直线的法向量和点法式方程

x2 y1 y2 x1 得 , 2 2

2 1

中点坐标公式 代入直线的点法式方程 ,
x,y y x -4 (x-1)-6( y+1) =0
2 1
整理得
2x+3y+1 =0
学 以 致 用
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？) 求线段AB的垂直平分线方程。
设方向向量v ( x, y)
n v
Ax By 0
整理得 x B y A
v (B, A)
或v (B, A)
口 答 练 习
n
(2,3)
v
(4,5)
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
直线的法向量和点法式方程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示
y x
o
知 识 回
l2
A
B
l 顾 1
概 念 形 成
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
（）法向量 1 n ( A, B)，则 （B,-A) 方向向量v (2)代入点向式方程得
( x x0 ) ( y y0 ) B A
n A, B
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
P0(x0 , o y0 )
x
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
n
= (－3,2), P(1，－5)，
学 以 致 用
例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。 解：中点c的坐标 y 2 4 1, 1 3-1 分析： , l
2
o
B
c
x

法向量 AB
式求直线方程 法 用 点
2
1c 3， 4 2 法向量 4 ， 6 点 AB
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
两向量a(a1 ,a 2 ), b (b1 ,b2 )垂直
问 题 探 究
的充要条件是
a1b1 +a2b2 0
直线的一个法向量n=(A,B), 则直线的一个方向向量v如何表示？
反
1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量 A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程 小 结
3、利用直线的点法式方程可以解决
（1）已知直线上一点和直线的法向量 （2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
概 念 形 成
记⑴ 公⑵ 式
2(x-3)+4(y-5)=0
P 0 (3,5)
n (2, 4)
2(x+3)-4(y－5)=0
P0 (3,5) n (2, 4)
n (2, 4)
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学 以 的直线方程。 致 用
n
o
图2
x
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
x
o
图3
公 式 推 导
P0(x0 , y0)
y
l
已知直线经过点P0(x0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)，
n A, B
求直线的方程
x
o
直 线 的 点 法 式 方 程
公 式 推 导
P0(x0 , o y0 )
P0(x0 , y0)
o
y
l
直线经过点P0(x0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
n A, B
x
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个 熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
A(x-x0)+B(y-y0)=0
（x 0 , y 0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程,
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， =(3，－4) n
(2)

得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0 整理得 3x+ 4y-11 =0
o
y
x
y
(1)向量P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 )
,
P(x, y) (2) 与n=(A,B)的位置关系 P P n A, B 0
是： 垂直 ,
x (3)
P0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公 式 推 导
v ( B, A)
y