复数与平面几何 数学竞赛

复数与平面几何

本篇着重讨论三角形巧合点的复数表示以及计算彼此之间的距离复数方法，复数方法虽然很少用到，但是但凡用到无不是一击制胜。最经典的自然是那个将垂心变幻的那个IMO 题，不过自这一题之后除了解析性质比较明显，或者是涉及到变换之类的多有用复数证法，原汁原味的复数证法已鲜见，笔者在那道IMO 题之后感触颇深，经过研究，对三角形巧合点的复数形式做了一个小结。 引论：

已知△ABC ，以外心O 为原点的复平面A,B,C 对应点的复数为,,A B C z z z 则重心G 对应点复数3

A B C

G z z z z ++=(可以通过重心的性质易得，或者通过重心坐标容易

得到)

2

1××1

221312

B C

B C A A B C

G z z BC z z z z z z z +++++==+中点为

由定比分点公式 垂心H 对应点的复数z H A B C z z z =++下面我们来证明这个性质，无妨令A,B,C 在平面上逆时针排列（这个性质验证是极其容易的，直接得到却要费些功夫） 证法一：由欧拉定理G 在O,H 连线上，而且HG=2OG 以下就直接得到 证法二：

2222222

2

2cos tan tan tan tan cos 2,sin 2,

+=++B C

A H

Ai

A H

B

C A H B C A H B C A H B C A H B C A H B C A AH R A z z i A A A z z e A A A z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z =-==-=----+------=

--∑∏C B

C B 利用垂心性质即易得

（利用该式易证）

z

考虑与A 有关的量：z 利用万能代换表示出（）

（）2（）（）z 则z （）-（）（）-（）（）

（）（++H B C A H B C

H A B C

A H

B C

z z z z z z z z z z z z z z z --+--=

⇒=+--+）

(也可因此易得欧拉公式)

最后推导z I 的表示

z I 的推导一度十分困难，笔者尝试良久仍未见效，最终在向量表示方法中找到了影子，可

考虑内心的如下一个有趣的性质：

引理：0aIA =∑

先来证明这个性质，我们不妨假定a,b,c>1， 考虑三角形中特征点，重心有

0GA =∑

我们可以据此证明，

延长IA,IB,IC 至D,E,F 使ID=a ×IA 等等，反向延长ID 交EF 于G, 则只要证明EG=GF 即可

sin

sin 22cos cos

22sin sin 22

4cos cos 4cos cos

22220A B A C

IE IF r C r B b c B C B C B C

rR rR aIA ++⇔=⇔=⇔=⇒=∑ (注：这里条件是充要的，及平面上一点满足这个要求，则这个点必为三角形的内心，这里就不加赘述了，留给读者证明)

0()0A I A

I

aIA a z z az z a

=⇔-=⇔=

∑∑∑∑

这里给出了四心的复数表示，其中内心的复数表示可以类同垂心证法二中的方法。 下面我们给出这些点之间的距离公式

首

22

222

2=()2B C C B B C C B B C B C B B C C B C B C B B C C B C C B B C C B z z z z R a z z z z z z z z z z z z a z z z z z z z z z z z z z z z z R a +=-±±±±--+-+⇒+=-考虑到，出现在（）（）以及（）（）中，选取其中几何意义较为明显的（）（）

= ①

2

222222

()3(2)9H

H H

A A A A

B

C C B OH z z z z z z z z z z z R R a R a ====++=+-=-∑∑∑∑∑∑ ②22

22

()39

a OH OG R ==-∑

③

2

2

2

2

2

22222222

2

2()()

()

()()(2)

()()

()

2A A A

A B C B C I I I az az a z z bc z z z z OI z z z a a R a bc R a R a abc a

abc

R a a a

R Rr

++====

+--=

=

=-

=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

④2

2

2

2

2

2

444()49

9

a a GH OG R R ==-

=-

∑∑

⑤

()()

2

2

2

2

22222

222

2

3

3

22

((2))((2))

9()(2)(2)(2)()

9()(2)(2)(2)(2)

9()((2))(2)(2)9()()4A A I G I G A A B C C B a b c z a b c z GI z z z z a a b c z z b a c c a b z z z z a R a b c b a c c a b R a a R a b c b a c c a b a a b c bc b c ----=--=

--+----+=--+-----=-------=

++=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑4

2

4

4

222

4

2

2

22

2

2259()

()5103236()

()8032()203236()369

516999

abc a a a a a b c abc a a a S abc a a S abc

a a

p r Rr ---+-=

+-==+

-

=+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑