从解析式和图像看函数的性质高一数学总结练习含答案解析D

1.2.3 从图象看函数的性质

1.2.4 从解析式看函数的性质

1.单调函数的定义

函数值y随自变量x的①而增大的函数叫作②;函数值y随自变量x的增大而③的函数叫作④.

单调递增,单调递减通常称为递增或递减.递增函数和递减函数统称为单调函数.

2.奇偶函数的几何定义

若函数的图象绕原点旋转180°后和自己重合,则称这类函数是⑤.若函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则称这类函数是⑥.

3.函数的最值

(1)上界与下界:设D为函数f(x)的定义域,如果有实数B使得f(x)⑦B对一切x∈D成立,则称B是函数的一个上界;如果有实数A使得f(x)⑧A对一切x∈D成立,则称A是f(x)的一个下界.

(2)有上界又有下界的函数叫作有界函数,否则函数称为无界函数.

(3)函数的最大(小)值的定义:

如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最大值M=f(a),称M 为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.如果有a∈D,使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值,a为f(x)的最小值点.

4.函数的单调性

(1)递增、递减函数

条件一般地,设函数f(x)的定义域为D:如果对于定义域D内某个区间I上的⑨两个自变量的值x

1

,x

2

,当x

1

2

时

都有⑩

都有

结那么就说函数f(x)那么就说函数f(x)在区间I上是函数

论在区间I上是

函数

图

示

(2)单调区间

如果一个函数在某个区间上是递增函数或是递减函数,就说这个函数在这个区间上具有单调性,该区间称为这个函数的单调区间.

(3)定义法证明函数的单调性

在函数单调性的定义中,记x=x

1,x+h=x

2

,条件x

1

2

可以写成h>0,f(x

1

)

2

)可以写成

f(x+h)-f(x)>0,f(x

1)>f(x

2

)可以写成f(x+h)-f(x)<0.差式f(x+h)-f(x)叫作函数在区间I上的

.如果不加说明,总认为h>0.这样,差分为正的函数就是递增函数,差分为负的函数就是递减函数.

一、函数单调性的判断与证明

1.(2011上海改编,★★☆)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递增,且在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( )

A.y=1

x2B.y=1

x

C.y=x2

D.y=x3

思路点拨对选项B,C中的函数,直接利用反比例函数和二次函数的单调性判断即可;对选项A,D中的函数,需利用单调性的定义判断.

2.(2014安徽师大附中期中,★★☆)已知函数f(x)=x-1

x+1

,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明. 思路点拨取值作差变形定号下结论

3.(2014北京东城期末,★★☆)已知函数f(x)=x

x-1

.

(1)求f(1+x)+f(1-x)的值;

(2)用函数单调性的定义证明:函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.

二、由函数单调性求参数的取值范围

4.(2014山东青岛模拟,★☆☆)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是( )

A.a≤-3

B.a≥-3

C.a≤3

D.a≥3

思路点拨根据函数单调性的几何意义和二次函数图象寻找a满足的不等式.

5.(2014山东济南模拟,★☆☆)函数y=1-3m

x

在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是( )

A.m>1

3B.m≥1

3

C.m<1

3

D.m≤1

3

思路点拨结合反比例函数的图象得出m满足的不等式.

三、由函数的单调性比较大小、解不等式

6.(2014山东济南检测,★★☆)函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)是R上的增函数;

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

7.(2014湖南浏阳一中期中,★★★)已知f(x)是(0,+∞)上的增函数,且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1.

(1)求证:f(8)=3;

(2)求不等式f(x)>3+f(x-2)的解集.

四、利用函数的单调性求函数的最值

8.(2013江苏江阴检测,★★☆)函数f(x)=3

2x-1

在区间[1,5]上的最大值为,最小值为. 思路点拨先判断函数在区间[1,5]上的单调性,再由单调性求最值.

9.(2014广东广州月考,★★☆)已知函数f(x)=x 2+2x+a

x

,x∈[1,+∞).

(1)当a=1

2

时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.

思路点拨第(1)问利用单调性求最值,第(2)问利用单调性转化成不等式恒成立问题.

一、选择题