是平行四边形，∴∠A＝∠DPF，∵DP＝DB，DE＝DE，∠EDB＝∠EDP，∴△EDB≌△EDP（SAS），∴∠DPE＝∠B，∴∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠B+∠A＝90°，∵∠EDF＝90°，∴四边形DEPF是“对直角四边形”．故答案为2．。
四边形基础测试题及答案
四边形基础测试题及答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC =，∴AO=3，∵AB ⊥AC ，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得()22223BE BE +=， 解得2BE =，∴36BC BE ==.故选B.【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．5．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为31故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．正九边形的内角和比外角和多（ ）A ．720︒B ．900︒C ．1080︒D ．1260︒【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式求出正九边形的内角和，减去外角和360°即可.【详解】∵正九边形的内角和是(92)1801260-⨯=o o，∴1260360-=o o 900︒，故选：B.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，熟记公式是解题的关键.7．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =； 当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（ ）A 29B 34C ．2D 41【答案】D【解析】 解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE 22AB AE +2254+41PA +PB 的41．故选D ．9．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，求证：12BC AB =．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）A ．延长BC 至点D ，使CD BC =，连接ADB ．在ACB ∠中作BCE B ∠=∠，CE 交AB 于点EC ．取AB 的中点P ，连接CPD ．作ACB ∠的平分线CM ，交AB 于点M【答案】D【解析】【分析】 分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.【详解】解：选项A ： 如图，由辅助线可知，ABC ADC ≅V ;，则有AB=AD ，再由90ACB ∠=︒，由30BAC ∠=︒，则60B ∠=︒，∴ABD △是等边三角形∴1122BC DB AB ==故选项A 正确；选项B:如图，由辅助线可知，EBD △是等边三角形则60BEC EAC ECA ∠=∠+∠=︒,BE=EC∵30A ∠=︒∴30ECA A ∠=∠=︒∴AE=EC ∴12BC AB =故选项B 正确选项C 如图，有辅助线可知，CP 为直角三角形斜边上的中线∴AP=CP=BP∵30A ∠=︒∴60B ∠=︒∴PBC V 是等边三角形∴12BC BP AB ==综上可知选项D 错误故应选D【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择正确的证明方法是解题的关键．10．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．11．下列命题中是真命题的是（ ）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，在平行四边形ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=o ，AB=3，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．2【答案】C【解析】【分析】 依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=6，AD=6，再根据△ADE 是等边三角形，即可得到△ADE 的周长为6×3=18．【详解】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DFHB AB==，12BG BEDG AD==，∴13DH BGBD BD==，∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，∴S△AGH：ABCDS平行四边形=1：6，∵E、F分别是边BC、CD的中点,∴12EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB ，∵AB ，∴AE=AD ，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE=DH ，∴AB=BE=AH=HD ，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED ，故①正确； ∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB （对顶角相等）， ∴∠OHE=∠AED ，∴OE=OH ，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH ，∴OH=OD ，∴OE=OD=OH ，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD ，又BE=DH ，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH=HF ，HE=DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE 、DF=EH=CE ，CF=CD-DF ，∴BC-CF=（CD+HE ）-（CD-HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB=AH ，∠BAE=45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C ．【点睛】 考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质16．已知ABCD Y (AB BC )，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论中：①DE ＝DF ；②AG ＝GF ；③AF ＝DF ；④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由AAS 证明△ABF ≌△DEF ，得出对应边相等AF=DF ，BF=EF ，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，即AB ∥CE ，∴∠ABF=∠E ，∵DE=CD ，∴AB=DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵===ABF E AFB DFE AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ），∴AF=DF ，BF=EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．20．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.。
2019届中考数学复习《四边形》专题综合训练题含答案
2019届初三数学中考复习 四边形 专题复习综合训练题1. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B 、C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连结OM 、ON 、MN.下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等 3．下列命题中，不正确的是( )A ．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B ．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．对角线互相垂直的四边形 D ．对角线相等的四边形5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．286．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连结EF ，则△AEF 的面积是( )A ．4 3B ．3 3C ．2 3 D. 37. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( D )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF8. 在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是____，面积是____． 9. 如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于____cm.10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，P 是对角线BC 上一动点，则PE ＋PC 的最小值是11. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5 cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝____cm.12. 如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH, 求证：四边形EHFG是平行四边形.13. 已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。
2019年中考数学真题分类训练-专题十一：四边形含答案
2019年中考数学真题分类训练-专题十一：四边形含答案一、选择题1．（2019盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为A．2 B．43C．3 D．32【答案】D2．（2019孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．165【答案】A3．（2019台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为A：1 B．3：2 C3 1 D2：2【答案】A4．（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．8【答案】D5．（2019株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C6．（2019威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD【答案】C7．（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是A．B5C．352D10【答案】D8．（2019天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于A B．3C．5D．20【答案】C9．（2019池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF【答案】B10．（2019绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为A．245B．325C1234D2034【答案】A11．（2019重庆）下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】A12．（2019铜仁）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为A．12 B．14 C．24 D．21【答案】A13．（2019海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．21【答案】C14．（2019广州）如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【答案】B15．（2019铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C16．（2019庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】C17．（2019绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【答案】D18．（2019云南）一个十二边形的内角和等于A．2160°B．2080°C．1980°D．1800°【答案】D19．（2019福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B20．（2019咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】C21．（2019湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B22．（2019湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D二、填空题23．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是__________m．【答案】10024．（2019十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．【答案】2425．（2019温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为__________cm ．【答案】226．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF 、GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F 、G 在BC 边上），使得点B 、点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 点，D 点的对称点为D ¢点，若90FPG ??，A EP ¢△的面积为4，D PH ¢△的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于__________.【答案】 27．（2019达州）如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为__________．【答案】1628．（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为2的正方形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q 、R 分别与图2中的点E 、G 重合，点P 在边EH 上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是__________．【答案】29．（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．【答案】49 1330．（2019武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．【答案】21°31．（2019益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．【答案】532．（2019绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是__________．【答案】2或10或233．（2019新疆）五边形的内角和为__________度．【答案】54034．（2019广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．【答案】8三、证明题35．（2019江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．36．（2019嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线B D．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．证明：添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．37．（2019衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．38．（2019福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．【答案】见解析．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．39．（2019云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．证明：（1）∵AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB：∠ODC=4：3，∴∠AOB：∠ABO=4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，∴∠ABO=54°，∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°–54°=36°．40．（2019岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．41．（2019湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．证明：（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，∴DF=DB=DA12=AB=3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB=3，∴四边形BEFD的周长为12．42．（2019甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB=FB．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=12AH=AB．43．（2019怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．44．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC 的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1﹣a，∵S1=S2，∴a2=1×（1﹣a），解得11 22a=--（舍去），251 22a=-，即线段CE512-；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH52==，∵CH=0.5，CG5122=-，∴HG=，∴HD=HG．45．（2019安徽）如图，点E在Y ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设Y ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值.证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，又AF BE ∥，180BAF ABE ∴∠+∠=︒，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠， EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE △和ADF 中，EBC FADBC AD ECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△ADF ； （2）连接EF ，∵△BCE ≌△ADF ，,BE AF CE DF ∴==， 又,AF BE DF CE ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形， ∴,ABEAFECDEFEDSSSS==，∴AFEFEDABECDEAEDF S SSST S=+=+=四边形，设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ， 则h =h 1+h 2， ∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=，即S T=2.46．（2019长沙）如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE =CF ，AF 与BE 相交于点G ．（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE2243+，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．47．（2019宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE 是平行四边形， ∴AB =EG ， ∵EG =FH =2， ∴AB =2，∴菱形ABCD 的周长为8．48．（2019滨州）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE △沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FGCD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．证明：（1）由题意可得，BCE BFE △≌△， ∴,BEC BEF FE CE ∠=∠=， ∵FG CE ∥，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =， ∴四边形CEFG 是平行四边形， 又∵,CE FE =∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，6,10,AB AD BC BF === ， ∴90,10BAF AD BC BF ∠=︒===，∴8AF =，∴2DF =，设EF x =，则,6CE x DE x ==-，∵90FDE ∠=︒，∴()22226x x +-=，解得103x =， ∴103CE =，∴四边形CEFG 的面积是：1020233CE DF ⋅=⨯=． 49．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =. （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.解：根据题意，得AD =BC =CD =1，∠BCD =90°. （1）设CE =x （0<x <1），则DE =1－x ， 因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得x （负根已舍去），即CE 51-. （2）证明：因为点H 为BC 边的中点， 所以CH =12，所以HD 5，因为CG =CE =512，点H ，C ，G 在同一直线上， 所以HG =HC +CG =1251-5，所以HD =HG .50．（2019舟山）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上．请添加一个条件，使得结论“AE =CF ”成立，并加以证明．【答案】添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．51．（2019台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（__________）②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（__________）证明：（1）①∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，∴AB=BC=CD=DE=EA，在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，AB BC CD DE EA BC CD DE EA AB AC BD CE DA BE====⎧⎪====⎨⎪====⎩，∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，∴五边形ABCDE是正五边形；②若AC=BE=CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：在△ABE、△BCA和△DEC中，AE BA DC AB BC DE BE AC CE==⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），∴∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，在△ACE和△BEC中，AE BC CE EC AC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△BEC（SSS），∴∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，∵四边形ABCE内角和为360°，∴∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥CE，∴∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，∴∠CAE=∠CEA=2∠ABE，∴∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，∴五边形ABCDE是正五边形；（2）①若AC=CE=EA，如图3所示：则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，在△AEF、△CAB和△ECD中，EF AB CD AF CB ED AE CA EC==⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假；②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，在△BFE和△FBC中，EF CB BE FC BF FB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BFE≌△FBC（SSS），∴∠BFE=∠FBC，∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF，∴∠AFE=∠ABC，在△FAE和△BCA中，AF CBAFE CBA EF AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAE≌△BCA（SAS），∴AE=CA，同理：AE=CE，∴AE=CA=CE，由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，而正六边形的各个内角都为120°，∴六边形ABCDEF不是正六边形；故答案为：假．52．（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCH=45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，∴BG=CH=FH=FG﹣HG=6﹣5=1，∴AG=AB﹣BG=6﹣1=5，∴S2=AE•AG=6×5=30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCG=45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6﹣x，∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x，∴S=AM×FM=x（11﹣x）=﹣x2+11x=﹣（x﹣5.5）2+30.25，∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．。
全国各地2019年中考数学真题汇编 四边形
百度文库，精选试题四边形(填空+选择40题)一、选择题1.已知正多边形的一个外角等于40°、那么这个正多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D2.下列命题正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分【答案】D3.如图、将矩形沿对角线折叠、点落在处、交于点、已知 ,的度为（）则A. B.C.D.D【答案】4.如图、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O、点E为边CD的中点、若菱形ABCD的周长为16、∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。
试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题B A.C.. 2D.4A 【答案】）的半径为3、则图中阴影部分的面积是（ 5.如图、在中、、B. A.C.D.C【答案】、下列作法中错误的是（用尺规在一个平行四边形内作菱形6.ABCD ）A.B.C.D.试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题【答案】C7.如图、将矩形ABCD沿GH折叠、点C落在点Q处、点D落在AB边上的点E处、若∠AGE=32°、则∠GHC等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D8.下列命题、其中是真命题的为（）A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D到顺时针旋转的位置、的边上一点、把绕点如图、点9. 是正方形的面积为、则25、的长为（若四边形）A. 5B.C. 7D.D【答案】一定为平行四边形的AECF上不同的两点、下列条件中、不能得出四边形、EF是对角线BD中、10.□ABCD ）是（试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF【答案】B11.在中、若与的角平分线交于点、则的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】B12.如图、在?ABCD中、对角线AC与BD相交于点O、E是边CD的中点、连结OE．若∠ABC=60°、∠BAC=80°、则∠1的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.20°【答案】B13.如图、在 ABCD中、CD=2AD、BE⊥AD于点E、F为DC的中点、连结EF、BF、下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S=2S；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。
2019中考四边形专题测试题及
2021-2021年中考四边形专题测试题及答案一、选择题 (此题共 10 小题，每题 4 分，总分值40 分 )每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得 4 分，不选、选错或选出的代号高出一个的〔无论可否写在括号内〕一律得0 分。
1．以下判断正确的选项是〔〕A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形2．在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB 、BC、 CD 、 DA 的三均分点，那么四边形EFGH 是〔〕A ．正方形B ．菱形C．矩形D．平行四边形3．一个四边形的三个内角的度数依次以下选项，其中是平行四边形的是〔〕A ． 88°， 108 °， 88°B． 88°， 104 °，108 °C．88°， 92°， 92°D． 88°， 92°，88°4．四边形ABCD 中， AD ∥ BC ，要鉴识四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件〔A ．∠ A+ ∠ C＝180 °B．∠ B+∠ D＝ 180 °C．∠ A+ ∠ B＝ 180 °D．∠ A+ ∠ D＝ 180 °〕5．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的均分线订交所成的四边形是〔A ．一般平行四边形B ．菱形C．矩形D．正方形6．四边形ABCD 中， AC、 BD 订交于点O，能鉴识这个四边形是正方形的条件是〔A ．OA ＝ OB＝ OC＝ OD ， AC ⊥BDB ． AB ∥ CD， AC ＝BDC．AD ∥ BC，∠ A ＝∠ C D． OA ＝ OC， OB＝OD ， AB ＝ BC 〕〕7．以下命题中，真命题是〔〕A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形8．以不在一条直线上的三点 A 、B 、 C 为极点的平行四边形共有〔〕A．1 个B．2个C．3个D．4 个9．能够鉴识一个四边形是菱形的条件是〔〕A ．对角线相等且互相均分B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相均分D．一组对角相等且一条对角线均分这组对角10． A、B 、C、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；② AB ＝CD；③ BC＝AD ；④ BC ∥AD ．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有〔〕A．3 种B．4 种C．5 种D．6 种二、填空题(此题共 4 小题，每题 5 分，总分值20 分)11．在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而获取一个小正方形，假设小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是_________。
2019年中考数学总复习单元测试题4 四边形综合试题(含答案)
四边形综合测试题(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.483.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为( )A.7B.6C.5D.44.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是( )5.一个五边形的内角和是( )A.540°B.450°C.360°D.180°6.在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )A.3种B.4种C.5种D.6种7.如图所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为( )A.4B.5C.D.8.如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开,拼成如图2所示的▱KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为( )A.24B.25C.26D.279.如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是( )A. B. C. D.-1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于度.12.如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.13.如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为(结果保留根号).14.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为.三、(共2小题,每小题13分,满分26分)15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(2)若四边形CDEF的周长是25 cm,AC的长为5 cm,求线段AB的长度.16.如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADF≌△CEF;(2)求证:△DEF是等腰三角形.四、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)17.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.18.如图①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为;(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.五、(本大题共2小题,每小题14分,满分28分)19.如图,已知等边△ABC,D为△ABC外一点,AD∥BC,且∠ADC=60°.(1)求证:四边形ABCD为菱形;(2)点E、F分别是AB、BC上的点,且AE=BF,AF与CE交于点H,求∠AHC的度数;(3)连接HD,若HD平分∠AHC交AC于O点,OD=3,OH=1,求菱形ABCD的面积.20.在平行四边形ABCD中,∠BCD=120°,∠GCH=60°,∠GCH绕点C旋转角,角的两边分别与AB、AD 交于点E、F,同时也分别与DA、BA的延长线交于点G、H.(1)如图1,若AB=AD.①求证:△BEC≌△AFC;②在∠GCH绕点C旋转的过程中,线段AC、AG、AH之间存在着怎样的数量关系?并说明理由.(2)如图2,若AD=2AB.经探究得的值为常数k,求k的值.参考答案1-5 BADCA 6-9 BBBDD11 10812 -1,13 214 5.5或0.515 (1) 证明∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点,∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC.BC=2DE,又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形.(2) 解∵四边形CDEF是平行四边形,∴DC=EF,∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC,∵四边形DCFE的周长为25cm,AC的长为5cm,∴BC=25-AB,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13(cm).16证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°.由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,∴AD=CE,∠ADC=∠CEA.在△ADF与△CEF中,∴△ADF≌△CEF(AAS).(2)由(1)得△ADF≌△CEF,∴EF=DF,∴△DEF是等腰三角形.17 (1) 证明正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=OD=BD,∴OA=OB=OD.∵AC⊥BD,∴∠AOB=∠AOD=90°,∴∠OAD=∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN,又∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△AOM≌△BON,∴OM=ON.(2) 解如图,过点O作OP⊥AB交AB于点P,∴∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,∵E为OM中点,∴OE=ME,又∵∠AEM=∠PEO,∴△AEM≌△PEO.∴AE=EP.∵OA=OB,OP⊥AB,∴AP=BP=AB=2,∴EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,∴OP=PB=2.Rt△OEP中,OE=,∴OM=2OE=2,Rt△OMN中,OM=ON,∴MN=OM=2.18 (1)证明:如题图①,∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∠A=∠EFC,∴EF∥AB.∴四边形ADEF为平行四边形.(2)菱形理由如下:∵点D为AB中点,∴AD=AB,∵DE∥AC,点D为AB中点,∴DE=AC,∵AB=AC,∴AD=DE,∴平行四边形ADEF为菱形.(3)结论:四边形AEGF为矩形,理由:如题图②,由①知四边形ADEF为平行四边形, ∴AF DE,AD=EF,∵EG=DE,∴AF EG,∴四边形AEGF是平行四边形.∵AD=AG,∴AG=EF,∴四边形AEGF为矩形.19(1) 证明∵AD∥BC,△ABC为等边三角形,∴∠DAC=∠ACB=60°.∵∠ADC=60°,∴△ADC为等边三角形,∴AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD为菱形.(2) 解由题知,在△ABF和△CAE中,BF=AE,∠B=∠CAE,AB=CA,∴△ABF≌△CAE(SAS).∴∠BAF=∠ACE.∵∠AEH=∠B+∠BCE,∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE.即∠AHC=∠B+∠ACB=60°+60°=120°.(3) 解∵HD平分∠AHC,∴∠OAD=∠AHD=60°.∵∠ODA=∠ADH,∴△OAD∽△AHD,∴,∴AD2=OD·HD,即AD2=3×(3+1)=12,∵AD>0,∴AD=2,∴S=AB·BC·sin∠B=2×2=6.20 (1)①证明∵四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,∴四边形ABCD为菱形.∵∠BCD=120°,∴∠B=∠BAC=∠BCA=∠D=∠CAD=∠ACD=60°.∴BC=AC,∠BCE+∠ACE=60°.∵∠GCH=60°,∴∠FCA+∠ACE=60°.∴∠FCA=∠BCE.∴△BEC≌△AFC(ASA).②解AC2=AG·AH,理由:∵四边形ABCD为菱形,且∠GAE=∠HAF,∴∠GAC=∠CAH.∵∠CAD=60°,∴∠G+∠ACE=60°.∵∠FCA+∠ACE=60°,∴∠G=∠FCA.∴△AGC∽△ACH.∴,∴AC2=AG·AH.(2) 解过点C作CH⊥AD,垂足为H.∵四边形ABCD为平行四边形,∠BCD=120°,∴∠D=60°.设HD=x,则有CD=2x,CH=x,∵AD=2AB,∴AD=4x,AH=4x-x=3x.∵AC2=AH2+CH2,∴AC=2x.∴AC2+CD2=AD2.∴∠ACD=∠CAE=90°.在四边形AECF中,∠EAF=120°,∠ECF=60°,∴∠EAF+∠ECF=180°,∴∠CFH=∠CEA.∵∠CHF=∠CAB=90°,∴△CFH∽△CEA.∴.∵∠ACD=90°,∠D=60°,∴∠CAD=30°.∴=2,即AE=2FH.∴. ∴k=.。
2019中考数学一轮系列复习四边形基础训练A(含答案)
2019中考数学一轮系列复习四边形基础训练A（含答案）1．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点EBD ，则DOE的周长为（）．是CD的中点，12A．12B．13C．14D．152．在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cmC．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm3．把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．4．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．26 C．20 D．175．如图所示，图中所有的小三角形是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心按（）A．顺时针旋转60°所得到的B．逆时针旋转60°所得到的C．顺时针旋转120°所得到的D．逆时针旋转120°所得到的6．如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE＝7，CE＝13，则阴影部分的面积是( )A．114 B．124 C．134 D．1447．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4B．8C．10D．128．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF的长是( )A．7.5B．8C．D．9．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OAB=∠OBCC．∠OAB=∠OCD D．∠OAB=∠OAD10．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于，于，与相交于点，则的最小值为（）A．4.8B．1.2C．3.6D．2.411．如图：矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠CAD=15°，则矩形ABCD的面积S=_____cm2．12．如图，在平行四边形中，平分，，则的周长为________．13．已知：在▱ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠B的度数是_____．14．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为______．15．将一条长方形纸带如图折叠，若∠1=58°，则∠2＝________.16．一个平行四边形的周长为20 cm,一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18 cm,则这条对角线的长为_____.17．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积_____．18．如图，正方形ABCD中，DE=2AE=4， F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH=45°,则FH的长度为________．19．19．如图，△ABC中，如果AB＝30，BC＝24，AC＝27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为________．20．如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．21．如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=时四边形BECD是正方形．求证：四边形AECF是平行四边形；是否存在a的值使得四边形AECF为菱形，若存在求出a的值，若不存在说明理由；如图，点P是线段AF上一动点且求证：；直接写出a的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且C D·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线；（2）若AF＝4，CG＝5，求⊙E的半径；（3）若Rt△ABC的内切圆圆心为I，求⊙I的面积．24．如图，已知四边形ABCD是菱形,点E、F分别是菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求的度数.25．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．26．某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为1 560°，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？27．如图，以边和为边作等边和，连接，，判断与的数量关系，并求与的夹角的度数；继续探索，如图，以的和为边作正方形和，连接、，判断和的数量关系，并求出此时与的夹角；如图中、分别是、的中点，、分别是正方形的中心，顺次连接，判断四边形的形状并证明．参考答案1．D解：∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+DC=18.∵平行四边形ABCD的对角线BD、AC相交于点O，∴O是BD的中点，DO=12BD=6.又∵E是CD的中点，∴DE=12CD，OE是△BDC的中位线，∴OE=12 BC.∴DO+DE+OE=6+12(CD+BC)=6+9=15.即△DOE的周长为15.故选D.2．C解：∵AB=3，BC=5，∴2＜AC＜8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC，∴1＜OA＜4．故选C．3．C解：重新展开后得到的图形是C，故选C．4．D分析：由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：D．5．D∵△ABD，△AED，△AEG都是等边三角形，∴∠GAE=∠EAD=∠DAB=60°，∴菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°得到菱形AEFG，故选D．6．A解：因为正方形ABCD,可设AD =x ,根据正方形的性质可得:CD=x,在三角形CDE 中,根据勾股定理可得: ()222713x x -+=,解得12x =,根据梯形的面积公式可得阴影部分的面积=()1712121142+⨯⨯=,故选A. 7．B解： ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA=OC ，OB=OD ，且AC=BD ，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形DECO 为平行四边形，∵OD=OC ，∴四边形DECO 为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED 的周长为2+2+2+2=8，故选：B ．8．D分析：先图形折叠的性质得到BF=EF ，AE=AB ，再由E 是CD 的中点可求出ED 的长，再求出∠EAD 的度数，设FE=x ，则AF=2x ，在△ADE 中利用勾股定理即可求解．解：由折叠的性质得BF=EF ，AE=AB ，因为CD=6，E 为CD 中点，故ED=3，又因为AE=AB=CD=6，所以∠EAD=30°， 则∠FAE=（90°-30°）=30°，设FE=x ，则AF=2x ，在△AEF 中，根据勾股定理，（2x ）2=62+x 2，x 2=12，x 1=2，x 2=-2（舍去）．AF=2×2=4．故选：D.9．D解：对于选项A，∵∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∴AC=BD.根据此条件，不能判断四边形ABCD是菱形，故A不符合题意.对于选项B，由∠OAB=∠OBC，不能判断四边形ABCD的邻边相等，故B不符合题意.对于选项C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根据已知也可得此条件，故不符合题意.对于选项D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAB=∠ACD.∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.故选D.10．D解：∵四边形AEPF是矩形,∴EF，AP互相平分.且EF=AP,OE=OF,∵当AP的值最小时,AM的值就最小,∴当AP⊥BC时，AP的值最小,即OF的值最小.∵,∴AP·BC=AB·AC,在Rt△ABC中,由勾股定理,得,∵AB=6,AC=8,∴10AP=6×8,∴AP=,∴,故选D.11．16分析：首先取CE交AD于E，由四边形ABCD是矩形，易求得是等腰三角形，即可设，根据直角三角形的性质求得DE与EC的长，即可求得AD的长，又由在中，利用勾股定理可得方程解此方程求得的值，然后由矩形ABCD的面积将的值代入即可求得答案．解：如图：取CE交AD于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∵∴∴∴∠ACE=∠CAD，∴在Rt△DCE中，EC=2DC，设DC=xcm,则∴在Rt△ACD中,∵AC=8cm，∴解得：∴矩形ABCD的面积故答案为：16.12．解：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D．在△ADC和△ABC中，∵，∴△ADC≌△ABC，∴AD=AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD=7，▱ABCD的周长为：7×4=28．故答案为：28．13．100°解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，∵∠A+∠C=160°，∴∠A=∠C=80°，∴∠B的度数是：100°．故答案是：100°．14．解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，∴AD=AB=13，∵DH⊥AB，∴AO×BD=DH×AB，∴12×10=13×DH，∴DH=，∴BH==．故答案为：．15．64°解：因为∠1=58°，所以，∠EAF=180°–58°2=64°，所以∠2=64°.16．8 cm解：由题意得：2（AB+BC）=20，∴AB+BC=10，∵AB+BC+AC=18，∴AC=8cm.故答案为8cm.17．4解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E为CD中点，∴DE=12CD=12AB，∵AB∥CD，∴△AOB∽△EOD，∴12 EOAO，∵△AOD和△DOE等高，∴DOE ADO S S =12， ∵△DOE 的面积是2，∴△DOA 的面积是4，故答案为：4．18．分析：过B 作BN ∥FG 交DC 于G ，连接EN ．把△ABE 绕B 顺时针旋转90°得到△BCH ． 由BN ∥FG ，得到∠EBN =∠EFH =45°，故∠ABE +∠NBC =45°．由旋转的性质得到△ABE ≌△CBG ，进而得到∠ABE =∠CBG ，BE =BG ，AE =CG ，得到∠EBN =∠GBN ．从而可以证明△EBN ≌△GBN ，得到EN =NG ．设NC =x ，则EN =NG =x +2，DN =6-x ．在Rt △EDN 中，用勾股定理得到x =3， DN =NC ，由EF =FB ，得到FN 是梯形EBCD 的中位线，由梯形中位线定理得到FN 的长．通过证明△FHN ∽△BNC ，得到HN 的长．在Rt △FNH 中，由勾股定理即可得到结论． 解：过B 作BN ∥FG 交DC 于G ，连接EN ．把△ABE 绕B 顺时针旋转90°得到△BCH ． ∵正方形ABCD 中，DE =2AE =4，∴AE =2，∴AB =BC =CD =DA =6．∵∠EFH =45°，BN ∥FG ，∴∠EBN =∠EFH =45°，∴∠ABE +∠NBC =45°．∵△ABE ≌△CBG ，∴∠ABE =∠CBG ，BE =BG ，AE =CG ，∴∠NBG =45°，∴∠EBN =∠GB N ．在△EBN 和△GBN 中，∵BE =BG ，∠EBN =∠GBN ，BN =BN ，∴△EBN ≌△GBN ，∴EN =NG ．设NC =x ，则EN =NG =x +2，DN =6-x ．在Rt △EDN 中，∵，∴，解得：x =3，∴DN =NC ．∵EF =FB ，∴FN 是梯形EBCD 的中位线，∴FN =(ED +BC )÷2=（4+6）÷2=5．∵FH ∥BN ，∴∠FHN =∠BNC ．∵FN ∥BC ，∴∠FNH =∠BCN =90°，∴△FHN ∽△BNC ，∴FN ：BC =HN ：NC ，∴5：6=H N ：3，∴HN =2.5，∴FH===．故答案为：．19．81解析：∵DN∥GM∥AB，EG∥DF∥BC，∴四边形EAGM，DFMC是平行四边形，∴EG=AM，FD=MC，∴EG+FD= AM +MC=AC=27，同理：FM+EN=CD+BD=BC=24，DN+GM=AF+BF=AB=30.∴图中阴影部分的三个三角形周长之和为：AB+BC+AC=30+24+27=81．故答案为：81．分析：（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H 为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，∴BC＝×12－x＝6－x.∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，即y＝－x2＋3x.(2)y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋4.5，∵a＝－＜0，∴y有最大值，当x＝3时，y有最大值，为4.5.21．（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；（2）45°分析：（1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BECD是菱形；（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．解析：（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；∵D为AB中点，∴AD=BD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=BD，∴四边形BECD是菱形；（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC=∠DBE，∴∠DBE=90°，∴四边形BECD是正方形．故答案为：45°．22．（1）证明见解析；（2）不存在；（3）①证明见解析；②．解：证明：四边形ABCD是矩形，，，又、F分别是边AB、CD的中点，，四边形AECF是平行四边形；解：不存在，由知：四边形AECF是平行四边形；当时，四边形AECF为菱形，四边形ABCD是矩形，，，，方程无解，故不存在这样的a；解：如图，四边形AECF是平行四边形，，，，，，，，，；如图，当P与F重合时，，的取值范围是．23．（1）证明见解析；（2）⊙E的半径为20；（3）130π.分析：（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；（2）如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，列比例式代入r可得结论；（3）如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．解：（1）∵ CD·BC＝AC·CE，∴＝∵∠DCE＝∠ACB．∴△CDE∽△CAB，∴∠EDC＝∠A＝90°，∴ED⊥AC又∵点D在⊙O上，∴AC与⊙E相切于点D ．（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，∴BH＝FH．在四边形AHED中，∠AHE＝∠A＝∠ADE＝90°，∴四边形AHED为矩形，∴ED＝HA，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC．设⊙O的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BH＝FH＝r－4，EC＝r＋5．在△BHE和△EDC中，∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC，∴△BHE∽△EDC．∴＝，即＝．∴r＝20．即⊙E的半径为20.（3）如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，BC=2r+5=2×20+5=45，∴AC= =27，∵I是Rt△ABC的内心，∴IM=(AB+AC−BC) ÷2=(36+27−45) ÷2=9，∴AH=IM=9，∴BH=BM=36-9=27，∴EM=27-20=7，在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= ，.∴⊙I的面积=π×=130π.24．（1）证明见解析（2）120°分析：（1）利用菱形的性质证明△ABE≌△BCF，即可证出BE=BF；（2）取BF的中点G，连接EG，先证四边形ABFD是梯形，再证EG是梯形ABFD的中位线，即可得到∠ABF=90°，进而可求出的度数.解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.∴AE=CF，又∵∠A=∠C，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=BF；(2) 取BF的中点G，连接EG，∵△BEF为等边三角形，∴EG⊥BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DF，又∵AD与BF不平行，∴四边形ABFD是梯形∵E是AD中点，G是BF的中点，∴EG是梯形ABFD的中位线，∴EG∥AB，∵EG⊥BF，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∵△BEF为等边三角形，∴∠EBF=60°，∴∠ABE=30°，∵△ABE≌△BCF，∴∠ABE=∠CBF= 30°，∴∠ABC=120°.25．（1）见解析；（2）45°；（3）.分析：（1）由正方形的性质，用SAS证明△BAE≌△DAG；（2）作FH⊥MN于H，证明△EFH≌△ABE，再证△CHF是等腰直角三角形；（3）结合（1）（2），可证明△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，再用相似三角形的性质得到结论.解析：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN=45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE，又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH，∵∠FHC=90°，∴∠FCN=45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH=AD=BC=b，∴CH=BE，∴；在Rt△FEH中，tan∠FCN=，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=．26．这个内角是120°，这个多边形的边数是10.分析：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，根据多边形的内角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根据多边形每个内角的取值范围0°＜α＜180°列不等式，即可求出多边形的边数，进而求出这个内角的度数．解：设这个多边形的边数为n，多算的这个内角为α，则有：(n-2)·180°+α=1 560°.∴α=1 560°-(n-2)·180°.显然：0°＜α＜180°，∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得923<n<1023.∴n=10.∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°.答：这个内角是120°，这个多边形的边数是10.27．(1)，的度数为；(2)且与的夹角为；(3) 四边形为正方形，理由详见解析.分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DC，全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根据三角形内角和定理计算即可得解；（2）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABH和△AFC 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=FC，全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，设BH、CF相交于点G，再根据四边形的内角和定理计算即可求出∠BGF=90°，根据垂线的定义即可得证；根据正方形的对角线互相平分可得点P、Q分别是BF、CH的中点，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PN∥BH，PN=BH，MQ∥BH，MQ=BH，NQ∥CF，NQ=CF，PM∥CF，PM=CF，再根据（2）的结论可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，从而判定四边形MPNQ 是菱形，再根据BH⊥CF求出PN⊥NQ，根据有一个角是直角的菱形是正方形证明．解：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，∴；故，的度数为；在正方形和中，，，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，设、相交于点，则，∴，故且与的夹角为；四边形为正方形．理由如下：∵、分别是正方形的中心，∴、分别是、的中点，∵、分别是、的中点，∴，，，，，，，，根据的结论，，，∴，∴四边形是菱形，∵，，，∴，∴菱形是正方形，故四边形为正方形．。
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3．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有…………………………………（ ）
（A）2 个 （B）1 个 （C）4 个 （D）3 个
【提示】第一个图形不是中心对称图形．【答案】D．
4．已知下列பைடு நூலகம்个
（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（4）四边都相等的四边形是正方形．其中真
一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫
面积的比为_______．【提示】先算出中位线的长，然后用梯形面积公式计算．【答案】 3 ． 4
14．如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝45°，AE⊥BC 于点 E，AE＝AD＝2 cm， 则这个梯形的中位线长为_____cm．
【提示】BC＝6 cm．【答案】4． 15．请画出把下列矩形的面积二等分的直线，并填空（一个矩形只画一条直线，不写画 法）．在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有_____条，这些直线都必须经过此矩形的_____ 点．
（A）1
（B）2
（C）3
（D）0【提示】（3）正确．【答案】A．
5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于………………………………（ ）
（A）30°
（B）45°
（C）60°
（D）75°【答案】C．
6．下列
（A）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
（B）有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形
为………………………………………………………………………………………（ ）
（A）6 cm 和 9 cm
（B）5 cm 和 10 cm
（C）4 cm 和 11 cm
（D）7 cm 和 8 cm
【提示】长边被分成的两部分之中，有一部分与矩形短边相等．【答案】B．
9．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 相交于点 O，则图中全等三角形
共有……………………………………………………………………………………（ ）
（A）1 对
（B）3 对
（C）2 对
（D）4 对
【提示】以 AB 和 CD 为对应边的两个三角形．【答案】B．
10．菱形周长为 20 cm，它的一条对角线长 6 cm，则菱形的面积为…………………（ ）
（A）6
（B）12
（C）18
（C）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C．
7．如图，DE 是△ABC 的中位线，若 AD＝4，AE＝5，BC＝12，则△ADE 的周长
是………………………………………………（ ）
（A）7.5
（B）30
（C）15
（D）24
【答案】C．
8．矩形的边长为 10 cm 和 15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长
（D）24
【提示】若菱形两对角线为 a 和 b，则 S 菱形＝ ab ．【答案】D． 2
（二）填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11．如图，在□ABCD 中，则对角线 AC、BD 相交于 O，图中全等的三角形共有____对．
【提示】考察以 AB、CD 为对应边的三角形，有 3 对全等三角形；抹去 AB、CD 两边，又有 1 对全等三角形．【答 案】4． 12．如果一个多边形的每个内角都等于 108°，那么这个多边形是_____边形． 【提示】360°÷每个外角的度数．【答案】5． 13．梯形的上底边长为 5，下底边长为 9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的
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（一）选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．内角和与外角和相等的多边形是……………………………………………………（ ）
（A）三角形
（B）四边形
（C）五边形
（D）六边形【答案】B．
2．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………………（ ）
（A）菱形
（B）矩形
（C）梯形
（D）两条对角线相等的四边形【答案】A．