5一元一次方程(航行问题)
中考数学复习课件：一元一次方程的实际应用-行程问题之环形跑道、航程问题
解： 设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为
（x + 4）千米/时，依题意，得： 3（x + 4）+ 3x = 60 3x + 12 + 3x = 60 6x = 48 x=8 ∴ x + 4 = 8 + 4 = 12
答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为8千米/时。
例4：
某船从A码头顺流而下到达B码头，然后 逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，
一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度
为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时。A、C
两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头
之间的航程。
解： 设A、B两码头之间的航程为x千米，依题
意，得：
x x 10 7 7.5 2.5 7.5 2.5
x + 2x = 90 3x = 90 x = 30 答：A、B两码头之间的航程为30千米。
作业1：
甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑， 两人速度分别为200米/分和160米/分。两人同
时从起点同向出发。当两人起跑后第一次并
肩时经过了多少时间？这时他们各跑了多少
圈？
作业2：
一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需 10小时，顺水航行需6小时。已知该船在静水
中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间
的距离。
行程问题中的数量关系：
路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
相遇问题中的数量关系：
总路程=A路程+B路程=A速度×A时间+B速度×B时间
追及问题中的数量关系：
A路程=B路程 A速度×A时间=B速度×B时间
一元一次方程应用题------行程问题
基本的数量关系： 路程＝速度×时间要特别注意：（1）路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）（2）在列方程时候，时间单位和路程单位一定要与速度单位一致1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：⑴通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒一、一般行程问题（相遇与追击问题）例题1：某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟方法一：设预定时间为x 小/时，则列出方程是：15（x －0.25）＝9（x ＋0.25）方法二：设从家里到学校有x 千米，则列出方程是：60159601515-=+x x例题2、一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要20s 的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s ，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
解：方法一：设这列火车的长度是x 米，根据题意，得1020300x x =+ x ＝300 答：这列火车长300米。
初一数学上册：一元一次方程行程问题
初一数学上册：一元一次方程行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、流水行船问题；四、过桥问题。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。
01相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
02追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。
慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有：追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间速度差×追及时间=追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。
一元一次方程应用题【行程问题】
学校：______________ 班级：______________ 姓名：_______________ 考号：_______________ ······················密························封·······························线······································一元一次方程应用题【板块一：相遇问题】1、甲、乙两人从相距为 180 千米的 A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。
一元一次方程解决问题公式大全
一元一次方程应用题公式1、行程问题基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）环形跑道上的相遇和追及问题：同时同地反向行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同时同地同向行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（4）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度（5）车上（离）桥问题：①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。
②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。
所走的路程为一个车长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
2、工程问题一、工程问题中的数量关系：工作时间工作效率工作总量⨯=完成工作总量的时间工作时间工作效率=工作效率工作总量工作时间=各队工作量之和全部工作量之和=各队工作效率之和各队合作工作效率=当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”二、考点归纳考点1 工作总量 = 工作效率×工作时间一件工作，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，那么甲、乙的工作效率分别为x 1、y 1；甲、乙合作m 天可以完成的工作量为y m x m +或 m y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11考点2 全部工作量之和=各队工作量之和相等关系：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合作工作量考点3 甲完成工作量+乙完成工作量=1变式：甲x 天完成的工作量 + 乙y 天完成的工作量 = 13、利润问题利润问题中常用数量：成本价（进价），售价，定价，标价，利润（获利），利润，利润率，盈利; 亏损; 折扣， 原价，现价，【知识点一】折扣问题常用数量：原价， 现价 ，折扣，常用数量关系：现价=原价×折扣 折扣=现价÷原价【知识点二】通过了解利润问题的数量关系解决实际问题（1）售价、进价、利润的关系式：商品利润= 商品售价—商品进价（2）进价、利润、利润率的关系：利润率=（商品利润／商品进价）×100%（3） 标价、折扣数、商品售价关系 :商品售价＝标价×（折扣数／10）（4）商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×(1+利润率)（5）商品总销售额＝商品销售价×商品销售量（6）商品总的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量4、数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
一元一次方程的应用航行问题
比赛船速的计算
在比赛中，天气、风速和气温 等信息都可以影响船速，通过 计算船速，确定如何最有效地 驾驶船只。
航行路线规划
通过对未来天气和海况的预测， 规划出最优的航行路线，低耗 能、高效率地完成航行。
3 方向问题
如何通过航行方向和地理坐标计算得出船所在的具体位置。
航行问题的解答过程
1
确定目的地的地理坐标
在海图上确定目的地的地理坐标。
2
计算距离和速度
计算两地之间的距离和船行的速度。
3
求解一元一次方程
将得到的数值带入一元一次方程中进行求解，得到航行的时间或航行的位置。
航行问题的应用举例
海上求援
当船只发生故障，需要紧急求 援时，通过航行计算船到海岸 的距离和时间，以及与救援船 之间的距离和位置。
一元一次方程的求解方法
1
合并同类项
将方程中的同类项合并，这样方程会更加简
移项
2
洁。
通过移项的方式将未知数移到方程的一侧，
常见的方法有减去、加上。
3
分离未知数和已知数
经过移项之后，将未知数和已知数分别放在
解出未知数
4
等式的两侧。
根据一元一次方程的定义，解出未知数的具 体数值。
航行问题的实际应用
用地理坐标寻找目的地
工具发展
如今，随着技术的进步，航行的工 具和设备得到了极大的改善，然而 一元一次方程仍然是航行中最重要 的工具之一。
一元一次方程的定义
方程
方程是数学中的一个重要概念， 表示两个量之间的平衡关系。
一元一次
方程的未知数有且仅有一个， 而且在方程中这个未知数的指 数为一，如y = 2x + 1。
应用
一元一次方程行程问题
一元一次方程应用题专题解题思路1、审——读懂题意，找出等量关系。
2、设——巧设未知数。
3、列——根据等量关系列方程。
4、解——解方程，求未知数的值。
5、答——检验，写答案（注意写清单位和答话）。
6、练——勤加练习，熟能生巧。
触类旁通，举一反三。
第一讲行程问题基本关系式（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
7.甲乙二人从相距100千米的两地出发相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发4小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2千米，求两人的速度。
航行问题
问题4.一艘轮船航行于两地之间, 顺水要用3小时,逆水要用4小时, 已知船在静水中的速度是50千米 /小时,求水流的速度.
变式练习：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时. 顺风飞 行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时. 求飞机在无风时的速度及 两城之间的飞行路程. 17 2 小时 50 分 小时 解: 6
设:飞机在无风时的速度为x千米/时. 则它顺风时的速 度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时. 根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得 17 ( x 24) 3( x 24) 6 解得 x=840 答：飞机在无风时的速度是840千米/时.
解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为 公 5.5 x 里/小时，逆风速为 公里/小时
6
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。 x x 24 24 依题意得： 5.5 6 x=3168 答：两城之间的距离为3168公里 注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问 题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
应用一元一次方程
———航行问题
航行问题常用的等量关系是：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度 （2）逆水速度=静水速度-水流速度 （3）顺速–逆速 = 2水速； 顺速 + 逆速 = 2船速 （4）顺水的路程 = 逆水的路程
航行问题
类型一： 求水流速度
例1、某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的 速度为16km/h，则水流速度为多少？
例3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5 小时。已知船在静水的速度为 18千米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的距离？
七年级数学 第五章 一元一次方程 6 应用一元一次方程追赶小明
12/13/2021
题型一 错车问题 例1 在一段双轨铁道上,两辆火车迎头驶过,A列车车速为20米/秒,B列 车车速为25米/秒,若A列车全长200米,B列车全长160米,求两列车错车的 时间为多少秒. 解析 设两车错车的时间为x秒, 根据题意,得20x+25x=200+160, 解得x=8. 答:两列车错车时间为8秒. 点拨 错车问题: (1)迎面行驶:两车路程之和=两车身长之和; (2)同向行驶:快车路程-慢车路程=两车身长之和.
12/13/2021
1.小明和小亮在长为400米的圆形跑道上练习长跑.小亮每分钟跑320米, 小明每分钟跑240米,如果两人同时由同一起点出发,同向跑步,经过
分钟两人首次相遇. 答案 5 解析 设经过x分钟两人首次相遇,根据题意得320x-240x=400,解得x=5. 2.一架飞机在两城之间飞行,顺风时用时5 h,逆风时用时6 h,已知风速是 24 km/h,求两城间的距离. 解析 设飞机在静风中的速度为x km/h,由题意,得 5(x+24)=6(x-24). 解得x=264. 故两城间的距离是(264+24)×5=1 440(km).
2.隧道长300米,火车通过隧道用时25秒,全车都在隧道内的时间为5秒,
求车长和车速.
解析 设火车车身长x长,根据题意,得
3 0 0= x , 3 0 0 x
25
5
300+x=5(300-x),
x=200,
车速为 300=2200m0 /s.
25
答:火车车身长200 m,车速为20 m/s.
12/13/2021
12/13/2021
3.甲、乙从相距110千米的两地同时相向而行,经10小时后相遇,甲的速 度比乙的速度每小时快1千米,求甲、乙的速度. 解析 设甲的速度为x千米/时,则乙的速度为(x-1)千米/时,根据题意得1 0(x+x-1)=110,解得x=6,x-1=5. 答:甲的速度为6千米/时,乙的速度为5千米/时. 4.甲、乙两站相距180 km,一辆速度为40 km/h的货车从甲站开出,一辆 速度为48 km/h的客车从乙站开出. (1)若两辆车同时同向而行,客车在货车后方,则几小时后客车可以追上 货车? (2)若客车开出40分钟后货车开出,两车同向而行,客车在货车后方,则货 车开出几小时客车可以追上货车?
一元一次方程的之行程问题
速度=路程/时间
时间=路程/速度
问题1.甲乙两个人骑自行车,同时从 相距45千米的两地相向而行,２小时 后相遇.已知甲每小时比乙多走2.5千 米,求两个人的速度?
问题2.A、B两地相距60千米,甲乙两 人分别同时从A、B两地出发,相向而 行,甲每小时比乙多行4千米,经过3小 时相遇,问甲乙两人的速度分别是多 少?
问题3.一架飞机在两个城市之间飞 行,风速为24千米/小时,顺风飞行需 要2小时50分,逆风飞行需要3小时, 求两个城市之间的距离.
1、顺风速度=无风速度+风速
2、逆风速度=无风速度-风速
3、顺风速度-逆风速度=2倍风速
问题4.一艘轮船航行于两地之间,顺 水要用3小时,逆水要用4小时,已知 船在静水中的速度是50千米/小时, 求水流的速度.
问题11.地球绕太阳一周大约需要 365天，比水星绕太阳一周所用的时 间的4倍还多13天，问水星绕太阳一 周需要多少天？
问题12.某市出租车的收费标准是：起 步价10元(3公里)，3公里后每千米收 1.2元,某人乘出租车花了14.8元,则他 乘车行驶了多少千米?
问题13. 王老师去开会4天后立即返回 这4天的日期之和是38,问王老师是几 号回来的?
浓度=溶质质量÷溶液质量×100% =溶质质量÷(溶质质量+溶剂质量)×100%
问题16.有含盐5%的盐水20千克,要配 制成20%的盐水应加盐多少千克?
问题17.依法纳税是每个公民的义务,<中华人民
共和国个人所得税法>规定,有收入的国民依照
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下表中规定的税率交纳个人所得税.
级别 全月应纳税所得额
1、顺水速度=静水速度+水流速度 2、逆水速度=静水速度-水流速度 3、顺水速度-逆水速度=2倍水速
一元一次方程行程问题
一元一次方程行程问题货车每小时行34千米。
当客车超过货车时，两车之间的距离为120千米，求客车超过货车时的时间。
B．提高训练1.两车从相距120千米的两地同时出发，甲车每小时行60千米，乙车每小时行80千米，两车相遇后。
甲车行了多长时间？2.两地相距400千米，两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行80千米，乙车每小时行100千米。
两车相遇后，甲车行了多长时间？3.两地相距400千米，两车同时从两地出发，甲车每小时行60千米，乙车每小时行100千米，两车相遇后。
甲车行了多长时间？4.两地相距300千米，两车同时从两地出发，甲车每小时行70千米，乙车每小时行90千米，两车相遇后。
甲车行了多长时间？5.两地相距600千米，两车同时从两地出发，甲车每小时行80千米，乙车每小时行100千米，两车相遇后。
甲车行了多长时间？一元一次方程应用题专题解题思路：1.审题——读懂题意，找出等量关系。
2.设未知数——巧设未知数。
3.列方程——根据等量关系列方程。
4.解方程——求未知数的值。
5.答题——检验，写答案（注意写清单位和答话）。
6.练——勤加练，熟能生巧。
触类旁通，举一反三。
第一讲行程问题基本关系式：1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程 = 速度 ×时间时间 = 路程 ÷速度速度 = 路程 ÷时间2.基本类型：①相遇问题：快行距 + 慢行距 = 原距②追及问题：快行距 - 慢行距 = 原距③航行问题：顺水（风）速度 = 静水（风）速度 + 水流（风）速度逆水（风）速度 = 静水（风）速度 - 水流（风）速度顺速 - 逆速 = 2 水速；顺速 + 逆速 = 2 船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
专项训练】一、行程（相遇）问题A。
基础训练1.XXX和XXX家距离900米，两人同时从家出发相向行，XXX每分钟走60米，XXX每分钟走90米，几分钟后两人相遇？2.XXX和XXX家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，XXX每分钟走80米，XXX每分钟走多少米？3.XXX和XXX从相距2280米的两地出发相向而行，XXX每分钟行60米，XXX每分钟行80米，XXX出发3分钟后XXX出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距XXX的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程应用题行程问题专题讲解
一元一次方程应用题行程问题专题讲解行程问题中最核心的数量关系就是：路程=速度×时间，当然由于所处的背景会发生变化，所以公式在不同情况下会进行延伸性的发展，那么在做这类题的时间首先要根据题目来确定是何种类型，数量关系具体如何表示的。
今天针对行程问题来进行分类讲解：题型一：相向而行（相遇问题）例1：A、B 两站相距300 千米，一列快车从A 站开出，行驶速度是每小时60 千米，一列慢车从B 站开出，行驶速度是每小时40 千米，快车先开15 分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？训练1.小李和小刚家距离900 米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60 米，小刚每分走90 米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900 米，两人同时从家出发相向行，5 分钟后两人相遇，小刚每分走80 米，小明每分走多少米?3.王强和赵文从相距2280 米的两地出发相向而行，王强每分行60 米，赵文每分行 80 米，王强出发3 分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360 千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60 千米，1 小时后乙车出发，每小时行40 千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
7.甲乙二人从相距100千米的两地出发相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发4小时后相遇，已知甲比乙每小时多行2千米，求两人的速度。
8.AB两地相距900米。
甲乙二人同时从A点出发，同向而行，甲每分行70米，乙每分行50米，甲到达A点后马上返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇一共用了多少时间？题型二：同向而行（追及问题）例2：A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米.（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？训练1.姐姐步行速度是75米分，妹妹步行速度是45米/分。
(完整版)一元一次方程行程问题
1.相遇问题例1.在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，•两人同时同地同向起跑，几分钟分钟后两人第一次相遇，问：1.第一次相遇时所用时间是多少？2.第三次相遇时，所用时间是多少？例2.一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?例3.甲、乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？例4.甲、乙两人分别同时从相距300米的A、B两地相向而行，甲每分钟走15米，乙每分钟走13米，问几分钟后，两个相距20米？例5.甲乙两人骑自行车,从相距42千米的两地相向而行,甲每小时走12千米,乙每小时走10千米,如甲走12分钟后乙再出发,问甲出发后几小时与乙相遇?例6.某汽车和电动车从相距298千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的6倍还多15千米，半小时后相遇。
求两车的速度。
例7.A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时72km，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度原方向继续行驶，那么相遇后两车相距100km时，甲车从出发共行驶了多少小时？2.追及问题例1.一队学生去校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进，走了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍？例2一部队从军部出发行军，每小时走40千米，3.5小时后一通讯兵传达一军部命令骑摩托车从军部出发追赶，4小时后追上，则通讯兵每小时比部队多行多少千米例3.甲乙两站相距40千米,一列慢车从甲站开出,每小时行使56千米,同时一列快车由乙站开出,每小时行使72千米,两车同向而行,快车在慢车的后面,经过多少小时快车可追上慢车?例4.甲车在早上5时以每小时32千米的速度由A地向B地行驶，6时30分乙车才开始出发，结果在9时30分时乙车追上了甲车，问乙车的速度是多？例5.一条环行跑道长400米，甲练习自行车,平均每分钟骑550米，乙练习赛跑，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？例6.甲乙两人环湖竞走,一周400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的5/4倍,现在甲在乙的前面100米;多少分钟后两人相遇?例7.一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车长200米，货车长310米，客货辆车的速度比为4:3，客车从后面追赶货车，从车头赶上到车尾超过的时间为2分钟，求两列火车的速度。
一元一次方程的应用专题六(航行问题)
在这个专题中，我们将探索一元一次方程在航行问题中的应用。从静水航行 到对航问题，了解如何建立和解决方程，以及具体的实际应用例子。
航行问题概述
什么是航行问题？
航行问题是指与船只或航空器的行驶相关的计算和应用。
航行问题的重要性
理解航行问题的解决方法可以帮助我们规划航程、估计时间和距离，以及优化航行速度。
实际应用例子
需要求解航行时间
假设我们知道船只的航速和行驶 距离，可以使用一元一次方程计 算航行时间。
需要求解航行距离
假设我们知道船只的航速和航行 时间，可以使用一元一次方程计 算航行距离。
需要求解航行速度
假设我们知道船只的航行距离和 航行时间，可以使用一元一次方 程计算航行速度。
总结
学习航行问题的一元一次方程应用可以帮助我们更好地理解船只或航空器的航行，规划航程，估计时间和距离， 并优化航行过程。
3 对航问题
指计算两个船只或航空器 在相对运动中的行驶距离 和相遇时间。
解决航行问题的一元一次方程
1
方未
方程的解法
2
知数和已知数，建立代表航行关系的一 元一次方程。
使用代数解方程的方法，如可逆运算和
消元法，求解航行方程，计算出未知数
的数值。
3
应用例子
通过具体应用例子，展示如何将一元一 次方程应用于航行问题的求解过程。
为什么要使用一元一次方程？
一元一次方程是解决航行问题的基础数学工具，可以帮助我们建立和解决关于航行的数学模 型。
常见的航行问题
1 静水航行问题
指在没有水流或风速影响 的情况下，计算船只或航 空器在静止的水面或空中 的行驶距离。
2 带水航行问题
(完整版)一元一次方程应用行程问题
：一元一次方程应用之--------------行程问题专题一、【根本概念】行程类应用题根本关系：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度相遇问题：甲、乙相向而行,那么：甲走地路程＋乙走地路程＝总路程.追及问题：①甲、乙同向不同地,那么：追者走地路程＝前者走地路程＋两地间地距离.②甲、乙同向同地不同时,那么：追者走地路程＝前者走地路程环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快地必须多跑一圈才能追上慢地.②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时地总路程为环形跑道一圈地长度.飞行〔航行〕问题、根本等量关系：①顺风〔顺水〕速度＝无风〔静水〕速度＋风速〔水速〕②逆风〔逆水〕速度＝无风〔静水〕速度－风速〔水速〕顺风〔水〕速度－逆风〔水〕速度＝2×风〔水〕速车辆〔车身长度不可忽略〕过桥问题：车辆通过桥梁〔或隧道等〕,那么：车辆行驶地路程=桥梁〔隧道〕长度+车身长度超车〔会车〕问题：超车过程中,车辆行驶路程等于车身长度和,相对速度为两车速度差.会车过程中,车辆行驶路程等于车身长度和,相对速度为两车速度和.在行程问题中,按照题意画出行程图,可以使问题地分析过程更直观,更容易理解.特别是问题中运动状态复杂,涉及地量较多地时候,画行程图就成了理解题意地关键.所以画行程图是我们必须学会地一种分析手段.另外,由于行程问题中地根本量只有“路程〞、“速度〞和“时间〞三项,所以,列表分析也是解决行程问题地一种重要方法.二、【典型例题】〔一〕相遇问题相遇问题：甲、乙相向而行,那么：甲走地路程＋乙走地路程＝总路程.例1、甲、乙两站相距 600km,慢车每小时行40km,快车每小时行60km.⑴经过xh后,慢车行了km,快车行了 km,两车共行了km；⑵慢车从甲站开出,快车从乙站开出,相向而行,两车相遇共行了km, 如果两车同时开出,xh相遇,那么可得方程：；⑶如果两车相向而行,快车先行50km,在慢车开出yh后两车相遇,那么可得方程：；⑷如果两车相向而行,慢车先开50min,在快车开出th后两车相遇,那么可得方程：.例2、甲、乙两站地路程为450千米,一列慢车从甲站开出,每小时行驶65千米,一列快车从乙站开出,每小时行驶85千米.两车同时开出,相向而行,多少小时相遇？分析：1/3慢车的路程快车的路程甲站乙站两站相距450km例3、甲、乙两地相距376km,A车从甲地开往乙地,半小时后B车从乙地开往甲地,A车开出5h后与B车相遇,又知B车地时速是A车时速地倍,求B车地时速？例4、甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米.求A、B两地间地路程.课堂练习1：电气机车和磁悬浮列车从相距298千米地两地同时出发相对而行,磁悬浮列车地速度比电气机车速度地5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇.两车地速度各是多少？2、甲、乙两人从相距35km地两地同时出发,相向而行,甲步行每小时走4km,乙骑车小时后相遇,求乙地速度.3、甲步行,乙骑自行车,同时从相距 27km地两地相向而行,2h 相遇,乙比甲每小时多走5.5km,求甲、乙两人地速度.4、A、B两地相距153km,汽车从A地开往B地,时速为38km；摩托车从B地开往A地,时速为24km.摩托车开出小时后,汽车再出发.问汽车开出几小时后遇到摩托车？5、甲骑自行车从A地出发,以12km/h地速度驶向B地,同时,乙也骑自行车从B地出发,以14km/h 地速度驶向A地.两人相遇时,乙已超过A、B两地中点1.5km,求A、B两地地距离.〔二〕追及问题例1、甲、乙两地相距10km,A、B两人分别从甲、乙两地同时、同向出发,A在前,B在后,A地速度是每小时4km,B地速度是每小时5km,xh后A走了km,B走了km.如果这时刚好B追上A,那么可列方程：.例2、甲、乙两人都从A地出发到B地,甲先走5km后乙再出发,甲速度是4km/h,乙速度是5km/h.如果A、B两地相距xkm,那么甲先走地时间是h,乙走地时间是h, 假设两人同时到达B地,那么可列方程：.例3、甲、乙两人同时以4km/h地速度从A地前往B地,走了后,甲要回去取一份文件.他以6km/h 地速度往回走,在办公室耽误了15min后,仍以6km/h地速度追赶乙,结果两人同时到达B地.求A、B两地间地距离.分析：你能求出第二段甲乙所用时间为h吗？假设设A、B两地间地距离为xkm,可以用表示第四段甲乙所用时间.课堂练习1：跑得快地马每天走240里,跑得慢地马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马？课堂练习2：一辆每小时行30km地卡车由甲地驶往乙地,1h后,一辆每小时行40km地摩托车也由甲地驶往乙地,问卡车开出几h后摩托车可追上卡车？家庭练习：1、甲、乙两人相距18km,乙出发后甲再出发,甲在后,乙在前同向而行,甲骑车每小时行8km,乙步行每小时行5km,问甲出发几h后追上乙？2、甲每小时走5km,出发2h后乙骑车追甲.⑴如乙地速度为每小时20km,问乙多少分钟追上甲？⑵如果要求乙出发14km时追上甲,问乙地速度是多少？3、从甲地到乙地走水路比走公路近20km,上午10时,一条轮船甲地从驶往乙地,下午1时一2/3辆汽车也从甲地驶向乙地,结果汽车与轮船同时到达乙地.轮船时速20km,汽车时速60km,求甲地到乙地地水路和公路地长.4、同村地甲、乙两人都去县城,甲比乙早走1h,却迟到半小时,甲每小时走4km,乙每小时走5km.问村庄到县城地距离是多少？〔三〕环形跑道问题例1、某城举行环城自行车赛,骑得最快地人在出发后 35min就遇到骑得最慢地人,骑得最慢地人地车速是骑得最快地人地车速地5,环城一周是6km,求骑得最快地人地车速.7例2、一环形公路周长是24千米,甲乙两人从公路上地同一地点同一时间出发,背向而行,3小时后他们相遇.甲每小时比乙慢千米,求甲、乙两人速度各是多少？家庭练习：1、甲、乙两人在400m环形跑道上练竞走,乙每分钟走80m,甲地速度是乙地速度地11倍,现4甲在乙前面100m,问多少分钟后两人可首次相遇？2、运动场地跑道一圈长 400m.甲练习骑自行车,平均每分骑350m；乙练习跑步,平均每分钟跑250m.两人从同一处同时反向出发 ,经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？〔四〕航行〔飞行〕问题例1、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了小时.水流速度是3千米/时,求船在静水中地平均速度.例2、一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机地航速和两城之间地航程.课堂练习1：一艘船从A港到B港顺流行驶,用了5小时；从B港返回A港逆流而行,用了小时,水流速度是3千米/小时,求船在静水中地速度.课堂练习2：有A、B、C三个码头,BC相距24km,某船从B顺水而下到达A后,立即逆水而上到达C.共用8h,水流速度为5km/h,船在静水中地速度为20km/h,求A、B之间地距离.1、客机和战斗机从相距600km地两个机场起飞,30min相遇,客机顺风飞行,战斗机逆风飞行,如果在静风中战斗机地速度是客机地3倍,风速是每小时24km,问两机地速度各是多少？2、船在静水中地速度是14km/h,水流速度是2km/h,船先顺流由一码头开出,再逆流返回,假设要船在3h30min内返回,那么船最远能开出多远？3、甲船从A地顺流下行,乙船同时从B地逆水上行,12h后相遇,此时甲船已走了全程地一半多9km,甲船在静水中地速度是每小时4km,乙船在静水地速度是每小时5km,求水流地速度.〔五〕错车问题例1.甲乙两人辞别后,沿着铁轨反向而行.此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,列车从甲身旁开过,用了15s；然后从乙身旁开过用了17s.两人地速度都是3.6km/h,这列火车有多长？随堂练习：1．某部队执行任务,以6km/h地速度前进,通信员在队尾接到命令后把命令传给了排头,然后立即返回队尾,通讯员来回地速度是10km/h,共用7.5min,求队伍地长度．2．在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时地轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时地卡车,那么轿车从开始超越到超越卡车需要花费地时间约是多少？3．某隧道长500m,现有一列火车从隧道内通过,测得火车通过隧道〔即从车头进入入口到车尾地离开出口〕共用30s,而整列火车完全在隧道内地时间为10s,求火车地速度和火车地长.4.一列火车用26s地时间通过一个长256m地隧道〔即从车头进入隧道到车尾离开隧道〕,这列火车又以同样地速度用16s地时间通过了另一个长96m地隧道,求这列火车地长度3/3。
实际问题与一元一次方程行程问题
•实际问题•行程问题建模•一元一次方程在行程问题中的应用•典型例题解析目•行程问题的实际应用•总结与反思录相遇问题总结词01详细描述02数学模型03总结词详细描述数学模型01 02 03总结词详细描述数学模型速度时间距离速度、时间、距离的关系同向行驶反向行驶相对速度顺风行驶相对速度=风速+船速逆风行驶相对速度=船速-风速航行问题中的相对速度总结词详细描述总结词在两个或多个物体同向运动，其中一个或多个物体加速或减速追赶另一个物体时，通常需要使用一元一次方程来求解追赶完成时各物体所走的路程和时间。
详细描述在追及问题中，通常需要找出追赶完成时各个物体所走的路程和时间。
为了解决这些问题，可以使用一元一次方程来求解。
例如，在两个物体同向运动，其中一个加速追赶另一个的问题中，可以使用一元一次方程来求解追赶完成时的时间和各个物体的速度和路程。
在航行问题中，通常需要使用一元一次方程来求解船舶或飞行器从起点到终点的航行时间和速度。
详细描述航行问题中，通常需要找出船舶或飞行器从起点到终点的航行时间和速度。
为了解决这些问题，可以使用一元一次方程来求解。
例如，在飞行器从地球飞往火星的问题中，可以使用一元一次方程来求解飞行器的速度和航行时间。
总结词VS总结词假设两个物体在t时间内相遇，它们之间的距离为d，速度分别为v1和v2，则有v1×t + v2×t = d。
详细描述例题详细描述假设两个物体在t时间内相遇，它们之间的距离为d，速度分别为v1和v2（v1>v2），则有v1×t - v2×t = d。
总结词追及问题主要考查的是两个物体在相同时间下所行驶的距离和速度之间的关系，以及如何求解追及时间。
例题甲车从A地出发前往B地，乙车从B地出发前往A地，甲车的速度为80公里/小时，乙车的速度为60公里/小时，两车相距100公里，问它们多久会相遇？详细描述例题相遇问题在实际中的应用总结词详细描述详细描述总结词详细描述行程问题的特点行程问题是一种常见的数学应用题，通常涉及速度、时间和距离等概念。
(完整版)5一元一次方程应用题
一元一次方程的应用专题【和差倍分问题】1.某种食材经加水等其他工艺膨化处理后，体积和重量都扩大5倍，做成街头热卖的小食品，现要得到24kg这种小食品供应实验中学超市，需要多少千克的原材料？【盈亏问题】2.有若干农民工要住进一栋新修的集体宿舍，每间住6人还有17个床位空着；每间住5人就有3人住不下，问共有多少间宿舍？多少个农民工？【劳动力调配问题】3.龙山中学七年级共有60名学生参加语文、数学两种兴趣小组，现在从数学兴趣小组调5人到语文兴趣小组，这样数学组的人数为语文组人数的2倍，求原来语文、数学兴趣小组的人数。
【产品配套问题】4.长兴服装厂生产某种型号的秋装一批，已知每2m长的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装，应分别用多少布料生产衣身和衣袖才能恰好配套？（变式）5.陶瓷店主为了促销，决定买一只茶壶赠一只茶杯，某君购这些物品共付款162元，买得茶壶茶杯共36只，已知茶壶15元/只，茶杯3元/只，问其中茶壶、茶杯各多少只？【利用表格分析问题中的等量关系】（难点）6.马和骡并排走着，背上都背着包裹，马抱怨说自己背得太多了，骡回答说：“你抱怨什么呢？如果我从你背上拿一个包过来，我的负担就是你负担的两倍；如果你从我背上拿一个包过去，你背的也不过和我一样多。
”问马和骡各背了几个包裹（假定包裹的重量相同）？【实际生活中的应用题】7.小明和小颖在课外学习中，用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底3个，现一个盒身和2个盒底恰好做成一个包装盒，为了充分利用材料，使做成的盒身和盒底正好配套，他们设计了两种方案。
方案一：把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底。
方案二：先把一张白卡纸适当套裁出一个盒身和一个盒底，余下白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底。
请判断这两种设计方案的可行性。
【工程问题】8.要修建体育馆的一个附属工程，甲队单独做9天完工，乙队单独做12天完工，丙队单独做15天完工，若甲队、丙队先做3天后，由乙队接替因故离开的甲队的工作，问还要多少天才能完成这项工程的5/6？【注/排水问题】9.一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管，单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全水池放完，现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问又经过几分钟才能将水池注满？【比例问题】10.甲、乙二人去商店买东西，他们所带的钱数之比为7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，两上余下的钱数之比为3：2，则余下的钱数分别是多少？【浓度问题】11.有含盐8%的盐水40kg，要配制成含盐20%的盐水，需要加盐多少千克？【行程问题】12.A、B两站间的路程为448km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60km，一列快车从B站出发，每小时行驶80km，问：（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？（2）两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？【航行问题】13.一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时，已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头之间的距离。
数学方程的应用航行问题
8
问题4一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时； 从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知 水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。
根据往返路程相等，列得
2(x+3)=2.5(x-3)
解2 （间接设元） 设汽船逆水航行从乙地到甲地需x 小时，
则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x －1.5)千米,
逆水航行的距离是(18 －2)x千米。
等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。
依题意得： (18+2)(x －1.5)= (18 －2)x
(18 －2) ×7.5=120
x=7.5
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要
掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速
解：（直接设元）
设甲、乙两地的距离为x 千米 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 依题意得： x x 1.5
182 182
x=120
2021/6/12答：甲、乙两地的距离为120千米。
6
问题3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水 开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为 18千米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的距离？
5
x .
5
公
6
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。
依题意得： x 24 x 24
5.5
6
x=3168
答：两城之间的距离为3168公里
注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问
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设:飞机在无风时的速度为x千米/时. 则它顺风时的速 度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时.根 据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得
17 ( x 24) 3( x 24) 6 x=840 答：飞机在无风时的速度是840千米/时.
问题2.一艘轮船航行于两地之间,顺水要 用3小时,逆水要用4小时,已知船在静水中的
问题3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙 地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为18千 米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的 距离？ 解2 （间接设元） 设汽船逆水航行从乙地到甲地需x 小时， 则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x －1.5)千米,
逆水航行的距离是(18 －2)x千米。 等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。 依题意得： (18+2)(x －1.5)= (18 －2)x
航行问题常用的等量关系是：
（1）顺水速度=静水速度+水流速度 （2）逆水速度=静水速度-水流速度 （3）顺速–逆速 = 2水速； 顺速 + 逆速 = 2船速
：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24 千米/时. 顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程. 解:
x=7.5 (18 －2) ×7.5=120 答:甲、乙两地距离为120千米。
练习： 一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30 分钟，逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公 里，求两城之间的距离？
x 解：设两城之间距离为x 公里，则顺风速为 公 5.5 x
里/小时，逆风速为
6
公里/小时
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。 x x 24 24 依题意得： 5.5 6 x=3168 答：两城之间的距离为3168公里 注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问 题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
速度是50千米/小时,求水流的速度.
1、顺水速度=静水速度+水流速度 2、逆水速度=静水速度-水流速度 3、顺水速度-逆水速度=2倍水速
问题3 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间 乙地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度 18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两 之间的距离？
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要 掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速 解：（直接设元） 设甲、乙两地的距离为x 千米 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 依题意得： x x 1.5 18 2 18 2 x=120 答：甲、乙两地的距离为120千米。