主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院 随机过程讲课资料

泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0
的泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
P {X(th)X(t)1 }ho(h)
P {X(th)X(t)2}o(h)
=E[X (s) X (0)] E[X (t) X (s)] s (s)2 =s(t s) s (s)2 s(t 1) BX (s,t) RX (s,t) mX (t)mX (s) s
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事
顾 客 到 达 某 商 店 服 从 参 数 4 人 / 小 时 的 泊 松 过 程 ，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。
解 设 N ( t ) 表示在时间t时到达的顾客数
P (N (0 .5 ) 1 ,N (2 .5 ) 5 )
P ( N ( 0 . 5 ) 1 ,N ( 2 . 5 ) N ( 0 . 5 ) 4 )
P (N ( 0 .5 ) 1 )P (N (2 ) 4 )
(40.5)1 e40.5 (42)4 e42
1!
4!
0.0155
2.2 泊松（Poisson)过程的性质
一、数字特征
特征函数 均值函数 方差函数 相关函数
Φ X () E [e j X (t)] e t(e j 1 )
m X(t)E [X (t) ]t
注意： 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[X(t)]t 并称 为此过程的 速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
定理3.1 泊松过程定义1、2等价的。
定义2 （3） P{N(t h) N(t) 1} h (h) P{N(t h) N(t) 2} (h)
其 中 ( h ) 表 示 当 h 0 时 对 h 的 高 阶 无 穷 小 ，
则 到 达 时 间 间 隔 序 列 T 1 ， T 2 ， 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ，
1 /
证 事 件 { T 1 t } 的 发 生 当 且 仅 当 没 有 泊 松 事 件 在 [ 0 ， t ] 内 发 生
t
P { T 1t}P {N (t)0 }(0t!)0 et et
k!
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E (X ) , D (X )
1 计数过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程，若N (t)表示到 时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满 足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事 件A”发生的次数。
X 2(t)D X(t)t
R X ( s , t ) E [ X ( s ) X ( t ) ] s ( t 1 ) ,( s t )
协方差函数
KX(s,t)RX(s,t)m X(s)m X(t)
msi,tn) (s, (st)
证明：
设 {X(t),t 0}是泊松过程，由定义，当
故 E [ X ( t ) X ( s ) ] D [ X ( t ) X ( s ) ] ( t s ) s t
mX (t) E[X (t)] E[X (t) X (0)] t ， DX (t) D[X (t)] D[X (t) X (0)] t
RX (s,t) E[X (s)X (t)] E{X (s)[X (t) X (s) X (s)]} =E[X (s) X (0)] [X (t) X (s)] E[X (s)]2
定义1 (3) p(N(t)k) ( t ) k e t
k!
先证：由定义1(3)成立推出定义2（3） P{N (t h) N (t) 1} et (h) h (h) P{N (t h) N (t) 2} 1 et (h)et (h)
再证：由定义2(3)成立推出定义1（3）
例4
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第3章 泊松（Poisson)过程
主要内容
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 பைடு நூலகம்复合泊松过程
3.1 Poisson过程定义和例子
复习：泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
P {Xk}ke, k0,1 ,2,(0为常 ) 数
泊松过程的几个例子
例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫 令X(t)表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼 叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。
例2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。 若记X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。
例3 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若 机器发生故障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止工作的事件数构成 一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。
注： 1. 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独 立的，则称计数过程为独立增量过程。 2. 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖 于时间区间的长度，则称计数过程是平稳增量过程。
件A发生的次数，
T1 T2 T3
Tn
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
n
Wn Ti (n1) i1
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间
Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
2、到达时间间隔Tn的分布
定理1 设 { N ( t ) ， t 0 } 是 参 数 为 的 泊 松 过 程