一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
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一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题:1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ) (A)有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 (C ）没有实数根 (D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） (A ）15 （B ）12 （C ）6 (D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2，5 x(C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D)y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ,那么21x x •等于（ ) （A ）2 (B ）－2 （C ） 1 （D)－1 二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根,那么k ＝ .2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 。
3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝ ，21x x ＝ ，221)(x x -＝4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5、当m = 时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根;6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ,若有一个根为0,则m = ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－错误!，则m = ，这时方程的 两个根为 .7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m = ；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m = ;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m = ; 10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ,且2023=+n m ,则k 值为 ; 11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p= ,q= 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ；14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m = . 16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α，β，则α+β= , αβ= ；17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为 ； 18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为2错误!，则k= 19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数,则a= 。
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关系一、基础练习。
1．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．1 B．5 C．－5 D．62．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()A．－4 B．－1 C．1 D．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A．x2＋2x－3＝0 B．2x2－2x＋3＝0C．x2＋2x＋3＝0 D．x2－2x－3＝04．小强同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为______．5．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)4x2－x＝4; (2)3x2－2x＝x＋2.7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．二、提高训练。
8．点(α，β)在反比例函数y＝kx的图象上，其中α，β是方程x2－2x－8＝0的两根，则k＝__________9．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．10．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．一元二次方程的根与系数的关系（答案）1．B 2.B 3.D 4.25．－656．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．1010．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ） A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＞1D ．k ＜03．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a 18<B ．a= 18-C ．a 18>-且a≠0 D ．a 18> 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=05．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（ ） A ．-1B ．1C ．-2D ．26．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（ ）A ．无实数根B ．两根之和为2C ．两根之积为-1D ．有一个根为21+7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1B ．0C ．﹣5D ．58．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8B ．－7C ．6D ．59．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－110．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则11m n+的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则22________a a b--=；14．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=____．15．若关于x的方程的两根互为倒数，则= .16．如果一元二次方程2x2﹣5x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围为_____．17．写出一个二次项系数为2，一个根比1大，另一个根比1小的一元二次方程__________．18．若－2是一元二次方程x2―2x―a＝0的一个根，则a的值为____．19．若关于的方程有两个相等的实数根，则k的值为▲ . 20．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是___________________．21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足11αβ+＝﹣1，求m的值．23．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求n mm n+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn ＝﹣1，所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝ ，x 1x 2＝ ．（2）类比探究：已知实数m ，n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ，求m 2n +mn 2的值：（3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0，t 2+99t +19＝0，且st ≠1．求41st s t++的值．24．已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+(2k+1)x+k ＝0. (1)依据k 的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x ＝﹣2，求k 的值及方程的另一根.25．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．26．已知关于的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若=－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？请说明理由．27．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． ()1若m 为正整数，求此方程的根．()2设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．28．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ． (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1、x 2，且满足12111+?=2x x ，求m 的值．29．关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．30．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4k>0，解得：k<1.故选：A.3．C【解析】【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，解得：a＞-18且a≠0，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b 2-4ac ，当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根． 4．D ． 【解析】试题分析：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x 2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x 2+5x+6=0．故选D ． 考点：根与系数的关系． 5．C 【解析】 【分析】设该一元二次方程的另一根为t ，则根据根与系数的关系得到36t =-，由此易求t 的值． 【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则36t =-， 解得2t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 6．C ． 【解析】试题解析：A 、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误； B 、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=-2．即两根之和为2，故本选项错误； C 、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=-1．即两根之积为-1，故本选项正确；D 、根据求根公式1=-±1-+1-．故本选项错误； 故选C ．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．【解析】 【分析】利用根与系数的关系，即可求出. 【详解】设该方程的另一根为m ， 利用根与系数的关系：12b x x a+=- 得：m ﹣1＝4， 解得：m ＝5． 故选：D ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】 由韦达定理，即，x 1·x 2＝.而x ＋x ＝24＝（）2－2 x 1·x 2＝36－2（k ＋1），解出k ＝5.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 9．D 【解析】试题分析：设,αβ是方程022=+-a ax x 的两个根，则,2a a αβαβ+==，又225αβ+=，所以22()245a a αβαβ+-=-=，解得a =－1或5，当a=-1时，9=V ＞0，当a=5时，16=-V ＜0，所以a=5不合题意舍去，所以选：D ． 考点：根与系数的关系．【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，即可得出答案． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2−3x+1=0的两个根， ∴x 1+x 2=3， 故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a. 11．32-【解析】 【分析】因为方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，所以32,55m n mn +==-，而11m n +=m nnm +，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，∴32,55m n mn +==-， ∴11m n +=m n n m +=3525-=32-.故答案为32-.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 12． 2 5【解析】∵方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，∴由一元二次方程“根与系数的关系”可得：2+（﹣5）=﹣（m+1），2×（﹣5）=﹣2n，解得：m=2，n=5．故答案为2，5．13．2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018，所以a2-2a-b化简为-（a+b）+2018，再利用根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a为方程x2-x-2018=0的根，∴a2-a-2018=0，即a2=a+2018，∴a2-2a-b=a+2018-2a-b=-（a+b）+2018，∵a、b是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，∴a+b=1，所以原式=-1+2018=2017．故答案是：2017．【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程解的定义．14．﹣2 【解析】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4-=-2 2.15．-1．【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到，解得：，又mn=，∴=1，解得：=1（舍去）或=-1，则=-1．故应填为：-1.考点：根与系数的关系．点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac≥0时，方程有解，然后利用韦达定理得出，．16．m≤258【解析】 【分析】此题根据方程有实数根,可得25420,m -⨯≥解这个不等式即可得出答案. 【详解】解:关于x 的一元二次方程2250x x m -+=有两个实数根,由一元二次方程根的判别式,得25420,m -⨯≥解得：25.8m ≤ 故答案为：25.8m ≤ 【点睛】一元二次方程根的判别式:△＞0时,一元二次方程有两个不等实根; △=0时,一元二次方程有两个相等实根; △＜0时,一元二次方程没有实根; △≥0时,方程有实数根.17．2240x x -=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可设一根为2，另一根为0，再计算出2+0=2，2×0=0，然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可． 【详解】解：设一根为2，另一根为0， ∵2+0=2，2×0=0，∴以2和0为根的一元二次方程可为x 2-2x=0， 当二次项系数为2时，方程变形为2x 2-4x=0． 故答案为2240x x -=． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根时，12bx x a +=-，12c x x a=. 18．8【解析】解析：把x=-2代入方程得：4+4-a=0， 解得：a=8.考点：一元二次方程的解． 19．8 【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac=0，建立关于k 的等式，求出k 的值．解：由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b 2-4ac=36-4k-4=0， 解得k=8． 20．34＜m≤1． 【解析】 【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m 的取值范围，最后综合所有情况得出结论． 【详解】∵方程x 2-2x+m=0的两实根为a ，b ， ∴有△=4-4m≥0， 解得：m≤1，由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m ， 若a ，b ，1可以作为一个三角形的三边之长， 则必有a+b ＞1与|a-b|＜1同时成立，故只需（a-b ）2＜1即可， 化简得：（a+b ）2-4ab ＜1，把a+b=2，a•b=m 代入得：4-4m ＜1， 解得：m ＞34， ∴34＜m≤1， 故本题答案为：34＜m≤1． 【点睛】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系． 21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3， ∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）m ＞﹣34；（2）m ＝3． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m 的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△＝（2m +3）2﹣4m 2＞0，解得m ＞﹣34； （2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m +3），αβ＝m 2． ∵211(23)1m mαβαβαβ+-++===-， ∴﹣（2m +3）＝﹣m 2，解得m 1＝3，m 2＝﹣1（舍弃）． ∴m ＝3． 【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝ca是解答此题的关键． 23．（1）-2，-15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m +n ＝1，mn ＝﹣17，再利用因式分解的方法得到m 2n +mn 2＝mn （m +n ），然后利用整体的方法计算；（3）先把t 2+99t +19＝0变形为19•（1t ）2+99•1t +1＝0，则把实数s 和1t可看作方程19x 2+99x +1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s +1t ＝﹣9919，s •1t ＝119，然后41st s t ++变形为s +4•s t +1t，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）x 1+x 2＝﹣105＝﹣2，x 1x 2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ， ∴m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0， ∴m +n ＝1，mn ＝﹣17，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0，实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，∴s+1t＝﹣9919，s•1t＝119，∴41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．24．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【解析】【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba-及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x ＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k 值． 25．0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 26．（1）k=" -6" ，方程的另一根是5． （2）不存在．理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把已知的根代入原方程，求出k ，然后根据根与系数的关系，求得另一根； （2）根据一元二次方程的跟的判别式求出k 的范围，然后再根据根与系数的关系表示出x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，根据已知的不等式求出k 的范围，从判断是否存在. 试题解析：（1）k="-6" ，方程的另一根是5． （ 2 ） 不存在．理由：由题意得Δ＝16－4（k ＋1）≥0，解得k≤3． ∵x 1，x 2是一元二次方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1， 由x 1x 2＞x 1＋x 2得k ＋1＞4， ∴k ＞3，∴不存在实数k 使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 27．()11m =，1212x x ==．()724y ≤． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出114m 1m 04=-⨯=-≥V ，由此吉可求得m 的取值范围，根据m 为正整数，可得出m 的值，将m 代入原方程求出x 的值即可； （2）根据根与系数的关系以及一元二次方程根的定义可得1ab m 4=，21b b m 04-+=，由此可得3y m 14=+，根据m 的取值范围进行求解即可. 【详解】()1∵一元二次方程21x x m 04-+=有两个实数根，∴114m 1m 04=-⨯=-≥V ， ∴m 1≤．∵m 为正整数， ∴m 1=，当m 1=时，此方程为21x x 04-+=， ∴此方程的根为121x x 2==； ()2∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴1ab m 4=，21b b m 04-+=， ∴()22113y ab 2b 2b 1ab 2b b 1m 2m 1m 1444⎛⎫=-++=--+=--+=+ ⎪⎝⎭， ∵()4m y 13=-， 又∵m 1≤， ∴()4m y 113=-≤， ∴y 的取值范围为7y 4≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键. 28．（1）相交线；（2）m=110-． 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可; （2）首先利用根与系数的关系可以得到x 1+x 2，x 1x 2，接着利用根与系数的关系得到关于m 的方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：因为一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式 △=(4m+1)2－4（2m-1）=16m 2+8m+1-8m+4=16m 2+5．因为不论m 取何值时，m 2≥0，所以16m 2+5总大于0，即不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程两根为x 1、x 2，所以x 1+x 2=－（4m+1），x 1x 2=2m －1， 因为12111+=,2x x 所以121212x x x x +=，所以()411212m m -+=-，所以m=110-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握(1) △>0,方程有两个不相等的实数根；(2) △=0，方程有两个相等的实数根；(3) △<0,方程没有实数根,是解答本题的关键. 29．（1）证明见解析；（2）2或3． 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=， ∴x 1==，x 2==1；∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1==1+，必为正整数，∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 30．k≥-13且k≠0． 【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．。
初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题 附答案详解)
初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（ ）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（ ） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（ ）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（ ）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（ ）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（ ）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。
(完整版)一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。
一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)
同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3． 故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（ ） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6， 故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ）A.54 B.94C.114D.7【解答】 解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（ ） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0， 解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________． 【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________． 【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12， 故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0， 故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2， 故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1， 所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。
一元二次方程根与系数关系习题(含答案)
一元二次方程及一元二次方程与根与系数关系一. 选择题。
（第1题2分其余每题3分，共53分） 1.（2009，清远）方程216x =的解是（ ）A ．4x =±B ．4x =C ．4x =-D ．16x = 2.（2009，云南）一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52-C ．x 1 = 0 ，x 2 =52D ． x 1= 0 ，x 2 =25-3.（2009，河南）方程2x =x 的解是 （A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=0 4.（2009，台州）用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x 5.（2009，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=6.(2009,深圳)用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ）A.(a +2)2-1 B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-97.（2009，荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．8.（2009，长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-9.（2009，武汉）已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．0D ．0或310.(2009,南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =11. （2009，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）-212.（2009，济南）若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．613.（2009，眉山）若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-14.（2009，烟台）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．200915.（2009，青海）方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定16.（2009，包头）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．2517.（2009，株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==18.（2009，黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对 二. 填空题。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=_________．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=_________．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，那么a2+2a+b变形为a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，∴a2+2a+b=a+b+2021，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021=﹣1+2021=2021．应选C．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考查了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程根与系数的关系专项练习题 答案
一元二次方程根与系数的关系专项练习题参考答案：1、第一个方程022=-++a a x x ，即有0)1)((=-++a x a x .1,21-==a x a x故122)1(2222221+-=-+=+a a a a x x 由第二方0)2)(12()13(2=-++--a a x a x ，得0)]2()][12([=--+-a x a x 2,1243-=+=a x a x若x 3为整数，则121222+=+-a a a ，解得0=a 或2，此时13=x 或5若x 4为整数，则21222-=+-a a a ，即03322=--a a ，此方程无有理根 综上可知，当0=a 或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。
2、设)(x f 在10≤≤x 的最小值为M ，原问题等价于21,12≥≥M M 二次函数122+-=mx x y 的图像是一条开口向上的抛的线①当对称轴0≤=m x 时，由图像可知，0=x 时，1=最小y ，这时211≥成立。
②当对称轴m x =，10<<m 时，由图像可知m x =时，最小y 且21m y -=最小，这时有21,21122≤≥-m m ，故有220≤<m ③当对称轴m x =，1≥m 时，由图像可知，1=x 时，最小y 且m y 22-=最小，这时有43,2122≤≥-m m 与1≥m 矛盾。
综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是22≤m3．解：由条件可得222c b a ++，ab 2为方程0412=+-x x 的二根， ∴212222==++ab c b a 由ab c b a 2222=++得()022=+-c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===021c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==021c b a ∴方程0)()2()(2=+-+-+b a x c a xb a 可化为012=--x x∴βαβα++33＝()αββααββα3222-+=-+＝44、（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得161+=m x ，132-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩ 即⎩⎨⎧==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m ．（2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．当b a≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0．①b a≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝121=ab ． ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．S △ABC＝12⨯=综上，△ABC 的面积为1或2129+6、（1）由题意知0<a ．因为图像过点)1,0(,所以1=c ,又图像过点)0,1(,所以01=++b a ,即1--=a b ,由图像知,当1-=x 时, 0>y ,所以01>+-b a ,所以1->a ，故a 的取值范围为01<<-a ．（2）由（1）得，1)1(2++-=x a ax y ，令0=y ，得1,121==x ax ， ∴C （a 1，0）， ∴aAC 11-=，OA ＝OB ＝1． 由231)11(2121=⨯-=⨯=∆a OB AC S ABC ，解得21-=a ．于是，89)21(211212122++-=+--=x x x y ，∴M（21-，89）．所以，AOM BOM AOB ABM S S S S ∆∆∆∆-+=16389121411211121=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=．。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．10 B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．010．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（）A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．1313．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．2715．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）A．B．C．D．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9B．±3 C．3D．519．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．1221．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）A．1B．2C．D．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________ ．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________ ．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．8．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（）A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6故选A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，由（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80变形得到3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，于是有3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x的一元二次方程，∴△=（﹣2k）2﹣4×（k2﹣2）=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。