平均指标与标志变异指标ppt
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统计学平均指标与标志变异指标
下限公式： Mo LMo
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
第23页/共51页
（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
第37页/共51页
2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
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（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
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2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
项目五 平均指标和变异指标 课件(共114张PPT) 《统计基础》(高教版).ppt
1
1
x1 x2
xn
n
1
x
Fundamentals
原始资料
of
Applied
加权调和平均
xh
m
1
xm
Statistics
分组资料
2.调和平均数——应用
均数的变形形式来使用的，令 = ，则 =
，将其代入加权算
xf
1
x xf
m x
m
x
h
• 此时，两者的计算结果是完全一样的，所代表的经济意义也是完全相同，
平均数 VS 强度相对数
2.算术平均数的计算
Fundamentals
实际工作中，根据掌握资料的不同，算术平均数的计算
方法分为两种情况：即简单算术平均数（用原始资料计算）
和加权算术平均数（用分组资料计算）。
of
x
n
Statistics
简单算术平均
x x2 x3 xn
x 1
of
Applied
Statistics
5.1.2
算术平均数
算术平均数的概念
of
PART 02
PART 03
算术平均数的特点
Statistics
算术平均数的计算
Applied
目 录
Fundamentals
PART 01
Applied
算术平均数是最基本、最
常用的平均指标，在现实生活
中得到广泛运用。
变量值的一般水平。
Applied
以变量数列作为计算基础，反映总体内各变量值
的一般水平。
1
x1 x2
xn
n
1
x
Fundamentals
原始资料
of
Applied
加权调和平均
xh
m
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xm
Statistics
分组资料
2.调和平均数——应用
均数的变形形式来使用的，令 = ，则 =
，将其代入加权算
xf
1
x xf
m x
m
x
h
• 此时，两者的计算结果是完全一样的，所代表的经济意义也是完全相同，
平均数 VS 强度相对数
2.算术平均数的计算
Fundamentals
实际工作中，根据掌握资料的不同，算术平均数的计算
方法分为两种情况：即简单算术平均数（用原始资料计算）
和加权算术平均数（用分组资料计算）。
of
x
n
Statistics
简单算术平均
x x2 x3 xn
x 1
of
Applied
Statistics
5.1.2
算术平均数
算术平均数的概念
of
PART 02
PART 03
算术平均数的特点
Statistics
算术平均数的计算
Applied
目 录
Fundamentals
PART 01
Applied
算术平均数是最基本、最
常用的平均指标，在现实生活
中得到广泛运用。
变量值的一般水平。
Applied
以变量数列作为计算基础，反映总体内各变量值
的一般水平。
平均指标与标志变异指标
若资料未分组，简单几何平均数计算公式：
G n x1 x2 x3 xn
若资料已分组，加权几何平均数计算公式：
G
f
x x x x f1 f2 f3
权算术平均数。其计算公式为：
n
X i fi
X
i 1 n
fi
i 1
式中： X（i 或X） fi (或f )
——标志值 ——标志值 Xi(或X )出现的次数或权数
n
——组数
n
Xi fi (或 Xf ) ——标志总量
i1
【例】下表资料是经过分组整理的，已知日产量 及工人人数，则加权算术平均数计算如下：
日产量x（件）
15 16 17 18 合计
工人人数f（人） 12 38 40 20 110
总产量xf（件） 180 608 680 360 1828
该企业加工车间生产工人的平均日产量为：
X 1512 1638 17 40 18 20 1828 16.6件
12 38 40 20
110
【例】设某厂职工按日产量分组后所得组距数 列如下，据此求平均日产量。
按日产量分组 (千克) 60 以下 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100
100 – 110 110 以上 合计
组中值X (千克) 55 65 75 85 95 105 115 -
工人数f (人) 10 19 50 36 27 14 8 164
Xf
550 1235 3750 3060 2565 1470
调和平均数 X h
几何平均数
众数
XG
位置平均数
Mo
中位数
Me
二、算术平均数
算术平均数是指将总体标志总量除以同一总体单 位总数得到的平均指标。算术平均数的基本计算 公式如下：
G n x1 x2 x3 xn
若资料已分组，加权几何平均数计算公式：
G
f
x x x x f1 f2 f3
权算术平均数。其计算公式为：
n
X i fi
X
i 1 n
fi
i 1
式中： X（i 或X） fi (或f )
——标志值 ——标志值 Xi(或X )出现的次数或权数
n
——组数
n
Xi fi (或 Xf ) ——标志总量
i1
【例】下表资料是经过分组整理的，已知日产量 及工人人数，则加权算术平均数计算如下：
日产量x（件）
15 16 17 18 合计
工人人数f（人） 12 38 40 20 110
总产量xf（件） 180 608 680 360 1828
该企业加工车间生产工人的平均日产量为：
X 1512 1638 17 40 18 20 1828 16.6件
12 38 40 20
110
【例】设某厂职工按日产量分组后所得组距数 列如下，据此求平均日产量。
按日产量分组 (千克) 60 以下 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100
100 – 110 110 以上 合计
组中值X (千克) 55 65 75 85 95 105 115 -
工人数f (人) 10 19 50 36 27 14 8 164
Xf
550 1235 3750 3060 2565 1470
调和平均数 X h
几何平均数
众数
XG
位置平均数
Mo
中位数
Me
二、算术平均数
算术平均数是指将总体标志总量除以同一总体单 位总数得到的平均指标。算术平均数的基本计算 公式如下：
统计学变异指标ppt课件
乙 丙 丁戊 520 600 700 850 平均奖金
标志值（变量值） = 626（元）
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的
程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50
显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平 均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比 较它们的差异程度大小。
这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度 大小。
变异系数
如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值 的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较 其数列平均数的代表性大小），怎么办？
V
X
100﹪
在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。
注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：
在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小 （或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相 同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不 相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同 或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。
—
-39
X 85 2 X 85 2 f 10 10
9
90
4
76
1
50
0
0
1
27
4
56
9
72
—
371
σ
X A d
2
f
f
X A d
f 2 d
f
371 39 2 d 14.85(公斤) 165 164
平均指标与标志变异指标课件
ERA
平均指标的定义与计算方法
平均指标定义
平均指标是总体各单位某一数量 标志值加总后与总体单位数相除 得到的数值。
平均指标计算方法
包括简单平均数、加权平均数、 算数平均数、几何平均数等。
平均指标的作用与局限
平均指标作用
反映现象总体的一般水平；描述现象 总体变动的特征；作为总体各单位分 配的依据；作为同类现象在不同总体 间进行比较的基础。
预作用
标志变异指标具有预警作用。例如，在金融领域，如果股票价格波动超过一定的标准差范围，就可能预 示着市场存在异常情况或风险。此时，投资者需要关注市场动态并采取相应的措施。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
平均指标与标志变异指标的案例分析
案例一：银行客户信贷风险评估
ERA
总结平均指标与标志变异指标的核心要点
平均指标
平均指标是描述集中趋势的指标，通 常用于衡量一组数据的“平均”水平 。常见的平均指标有算数平均数、几 何平均数和中位数等。
标志变异指标
标志变异指标是描述数据离散程度的 指标，通常用于衡量一组数据的“变 异”程度。常见的标志变异指标有标 准差、方差、四分位数间距和极差等 。
异常值处理
在数据处理和分析过程中，常常需要处理异常值。平均指标和标志变异指标可以用来检测 和处理异常值。例如，在金融领域，可以使用平均值和标准差来检测股票价格的异常波动 。
风险评估
在风险评估中，可以使用平均指标和标志变异指标来评估投资组合的风险水平。例如，可 以使用平均值和标准差来计算投资组合的预期收益和风险，从而评估投资组合的稳健性。
标志变异指标的作用与局限
标志变异指标的作用
标志变异指标可以反映总体各单位标志值的差异程度，帮助 我们了解总体中各单位分布的离散程度和稳定性，从而更好 地分析和解释平均指标。
平均指标的定义与计算方法
平均指标定义
平均指标是总体各单位某一数量 标志值加总后与总体单位数相除 得到的数值。
平均指标计算方法
包括简单平均数、加权平均数、 算数平均数、几何平均数等。
平均指标的作用与局限
平均指标作用
反映现象总体的一般水平；描述现象 总体变动的特征；作为总体各单位分 配的依据；作为同类现象在不同总体 间进行比较的基础。
预作用
标志变异指标具有预警作用。例如，在金融领域，如果股票价格波动超过一定的标准差范围，就可能预 示着市场存在异常情况或风险。此时，投资者需要关注市场动态并采取相应的措施。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
平均指标与标志变异指标的案例分析
案例一：银行客户信贷风险评估
ERA
总结平均指标与标志变异指标的核心要点
平均指标
平均指标是描述集中趋势的指标，通 常用于衡量一组数据的“平均”水平 。常见的平均指标有算数平均数、几 何平均数和中位数等。
标志变异指标
标志变异指标是描述数据离散程度的 指标，通常用于衡量一组数据的“变 异”程度。常见的标志变异指标有标 准差、方差、四分位数间距和极差等 。
异常值处理
在数据处理和分析过程中，常常需要处理异常值。平均指标和标志变异指标可以用来检测 和处理异常值。例如，在金融领域，可以使用平均值和标准差来检测股票价格的异常波动 。
风险评估
在风险评估中，可以使用平均指标和标志变异指标来评估投资组合的风险水平。例如，可 以使用平均值和标准差来计算投资组合的预期收益和风险，从而评估投资组合的稳健性。
标志变异指标的作用与局限
标志变异指标的作用
标志变异指标可以反映总体各单位标志值的差异程度，帮助 我们了解总体中各单位分布的离散程度和稳定性，从而更好 地分析和解释平均指标。
第五章 平均指标和标志变异指标
x = 4 95% × 93% × 90% × 86% = 4 0.6838 = 90.94%
（四）众数（Mo） 1、基本概念 众数是根据变量值所处的位置来确定的平 均数，它是频率分布中出现次数最多或频 率最大的那个变量值。
2、众数的确定方法 （1）单项数列
出现次数最多或频率最大的那个变量值即为众数。
∑ xf x= ∑f
=
65500 = 1091.67(元) 60
（二）调和平均数 在不掌握各组单位数及总体单位数的情况下，只掌握 各组的标志值、各组标志总量及总体总量的条件下， 则用调和平均数的方法计算平均指标。 根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两 种。
1、简单调和平均数
适用于未分组资料或各组标志总量均相等的情况。
9710 = = 12 . 1375 ( 件） 800
若上述资料为组距数列， 若上述资料为组距数列，则应取各组的组 说 中值作为该组的代表值用于计算； 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 明 得的算术平均数只是其真值的近似值。 得的算术平均数只是其真值的近似值。
例：某贸易公司60名员工月工资分组资料如下：
工 资 （元） 800以下 以下 800~1000 1000~1200 1200~1500 1500以上 以上 合计 组中值 x 700 900 1100 1350 1650 — 人数（ 人数（人） f 6 14 26 10 4 60 工资总额（ 工资总额（元） xf 4200 12600 28600 13500 6600 65500
例：某厂一生产组有5名工人， 日加工零件数量分别为17件、 20件、22件、24件、27件， 17 + 20 + 22 + 24 + 27 求平均每个工人日产量件数: = 22件
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143420 186543
175337
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
2020/1/8
199897 178150 177391 210935
210323 203483
187234 257345 2478647 450702
343520 230432 161313
• 故B的日均销售额比A的日均销售额代表 性高一些。
2020/1/8
2020/1/8
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/8
2020/1/8
计算和应用加权平均数应注意以下三点： • 1.若掌握的资料中给定的权数是比重权数，则
应用比重权数进行加权。
• 2.若掌握资料是组距式的变量分配数列，应先 确定组中值，以组中值代表平均数，以组中值 作为变量，与各组的权数进行加权。
• 3.应用加权算术平均数时，应正确选择权数。
2020/1/8
简单算术平均数 加权算术平均数
2020/1/8
简单算术平均数
• 适用于未分组资料，且掌握资料是各个 单位的标志值，没有编制成变量分配数 列。
2020/1/8
例：2010年12月注射用头孢曲松钠（A） 与注射用头孢呋辛钠（B）销售额表
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/8
加权平均数的算法
•
X=
x1 f1 x2 f2 f1 f2
fx=nn fn
xf f
即在分组资料条件下，x1, x2,，设xn为各组的 标志值（或组中值）， f1, f2，为fn各组的次 数（或权数）， 为X 算术平均数。
平均指标与标志变异指标
2020/1/8
平均指标特点及种类
• 1.代表值 • 2.抽象值
• 种类：算术平均数、调和平均数、几
何平均数、众数、中位数……
2020/1/8
算术平均数
总体标志总量
算数平均数= 总体单位总量 例：平均工资、平均成绩、平均销售价
格……
2020/1/8
算数平均数计算方法根据掌握的资料 条件不同，可分为两种：
2020/1/8
表一 单位：元
注射用头孢曲松钠
236820 191860 140854 259092 165032 149106 186888 220720 121804 213515
212032 23658
121795
注射用头孢呋辛钠
120284 178267 122692 257983 170865 105462 160073 115468 215775 129276
平均年龄= 52827=5 31（岁）
17055
• 即科伦药业员工平均年龄为31岁，根据 有关数据，科伦药业2010年员工平均年 龄为38岁，2011年员工平年龄为30岁。
• 可知科伦药业的员工平均年龄较前几年 更小，所聘用的员工以30岁左右的年轻 人居多，这很大一部分是由于科伦药业 分设子公司增多引起的。
• 则标准系数分别为：
•
A：
V
100%
86615.6
100%
39.63%
x
218546
• B：
V 100% 49689.3 100% 30.20%
x
164516
2020/1/8
结论分析：
• A的日均销售额比B的高，但是A的标准 差系数（39.63%）比B（30.20%）的大 9.43%。
2020/1/8
标志变异指数
• 定义：反映总体中各单位标志值的变动范围或离散程 度。
• 作用：衡量平均数代表性的尺度 反映一个现象活动过程的均衡性
和稳定性 类型：全距、四分位差、平均差、方差和标准差、标
准系数。
2020/1/8
标准差系数
• 例3 根据A、B的销售额数据可知，A的日均销 售额为218546元，标准差为86615.6元；B的 日均销售额为164516元，标准差为49689.3元。
357798
330321
410258 187251
187563
110026 156701 147448 141387
156754 202435 351411
127206 165934 173098
170853 201123
211686 144507
102311
169462 144165
142053
简单算术平均数
注射用头孢曲松钠31天的总销售额为 6774956元；注射用头孢呋辛钠31天的 总销售额为5100005元。
即：
A=
677495（元） 31
2020/1/8
加权算术平均数
• 适用于掌握的资料是经过分组，整理编 成的分组资料
2020/1/8
例2：表二
2013年科伦药业员工年龄结构表
年龄区间（岁） 组中值（岁） 员工人数（人）
各组中总年龄数（岁）
30以下
25
30-40岁
35
40-50岁
45
50岁以上
55
合计
—
9736 4771 2225 323 17055
243400 166985 100125 17765 528275
2020/1/8
175337
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
2020/1/8
199897 178150 177391 210935
210323 203483
187234 257345 2478647 450702
343520 230432 161313
• 故B的日均销售额比A的日均销售额代表 性高一些。
2020/1/8
2020/1/8
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/8
2020/1/8
计算和应用加权平均数应注意以下三点： • 1.若掌握的资料中给定的权数是比重权数，则
应用比重权数进行加权。
• 2.若掌握资料是组距式的变量分配数列，应先 确定组中值，以组中值代表平均数，以组中值 作为变量，与各组的权数进行加权。
• 3.应用加权算术平均数时，应正确选择权数。
2020/1/8
简单算术平均数 加权算术平均数
2020/1/8
简单算术平均数
• 适用于未分组资料，且掌握资料是各个 单位的标志值，没有编制成变量分配数 列。
2020/1/8
例：2010年12月注射用头孢曲松钠（A） 与注射用头孢呋辛钠（B）销售额表
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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2020/1/8
加权平均数的算法
•
X=
x1 f1 x2 f2 f1 f2
fx=nn fn
xf f
即在分组资料条件下，x1, x2,，设xn为各组的 标志值（或组中值）， f1, f2，为fn各组的次 数（或权数）， 为X 算术平均数。
平均指标与标志变异指标
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平均指标特点及种类
• 1.代表值 • 2.抽象值
• 种类：算术平均数、调和平均数、几
何平均数、众数、中位数……
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算术平均数
总体标志总量
算数平均数= 总体单位总量 例：平均工资、平均成绩、平均销售价
格……
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算数平均数计算方法根据掌握的资料 条件不同，可分为两种：
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表一 单位：元
注射用头孢曲松钠
236820 191860 140854 259092 165032 149106 186888 220720 121804 213515
212032 23658
121795
注射用头孢呋辛钠
120284 178267 122692 257983 170865 105462 160073 115468 215775 129276
平均年龄= 52827=5 31（岁）
17055
• 即科伦药业员工平均年龄为31岁，根据 有关数据，科伦药业2010年员工平均年 龄为38岁，2011年员工平年龄为30岁。
• 可知科伦药业的员工平均年龄较前几年 更小，所聘用的员工以30岁左右的年轻 人居多，这很大一部分是由于科伦药业 分设子公司增多引起的。
• 则标准系数分别为：
•
A：
V
100%
86615.6
100%
39.63%
x
218546
• B：
V 100% 49689.3 100% 30.20%
x
164516
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结论分析：
• A的日均销售额比B的高，但是A的标准 差系数（39.63%）比B（30.20%）的大 9.43%。
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标志变异指数
• 定义：反映总体中各单位标志值的变动范围或离散程 度。
• 作用：衡量平均数代表性的尺度 反映一个现象活动过程的均衡性
和稳定性 类型：全距、四分位差、平均差、方差和标准差、标
准系数。
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标准差系数
• 例3 根据A、B的销售额数据可知，A的日均销 售额为218546元，标准差为86615.6元；B的 日均销售额为164516元，标准差为49689.3元。
357798
330321
410258 187251
187563
110026 156701 147448 141387
156754 202435 351411
127206 165934 173098
170853 201123
211686 144507
102311
169462 144165
142053
简单算术平均数
注射用头孢曲松钠31天的总销售额为 6774956元；注射用头孢呋辛钠31天的 总销售额为5100005元。
即：
A=
677495（元） 31
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加权算术平均数
• 适用于掌握的资料是经过分组，整理编 成的分组资料
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例2：表二
2013年科伦药业员工年龄结构表
年龄区间（岁） 组中值（岁） 员工人数（人）
各组中总年龄数（岁）
30以下
25
30-40岁
35
40-50岁
45
50岁以上
55
合计
—
9736 4771 2225 323 17055
243400 166985 100125 17765 528275
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