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①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关 系式，并写出t的取值范围；
②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。
② 当 S取 得 最 小 值 时 ， t4 ∴ P(8， 2)， Q (2， 6)
R
经 检 验 R (1 2， 6 )在 抛 物 线 上 ， 55
显然，□ PBQR的点R不在抛物线上.
(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时
∵BQt 4PR 5
∴2 4 14 55
∴ R ( 8 ， 1 4 ) ， 经 检 验 R ( 8 ， 1 4 ) 不 在 抛 物 线 上
——平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
分两类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有( C )
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
D
C
D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
E
(-1,0) A O
(1)当AB为一条边时
y
P
Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
Q
A
O
（-1,0）
P
B
xFra Baidu bibliotek
（3,0）
(2)当AB为一条对角线时
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2
所以P点横坐标X=2
y
Q
E
AO （-1,0）
P
B （3,0）
x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点
y
Q
P
分两种情况： AB为一条边
（-1,0）A O
B（3,0） x
AB为一条对角线
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
中考复习小专题
——平行四边形存在性问题
苑陵中学 赵晓红
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
B(3,0)
D (2,-2)
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、
C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和 B，且12a+5c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点 B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么：
B
(1) m=1 y=x+1
y= x2- 2x + 1
(2)点C、D是定点，点P、E两个动点
E OC
2
设P点坐标（X，x+1 ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC
得
（ x+1）- （
2
x - 2x + 1
）=2
练习
二次函数
y=
2x
2
-
2
的图象与X轴交于A 、B两点,如图所示，与y
轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D.
（1）求A 、B 、C三点的坐标。
（2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以
PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标
（用含m的代数式表示）
（3）在（2）成立的条件下，问抛物线
2
y= 2x - 2
的图象上是否
存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时
(1)求m值及二次函数的关系式. (2)D为直线A B与二次函数图象对称轴的 交点,P线段A B上的一个动点(点P与A 、 B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的 图象交于E点,在线段A B上是否存在一点 P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
A P
D
由。
m的值；若不存在，请说明理由。
y
A
O
B
x
C
55
55
综 上 所 述 ， 当 S 最 小 时 ， 抛 物 线 上 存 在 点 R ( 1 2 ， 6 ) ， 使 得 以 P 、 B 、 Q 、 R 55
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
55
5
点P、B、Q都是定点，只有 点R一个动点位置不确定 分两种情况：
R
R
R
解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
(1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时
∴ BP282QR 55
∴ 221 2， ∴ R (1 2， 6 )，
55
55
R
②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。
② 当 S取 得 最 小 值 时 ， t4 ∴ P(8， 2)， Q (2， 6)
R
经 检 验 R (1 2， 6 )在 抛 物 线 上 ， 55
显然，□ PBQR的点R不在抛物线上.
(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时
∵BQt 4PR 5
∴2 4 14 55
∴ R ( 8 ， 1 4 ) ， 经 检 验 R ( 8 ， 1 4 ) 不 在 抛 物 线 上
——平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
分两类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有( C )
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
D
C
D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
E
(-1,0) A O
(1)当AB为一条边时
y
P
Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
Q
A
O
（-1,0）
P
B
xFra Baidu bibliotek
（3,0）
(2)当AB为一条对角线时
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2
所以P点横坐标X=2
y
Q
E
AO （-1,0）
P
B （3,0）
x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点
y
Q
P
分两种情况： AB为一条边
（-1,0）A O
B（3,0） x
AB为一条对角线
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
中考复习小专题
——平行四边形存在性问题
苑陵中学 赵晓红
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
B(3,0)
D (2,-2)
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、
C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和 B，且12a+5c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点 B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么：
B
(1) m=1 y=x+1
y= x2- 2x + 1
(2)点C、D是定点，点P、E两个动点
E OC
2
设P点坐标（X，x+1 ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC
得
（ x+1）- （
2
x - 2x + 1
）=2
练习
二次函数
y=
2x
2
-
2
的图象与X轴交于A 、B两点,如图所示，与y
轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D.
（1）求A 、B 、C三点的坐标。
（2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以
PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标
（用含m的代数式表示）
（3）在（2）成立的条件下，问抛物线
2
y= 2x - 2
的图象上是否
存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时
(1)求m值及二次函数的关系式. (2)D为直线A B与二次函数图象对称轴的 交点,P线段A B上的一个动点(点P与A 、 B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的 图象交于E点,在线段A B上是否存在一点 P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
A P
D
由。
m的值；若不存在，请说明理由。
y
A
O
B
x
C
55
55
综 上 所 述 ， 当 S 最 小 时 ， 抛 物 线 上 存 在 点 R ( 1 2 ， 6 ) ， 使 得 以 P 、 B 、 Q 、 R 55
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
55
5
点P、B、Q都是定点，只有 点R一个动点位置不确定 分两种情况：
R
R
R
解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
(1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时
∴ BP282QR 55
∴ 221 2， ∴ R (1 2， 6 )，
55
55
R