大物第六七节习题册答案

由机械能守恒定律
E0 Ex
解出
k mg sin 2 Ek Ek 0 ( x ) 2 k
6 设想有两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符
合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态
试求当它们的距离变为1/2 l时，两质点的速度各为多少？
• 解:两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系 统的动量和机械能均守恒。 设两质点的间距变为L/2


2
1
1 2 Md ( J ) = 2
1 1 2 J 2 J 12 2 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
１）质点对固定点的角动量 L r mv
角动量是矢量，角动量L的方向垂直 于r和mv 所组成的平面，其指向可用 右手螺旋法则确定。
v v v
2 x
2 y

答案：B
2
1
1 1 2 2 F .d r mv2 mv1 2 2
• 2 一质点在几个外力同时作用下运动时， 下述哪种说法正确？ （ ） （A）质点的动量改变时，质点的动能一定改 变。 （B）质点的动能不变时，质点的动量也一定 不变。 （C）外力的冲量是零，外力的功一定为零。 （D）外力的功为零，外力的冲量一定为零。 解析：结果为C
时，它们的速度分别为v1及v2则有
m1v1 m2v2 0
（1）
- Gm1m2 1 1 2Gm1m2 2 m1v12 m2v2 l 2 2 l 联立（1） （2）解得：
（2）
v1 m2
2G l (m1 m2 )
v2 m1
2G l (m1 m2 )
主要内容回顾
1、刚体的定义
F dr
力矩的功
练习6 刚体力学（一）
1 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零； （A）只有（1）是正确的 （B）（1）（2）正确，（4）错误 （C）（1）（2）（3）都正确，（4）错误 （D）（1）（2）（3）（4）都正确 解析：B 一个力对某轴的力矩不仅与该力的大小和方向有关，还与该力的作用 点对该轴的位矢有关。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动，当驾驶员用两 手操纵方向盘时就可在盘的左右两侧加上方向相反大小相等的两个力， 对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等方向一致，故合 力矩不为零。
1 1 2 2 2 Eki mi vi mi ri 2 2


1 ( mi ri 2 ) 2 2 i
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度 平方乘积的一半。 1 转动动能 Ek J 2 2 注意比较
1 2 J 2
平动动能
1 E k mv 2 2
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6、角动量定理
L 的大小为 L r mv sin ★ 在直角坐标系中 L yp zp x z y
L 0 · r
mv

★ L 是相对量： mv 与参照系的选择有关，
Ly zp x xpz Lz xpy ypx
r
与参考点的选择有关
2）角动量定理 dL d M r F ( r mv ) 或 dt dt 即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的 变化率。此即质点对固定点的角动量定理。
z
F
Fx
O
M
r
d
*
P

力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交 则力对该轴无力矩作用
任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴） 的力矩之和为零： j
F F Fi 0, M i 0
i i
F Fi 0, M i 0
2 0 0 0 3 3 3
1 2 W mv 2
v 6m / s
• 4 光滑水平面上有一质量为m的物体，在恒 力 F 作用下由静止开始运动，则在时间t 内，力 F 做的功为 。设一观察 者B相对地面以恒定的速度 v 运动， v0 的 方向与 F 方向相反，则他测出力 F 在 同一时间t内做的功为 解析： 2 2
• 3 质量m=1kg的物体，在坐标原点处从静止出 发在水平面内沿x轴运动，其所受合力方向与 运动方向相同，合力大小为F=3+2x(SI)，那 么，物体在开始运动的3m内，合力所作的功 W= ；且x=3m时，其速率v= 解析：
W Fdx Fdx (3 2 x)dx (3x x ) 18J
＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一 定守恒
b、对轴的角动量守恒律：
若 Mz=0， 则 Lz =常数，即若力矩在某轴上的分量 为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角 动量守恒。
7、刚体对轴的角动量守恒 1）刚体对轴的角动量
L Li mi vi ri mi ri J
i i
F
4）转动惯量
定义：表征刚体转动惯性大小的物理量，通常用符号J表示。 它的定义式为：
对于单个质点 质点系
J m r2
J mi ri 2
i 1 n
若物体质量连续分布，
J r dm
2 m
上述定义式中的r均为所考察的质点到轴的距离。
注意： (1)刚体的转动惯量
与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。 (２)质量元的选取： 线分布 dm dx(或dl) 面分布 dm ds 体分布 dm dv
力的功
W W Md 功率 功率 P M P F v Ft v 1 2 转动动能 动能 1 2 Ek J Ek mv 2 2 转动动能定理 动能定理 1 2 1 2 1 2 1 2 W mv2 mv1 W J J 2 1 2 2 2 2
M x
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xF y yFx ) k M xi M y j M z k i j k M x yFz zFy
y Fy
z Fz
M y zFx xFz
M z xFy yFx
其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质 点运动中地位相当。
平行轴定理
J O J C md
2
d
C
mO
5、 刚体定轴转动的动能定理
1）、刚体的转动动能 i质点的动能
整个刚体的动能 — 对i求和 1 2 1 2 2 m v E Ek i i mi ri ki i 2 i 2 i
dr 速度 v dt dv 加速度 a dt 质量 m
力
质点的运动
刚体的定轴转动 角速度 角加速度 转动惯量
d dt d dt 2 J r dm
对轴的力矩 M Fr sin F 对轴的角动量 动量 L J p mv dp dL 转动定律 牛顿第二定律 F M J ma dt dt
矩的定义式为 | r |是力的作用力到转轴的距离，力矩的方向只能沿着转轴方向。
M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
3）力矩的计算： M的大小、方向均与参考点的选择有关 M Fr sin ※在直角坐标系中，其表示式为
积分形式： Mdt L L0
t0
t
*：M和L必须是对同一点而言 外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量 的增量。
3）角动量守恒律
a、对点的角动量守恒律 M 0 若 ，则 L r mv 常数
dL M dt
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质 点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律 。
dt
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：

线量与角量的关系：
4、刚体定轴转动的转动定理
1）对点的力矩：力矩是质点产生转动效应 的外在因素，力矩与参考系的选择有关，其 定义式为：
M r F
式中 r 为参考点指向力的作用点的矢径。
M
o
r
F

m
2)对轴的力矩：对轴的力矩是刚体转动状态发生 变化的原因，即获得角加速度的原因，对轴的力
（2）物体A在弹簧伸长x时动能的表达式。
解：（1）
mgsin kx0
x0 mg sin k
A
• （2）取弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点。平
衡位置处系统的机械能
1 2 E0 Ek 0 kx 0 mgx 0 sin 2
伸长x处系统的机械能
1 E x Ek kx 2 mgx sin 2
练习5
• 1 质量为m=0.5kg的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运动方 程为 x 5t , y 0.5t 2 (SI )，从t=2s到t=4s这段时间内，外力对 质点作的功为 （ ） （A）1.5J （B）3J （C）4.5J （D）-1.5 解析：
dr dx dy v 5t dt dt dt
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2)力矩对定轴转动的刚体所做的功 当刚体在力矩M作用下，转过有限角（由 1转到2 ）时， 2 力矩的功为
W Md
1
3）定轴转动的动能定理 d d d J W Md J d J dt dt dt

2 1
1 1 2 2 Jd J2 J1 2 2
刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连 续分布的质点系。
2、刚体的基本运动
刚体最基本的运动方式是：平动和转动。
刚体的平动：若刚体内任意两质元的连线在各
个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。
平动的刚体可当作一个质点处理。 刚体的转动：刚体上各个质元都绕同一直线作圆周运 动。
J r dm
2 m
(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相 对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化 ，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
常用的转动惯量
1 J mr 2 2
J
1 ml 2 3
1 J ml 2 12
5）转动定律 转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩 成正比，与刚体的转动惯量成反比.
质点的运动
t2
刚体的定轴转动
t2 冲量 Mdt 冲量矩 t1 Fdt t1 t2 t2 动量定理 Fdt mv2 mv1 角动量定理 Mdt J 2 2 J11
t1
动量守恒定律
F 0时， mv 恒量
t1
角动量守恒定律
M 0时， J 恒量
2 i i
Li mi vi ri
i
2）对轴的角动量定理

t2
t1
Mdt ( J )
3）定轴转动的角动量守恒

t2
t1
Mdt ( J )
若 Mz外＝0，
则 L J 恒量
若外力对某轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对 同一轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒 定律
质点运动和刚体定轴转动的比较(类比方法)
0
1 2 1F 2 F t W F S F at F t 2 2m 2m
1 2 F 2t 2 W F S F (v0t at ) Fv0t 2 2m
• 5 如图所示，一质量为m的物体A放在一与水平面成 角 的固定光滑斜面上，并系于一劲度系数为k的轻弹簧的一 端，弹簧的另一端固定。设物体沿斜面的运动中，在平 衡位置处的初动能为 E K 0 ，以弹簧原长处为坐标原点， 沿斜面向下为x轴正向，试求： （1）物体A处于平衡位置时的坐标 x 0
3、刚体定轴转动
1）定义 若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆 周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴 2）定轴转动的角量描述 刚体在定轴转动时，定义垂直于 转轴的平面为转动平面，这是刚 体上各质点均在各自的转动平面 内作圆心在轴上的圆周运动。
垂直于固定轴的平面为转动平面。
3）定轴转动的特点
(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
(2)角量描述的是共性——所有质点都有相同的角移 、 角速度 ，角加速度 。 线性描述的是个性——各质点的线位移，线速度，线 加速度与质点到轴的距离成正比。
(3)运动描述仅需一个角坐标．
角量：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角位移
d 角速度 dt d 角加速度