函数周期性分类解析以及习题练习

函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T)=0.三、典例讲解例1（05.福建12）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．4D ．5例2. 设函数的定义域为R ，且对任意的x ，y 有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，并存在正实数c ，使。

试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

例3. 已知是定义在R 上的函数，且满足：，，求的值。

例 4.（2009江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2例5. （天津卷05）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____例6（07安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为 （ ） A.0B.1C.3D.5四、巩固练习1.已知偶函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为 .A35.B 85 .C 38- .D 532设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(1)1()f x f x f x -+=+，当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f =3知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-.()1求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；()2证明()f x 是R 上的奇函数． 4.（05朝阳模拟）已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值高三数学恒成立问题的类型及求解策略恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。

现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。

一、 一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

二、 二次函数型若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2．定义在R 上的减函数()x f ，如果不等式组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+>-+>-+2211321xkx f kx f k f x kx f 对任何[]1,0∈x 都成立，求k 的取值范围。

例3．关于x 的方程9x +(4+a)3x +4=0恒有解，求a 的范围。

三、 变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例4已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

例5．若不等式n n n n 21...312111+++++++>24m对于大于1的一切自然数n 都成立, 求自然数m 的最大值, 并证明所得结论。

四、 直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例6、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

五．根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质例7 若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，求α的值。

六．利用导数求最值解决恒成立问题 例8已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。

2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。

3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy cos =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。

4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f-=+，则其图象关于直线对称。

5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。

6、曲线()x f y=关于直线a x =与b x =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。

2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。

3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。

4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。

二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y =是以 为周期的函数； 2、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()x a f+=f(x )1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()x a f+=-f(x )1-,则()x f y=是以 为周期的函数.4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 5、函数x a x y2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x 与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。