图像压缩与小波变换要点

数字图像处理期末论文--小波变换与图像压缩课程____________学院____________班级____________姓名____________学号____________日期____________小波变换与图像压缩物电10（3）赵卫超10223221摘要：随着信息技术的发展，图像以其信息量丰富的特点，成为通信和计算机系统中信息传输的重要载体，而图像信息占据了大量的存储容量，因而图像压缩编码是图像存贮的一个重要课题。

本文首先介绍了图像压缩编码的研究背景，然后详细地理论上介绍了图像压缩，并讲解了变换编码中的小波变换的产生、和第二代小波变换在图像压缩中的应用及特点。

通过小波变换的理论研究，应用MATLAB来实现了一般图像的压缩，证明了小波变换在图像压缩中的可行性。

关键词：图像压缩、小波变换、MATLAB1、图像压缩背景及概念1.1图像压缩背景随着计算机多媒体技术和通信技术的日益发展，以及网络的迅速普及，图像数据信息以其直观、形象的表现效果，在信息交流中的使用越来越广泛。

每天都有大量的图像信息通过数字方式进行存储、处理和传输。

由于技术上对图像数据的要求，图像的分辨率在不断增加。

由此导致图像数据量急剧增加。

这就给图像的传输和存储带来了极大的困难。

因此，图像数据压缩势在必行，通过压缩手段将信息的数据量降下来，以压缩的形式存储和传输，既节约了存储空间，又提高了通信干线的传输效率。

一般原始图像中通常存在大量的各种冗余，如像素相关冗余、编码冗余、视觉冗余等。

图像压缩技术所追求的目标就是最大限度地挖掘和利用这种冗余信息。

尽量减少表示图像所需的数据量。

正是由于图像压缩的重要性，使得图像压缩算法和技术成为非常活跃的一个研究领域。

1.2图像压缩的概念数字图像压缩是数字图像处理的一个重要的分支学科，所谓的数字图像压缩就是以较少的数据量表示信源以原始形式所代表的信息，目的在于节省存储空间、传输时间、信号频带或发送能量等。

这些概念无论是针对静态的文字、图像，还是针对动态的音频、视频都是适用的。

图像数据可以看成是信息和冗余度的组合，图像数据可以压缩的根据来源于两个方面：一方面是图像信号中存在大量冗余度可供压缩，并且这种冗余度在解码后还可以无失真地恢复；另一方面是可以利用人的视觉特性，在不被主观视觉察觉的情况下通过减少表示信号的精度，以一定的客观失真换取数据压缩。

信息论对于图像压缩的重要意义在于将图像信息进行了量化。

并且证明在不产生失真的前提下，通过合理有效的编码算法，对于每一个信源符号所分配码字的平均码长可以任意接近于信源的熵。

在此理论框架下，人们开发出了各种各样的图像压缩方法。

数字图像编码系统无论采用何种具体结构和技术，其基本过程是一致的，编码过程如图1所示。

图1数据压缩系统组成图原始图像经映射变换后的数据再经量化器和熵编码器成为码流输出。

从原理讲，压缩过程由变换、量化和编码3个基本环节组成。

从图1可以看出，图像压缩编码的过程包括以下三步：第一步，对信号进行映射变换。

这里的变换是指将输入数据转换为可以减少输入图像中像素间冗余的格式，经过映射变换，如时域预测、频域变换或其它变换，原始图像数据特性被改变，变得更利于压缩编码。

这步操作通常是可逆的，主要是为后续的操作中更容易找到像素间的冗余以便进行压缩，并且有可能直接减少表示图像的数据量；第二步，量化过程。

量化过程减少表示信号的精度，即将映射后输出的精度调整到与预设的保真度准则相一致，因而减少了输入图像的心理视觉冗余，量化操作是不可逆的。

第三步，对量化后的符号进行熵编码。

熵编码生成一个固定的或可变长编码用于表示量化器输出并将输出转化为与编码相一致。

熵编码过程可以消除符号编码冗余度，一般不产生失真，常用的熵编码方法有分组码、行程码、变长码和算术码等。

熵编码操作是可逆的，熵编码后的信息码流被送入存储设备或通过信道传输。

2小波变换原理2.1小波变换的产生1987年，Mallat首次巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波变换中，统一了在此之前的各种小波的构造方法，之后，他又研究了小波变换的离散形式，并将相应的算法应用于图像的分解与重构中，为随后的小波图像压缩编码奠定了基础。

小波变换是基于傅里叶变换理论发展起来的一种新型变换方法。

被引入图像信号处理以后，很快引起了人原始图像，而小波变换的图像压缩编码算法己成为目前图像压缩研究领域的一个主要方向。

2.2小波变换与图像编码小波变换用于图像编码的基本思想即去相关性：即把图像根据Mallat塔式快速小波变换算法进行多分辨率分解。

其具体过程为:首先对图像进行多级小波分解, 然后对每层的小波系数进行量化, 再对量化后的系数进行编码。

由于小波变换后使得原始图像能量集中在少数部分的小波系数上，因此最简单的系数量化方法就是将某一阈值以下的系数略去，或者表示为恒定常数，只保留那些能量较大的小波系数，从而达到数据压缩的目的。

在这里，所采用的标量量化方法是分别在不同分辨率（不同分解层次）的小波频带来完成的。

可见，小波编码主要有三个部分：变换、量化和熵编码。

小波图像压缩是当前图像压缩的热点之一, 已经形成了基于小波变换的国际压缩标准, 如MPEG-4 标准, 及JPEG2000 标准。

2.3 小波压缩的优点小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。

由于其良好的空间—频率局部化特征，小波变换在图像压缩应用中得到了广泛的应用。

小波压缩的固有特征使它在图像处理中有以下优点：（1）多尺度分解提供了不同尺度下图像的信息，并且变换后的能量大部分集中在低频部分，便于对不同尺度下的小波系数分别设计量化编码方案，在提高图像压缩比的情况下保持好的视觉效果和较高的PSNR；（2）小波变换的完善重构能力，保证了信号在分解过程中没有信息损失和冗余信息产生；（3）小波变换把头像分解为逼近影响和细节影响之和，分别代表了影响不同尺度和不同结构的信息，便于提取原始图像中的结构信息和细节信息；4) 小波变换具有快速算法；5) 二维小波分析为图像分析提供了与人类视觉系统方向特性相吻合的方向选择性。

2.4影响小波变换的因素其中，影响小波编码效果的因素有：小波基的选取、图像的边界延拓方式、小波系数的量化策略、熵编码的设计以及小波分解和重构级数。

图像经过了小波的多分辨分解后，并不意味着图像己经压缩。

事实上，小波变换只是给图像压缩提供了好的图像表示形式，而存贮图像所用的空间并没减少。

为了达到图像压缩的目的，必须根据人类视觉特征对所变换后的系数进行适当的取舍、量化和编码。

3第二代小波变换由于一般的小波滤波器的输出结果是浮点数，因而在对变换后的数据进行压缩时，要先进行量化，以得到相应的整数，这必然会引入误差，不适合于图像的无损压缩。

1994年Win Swelden 提出了一种新的小波构造方法即提升方法也叫第二代小波变换或整数小波变换。

第二代小波变换构造方法继承了第一代小波的多分辨率的特性，不依赖傅立叶变换, 直接在时域完成小波变换，小波变换后的系数可以是整数。

3.1第二代小波变换特点第二代小波变换具有如下特点：本位操作：所有运算可做本位操作，节省内存； 效率高：利用复合赋值，减少了浮点运算量；并行性：一个上升步骤中的所有操作是并行的，而多个上升步骤之间是串行的； 逆变换：逆变换只须简单地改变代码执行的先后循序，具有与正向变换相同的计算复杂性；通用性：由于变换过程中不必依赖Fourier 分析，很容易推广到一般性应用领域； 非线性：易于构造非线性小波变换（如整数变换）；自适应：支持自适应性小波变换。

函数的分析由粗到细逐步进行，细化过程可仅限于感兴趣的区域。

3.2提升方法的实现提升方法构造小波分为分裂、预测和更新3个步骤。

(1) 分裂分裂(Split)是将原始信号{,}j j s s k =分为两个互不相交的子集和。

每个子集的长度是原子集的一半。

通常是将一个数列分为偶数序列1j e -和奇数序列1j o -，即 11()(,)j j j Split s e o --=(1)其中，11{,,2}j j j e e k s k --==，11{,,21}j j j o o k s k --==+。

(2) 预测预测(Predict)是利用偶数序列和奇数序列之间的相关性，由其中一个序列（一般是偶序列1j e -）来预测另一个序列（一般是奇序列1j o -）。

实际值1j o -与预测值1()j P e -的差值1j d -反映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号sj 的高频部分。

一般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。

如果预测是合理的，则差值数据集dj-1所包含的信息比原始子集1j o -包含的信息要少得多。

预测过程如下：111()j j j d o p e ---=-(2)其中，预测算子P 可用预测函数Pk 来表示，函数Pk 可取为ej-1中的对应数据本身：11(,),,2k j j j P e k e k s k--== (3)或ej-1中的对应数据的相邻数据的平均值：111()(,,1)/2(,2,21)/2k j j j j j P e e k e k s k s k ---=++=++ (4)或其他更复杂的函数。

(3) 更新经过分裂步骤产生子集的某些整体特征 (如均值)可能与原始数据并不一致，为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新(Update)过程。

将更新过程用算子U 来代替，其过程如下：111()j j j s e U d ---=+ (5)其中，sj-1为sj 的低频部分；与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数，如 11(),/2k j j U d d k --= (6) 或111()(,1,)/41/2k j j j U d d k d k ---=-++(7)P 与U 取不同的函数，可构造出不同的小波变换。

(4)分解与重构 经过小波提升，可将信号js 分解为低频部分-1j s 和高频部分-1j d ；对于低频数据子集-1j s可以再进行相同的分裂、预测和更新，把-1j s 进一步分解成-2j d 和2,...,...j s -如此下去，经过n 次分解后，原始数据sj 的小波表示为11{,,,...,}j n j n j n j s d d d ---+-。

其中j ns -代表了信号的低频部分 ,而11{,,...,}j n j n j d d d --+-则是信号的从低到高的高频部分系列。

每次分解对应于上面的三个提升步骤——分裂、预测和更新：11()(,)j j j Split s e o --=，(8) 111()j j j d o p e ---=-， (9) 111()j j j s e U d ---=+(10)小波提升是一个完全可逆的过程，其反变换的步骤如下：111()j j j e s U d ---=-， (11) 111()j j j o d P e ---=+，(12)11(,)j j j s Merge e o --=(13)4.仿真分析4.1MATLAB 源程序用MATLAB 仿真软件编写源程序实现对一幅图像的基于整数小波变换的正变换和逆变换重构，源程序代码如下：%正变换function y=IWT(x) %x 为输入图像矩阵 x=imread('kids.tif'); %读入原图像 imshow(x); %显示原图像 figure;x=double(x); %将像素转换为浮点数据精度 y=x; %准备用y 存储变换结果 [hp,lp]=size(x); %取图像的长和宽 hc=hp/2; %中间变量 lc=lp/2; %中间变量%奇偶列重排for n=1:lc %n 表示前半段数据变量 j=n*2-1; %j 表示和n 对应的奇数列数据 y(:,n)=x(:,j); %将x 的奇数列数据重排在y 的前lc 列 y(:,lc+n)=x(:,j+1); %将x 的偶数列数据重排在y 的后lc 列 endimshow(uint8(y));figure; %显示奇偶列重排结果%行变换开始 for n=1:lcy(:,lc+n)=y(:,lc+n)-y(:,n); endfor n=1:lck=y(:,lc+n)/2-mod(y(:,lc+n)/2,1); y(:,n)=y(:,n)+k; end%行变换结束 imshow(uint8(y));figure; %显示行变换结果 x=y; %将y 的值重新赋给x ，准备列变换%奇偶行重排，原理同上 for n=1:hc j=n*2-1; y(n,:)=x(j,:);y(hc+n,:)=x(j+1,:); endimshow(uint8(y));figure; %显示奇偶行重排结果%列重排开始，原理同上for n=1:hcy(hc+n,:)=y(hc+n,:)-y(n,:);endfor n=1:hck=y(hc+n,:)/2-mod(y(hc+n,:)/2,1);y(n,:)=y(n,:)+k;end%列重排结束y=uint8(y);imshow(y);figure; %显示列重排结果%逆变换x=y; %将正变换的值y重新付给x，准备逆变换x=double(x);[hp,lp]=size(x);hc=hp/2;lc=lp/2;%列逆重排开始for n=1:hck=y(hc+n,:)/2-mod(y(hc+n,:)/2,1);y(n,:)=y(n,:)-k;endfor n=1:hcy(hc+n,:)=y(hc+n,:)+y(n,:);end%列逆重排结束x=y%逆奇偶行重排for n=1:hcj=n*2-1;y(j,:)=x(n,:);y(j+1,:)=x(hc+n,:);end%行逆重排开始for n=1:lck=y(:,lc+n)/2-mod(y(:,lc+n)/2,1);y(:,n)=y(:,n)-k;endfor n=1:lcy(:,lc+n)=y(:,lc+n)+y(:,n);end%行逆重排结束x=y;%逆奇偶列重排for n=1:lcj=n*2-1;y(:,j)=x(:,n);y(:,j+1)=x(:,lc+n);endy=uint8(y);imshow(y); %显示逆变换重构结果运行源程序所得结果如下：原图像图1 原图像奇偶列重排结果图2 奇偶列重排结果行变换结果图3 行变换结果奇偶行重排结果图4 奇偶行重排结果列变换结果图5 列变换结果逆变换结果图6 逆变换重构后的结果4.2结果分析通过比较逆变换重构后的图像和原图像可知，经过逆变换可以回复出原图像，而逆变换的过程中只需要用图像分裂后的左上角部分j n s 的数据，即原图像的低频部分，而且经过多级分裂后使得低频部分的能量更加集中，这一部分数据将远远小于原图像的总数据，而恢复出的图像几乎无失真。