人教版 空间直线、平面的垂直 立体几何初步PPT课件(平面与平面垂直)
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新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》

∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC, ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC, 又AC⊂平面PAC,∴BC⊥AC.
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直
线垂直,应将两条直线中的一条放入一平面中,使另一条直线 与该平面垂直,即由线面垂直得到线线垂直.在空间图形中, 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看 到:面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
[ 解析]
解法一:取 BC 的中点 D,连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形,则 AB=AC. ∴AD⊥BC,SD⊥BC. 2 令 SA=a,在△SBC 中,SD= 2 a, 2 又∵AD= AC -CD = 2 a,
2 2
∴AD2+SD2=SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC,∴AD⊥平面 SBC. ∵AD⊂平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 SBC.
[解析]
∵△ABC为正三角形,D为BC的中点,
∴AD⊥BC. 又∵CC1⊥底面ABC,AD⊂平面ABC, ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1=C, ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D,
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S -ABC 中,∠ BSC = 90°,∠ ASB= 60°,∠ ASC =60°,SA=SB=SC.
当 F 为 PC 的中点时,满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G,PC 的中点 F,连 接 PG、BG、DE、EF、DF,则 PG⊥ AD,而平面 PAD⊥面 ABCD, 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中, EF∥PB; 在菱形 ABCD 中,GB∥DE,而 EF⊂平面 DEF,DE⊂平面 DEF,EF∩DE =E,∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD,PG⊂平面 PGB, ∴平面 PGB⊥平面 ABCD,∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
《空间直线、平面的垂直》课件(三课时)

举出一些类似的例子吗?
新知讲解
观察(1)如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面
影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么?
(2)随着时间的变化,影子BC的位置在不断的变化,旗杆所在
直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直?
经观察我们知道AB与BC永远垂直,也就是AB垂直于地面上
SD ⊥ 平 面 ABC, 而 BD 在 平 面 ABC 内 , ∴ SD ⊥ BD ∵ SD ⊥ BD 、
BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC
练习一
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥PC,AD//BC,AD⊥CD,且
PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2
证明:PA⊥平面ABCD
∴∠EMF=90°
∴异面直线AB和CD的夹角是90°。
练习四
如图,在正方体中,N,M,P分别是A B ,CC ,AD的中点,则异面直线
1
D N 与MP所成角的大小是(
1
A 90°
B 60°
C 45°
1
1
)
D 30°
解:取BB1中点K,连接A1K,则A1K//D1N,取B1K
的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ//A1K,所以
所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过
点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。
一般地,如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直,我们
就说l垂直α,记作l⊥α。
定义:
①文字叙述:如果直线l与平面α内的 所有 直线都 垂直,就说直线l与平
面α互相垂直,记作 l⊥α .直线l叫做平面α的 垂线 ,平面α叫做直线l
∴BB’//DD’,BB’=DD’
直线与平面垂直的判定PPT课件

例题二:求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式,通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度,从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积,通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模,再除以直线方向向量的模,从而得 出点到直线的距离。
例题三:解决实际问题中的应用
方法三:结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系; • 如果看起来垂直,则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意:以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直,但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时,在实际应用中,还需要注意一些特殊情况的处理, 例如当已知直线在平面内或与平面平行时,需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一:利用定义直接判断
定义:如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直,那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直,则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直;
在平面内任意取两条相交直线;
方法二:利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直;
人教版中职数学拓展模块一:5.4.2平面与平面垂直(1)课件(共25张PPT)

例2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求证: 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
活动 6 巩固练习,提升素养
例2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求证: 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
分析 证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内 找到一条直线,证明这条直线与另一个 平面垂直.
抽象概括 如图所示,在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,
以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的 射线 OA 和 OB,则射线OA和OB构成的 ∠AOB 称为二面 角的平面角.
调动思维,探究新知 在活初动中2,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢? 注意: (1)二面角的大小是用它的平面角来度量的,一个二 面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 约定二面角0°≤θ≤180°.
(2)平面角是直角的二面角叫做直二面角.
活动 3 巩固练习,提升素养
例1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求二 面角 D1-AB-D 的大小.
活动 3 巩固练习,提升素养
例1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求二 面角 D1-AB-D 的大小.
分析:如何求二面角的大小?需先找出二面角的平 面角,然后求出平面角的大小.
同样的,正方体魔方的侧棱与底面垂直,经过侧棱 的侧面与底面也是垂直的.
你能归纳出上述两例的共同特点吗?
活动 5 调动思维,探究新知
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这
两个平面互相垂直. 用符号表示为:若l⊥α,l ⊂β,则 β⊥α. 如下图所
活动 6 巩固练习,提升素养
例2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求证: 平面 ACC1A1⊥平面 BDD1B1.
分析 证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内 找到一条直线,证明这条直线与另一个 平面垂直.
抽象概括 如图所示,在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,
以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的 射线 OA 和 OB,则射线OA和OB构成的 ∠AOB 称为二面 角的平面角.
调动思维,探究新知 在活初动中2,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢? 注意: (1)二面角的大小是用它的平面角来度量的,一个二 面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 约定二面角0°≤θ≤180°.
(2)平面角是直角的二面角叫做直二面角.
活动 3 巩固练习,提升素养
例1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求二 面角 D1-AB-D 的大小.
活动 3 巩固练习,提升素养
例1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求二 面角 D1-AB-D 的大小.
分析:如何求二面角的大小?需先找出二面角的平 面角,然后求出平面角的大小.
同样的,正方体魔方的侧棱与底面垂直,经过侧棱 的侧面与底面也是垂直的.
你能归纳出上述两例的共同特点吗?
活动 5 调动思维,探究新知
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这
两个平面互相垂直. 用符号表示为:若l⊥α,l ⊂β,则 β⊥α. 如下图所
11.4.1直线与平面垂直的性质定理(课件)高一下学期数学(新教材人教B版2019必修第四册)

证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,
所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA= 2a,
3
3
6
3
所以△ABC为正三角形,所以OA= AB= a,
2
2
∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN∥OA,∴四边形 AMNO 为平行四边形,
又∵MN⊥平面A1DC,
∴ON=AM.
∴MN∥AD1.
1
1
∵ON= AB,∴AM= AB ,
2
2
∴M 是 AB 的中点.直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面所成的角
斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的
塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多
跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材
料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.
直线与平面所成的角
E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.
达标检测
(1)解:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,
所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA= 2a,
3
3
6
3
所以△ABC为正三角形,所以OA= AB= a,
2
2
∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN∥OA,∴四边形 AMNO 为平行四边形,
又∵MN⊥平面A1DC,
∴ON=AM.
∴MN∥AD1.
1
1
∵ON= AB,∴AM= AB ,
2
2
∴M 是 AB 的中点.直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面所成的角
斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的
塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多
跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材
料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.
直线与平面所成的角
E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.
达标检测
(1)解:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.
空间直线、平面的垂直_课件

方法二 如图所示,连接A1D, 取A1D的中点H, 连接HE,则HE∥
∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
方法三:如图,连接A1C1, 分别取AA1, CC1的中点M, N,连接 MN. ∵E, F分别是A1B1, B1C1的中点, ∴EF//A1C1, 又MN// A1C1, ∴MN// EF. 连接DM, B1N, MB1, DN, 则B1N//DM, ∴四边形DMB1N为平行四边形,∴MN与DB1必相交, 设交点为P,则∠DPM 为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
拓展练习
例 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别是A1B1, B1C1的中点 , 求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
[解] 方法一 如图所示, 连接A1C1, B1D1, 并设它们相交于点O , 取DD1的中点G, 连接OG, A1G, C1G, 则OG// B1D,EF//A1C1, ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角) ∵GA1=GC1, O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
例1如图8.6-3, 已知正方体ABCDA'B'C'D'. (1)哪些棱所在的直线与直线 AA'垂直? (2)求直线BA'与CC'所成的角的大小. (解3):求(1直)棱线ABBA, 'B与CA, CCD所, 成DA的,角A'的B'大, B小'C.', C'D', D'A'所在直线分别与直线AA'垂 直.
方法归纳 证明直线与直线垂直的方法 ①等腰三角形中线即是高线 . ②勾股定理. ③异面直线所成的角为直角 .
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件

掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力.
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB=60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力.
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB=60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.
8.6.3平面与平面垂直(第一课时)课件高一下学期数学人教A版

这种方法告诉我们,如果墙面经过地面的垂线, 那么墙面与地面垂直.
类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCDA'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA',此时, 平面ADD'A'垂直于平面ABCD.
新课引入 探究新知识
平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面互相垂直.
B A
O
思考2:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的,那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有 关系吗?
新课引入 探究新知识
思考3 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二 面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直 二面角.
二面角的大小α的取值 范围是0°≤α≤180°.
线面角
新课引入 探究新知识
像研究直线与平面垂直一样,我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么,该 如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程. 在定义直线与平面垂直时,我们利用了直线与直线的垂直.所以,直线与直线垂直是研 究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系, 进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况,类似地,我们需要先引进二面角的概念, 用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直.
新课引入 探究新知识
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
记法:
①棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β. ②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q,将这个二面 角记作二面角P-AB-Q.
类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCDA'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA',此时, 平面ADD'A'垂直于平面ABCD.
新课引入 探究新知识
平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面互相垂直.
B A
O
思考2:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的,那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有 关系吗?
新课引入 探究新知识
思考3 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二 面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直 二面角.
二面角的大小α的取值 范围是0°≤α≤180°.
线面角
新课引入 探究新知识
像研究直线与平面垂直一样,我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么,该 如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程. 在定义直线与平面垂直时,我们利用了直线与直线的垂直.所以,直线与直线垂直是研 究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系, 进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况,类似地,我们需要先引进二面角的概念, 用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直.
新课引入 探究新知识
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
记法:
①棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β. ②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q,将这个二面 角记作二面角P-AB-Q.
直线与平面垂直(两个课时)高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此
平面垂直.
m ,n
m nB
l m ,l n
l 五个条件:垂直、垂直、面内、面内、相交
小结
3.点到平面的距离:过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂
足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个
复习回顾
回顾2 什么是异面直线所成的角?我们是如何证明空间中直线与直
线垂直?
异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线,,经过空间任一点分别作直线 ′ ∥
,′ ∥ ,我们把直线′与′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角的取值范围: ° ≤ ≤ ° .
∴ BC1⊥平面A1DCB1
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影,∠BA1O为A1B
和平面A1DCB1所成的角
构造三角形进行角度求解!
小结
1.直线与平面垂直的定义:如果直线与平面内的任意一条直线
都垂直,则直线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
2.直线与平面垂直的判定定理:直线和平面垂直的判定定理:如
你能得到什么结论?
垂直于同一条直线的两个平面平行
问题6 在 ⊥ 的条件下,如果平面与平面平行,你又能得到什
么结论?
概念生成
1.若 ⊥ ,则与面内的所有直线都垂直.
(若 ⊥ , ⊂ ,则 ⊥ )
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若//, ⊥ ,则 ⊥ )
3.若a⊥α,则平面外与a垂直的直线//.
新课导入
下面我们研究直线与平面垂直的性质,即探究在直线与平面垂
平面垂直.
m ,n
m nB
l m ,l n
l 五个条件:垂直、垂直、面内、面内、相交
小结
3.点到平面的距离:过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂
足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个
复习回顾
回顾2 什么是异面直线所成的角?我们是如何证明空间中直线与直
线垂直?
异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线,,经过空间任一点分别作直线 ′ ∥
,′ ∥ ,我们把直线′与′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角的取值范围: ° ≤ ≤ ° .
∴ BC1⊥平面A1DCB1
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影,∠BA1O为A1B
和平面A1DCB1所成的角
构造三角形进行角度求解!
小结
1.直线与平面垂直的定义:如果直线与平面内的任意一条直线
都垂直,则直线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
2.直线与平面垂直的判定定理:直线和平面垂直的判定定理:如
你能得到什么结论?
垂直于同一条直线的两个平面平行
问题6 在 ⊥ 的条件下,如果平面与平面平行,你又能得到什
么结论?
概念生成
1.若 ⊥ ,则与面内的所有直线都垂直.
(若 ⊥ , ⊂ ,则 ⊥ )
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若//, ⊥ ,则 ⊥ )
3.若a⊥α,则平面外与a垂直的直线//.
新课导入
下面我们研究直线与平面垂直的性质,即探究在直线与平面垂
用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件

的基本元素.因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
(一)点的位置向量
1.思考:如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ,在空间中,我们取一定点 作为基点,
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量(互学)
注:其中符号
,
,
= − ;
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三:叉乘法(该方法只适合选择题、填空题,不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量(互学)
1.平面法向量的定义
我们知道,给定空间一点 和一条直线,则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图,直线 ⊥ ,取直线的方向向量,我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量,那么过点A,且以向量为
是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在
直线上的充要条件是存在实数,使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示(互学)
2.直线的向量表示
进一步地,如图,取定空间中的任意一点,可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数,使
= ,
, , ;
③列方程:由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
和平面.
(一)点的位置向量
1.思考:如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ,在空间中,我们取一定点 作为基点,
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量(互学)
注:其中符号
,
,
= − ;
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三:叉乘法(该方法只适合选择题、填空题,不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量(互学)
1.平面法向量的定义
我们知道,给定空间一点 和一条直线,则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图,直线 ⊥ ,取直线的方向向量,我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量,那么过点A,且以向量为
是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在
直线上的充要条件是存在实数,使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示(互学)
2.直线的向量表示
进一步地,如图,取定空间中的任意一点,可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数,使
= ,
, , ;
③列方程:由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件

课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
平面与平面垂直ppt课件

如图所示,因为 ⊥ 平面 , ⊂ 平面 ,所以 C⊥ ,
又 △ 为等边三角形,所以 C⊥ ,
又 , ⊂ 平面 , ∩= ,所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中, , 分别为 , 的中点,所以 =1/2 ,
又平面 ⊥ 平面 ,
平面 ∩ 平面 = , ⊂ 平面 ,
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单:
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图,已知三棱锥−的各棱长均为2,求二面角−−的余弦值.
【解析】如图,取 CD 的中点为 M ,连接 AM , BM ,则 AM ⊥ CD , BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心,
则 AH ⊥ 平面 BCD ,且点 H 在 BM 上.
足分别为 , .若 ∠=80° ,则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示,在四棱锥 − 中,底面 是矩形,侧面 ⊥ 底面 ,
求证:平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形,所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ,所以 AD ⊥ BD ,
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中,因为 AC = AD ,所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
又 △ 为等边三角形,所以 C⊥ ,
又 , ⊂ 平面 , ∩= ,所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中, , 分别为 , 的中点,所以 =1/2 ,
又平面 ⊥ 平面 ,
平面 ∩ 平面 = , ⊂ 平面 ,
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单:
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图,已知三棱锥−的各棱长均为2,求二面角−−的余弦值.
【解析】如图,取 CD 的中点为 M ,连接 AM , BM ,则 AM ⊥ CD , BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心,
则 AH ⊥ 平面 BCD ,且点 H 在 BM 上.
足分别为 , .若 ∠=80° ,则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示,在四棱锥 − 中,底面 是矩形,侧面 ⊥ 底面 ,
求证:平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形,所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ,所以 AD ⊥ BD ,
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中,因为 AC = AD ,所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
高中数学人教A版《空间直线、平面的垂直》公开课件1

高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
(1)【证明】设AD=m,则AB=CD=EF=2m,ED=CF= 2 m, 由题意知CM=CF= 2 m,EM=EF=2m, 在Rt△CBM中,∵ BM= CM2 CB2 =m,∴ AM=AB-BM=m, DM2=AD2+AM2=2m2. 在△EDM中,∵ EM2=ED2+DM2,∴ED⊥DM. ∵四边形CDEF是矩形,∴ED⊥CD. ∵ CD∩DM=D,∴ ED⊥平面ABCD. ∵ ED 平面CDEF,∴ 平面ABCD⊥平面CDEF.
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
二 平面与平面垂直的判定定理及应用 例2 [2019·广州越秀区校级检测]如图,在矩形ABCD,CDEF中,AB=
2AD,ED= 2 AD,现以EC为折痕将△EFC折起,使点F落在AB上,位 置记为点M. (1)证明:平面ABCD⊥平面CDEF. (2)若AB=2,求点B到平面MEC的距离.
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
解:∵ PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴ PA⊥BC. ∵ AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴ AC⊥BC. ∵ PA∩AC=A,∴ BC⊥平面PAC. ∵ PC 平面PAC,∴ PC⊥BC, ∴ ∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形, ∴ ∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
二、 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直 ①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角 , 就说这两个平面互相垂直. ②画法:
③记作: α⊥β .
(1)【证明】设AD=m,则AB=CD=EF=2m,ED=CF= 2 m, 由题意知CM=CF= 2 m,EM=EF=2m, 在Rt△CBM中,∵ BM= CM2 CB2 =m,∴ AM=AB-BM=m, DM2=AD2+AM2=2m2. 在△EDM中,∵ EM2=ED2+DM2,∴ED⊥DM. ∵四边形CDEF是矩形,∴ED⊥CD. ∵ CD∩DM=D,∴ ED⊥平面ABCD. ∵ ED 平面CDEF,∴ 平面ABCD⊥平面CDEF.
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
二 平面与平面垂直的判定定理及应用 例2 [2019·广州越秀区校级检测]如图,在矩形ABCD,CDEF中,AB=
2AD,ED= 2 AD,现以EC为折痕将△EFC折起,使点F落在AB上,位 置记为点M. (1)证明:平面ABCD⊥平面CDEF. (2)若AB=2,求点B到平面MEC的距离.
高中数学人教A版《空间直线、平面的 垂直》 公开课 件1
解:∵ PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴ PA⊥BC. ∵ AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴ AC⊥BC. ∵ PA∩AC=A,∴ BC⊥平面PAC. ∵ PC 平面PAC,∴ PC⊥BC, ∴ ∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形, ∴ ∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
二、 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直 ①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角 , 就说这两个平面互相垂直. ②画法:
③记作: α⊥β .
高中数学立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定定理课件

计算.
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,
√
设 A1A=1,则 AC=√,∴tan∠A1CA= .
D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1”,其余不变.
判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此
处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平
面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
【变式训练】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上
不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证: AE⊥
图形
直线与
平面垂
直的判
定定理
文字
符号
m ⊂ α,
如果一条直线与
n ⊂ α,
一个平面内的
两条相交直线垂 m⋂n = P, ⇒l⊥α
l ⊥ m,
直,那么该直线与
l⊥n
此平面垂直
3.做一做:一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能
保证该直线与平面垂直的是
(填序号).
①平行四边形的两条对角线;②梯形的两条边;③圆的两条直
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.
因为AO=OC,
所以OE⊥AC.
在正方体中易求出:
D1O=
OE=√
D1E=
+
+
+
=
=
=
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,
√
设 A1A=1,则 AC=√,∴tan∠A1CA= .
D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1”,其余不变.
判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此
处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平
面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
【变式训练】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上
不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证: AE⊥
图形
直线与
平面垂
直的判
定定理
文字
符号
m ⊂ α,
如果一条直线与
n ⊂ α,
一个平面内的
两条相交直线垂 m⋂n = P, ⇒l⊥α
l ⊥ m,
直,那么该直线与
l⊥n
此平面垂直
3.做一做:一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能
保证该直线与平面垂直的是
(填序号).
①平行四边形的两条对角线;②梯形的两条边;③圆的两条直
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.
因为AO=OC,
所以OE⊥AC.
在正方体中易求出:
D1O=
OE=√
D1E=
+
+
+
=
=
=
《空间直线、平面的垂直》立体几何初步(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)课件PPT文档

直线与平面垂 直的定义
理解并掌握直线与平面垂 直的定义,明确定义中 “任意”两字的重要性
直观想象
直线与平面垂 直的判定定理
掌握直线与平面垂直的判 定定理,并能解决有关 直观想象、逻辑推理 线面垂直的问题
第八章 立体几何初步
问题导学
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数学人教A版必修第二册8.6.3.1平面与平面垂直的判定

解
1.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该 点作垂垂直平面,该平面与二面角的两个半平 面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 2.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
3.有助于判断面面垂直的结论: (1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β; (2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β; (3)α∥β,γ⊥α⇒γ⊥β.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.( × ) (2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.( √ ) (3)如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的一条直线,则 α⊥β.( × )
解
(3)∵PA⊥平面 ABCD,AB⊂平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD, ∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角. 又四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45°. 即二面角 B-PA-C 的平面角的度数为 45°.
解
[条件探究] 在本例中,若求二面角 P-BC-D 的平面角的度数又该如 何解?
2.做一做 (1)在二面角 α-l-β 的棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 α-l-β 的平面角,则必须具有的条件是( ) A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β D.AO⊥l,BO⊥l,且 AO⊂α,BO⊂β (2)过一点可作___无__数___个平面与已知平面垂直. (3)若∠AOB 是锐二面角 α-l-β 的平面角,则 l 与平面 AOB 的位置关 系是_l_⊥__平__面__A_O__B_.
1.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该 点作垂垂直平面,该平面与二面角的两个半平 面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 2.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
3.有助于判断面面垂直的结论: (1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β; (2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β; (3)α∥β,γ⊥α⇒γ⊥β.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.( × ) (2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.( √ ) (3)如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的一条直线,则 α⊥β.( × )
解
(3)∵PA⊥平面 ABCD,AB⊂平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD, ∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角. 又四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45°. 即二面角 B-PA-C 的平面角的度数为 45°.
解
[条件探究] 在本例中,若求二面角 P-BC-D 的平面角的度数又该如 何解?
2.做一做 (1)在二面角 α-l-β 的棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 α-l-β 的平面角,则必须具有的条件是( ) A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β D.AO⊥l,BO⊥l,且 AO⊂α,BO⊂β (2)过一点可作___无__数___个平面与已知平面垂直. (3)若∠AOB 是锐二面角 α-l-β 的平面角,则 l 与平面 AOB 的位置关 系是_l_⊥__平__面__A_O__B_.
第八章86862 直线与平面垂直(2)PPT课件

手 抄 报 : /shouchaobao/
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语 文 课 件 : /kejian/yuwen/ 数 学 课 件 : /kejian/shuxue/
英 语 课 件 : /kejian/yingyu/ 美 术 课 件 : /kejian/meishu/
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英 语 课 件 : /kejian/yingyu/ 美 术 课 件 : /kejian/meishu/
科 学 课 件 : /kejian/kexue/ 物 理 课 件 : /kejian/wuli/
化 学 课 件 : /kejian/huaxue/ 生 物 课 件 : /kejian/shengwu/
科 学 课 件 : /kejian/kexue/ 物 理 课 件 : /kejian/wuli/
化 学 课 件 : /kejian/huaxue/ 生 物 课 件 : /kejian/shengwu/
地 理 课 件 : /kejian/dili/
PPT素 材 : /sucai/
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1.求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样,步骤如下:
2.作二面角平面角的常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线.如图①,则∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线, 这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面 角.
知识梳理 (1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是 直二面角 ,就说 这两个平面互相垂直. (2)画法:
记作:α⊥β. (3)判定定理:如果一个平面过另一个平面的 垂线 ,那么这两个平面垂直.
图形表示: 符号表示:l⊂α,l⊥β⇒α⊥β.
知识点三 平面与平面垂直的性质定理 预习教材,思考问题 如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系呢?如果 直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直吗?
平面 D1C.
又 D1C⊂平面 D1C,∴BC⊥D1C,∴∠D1CD 是二面角 D1-BC-D 的平面角.
在△D1CD 中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°,即二面角 D1-BC-D 的平面
角的大小是 45°.
答案:45°
5.如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周 上异于 A、B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.
(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线,垂足为 B, 由点 B 向二面角的棱作垂线,垂足为 O,连接 AO,则∠AOB 为二面角的平面角或 其补角.如图③,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角.
8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直
内容标准
学科素养
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单
二面角的平面角的大小. 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学 会用定理证明垂直关系. 3.掌握平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决一些
直观想象 逻辑推理 数学计算
解析:对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对于选项 C,直线 l 可能在 β 内也 可能平行于 β;对于选项 D,直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交.
答案:B
3.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A∉l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线
m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥m
B.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
解析:如图所示.AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,故选 D.
答案:D
4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 D1-BC-D 的平面角的大小为________.
解析:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥
知识梳理 (1)定义:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形. (2)相关概念: ①这条直线叫二面角的 棱 ,②两个半平面叫二面角的 面 . (3)画法:
(4)记法:二面角 α-l-β 或 α-AB-β 或 P-l-Q.
(5)二面角的平面角:
若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l, 则二面角 α-l-β 的平面角是∠AOB. (6)二面角的平面角的取值范围: 0°≤α≤180° .平面角是直角的叫做直二面角.
[解析] (1)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角. 又由题意∠BAD=90°, ∴二面角 B-PA-D 平面角的度数为 90°. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角. 又四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45°. 即二面角 B-PA-C 平面角的度数为 45°.
[提示] 平行或相交;如果直线和交线垂直,则这条直线和另一个平面垂直.
知识梳理 文字叙述:两个平面垂直,则 一个平面内 垂直于 交线 的直线与另一个 平面 垂直 .
图形表示: 符号表示:α⊥β,a⊂α,α∩β=l,a⊥l⇒a⊥β.
[自主检测] 1.已知平面 α、β 和直线 m、l,则下列命题中正确的是( ) A.若 α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则 l⊥β B.若 α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则 l⊥β C.若 α⊥β,l⊂α,则 l⊥β D.若 α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则 l⊥β
简单问题.
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点一 二面角 预习教材,思考问题 在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进 而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况,那么两个相交平面的位置关系如何刻画 呢?
[提示] 这里我们需要引入二面角的概念,进而刻画两个相交平面的位置关系.
知识点二 平面与平面垂直 预习教材,思考问题 如图,建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是 否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂 直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什 么道理?
[提示] 这种方法告诉我们,如果墙面经过地面的垂线,那么墙面和地面垂直.
证明:如图,连接 AC,BC,则 BC⊥AC,又 PA⊥平面 ABC, ∴PA⊥BC,而 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, 又 BC⊂平面 PBC, ∴平面 PAC⊥面 PBC.
探究一 二面角 [例 1] 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD. (1)求二面角 B-PA-D 平面角的度数; (2)求二面角 B-PA-C 平面角的度数.
解析:选项 A 缺少了条件:l⊂α;选项 B 缺少了条件:α⊥β;选项 C 缺少条件 α∩β =m,l⊥m;选项 D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件.
答案:D
2.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β