积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质

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积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义

和性质

CH 19 积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和

性质

1(重积分的概念

n

(1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,,三重积分表

f(x,y)d,,iii,,,,0,1iD

n

f(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分

区,iiii,,,,,0,1iD

域,而与积分变量的记号无关。连续是可积的充分条件,二者的不同点是:二重积分的被积函数

是定义在平面区域上的二元函数,而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。 D,

f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时,表示以曲面为曲顶,以为

Df(x,y)d,,,D

,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积,或表示以面积密度的平面薄片的质量。当,D

,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。 ,,,,D

(3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质,对区域的可加性,积分不等式,以及积分中值定理。

2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义

(1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分,其定义简记为

n

,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1il

f(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界,是对的任意分割下的段的长度,i,SS,0ii

,,max{,S}。 i1,i,n

(2) 由求变力沿曲线所作功等问题,可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念,其定

义简记为

n

,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1il

n

,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il

,ll ,的意义同前,,为小弧段在坐标轴上的投影,其正负与的方向有

关。 ,x,yii

3(两类曲面积分的定义

(1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分,其定义简记为

n

f(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i,

f(x,y,z)其中在曲面上有定义,是的任意分割下第块的面积(,)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。 i1,,in

(2) 第二类曲面积分

P(x,y,z)dydz,Q(x,y,z)dzdx,R(x,y,z)dxdy,,,

n

,lim[P(,S),Q(,S),R(,S)] ,iiyziizxiixy,,0i,1

其中,,表示小片曲面在三个坐标面的投影,其正负与曲

(,S)(,S)(,S)iyzixyixz

面所取的侧有关。

q22例1(计算,由抛物线和直线所围的区域。 Dx,(q,0)y,2pxxydxdy,,2D q解:先求两曲线的交点,则 (,),pq2

qq32pxpqq2222xdxydy,ydyxdx,ppq原式,。 2,,,,y,,02pxpq212p

22222222V例2(计算,其中是由两球的公共部分所zdxdydzx,y,z,R,x,y,z,2Rz,,,V

组成。

2222,x,y,z,R3R,222,解:,x,y,Rz, ,22242,2x,y,z,Rz,

R322RR,r592522,drdrzdz,,R方法1:原式, 22,,,00R,R,r480

方法2:

RR222原式,,zdzdxdyzdzdxdyR,,,,,,02,,'zz

RR592222252,,,,,,,,z(2Rzz)dzz(Rz)dzRR,,04802方法3:

,,222cos,R,R,592424532dsincosdddsincosddR原

式, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000004802

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