函数周期性分类解析以及习题练习

函数周期性分类解析

一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =

+恒成立

则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=

()

x f 1

(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()

x f 1

-

(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

7、1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=

)

(1)

(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的

一个周期。 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数

()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2

T

)=0.

三、典例讲解

例1（05.福建12）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）

内解的个数的最小值是

（ ）

A ．6

B ．7

C ．4

D ．5

例2. 设函数的定义域为R ，且对任意的x ，y 有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，并存在正实数c ，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

例3. 已知是定义在R 上的函数，且满足：，

，求的值。

例 4.（2009江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

例5. （天津卷05）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，

则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____

例6（07安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为 （ ） A.0

B.1

C.3

D.5

四、巩固练习

1.已知偶函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则

2(log 10)f 的值为 .A

35

.B 85 .C 38

- .D 53

2设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()

(1)1()

f x f x f x -+=+，

当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f =

3知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-.()1求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；()2证明()f x 是R 上的奇函数． 4.（05朝阳模拟）已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称，且满足3()()2f x f x =-+，

又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值

高三数学恒成立问题的类型及求解策略

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。 一、 一次函数型：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0

)(0

)(n f m f

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩

⎨⎧<<0)(0

)(n f m f

例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

二、 二次函数型

若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩

⎨

⎧<∆>00

a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2．定义在R 上的减函数()x f ，如果不等式组()

()()()

⎪⎩⎪⎨⎧-+>-+>-+2

2

11321x

kx f kx f k f x kx f 对任何

[]1,0∈x 都成立，求k 的取值范围。

例3．关于x 的方程9x +(4+a)3x +4=0恒有解，求a 的范围。